专题02 常用逻辑用语（重点+二级结论+10题型+复习提升）（复习讲义）高一数学苏教版

专题02 常用逻辑用语 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【考点01】充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 2、充要条件 （1）充要条件的定义 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作。 此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。 （2）充要条件的含义 若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的， 因为这两个命题的条件与结论不同。 （3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价。 3、从集合的条件看充分、必要条件 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， （1）若AB，则p是q的充分不必要条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若AB，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系． 【考点02】全称量词命题与存在量词命题 1、全称量词与全称量词命题 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示． （2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为． 2、存在量词与存在量词命题 （1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示． （2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题．存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为． 3、含量词命题的否定 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 否定形式 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题 4、常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 【二级结论1】等价转化法判断充分条件、必要条件 p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件. 【二级结论2】命题及命题的否定真假性判断 命题p和p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假. 【题型1 充分不必要条件的判断】 高妙技法 先明确“p⇒q”是否成立（验证p能推出q），再判断“q⇒p”是否不成立（验证q不能推出p）。可通过定义推导、集合关系（p是q的真子集）或举反例验证，满足“p⇒q且q⇏p”，则p是q的充分不必要条件。 1．（23-24高三上·江苏南京·期末）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合题意分析判断即可 【详解】因为人在阵地在，所以胡马度过阴山说明龙城飞将不在， 因为人不在阵地在不在不知道，所以龙城飞将不在，不能确定胡马是否度过阴山， 所以胡马度过阴山是龙城飞将不在的充分不必要条件， 故选：D 2．（24-25高二上·安徽·开学考试）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，则，即可以推导出，故充分性成立； 由推不出，如，，满足，但是，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．（22-23高一上·江苏淮安·期末）已知，若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果. 【详解】若，则，所以，故充分性满足； 若，则或，显然必要性不满足； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）若a，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的定义即可判断. 【详解】若，则， 当时，，但是， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（25-26高一上·云南楚雄·月考）已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据已知条件，得出方程只有一个根或两个相等的实根，结合充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】若，则方程变为，即，解得， 方程有两个相等的实数根1，即仅有一个真子集， “”能推出“仅有1个真子集”，故充分性成立； 若“仅有1个真子集”，则“中仅有1个元素”， 当时，，解得，则仅有一个真子集， 当时，，解得，即也仅有一个真子集， “仅有1个真子集”不能推出“”，故必要性不成立． 故选：A． 6．（25-26高一上·陕西延安·期中）已知为实数，那么方程没有实数解是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据方程没有实数解，则求参数范围，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系. 【详解】若没有实数解，则，可得， 显然方程没有实数解是的充分不必要条件. 故选：A 【题型2 必要不充分条件的判断】 高妙技法 核心验证“q⇒p”成立（q能推出p）且“p⇒q”不成立（p不能推出q）。可借助逻辑推导、集合关系（q是p的真子集），或找p成立但q不成立的反例，满足上述两点则p是q的必要不充分条件。 7．（25-26高一上·辽宁·月考）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先化简得出等价条件，再结合充分必要条件定义判断即可求解. 【详解】设，则“”等价于或； “”等价于； 或不可以推出；可以推出于或； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 8．【多选】（25-26高一上·江西上饶·月考）已知下列四组陈述句： ①p：集合；q：集合． ②p：集合；q：集合． ③p：；q：． ④p：某中学高一全体学生中的一员；q：某中学全体学生中的一员． 其中p是q的必要而不充分条件的有（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AC 【分析】根据集合的相关性质，逐一判断四组陈述句中命题是否是的必要不充分条件，即判断是否符合不能推出，但． 【详解】对于①：集合， ，但不能推出， 是的必要不充分条件； 对于②：若集合，则, ， 是的充分必要条件； 对于③：表示所有奇数的集合，表示部分奇数的集合，， ，但不能推出， 是的必要不充分条件； 对于④：“某中学高一全体学生中的一员”限定范围为某中学高一全体学生；q：“某中学全体学生中的一员”限定范围为某中学全体学生， ，但不能推出，满足充分不必要条件； 满足必要不充分条件的是①③． 故选：． 9．（25-26高一上·云南玉溪·月考）已知集合，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据，得到，解不等式，再根据集合的关系判断逻辑条件即可． 【详解】，若， 则， 解得， 故“”是“” 的必要不充分条件． 故选：B． 10．（24-25高二下·吉林长春·期末）设，，则是的 条件.（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【分析】先化简，根据充分、必要条件的定义判断. 【详解】因为或，， 所以由不能推出，而由可以推出， 故是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分条件. 11．（21-22高一上·广东东莞·期末）如果对于任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】取特殊值可说明充分性不成立；根据不等式的性质可说明必要性成立，由此可得结论. 【详解】若，则取，满足，此时， 所以“”是“”的不充分条件； 若，设，则， 所以，所以，所以， 所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【题型3 充要条件的判断】 高妙技法 判断充要条件的三种方法 (1) 定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2) 集合法：利用集合的包含关系判断．小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系． (3) 传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 12．（25-26高一上·河南安阳·期中）“”是“”的（   ） A．必要不充分条件B．充分不必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的概念求解即可. 【详解】因为，， 所以， 又， 所以， 故选：C 13．（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据已知条件，分情况讨论函数定义，分别求解和时的方程，再根据解的个数判断是否是成立的充分、必要条件. 【详解】当时，由，得，解得或（舍去）； 当时，由，得，解得（不满足，舍去）. 所以由，得．当时，有． 综上，是的充要条件． 故选：C. 14．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充要条件的概念进行判断即可. 【详解】因为若，则； 若，则． 故“”是“”的充要条件． 故选：A 15．（25-26高一上·湖南永州·月考）若实数满足，且，则称与互补.记，那么“”是“与互补”的 条件. 【答案】充要 【分析】判断与互补是否成立，再判断与互补是否成立，再根据充要条件的定义，我们即可得到结论． 【详解】若，则， 两边平方解得，结合，知至少有一个为，另一个为非负数， 故，即与互补； 若与互补时，易得，故至少有一个为，且，， 若，，此时， 同理若，，此时， 即， 故是与互补的充要条件． 故答案为：充要． 【题型4 探求命题的充分条件、必要条件】 高妙技法 1.探求充分条件、必要条件 （1）探求q的充分条件p，即求使q成立的条件p；探求q的必要条件p，即求以q为条件推出的结论p．如是的一个充分条件，是的一个必要条件． （2）结合集合法判断条件，先求出“结论q”的充要条件，将充要条件的范围“放大”，即得“结论”的必要不充分条件，将充要条件的范围“缩小”，即得“结论”的充分不必要条件． 2.探求充要条件的两种方法 （1）非等价转化法：先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为条件，寻找其能推出的一个结论；再证明此结论是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． （2）等价转化法：将原命题进行等价变形或转化，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因此探求过程中的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 16．（23-24高一上·上海·期末）的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，即，所以A符合题意； 由，可得或，所以选项B是的充分不必要条件； 选项C和D都为的既不充分也不必要条件. 故选：A. 17．【多选】（23-24高一上·浙江杭州·月考）设全集为R，在下列条件中，满足的充要条件的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据集合的运算性质及集合间的关系逐项判断即可. 【详解】因为时，，不满足题意，故A错误； 若，显然只有时成立，不满足题意，故B错误； 若，则，同时若时，，满足题意，故C正确； 当时，则，同时，则满足题意，故D正确， 故选：CD. 18．（24-25高一上·云南德宏·期末）等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对已知等式两边平方，根据绝对值的定义可得等式成立的充要条件. 【详解】因为， 两边平方得：， 所以，即， 所以等式成立的充要条件是. 故选：B 19．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 【答案】A 【分析】变形给定的等式，再利用充要条件的定义判断即可. 【详解】由题意， 则和中至少有一个为0，即，中至少有一个为1， 所以“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”. 故选：A. 20．（22-23高一上·湖南常德·月考）命题“”是真命题的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为在上恒成立，可求出结果. 【详解】因为命题“”是真命题， 所以在上恒成立， 所以，即， 所以命题“”是真命题的充要条件是. 故选：C 21．（24-25高一下·广东揭阳·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，即， 当时，取，则， 所以“”是“”的一个充分不必要条件，故A正确； 对于B，即，“”是“”的充要条件，故B错误； 对于C，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误． 故选：A． 22．（24-25高二下·江西赣州·期末）设，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用必要不充分条件，逐项验证即可. 【详解】对于A：当时，，由，所以当时，，所以是的既不充分也不必要条件，故A错误； 对于B：由于在上为增函数，由有，当时，，所以是的充要条件，故B错误； 对于C：由有，所以或，所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D：由有，当时，，即，所以是必要不充分条件，故D正确. 故选：D. 23．（24-25高一上·河南南阳·期末）“，”成立的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中命题成立，先求出；再逐项判断即可. 【详解】由题意可得，在上能成立， 即在上能成立， 因为时，； 所以为使在上能成立，只需； 因此，A选项，是“，”成立的既不充分又不必要条件； B选项，是“，”成立的充分不必要条件； C选项，是“，”成立的充要条件； D选项，是“，”成立的必要不充分条件； 故选：D 【题型5 由充分不必要条件求参数】 高妙技法 根据“p⇒q且q⇏p”转化为集合关系。列出p、q对应的不等式（或范围），结合数轴确定参数边界，注意验证临界值是否满足“不等价”，避免参数范围扩大或缩小。 24．（22-23高三上·江苏·期末）设；，若p是q的充分不必要条件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简，根据充分不必要的定义列不等式求的范围. 【详解】由已知可得， 因为是的充分不必要条件， 所以， 所以， 故选：A． 25．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可知是的真子集，分、两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，可得或， 因为，所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足，解得， 当时，，此时是的真子集，合乎题意； 当时，，此时是的真子集，合乎题意. 综上，实数的取值范围为. 26．（23-24高二下·安徽芜湖·月考）已知集合 . (1)若 ，求 ; (2)若“ ”是“ ”充分不必要条件，求实数 的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据集合的交集，补集运算即可求解； （2）将充分不必要条件转化为真子集关系，即可列不等式组求解. 【详解】（1）当时，， 所以，所以或 （2）因为“ ”是“ ”充分不必要条件， 所以 时，，所以； 时， ，所以 ， 综上，取值范围是 27．（22-23高一上·江苏常州·期末）已知集合，集合，其中. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）时，分别求解集合，由集合的运算即可解得； （2）若“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可. 【详解】（1）由题意，得， 当时，， 故. （2）若“”是“”的充分不必要条件， 则真子集， 即，等号不同时取， 解得. 28．（23-24高一上·河南驻马店·期末）在①；②“（是非空集合）”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题． 问题：已知集合． (1)当时，求和； (2)若________，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2)答案见解析 【分析】（1）先求出集合，再求出，进而可得集合； （2）分情况处理，若选择①，考虑的情形即可，要分和两种情况分析；若选择②，考虑且的情形即可；若选择③，考虑的情形即可，要分和两种情况分析. 【详解】（1）当时，集合， 所以， 又因为，所以. （2）若选择①，，则， 当时，，解得：， 当时，又， 所以，得， 所以实数a的取值范围是． 若选择②，““是“”的充分不必要条件， 则且， 因为， 或，解得：， 由于无解，不成立， 所以实数a的取值范围是．（不检验扣1分） 若选择③，， 当时，，解得：， 当时，又，则， 解得：或， 所以实数a的取值范围是． 29．（25-26高一上·山西晋中·期中）已知集合. (1)若，求和； (2)若“”是”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)；或 (2) 【分析】（1）根据集合的交集，补集运算即可求解； （2）将充分不必要条件转化为真子集关系，即可列不等式组求解. 【详解】（1）当时，， 或， 所以， 或， （2）由“”是“”的充分不必要条件， 可得：是的真子集， 因为，即不是空集， 所以，且等号不同时成立， 解得， 所以实数的取值范围. 30．（25-26高一上·山西太原·月考）已知集合，且. (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意转化为，列出不等式组即可得解； （2）由题意转化为是的真子集，列出不等式组得解. 【详解】（1）因为，所以 命题是真命题，可知， 因为，， 或， 或 故的取值范围是. （2）若是的充分不必要条件，得是的真子集，， 则，解得，此时是的真子集， 故的取值范围是. 【题型6 由必要不充分条件求参数】 高妙技法 由“q⇒p且p⇏q”转化为集合关系。明确p、q对应的参数范围，借助数轴分析包含关系，列出不等式组，验证临界值是否符合“q不能推出p”，精准求解参数范围。 31．（25-26高二上·广东清远·月考）若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据必要不充分条件求参数范围即可. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以,推不出， 所以． 故选：C 32．（24-25高二下·山东烟台·期末）设集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由逻辑用语可得集合的包含关系，再分情况建立方程，根据集合元素的特征验根，可得答案. 【详解】由题意可得，令，解得，则，不符合题意； 令，则，解得或， 当时，，不符合题意，当时，. 综上可得：. 故选：D. 33．（25-26高一上·江西南昌·月考）已知集合，，若：，：，是的必要不充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分必要条件的定义，结合集合的包含关系可得． 【详解】是的必要不充分条件，则是的真子集， 当，即时，符合题意； 当，即时，，则且两个等号不能同时取得，解得，所以， 综上，， 故选：C． 34．（2025高三·天津·专题练习）已知集合，．若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次不等式可得，即可写出，由题意知且，即可根据集合之间的关系求得m. 【详解】由，即，故． “”是“”的必要不充分条件且． 由且，结合， 故. 故选：C 35．（25-26高一上·重庆·月考）已知集合和集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的交集运算讨论，，列不等式即可得实数的取值范围； （2）根据必要不充分条件得⫋，从而列不等式组即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由，得： ①若，即时，，符合题意； ②若，即时，此时，要满足， 则需或，解得； 综上，实数的取值范围为； （2）∵q是p的必要不充分条件， ∴⫋， 则或，解得：， 故实数的取值范围为. 36．（25-26高一上·重庆铜梁·月考）已知集合，非空集合. (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使得是的必要不充分条件，若存在，求出m取值范围，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合包含关系得到两个不等式：左端点满足，右端点满足，再结合集合非空条件，联立解得的范围. （2）由得两个不等式：且，结合解得，然后检查在此范围内是否成立. 【详解】（1）由题意，是的充分条件，所以， 即且，且， 解得且，取交集得， 故实数的取值范围为. （2）若是的必要不充分条件，则且， 由得 结合，解得， 此时的右端点，所以，即成立， 因此存在实数，其取值范围为. 37．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知全集，集合，，. (1)求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）根据集合的运算法则计算； （2）转化为集合的包含关系求解． 【详解】（1）， 或， 所以或． （2）若“”是“”的必要不充分条件，则且， 所以且两个等号不能同时取得，解得． 所以的取值范围是． 38．（25-26高一上·山西大同·月考）已知全集，集合，. (1)若，求和； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】(1)；或 (2) 【分析】（1）当时，写出集合，再根据集合运算计算即可； （2）由题意知，集合是集合的真子集，分和两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，求解即可. 【详解】（1）当时，集合， 因为， 所以，或，或； （2）若“”是“”的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 当时，，此不等式无解； 当时，，解得； 综上所述：若“”是“”的必要不充分条件，实数的取值范围为. 【题型7 由充要条件求参数】 高妙技法 根据“p⇔q”转化为集合关系（p=q）。将p、q转化为等价的不等式（或方程），列出参数满足的等式或不等式组，求解后验证双向推导是否成立，确保参数使两者完全等价。 39．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】解绝对值不等式，根据是的充要条件，得到不等式，解得，得到答案. 【详解】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 40．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 【答案】(1). (2)不存在 【分析】（1）把必要条件转化为子集关系，从而确定参数满足的不等式组，即可求解； （2）把充要条件转化为两集合相等，从而确定参数满足的方程组，即可作出判断. 【详解】（1）∵是的必要条件，故， ∴，解得， 即所求实数m的取值范围是. （2）∵若是的充要条件，则， ∴，由于该方程组无解， 即不存在实数m，使是的充要条件. 41．（22-23高一上·广东惠州·月考）设集合，命题，命题 (1)若是的充要条件，求正实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据是的充要条件转化为求解即可； （2）根据是的充分不必要条件，得真包含于，列出不等式求解即可. 【详解】（1）由条件， 是的充要条件， 得，即，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由是的充分不必要条件，得真包含于， 所以，或，解得， 综上实数的取值范围是. 42．（20-21高二上·广东深圳·期末）已知． (1)是否存在m，使得p是q的充要条件?若存在，求m的值，若不存在，请说明理由； (2)从下面三个条件中任选一个，求m的取值范围． ①p是q的必要条件；②q是p的充分条件；③是的充分条件． 选________． 【答案】(1)不存在 (2) 【分析】（1）先解不等式，然后根据解集范围相同列方程组可解； （2）根据解集的包含关系列不等式组可解. 【详解】（1）由，解得： 若p是q的充要条件，则，即，此时方程组无解， 即不存在m，使p是q的充要条件． （2）设命题p对应的集合为，命题q对应的集合为， 若选①，p是q的必要条件，则 当时，，即成立； 当时，且， 解得： 综上所述： 若选择②，q是p的充分条件，则， 当时，，即成立； 当时，，且，解得：； 综上所述：． 若选择③，是的充分条件，则，所以． 当时，，即成立； 当时，且，解得：； 综上所述：． 【题型8 全称/存在量词命题的判断】 高妙技法 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 （1）全称量词命题：①要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；②要判定一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p（x0）不成立即可. （2）存在量词命题：要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题. 43．【多选】（22-23高一上·浙江·月考）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（    ） A． ， B．，为偶数 C．所有菱形的四条边都相等 D．是无理数 【答案】AC 【分析】判断命题是否为全称量词命题，关键在于有无“，所有的，全部的，任意的”这些量词连接，判断命题真假需要具体分析，说明全称量词命题为真需要推理，为假时只需举个反例推翻；说明存在量词命题为真只需举个例子，为假时需要推理. 【详解】对于A项，因，恒成立，故该命题是全称量词命题，且是真命题，故A正确； 对于B项，该命题是真命题，但不是全称量词命题，故B不正确； 对于C项，该命题是全称量词命题，且是真命题，故C正确； 对于D项，该命题是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确． 故选：AC. 44．【多选】（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A． B． C．菱形的对角线互相垂直 D．任意四边形均有外接圆 【答案】AC 【分析】根据全称量词的定义，逐项判断命题真假即可. 【详解】对于A，“”是全称量词，且由于，故对，为真命题，故A正确； 对于B，“”是存在量词，故B错误； 对于C，“所有的”是全称量词，所有的菱形的对角线都互相垂直，故C正确， 对于D，任意四边形不一定有外接圆，对角和为的四边形，有外接圆； 对角和不是的四边形，没有外接圆，故D错误. 故选：AC. 45．【多选】（22-23高一上·湖南娄底·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．“”是存在量词命题 B． C． D．“全等三角形面积相等”是全称量词命题 【答案】ABD 【分析】根据量词的知识逐一判断即可. 【详解】“”是存在量词命题，选项A为真命题． ，选项B为真命题． 因为由得，所以选项C为假命题． “全等三角形面积相等”是全称量词命题，选项D为真命题． 故选：ABD 46．（22-23高一上·山西·月考）下列结论中正确的个数是（    ） ①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题； ②命题“，”是全称量词命题； ③命题“，”是真命题； ④命题“有一个偶数是素数”是真命题. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】①命题是全称量词命题；②命题是全称量词命题；③④，通过举例得到命题是真命题. 【详解】①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，不是存在量词命题，所以该命题是假命题； ②命题“，”是全称量词命题，所以该命题是真命题； ③命题，，如，所以该命题是真命题； ④命题“有一个偶数是素数”是真命题，如2，所以该命题是真命题. 故选：D 47．（22-23高一上·甘肃庆阳·期末）关于命题“，”，下列判断正确的是（    ） A．该命题是全称量词命题，且是真命题 B．该命题是存在量词命题，且是真命题 C．该命题是全称量词命题，且是假命题 D．该命题是存在量词命题，且是假命题 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的定义及取可判断. 【详解】该命题是存在量词命题，当时，，所以该命题为真命题. 故选:B. 【题型9 全称/存在量词命题的否定】 高妙技法 对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法 （1）改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； （2）否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可. 48．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】由题意得命题“”为全称量词命题， 则该命题的否定为：. 故选：D. 49．（22-23高一上·河南·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可直接得到答案. 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题“，”的否定是“，”. 故选：C 50．（24-25高一上·陕西西安·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据全称命题的否定即可得结论. 【详解】“”的否定是：， 故选：B. 51．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由全称的否定是特称可得； 【详解】由全称的否定是特称可得命题“”的否定为“”. 故选：C. 52．（23-24高一上·河北保定·期中）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据全称命题的否定写出即可． 【详解】∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“，”的否定是“，”． 故选：C． 53．（23-24高一上·江苏盐城·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全称命题的否定为存在量词命题即可求解. 【详解】命题“”的否定是:. 故选：B 54．（24-25高一上·安徽池州·期中）命题，的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据题意，利用全称量词命题与存在量词命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题， 可得命题，的否定是：，. 故选：A 55．（24-25高一上·浙江·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据存在量词的命题的否定的规定，改变量词并否定结论即可. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：D. 56．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】原命题是一个特称命题，根据特称命题的否定规则即可得结论. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：D. 57．（24-25高一上·江苏无锡·期末）命题“，”的否定是（    ） A．不存在， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：B 58．（23-24高一上·江苏泰州·期末）命题“存在，”的否定为（    ） A．存在， B．存在， C．任意， D．任意， 【答案】D 【分析】由命题的否定的定义即可得解. 【详解】由题意命题“存在，”的否定为任意，. 故选：D. 59．（24-25高一上·云南玉溪·期末）写出下列命题的否定，并判断其否定的真假： (1)，； (2)存在一个六边形，其内角和不等于． 【答案】(1)，，真命题； (2)任意六边形，其内角和等于，真命题． 【分析】（1）由全称命题的否定是把存在改为存在，并否定原结论，进而判断真假； （2）由特称命题的否定是把存在改为任意，并否定原结论，进而判断真假. 【详解】（1）由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为，， 因为时，，故为真命题； （2）由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为任意六边形，其内角和等于，易知其为真命题． 【题型10 由命题的真假求参数】 高妙技法 由命题的真假求参数的策略 （1）巧用三个转化：①全称量词命题可转化为恒成立问题；②存在量词命题可转化为存在性问题；③全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真. （2）准确计算：通过解方程或不等式（组）求出参数的值或范围. 60．（24-25高二下·广东湛江·期末）若“”是假命题，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由假命题的否定为真命题，求解即可. 【详解】因为命题“”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 61．（25-26高一上·云南昭通·月考）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据存在量词命题为假命题，可得：方程无实数根，进而利用判别式进行求解即可. 【详解】命题“”为假命题，则方程无实数根， 当时，，符合题意， 当时，即，解得：； 综上：. 故选：A． 62．（2024高一上·江苏南京·专题练习）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据命题是真命题，得，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】当命题是真命题时，只需当时，， 又因为当时，的最小值是，所以， 结合各个选项可知，只有是的充分不必要条件， 故选：D. 63．（23-24高二下·重庆·期末）若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用存在量词命题为真，结合一元二次不等式有解求出范围，再求其补集即可. 【详解】由命题“为真，得，解得， 因此命题“”为假命题，则， 所以实数的取值范围是， 故选：D 64．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用存在量词命题为真求出的范围，进而求出该命题为假时的范围，再利用充分不必要条件求得答案. 【详解】命题“，”为真命题时，或， 解得或，因此，由命题“，”为假命题， 得，则给定选项中是的真子集的是. 故选：A 65．（24-25高一上·山东泰安·期中）命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，分别求得命题和为真命题时，实数的取值范围，分类讨论，即可求解. 【详解】若命题为真命题， 即方程在上有解，则满足，解得， 若命题为真命题， 即不等式在上恒成立，则满足，解得， 当命题为真命题且为假命题时，则满足； 当命题为假命题且为真命题时，则满足； 所以命题､一真一假时，可得或 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 66．（23-24高一上·上海·期中）若“，使得”是假命题，则实数的取值可以为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意“，使得”是真命题，求参数范围即可. 【详解】由于“，使得”是假命题， 则“，使得”是真命题， 故，则， 则实数的取值可以为. 故答案为：（答案不唯一） 67．（24-25高二下·福建泉州·期末）若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知方程无解，结合判别式运算求解即可. 【详解】因为命题“，使得成立”为假命题， 可知方程无解，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 68．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）命题，为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全称量词命题为真求出的范围，再利用充分不必要条件的定义求解即得. 【详解】，则，当且仅当时取等号，由命题为真，得， 因此命题为真命题的一个充分不必要条件是集合的真子集，C是，ABD都不是. 故选：C 69．（25-26高一上·全国·课后作业）已知命题：，，命题：，. (1)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； (2)若两个命题有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)，或 【分析】（1）根据全称命题的性质，结合存在命题的性质进行求解即可； （2）根据题意，分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）命题为真命题时，，当时，代数式， 要想，恒成立，只需即可； 命题为真命题时，有，或， 因为两个命题都是真命题， 所以实数应同时满足上述条件，即， 因此实数的取值范围； （2）由（1）可知：当命题为假命题时，， 当命题为假命题时，， 当命题为真命题时，命题为假命题时，有， 当命题为假命题时，命题为真命题时，有，或，解得， 综上所述：实数的取值范围，或. 70．（20-21高一·全国·课后作业）已知集合，且． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围． (2)若命题是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全称量词命题为真命题的含义，得出，再结合集合，列出不等式组求解即可； （2）根据存在量词命题为真命题的含义，得出，然后根据解不等式，再根据补集思想进而即得. 【详解】（1）因为命题“”是真命题,则 , 所以，解得， 所以实数 的取值范围为 . （2）由题意知，得 . 因为命题是真命题，所以 . 若，则 或 ，且，即. 故若，则， 故实数的取值范围为 . 71．（21-22高一上·江西宜春·月考）已知集合，非空集合 (1)若“命题”是真命题，求的取值范围； (2)若“命题”是真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据且列不等式组求解； （2）由求解． 【详解】（1）解得，则， “命题”是真命题，且， ，解得; （2）； 由为真，则， . 72．（24-25高一上·青海西宁·月考）已知集合，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围; (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件得是的真子集，列不等式组即可求解； （2）根据已知条件得是的子集，讨论和，列不等式组即可求解； （3）讨论和，列不等式组即可求解. 【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集， 当时，，得； 当时，，不等式组无解， 综上实数的取值范围为； （3）若， 当时，，得； 当时，或，解得或无解， 综上， 所以实数的取值范围为. 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏苏州·期末）若命题，，则的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】由题意可知，命题为全称量词命题，该命题的否定为“，”. 故选：B. 2．（24-25高二下·江苏苏州·期末）命题的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由全称量词命题的否定是存在量词命题. 【详解】由全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题的否定是. 故选：A. 3．（24-25高一上·陕西西安·期末）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】由，得，反之不成立，则“”是“”的必要不充分条件． 故选：C. 4．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知命题，，命题，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】举出反例，得到为假命题，举出实例，得到为真命题. 【详解】命题，当得，，故为假命题，为真命题， 命题，时，，故满足，为真命题. 故选：B 5．（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合间的包含关系列不等式求解即可. 【详解】由得，即，记； 由得，解得. 因为是的充分不必要条件，所以， 所以，解得. 故选：A 二、多选题 6．（21-22高一上·江苏徐州·期末）使成立的一个充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】解不等式，根据充分条件的概念即可求解. 【详解】或， 故使成立的一个充分条件的x的范围应该是的子集. 故选：AB. 7．（21-22高一上·江苏南京·期末）设是的必要条件，是的充分条件，是的充分必要条件，是的充分条件，则下列说法正确的有（    ） A．是的必要条件 B．是的充分条件 C．是的充分必要条件 D．是的既不充分也不必要条件 【答案】BC 【分析】根据条件得到可判断每一个选项. 【详解】由题意，，则. 故选：BC. 8．（22-23高一上·江苏南京·期中）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”的否定是“” C．“”是“”的既不充分也不必要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ACD 【分析】对于ACD，化简不等式即可判断；对于B，利用全称命题的否定即可判断 【详解】对于A，由可得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故正确； 对于B，命题“”的否定是“”，故不正确； 对于C，由解得或，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故正确； 对于D，由解得且，所以“”是“”的必要不充分条件，故正确， 故选：ACD 9．（23-24高一上·江苏盐城·月考）下列说法正确的是（    ） A．命题“”的否定是“，使得” B．若集合中只有一个元素，则 C．关于的不等式的解集，则不等式的解集为 D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】CD 【分析】因为命题的否定一定要否定结论，故A错误；B中方程应该对是否为0进行讨论，有两个结果，故B错误；根据一元二次不等式的解法确定C的真假；根据充要条件的判定对D进行判断. 【详解】对A：命题“”的否定是“，使得”，故A错误； 对B：当时，集合中也只有一个元素，故B错误； 对C：因为关于的不等式的解集为，故，不妨设，则由韦达定理可得，，所以不等式，故C正确； 对D：由“，”可得“”，但“”，比如时，“，”就不成立，故D成立. 故选：CD 10．（24-25高一上·山东·期中）下列说法中错误的有（   ） A．命题：，，则命题的否定是， B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题“，”是真命题 D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】ABC 【分析】需要根据命题的否定、充分必要条件的判断以及方程根的情况，逐个分析每个选项，根据相关的数学概念和定理来判断其正误. 【详解】对于A选项，对于命题，其否定应该是.所以A选项错误.   对于B选项，当时，，，满足，但是. 反之，当时，例如，此时，，. 所以是“”的既不充分也不必要条件，B选项错误.   对于C选项，当时，，但是，不满足. 所以命题是假命题，C选项错误.   对于D选项，对于方程，若方程有一正一负根，则根据,即.且满足韦达定理，两根之积，即. 取交集得到. 反之，当时，方程的判别式，方程有两个不同的根，且两根之积，所以方程有一正一负根. 所以是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，D选项正确.   故选：ABC. 三、填空题 11．（24-25高一上·江苏泰州·期末）命题“，使得”的否定是 ． 【答案】，使得. 【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可得到答案. 【详解】根据特称命题的否定为全称命题， 则命题“，使得”的否定是“，使得”. 故答案为：，使得. 12．（22-23高一上·广东深圳·期末）已知是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据充分条件的定义得到，从而得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】由题意得：，故，解得：, 故实数的取值范围是. 故答案为： 13．（22-23高二下·山东泰安·期末）若“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据特称命题的定义和一元二次不等式的恒成立问题求解. 【详解】因为“，使得”是假命题， 所以“，使得”是真命题， 所以，解得， 故答案为: . 14．（23-24高二下·江西南昌·期末）若“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，转化为“，使得成立”为真命题，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由“，使得成立”为假命题， 可得“，使得成立”为真命题， 设，则满足，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 15．（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知命题成立，若为真命题，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】参变分离，求最值即可. 【详解】因为为真命题， 所以，其中， 所以， 故答案为： 16．（23-24高一上·重庆渝中·月考）已知命题“存在实数，使得不等式成立”为真命题，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由于命题是真命题，即不等式有解，则可通过求解，即可得结果. 【详解】由题意得，解得， 所以的取值范围是． 故答案为：． 17．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】化简命题，再利用必要不充分条件的定义列式求解. 【详解】命题，而命题，由p是q的一个必要不充分条件， 得，解得，所以实数m的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 18．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)命题p：，命题q：，若p是q的必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）带入，再直接根据补集和交集的概念计算即可； （2）先通过条件得到，进而根据和列不等式求解即可. 【详解】（1）当时，， 又或， ； （2）命题p：，命题q：，p是q的必要条件， ， 或， 解得 19．（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知集合， (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，再根据集合得包含关系即可得解； （2）由题意可得，再分和两种情况讨论即可得解. 【详解】（1）因为是的充分条件， 所以， 所以，解得； （2）因为，所以， 当时，符合题意，则，解得， 当时，则，解得， 综上所述，. 20．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知集合，，全集 (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集定义直接求解即可； （2）根据必要条件定义可得，由包含关系可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）当时，，. （2）“”是“”的必要条件，， 又，，解得：，即实数的取值范围为. 21．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知集合. (1)求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）解一元二次不等式、分式不等式求集合，再应用集合的交运算求集合； （2）由必要不充分条件有，进而分情况求解参数范围. 【详解】（1）由题意知：集合， 集合或， 所以或，； （2）由“是的必要不充分条件”知：， 当时，，即，符合题意， 当时，，即， 综上所述，实数的取值范围是. 22．（24-25高一上·福建福州·期中）在①②“”是“”的充分条件，③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解，已知. (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出，利用交集概念求出答案； （2）选①②，得到，进而得到不等式，求出；选③，需满足或，求出答案. 【详解】（1）当时，， 又因为， 所以； （2）若选①，，则， 显然，要满足，则，解得， 故的取值范围是； 若选②，“”是“”的充分条件，则， 显然，要满足，则，解得， 故的取值范围是； 若选③，，显然， 需满足或，解得或， 故的取值范围是或 23．（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知集合，. (1)求的真子集； (2)若______，求实数的取值集合. 从以下两个条件中任选一个补充在横线上，并进行解答. ①“”是“”的充分条件；②. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求出集合，再根据真子集的定义即可得解； （2）选①，由“”是“”的充分条件，可得，再分两种情况讨论即可. 选②，由，可得，再分两种情况讨论即可. 【详解】（1）， 所以集合的真子集有； （2）选①，因为“”是“”的充分条件， 所以， 当时，，符合题意， 当时，， 因为，所以或，所以或， 综上所述，实数的取值集合为. 选②，因为，所以， 当时，，符合题意， 当时，， 因为，所以或，所以或， 综上所述，实数的取值集合为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 常用逻辑用语 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【考点01】充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 2、充要条件 （1）充要条件的定义 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作。 此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。 （2）充要条件的含义 若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的， 因为这两个命题的条件与结论不同。 （3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价。 3、从集合的条件看充分、必要条件 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， （1）若AB，则p是q的充分不必要条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若AB，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系． 【考点02】全称量词命题与存在量词命题 1、全称量词与全称量词命题 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示． （2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为． 2、存在量词与存在量词命题 （1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示． （2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题．存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为． 3、含量词命题的否定 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 否定形式 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题 4、常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 【二级结论1】等价转化法判断充分条件、必要条件 p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件. 【二级结论2】命题及命题的否定真假性判断 命题p和p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假. 【题型1 充分不必要条件的判断】 高妙技法 先明确“p⇒q”是否成立（验证p能推出q），再判断“q⇒p”是否不成立（验证q不能推出p）。可通过定义推导、集合关系（p是q的真子集）或举反例验证，满足“p⇒q且q⇏p”，则p是q的充分不必要条件。 1．（23-24高三上·江苏南京·期末）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 2．（24-25高二上·安徽·开学考试）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（22-23高一上·江苏淮安·期末）已知，若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）若a，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高一上·云南楚雄·月考）已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高一上·陕西延安·期中）已知为实数，那么方程没有实数解是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型2 必要不充分条件的判断】 高妙技法 核心验证“q⇒p”成立（q能推出p）且“p⇒q”不成立（p不能推出q）。可借助逻辑推导、集合关系（q是p的真子集），或找p成立但q不成立的反例，满足上述两点则p是q的必要不充分条件。 7．（25-26高一上·辽宁·月考）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．【多选】（25-26高一上·江西上饶·月考）已知下列四组陈述句： ①p：集合；q：集合． ②p：集合；q：集合． ③p：；q：． ④p：某中学高一全体学生中的一员；q：某中学全体学生中的一员． 其中p是q的必要而不充分条件的有（   ） A．① B．② C．③ D．④ 9．（25-26高一上·云南玉溪·月考）已知集合，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（24-25高二下·吉林长春·期末）设，，则是的 条件.（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”） 11．（21-22高一上·广东东莞·期末）如果对于任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型3 充要条件的判断】 高妙技法 判断充要条件的三种方法 (1) 定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2) 集合法：利用集合的包含关系判断．小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系． (3) 传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 12．（25-26高一上·河南安阳·期中）“”是“”的（   ） A．必要不充分条件B．充分不必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 13．（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 15．（25-26高一上·湖南永州·月考）若实数满足，且，则称与互补.记，那么“”是“与互补”的 条件. 【题型4 探求命题的充分条件、必要条件】 高妙技法 1.探求充分条件、必要条件 （1）探求q的充分条件p，即求使q成立的条件p；探求q的必要条件p，即求以q为条件推出的结论p．如是的一个充分条件，是的一个必要条件． （2）结合集合法判断条件，先求出“结论q”的充要条件，将充要条件的范围“放大”，即得“结论”的必要不充分条件，将充要条件的范围“缩小”，即得“结论”的充分不必要条件． 2.探求充要条件的两种方法 （1）非等价转化法：先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为条件，寻找其能推出的一个结论；再证明此结论是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． （2）等价转化法：将原命题进行等价变形或转化，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因此探求过程中的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 16．（23-24高一上·上海·期末）的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 17．【多选】（23-24高一上·浙江杭州·月考）设全集为R，在下列条件中，满足的充要条件的有（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·云南德宏·期末）等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 20．（22-23高一上·湖南常德·月考）命题“”是真命题的充要条件是（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高一下·广东揭阳·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高二下·江西赣州·期末）设，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高一上·河南南阳·期末）“，”成立的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【题型5 由充分不必要条件求参数】 高妙技法 根据“p⇒q且q⇏p”转化为集合关系。列出p、q对应的不等式（或范围），结合数轴确定参数边界，注意验证临界值是否满足“不等价”，避免参数范围扩大或缩小。 24．（22-23高三上·江苏·期末）设；，若p是q的充分不必要条件，则（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 26．（23-24高二下·安徽芜湖·月考）已知集合 . (1)若 ，求 ; (2)若“ ”是“ ”充分不必要条件，求实数 的取值范围. 27．（22-23高一上·江苏常州·期末）已知集合，集合，其中. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 28．（23-24高一上·河南驻马店·期末）在①；②“（是非空集合）”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题． 问题：已知集合． (1)当时，求和； (2)若________，求实数的取值范围． 29．（25-26高一上·山西晋中·期中）已知集合. (1)若，求和； (2)若“”是”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 30．（25-26高一上·山西太原·月考）已知集合，且. (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【题型6 由必要不充分条件求参数】 高妙技法 由“q⇒p且p⇏q”转化为集合关系。明确p、q对应的参数范围，借助数轴分析包含关系，列出不等式组，验证临界值是否符合“q不能推出p”，精准求解参数范围。 31．（25-26高二上·广东清远·月考）若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 32．（24-25高二下·山东烟台·期末）设集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 33．（25-26高一上·江西南昌·月考）已知集合，，若：，：，是的必要不充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（2025高三·天津·专题练习）已知集合，．若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 35．（25-26高一上·重庆·月考）已知集合和集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 36．（25-26高一上·重庆铜梁·月考）已知集合，非空集合. (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使得是的必要不充分条件，若存在，求出m取值范围，若不存在，说明理由. 37．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知全集，集合，，. (1)求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 38．（25-26高一上·山西大同·月考）已知全集，集合，. (1)若，求和； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【题型7 由充要条件求参数】 高妙技法 根据“p⇔q”转化为集合关系（p=q）。将p、q转化为等价的不等式（或方程），列出参数满足的等式或不等式组，求解后验证双向推导是否成立，确保参数使两者完全等价。 39．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 40．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 41．（22-23高一上·广东惠州·月考）设集合，命题，命题 (1)若是的充要条件，求正实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 42．（20-21高二上·广东深圳·期末）已知． (1)是否存在m，使得p是q的充要条件?若存在，求m的值，若不存在，请说明理由； (2)从下面三个条件中任选一个，求m的取值范围． ①p是q的必要条件；②q是p的充分条件；③是的充分条件． 选________． 【题型8 全称/存在量词命题的判断】 高妙技法 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 （1）全称量词命题：①要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；②要判定一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p（x0）不成立即可. （2）存在量词命题：要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题. 43．【多选】（22-23高一上·浙江·月考）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（    ） A． ， B．，为偶数 C．所有菱形的四条边都相等 D．是无理数 44．【多选】（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A． B． C．菱形的对角线互相垂直 D．任意四边形均有外接圆 45．【多选】（22-23高一上·湖南娄底·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．“”是存在量词命题 B． C． D．“全等三角形面积相等”是全称量词命题 46．（22-23高一上·山西·月考）下列结论中正确的个数是（    ） ①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题； ②命题“，”是全称量词命题； ③命题“，”是真命题； ④命题“有一个偶数是素数”是真命题. A．0 B．1 C．2 D．3 47．（22-23高一上·甘肃庆阳·期末）关于命题“，”，下列判断正确的是（    ） A．该命题是全称量词命题，且是真命题 B．该命题是存在量词命题，且是真命题 C．该命题是全称量词命题，且是假命题 D．该命题是存在量词命题，且是假命题 【题型9 全称/存在量词命题的否定】 高妙技法 对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法 （1）改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； （2）否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可. 48．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 49．（22-23高一上·河南·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 50．（24-25高一上·陕西西安·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 51．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 52．（23-24高一上·河北保定·期中）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 53．（23-24高一上·江苏盐城·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 54．（24-25高一上·安徽池州·期中）命题，的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 55．（24-25高一上·浙江·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 56．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 57．（24-25高一上·江苏无锡·期末）命题“，”的否定是（    ） A．不存在， B．， C．， D．， 58．（23-24高一上·江苏泰州·期末）命题“存在，”的否定为（    ） A．存在， B．存在， C．任意， D．任意， 59．（24-25高一上·云南玉溪·期末）写出下列命题的否定，并判断其否定的真假： (1)，； (2)存在一个六边形，其内角和不等于． 【题型10 由命题的真假求参数】 高妙技法 由命题的真假求参数的策略 （1）巧用三个转化：①全称量词命题可转化为恒成立问题；②存在量词命题可转化为存在性问题；③全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真. （2）准确计算：通过解方程或不等式（组）求出参数的值或范围. 60．（24-25高二下·广东湛江·期末）若“”是假命题，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 61．（25-26高一上·云南昭通·月考）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D．或 62．（2024高一上·江苏南京·专题练习）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 63．（23-24高二下·重庆·期末）若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 64．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 65．（24-25高一上·山东泰安·期中）命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为 . 66．（23-24高一上·上海·期中）若“，使得”是假命题，则实数的取值可以为 . 67．（24-25高二下·福建泉州·期末）若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是 ． 68．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）命题，为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 69．（25-26高一上·全国·课后作业）已知命题：，，命题：，. (1)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； (2)若两个命题有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 70．（20-21高一·全国·课后作业）已知集合，且． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围． (2)若命题是真命题，求实数的取值范围． 71．（21-22高一上·江西宜春·月考）已知集合，非空集合 (1)若“命题”是真命题，求的取值范围； (2)若“命题”是真命题，求的取值范围. 72．（24-25高一上·青海西宁·月考）已知集合，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围; (3)若，求实数的取值范围． 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏苏州·期末）若命题，，则的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高二下·江苏苏州·期末）命题的否定是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·陕西西安·期末）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知命题，，命题，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 5．（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（21-22高一上·江苏徐州·期末）使成立的一个充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 7．（21-22高一上·江苏南京·期末）设是的必要条件，是的充分条件，是的充分必要条件，是的充分条件，则下列说法正确的有（    ） A．是的必要条件 B．是的充分条件 C．是的充分必要条件 D．是的既不充分也不必要条件 8．（22-23高一上·江苏南京·期中）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”的否定是“” C．“”是“”的既不充分也不必要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 9．（23-24高一上·江苏盐城·月考）下列说法正确的是（    ） A．命题“”的否定是“，使得” B．若集合中只有一个元素，则 C．关于的不等式的解集，则不等式的解集为 D．“”是“”的充分不必要条件 10．（24-25高一上·山东·期中）下列说法中错误的有（   ） A．命题：，，则命题的否定是， B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题“，”是真命题 D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 三、填空题 11．（24-25高一上·江苏泰州·期末）命题“，使得”的否定是 ． 12．（22-23高一上·广东深圳·期末）已知是的充分条件，则实数的取值范围是 . 13．（22-23高二下·山东泰安·期末）若“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是 ． 14．（23-24高二下·江西南昌·期末）若“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是 ． 15．（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知命题成立，若为真命题，则的取值范围为 . 16．（23-24高一上·重庆渝中·月考）已知命题“存在实数，使得不等式成立”为真命题，则的取值范围是 ． 17．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ． 四、解答题 18．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)命题p：，命题q：，若p是q的必要条件，求实数m的取值范围. 19．（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知集合， (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 20．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知集合，，全集 (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 21．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知集合. (1)求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 22．（24-25高一上·福建福州·期中）在①②“”是“”的充分条件，③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解，已知. (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. 23．（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知集合，. (1)求的真子集； (2)若______，求实数的取值集合. 从以下两个条件中任选一个补充在横线上，并进行解答. ①“”是“”的充分条件；②. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $