专题08 对数函数的图象和性质（重点+二级结论+20题型+复习提升）（复习讲义）高一数学苏教版

专题08 对数函数的图象和性质 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【考点01】对数与对数运算 1、对数的概念与性质 （1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式。 （2）对数的性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)； ①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1). 指数式与对数式的关系 2、对数的的运算法则：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0 ①loga(M·N)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM(n∈R) 3、换底公式 （1）logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0) 选用换底公式时，一般选用e或10作为底数。 （2）换底公式的三个重要结论 (1)logab＝； (2)logambn＝logab； (3)logab·logbc·logcd＝logad. 【考点02】对数函数的图象与性质 1、对数函数的概念 （1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． （2）特殊的对数函数 ①常用对数函数：以10为底的对数函数. ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 2、对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 【小结】当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势， 又当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴. 3、底数对对数函数图象的影响 （1）底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势； （2）函数与（，且）的图象关于轴对称； （3）底数的大小决定了图象相对位置的高低：无论还是，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大． 【二级结论1】指、对数方程的解法 解指、对数方程的关键是利用“”进行指对互化或将其转化为同底数方程求解． 方法 指数方程 对数方程 取对数法 化指法 解出 解出（注意检验） 解出 解出（注意检验且） 同底法 解出 解出 换元法 令，由，求 令，由，求 【二级结论2】对数函数的图象及其应用 1.过定点 因为，所以对数函数的图象均过点． 2.底数对对数函数图象的影响 如图1，在直线的右侧，轴的上方，底数越大，对数函数的图象越靠近轴，且底数均大于1；轴的下方，底数越小，对数函数的图象越靠近轴，且底数均在之间． 图中的对数函数的底数的大小关系是． 3.底数大小的判断依据 如图1，作直线，则直线与各对数函数图象交点的横坐标即为各对数函数的底数，分别为，结合单调性，可得． 4.图象的对称性 （1）底数互为倒数的两个对数函数且的图象关于轴对称，如图2.根据这种对称性，可以利用一个对数函数的图象画出另一个对数函数的图象． （2）函数（，且）为偶函数，其图象关于轴对称，如图3（1）（2）． （3）指数函数（，且）和对数函数（，且）互为反函数，其图象关于直线对称，如图4. 【二级结论3】对数型复合函数性质 指数函数、对数函数本身没有奇偶性，但通过复合或运算得到的函数却可以具有奇偶性．高考常考的几个奇函数：． 大招解读 1.求定义域的三种类型及解法 类型1 对数型函数定义域求法：①真数大于0；②底数大于0且不等于1． ①；②，且． 类型2 根式型定义域求法：偶次方根下被开方数非负，对数式中真数大于0． （，且）或 类型3 分式型定义域求法：分母不能为0，对数式中真数大于0． ，且． 2.单调性和值域（最值） （1）型函数 ①单调性：令，函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反． ②值域（最值）：由求出对应的范围，由求出对应的范围．因为对数函数是单调函数，所以解此类型题的关键是确定真数的取值范围． （2）型函数 ①单调性：令，只需研究及的单调性，再结合复合函数的单调性法则判断． ②值域（最值）：由的范围求出对应的范围，由的范围求出对应的范围．注意对数运算中，若底数不同，则需运用换底公式进行转换后，再进行分析． 3．奇偶性 常见的具有奇偶性的对数型复合函数有如下几类（下表以底数为例，时函数奇偶性不变，单调性相反）． 函数解析式 奇偶性 单调性 偶 在上单调递减，在上单调递增 奇 时，在上单调递减 时，在上单调递增 奇 时，在上单调递增 时，在上单调递减 奇 在上单调递减 奇 在上单调递增 除此之外，函数为偶函数．熟悉这几类函数模型，有助于我们秒解客观题． 【题型1 对数运算】 高妙技法 1、对数混合运算的一般原则 （1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并； （2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式； （3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂； （4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并； （5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式． 2、对数运算中的几个运算技巧 （1）的应用技巧：在对数运算中如果出现和，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现，再应用公式进行化简； （2）的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式化简； （3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式作为已知条件，求函数的值的问题，通常设，则，，，将值带入函数求解． 1．（24-25高一上·重庆黔江·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数的定义及对数的运算性质，求解即可. 【详解】因为， 故选：B. 2．（24-25高一上·江苏镇江·期末）式子的值为（    ） A． B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据题意利用指数与指数幂的运算法则及对数的运算法则即可得到结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 故选：C. 3．（24-25高一上·山东潍坊·期末） . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用指数、对数运算胶对数换底公式计算得解. 【详解】. 故答案为： 4．（24-25高一上·云南西双版纳·期末）（1）计算：； （2）化简求值：； （3）化简求值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）借助对数运算法则与指数运算法则计算即可得； （2）借助指数运算法则计算即可得； （3）借助对数运算法则及换底公式计算即可得. 【详解】（1）； （2）； （3） . 【题型2 换底公式的应用】 高妙技法 1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 2．对数换底公式的重要推论： (1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)； (2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)； (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 注：可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③. 5．【多选】（21-22高一上·江苏苏州·期末）下列结果为1的是（   ） A． B． C．D． 【答案】BCD 【分析】根据指数幂运算法则求，判断AC，由对数运算法则求判断C，根据换底公式化简判断D. 【详解】因为，A错误； 因为，B正确； ，C正确； ，D正确； 故选：BCD. 6．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知，. (1)求的值； (2)用，表示. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）逆用指数运算法则计算即可. （2）化指数式为对数式，再利用换底公式及对数运算法则求解. 【详解】（1）由，，得. （2）由，，得， 所以. 7．（24-25高一上·江苏南通·期末）设.若，则 .（结果用表示） 【答案】 【分析】由指数与对数互化并根据对数运算法则以及换底公式计算可得结果. 【详解】由可得 . 故答案为： 8．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知正实数a，b满足，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用换底公式并结合等比性质变形，求出的关系即可得解. 【详解】依题意，， 则， 因此，，所以. 故选：A 9．（24-25高一上·江苏连云港·期末）设，，若函数满足，且，则 . 【答案】/ 【分析】结合指数函数的性质得出，利用对数的换底公式求出即可. 【详解】因为满足，且，， 所以在上是减函数，所以. 因为，两边同时取对数可得， 即，解得（舍去），或. 故答案为：. 10．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ． 【答案】64 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 【题型3 对数函数求值问题】 高妙技法 若已知对数函数解析式（），直接代入自变量的值，结合对数运算法则计算；若已知函数值求自变量，将对数式转化为指数式求解。遇到复合对数函数（如），先计算内层函数的值，确保，再代入对数运算。部分题目需利用对数恒等式或换底公式简化，含参数时要分类讨论参数范围，验证解的有效性。 11．（24-25高一下·浙江杭州·期末）已知函数，若，则 ． 【答案】2 【分析】将代入解析式，建立关于的等式，利用对数的运算法则进行计算即可求解． 【详解】且， ， ， 解得：， 故答案为：2． 12．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A 13．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，则 . 【答案】/ 【分析】直接代入计算即可. 【详解】. 故答案为：. 14．（24-25高一上·重庆·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】利用给定的分段函数，依次判断代入计算. 【详解】函数中，， 所以. 故选：C 15．（24-25高一上·上海·期末）若，则 . 【答案】8 【分析】结合分段函数解析式先求，再求结论. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 16．（24-25高二上·广东广州·期末）定义在上的函数满足，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据给定条件，探讨函数的周期性，再利用性质即可求出函数值. 【详解】当时，，则， 即，于是， 所以. 故选：A. 【题型4 对数型函数的定义域、值域问题】 高妙技法 1.求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 2.值域求解需先分析内层函数的取值范围，再结合外层对数函数的单调性：当时，的单调性与一致；当时，单调性相反。若的取值范围为，则根据单调性确定的最值或边界，进而得到值域。 17．（24-25高二下·甘肃定西·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】二次根式有意义的条件是被开方式大于等于0，解对数不等式即可. 【详解】要使函数有意义，则，即， 则函数的定义域是． 故答案为：. 18．（24-25高一下·贵州毕节·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据具体函数定义域的求法直接可得解. 【详解】由已知， 则， 解得或， 即函数的定义域为， 故答案为：. 19．（22-23高一上·山东济南·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可解得结果. 【详解】由函数有意义，得解得， 所以函数的定义域为. 故选：B 20．（22-23高一上·湖北黄冈·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由解析式可得，求解即可. 【详解】由题意可得,故，即. 故函数的定义域为. 故答案为:. 21．（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数中真数大于零列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：A 22．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数 (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】由对数的运算性质和换元法，结合二次函数的最值求法，可得所求值域； 由题意可得，恒成立，运用换元法和参数分离，以及二次函数的图象和性质，解不等式可得所求范围． 【详解】（1）， 令，则函数化为，， 因此当时，取得最小值， 当时，，取得最大值0， 即当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值0， 可得函数的值域为； （2），恒成立， 即，恒成立， 令，则，恒成立， 令，， 则， 解得， 所以实数的取值范围为 23．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知，函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段求出函数的取值范围，即可得解. 【详解】因为，， 当时，，在上为减函数， 所以. 当时，， 因为，所以在上为增函数， 所以. 综上，的值域为. 故选：C. 24．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）已知函数，，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】由原函数和所求函数求得其定义域，化简所求函数解析式，利用换元，得到一元二次函数，结合其图象性质即可求得函数值域. 【详解】因，，， 则由，解得：， 即函数的定义域为， 设，则，且在上单调递增， 故当时，即时，；当，即时，， 因，故函数的值域为. 故答案为：. 25．【多选】（24-25高一下·河北保定·期末）已知函数，若包含于的值域，则满足条件的实数m可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分析分段函数两部分的值域，确保包含，分情况列不等式即可求解. 【详解】当时，单调递增，所以； 当时，单调递增， 所以， 因为包含于的值域， 所以或，解得或. 所以满足条件的实数m可以是或. 故选：AC 26．（25-26高一上·新疆喀什·期末）已知函数的图像过点． (1)求函数的值，并求的定义域和值域； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)，定义域为， (2)或4 【分析】（1）根据函数过一点得参数的值，再根据对数复合函数求定义域与值域即可； （2）根据对数恒等式化简方程得关于的一元二次方程，解方程得实数的值，检验的值使得有意义即可． 【详解】（1）由题意得，所以， 所以，由得或， 则的定义域为， 因为，所以的值域为． （2）由得： 所以， 则方程的解为或4， 经检验或4，符合定义域为， 所以或4. 27．（24-25高二下·河北·期末）已知函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若函数为偶函数，求实数m的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）令，再利用对数函数的单调性求值域； （2）根据函数的奇偶性求参数，利用定义式即可求解. 【详解】（1）当时，，令， ． 又在上单调递增   的值域为 （2）是偶函数， ，即对任意恒成立． ， ． 28．（24-25高一下·四川南充·期中）已知函数的值域为的值域为，则（   ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】由指数函数的单调性可得函数的值域为，可得的值，再结合对数函数的单调性得的最小值为9，从而可得的值，即可得解． 【详解】因为，所以， 即函数的值域为，所以， 因为的值域为， 所以的最小值为9，所以，解得， 所以． 故选：A． 29．（2025·海南·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．（0，1） D． 【答案】B 【分析】先求出当时，的值域为，分析出要使的值域为，必须让时，的值域取到的所有值，然后分和两种情况分别求出的值域即可得解. 【详解】当时，的值域为， 所以要使的值域为，当时， 的值域需取到的所有值. 若，则的值域为， 所以只须，解得， 所以当时，的值域为； 若，则的值域为， 此时的值域不可能取到的所有值， 综上，实数的取值范围是. 故选：B 30．（2025·湖北宜昌·二模）已知，函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数与对数函数性质结合题意列式计算即可. 【详解】当时，函数单调递增，所以， 要使得函数的值域为， 则当时，，解得，所以实数的取值范围是 故选：D. 【题型5 对数（型）函数图象的变换】 高妙技法 对数函数图象的变换方法 (1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称． (2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可． (3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律． (4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称． 31．（23-24高一上·四川德阳·月考）为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（    ） A．关于y轴对称，再向左平移3个单位长度 B．关于y轴对称，再向右平移3个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再关于x轴对称 D．向右平移3个单位长度，再关于x轴对称 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质可得，结合函数图象的对称性和平移变换即可求解. 【详解】A：函数，关于y轴对称得， 再向左平移3个单位长度得，故A错误； B：函数，关于y轴对称得， 再向右平移3个单位长度得，故B正确； C：函数，向左平移3个单位长度得到 ，再关于x轴对称得，故C错误； D：函数，向右平移3个单位长度得到 ，再关于x轴对称得，故D错误； 故选：B. 32．（23-24高一上·北京昌平·期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（   ） A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度 C．向上平移2个单位长度 D．向下平移2个单位长度 【答案】D 【分析】变形函数解析式，再与指定函数比对即得. 【详解】函数化为：，显然把函数的图象下移2个单位长度即得的图象， 所以为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向下平移2个单位长度. 故选：D 33． （23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数的图象过点，则函数的大致图象是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出，再利用奇偶性及在的单调性判断即得. 【详解】由函数的图象过点，得，解得， 函数，即的定义域为， ，即函数是偶函数， 当时，在上单调递减，ABD错误，C正确. 故选：C 【题型6 判断对数型函数的图象形状】 高妙技法 解题先抓核心要素：一是确定底数的范围，判断函数单调性（递增，递减）；二是找特殊点，对数函数必过定点，可代入验证；三是分析图象的渐近线，对数函数图象恒以轴（）为渐近线。若为复合对数函数，先分析内层函数的图象特征（如奇偶性、零点、单调性），再结合对数函数的单调性，利用复合函数图象变换规律推导最终图象形状，也可通过取特殊值描点辅助判断。 34．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）如图，①②③④不可能是函数或（其中且）的部分图象的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】分析指数函数和对数函数的特征，得到答案. 【详解】指数函数（其中且）恒过点，且与轴无交点， 当时，单调递增，当时，单调递减； 对数函数（其中且）恒过点，与轴无交点， 当时，单调递增，当时，单调递减； 可以看出②过点，与轴有交点，不合要求，其他均满足要求. 故选：B 35．（25-26高一上·贵州·期末）若函数，则的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的零点和单调性进行排除，从而确定正确选项. 【详解】令可得， 当时，，排除选项CD. 当时，且，排除选项A，又函数单调递增，B正确. 故选：B. 36．（21-22高一上·江西九江·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性、单调性、特殊值的符号排除A、B、D，即得正确选项. 【详解】因为的定义域为，且， 所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，故排除B. 当时，在上单调递增，故排除A. 又，故排除D. 故选：C. 37．（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数的图象大致为（    ） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】根据题意，由函数的奇偶性排除两个选项，再利用时函数值为正即可判断. 【详解】因，由可得，显然关于原点对称， 且，所以是奇函数，故C，D错误； 又因为．故可排除B项，A项符合要求． 故选：A. 38．（24-25高一上·湖北·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的定义域，分析该函数的奇偶性及在上的函数值符号，以及与的大小关系，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】易知函数的定义域为， 因为，所以，函数为奇函数，排除D. 又当时，，则，排除C. 又，排除B. 故选：A. 【题型7 根据对数型函数图象判断参数的范围】 高妙技法 解题关键是将图象特征转化为关于参数的不等式（组）。先观察图象的单调性，确定底数的范围（递增则，递减则）；再结合图象过的特殊点（如定点外的已知点），代入解析式列方程或不等式；若图象涉及平移、伸缩变换，根据变换规律反推参数的取值。例如的图象位置由决定，可通过图象与坐标轴的交点、渐近线位置等条件限制参数范围，最后验证参数取值是否符合图象的所有特征。 39．（24-25高一上·陕西榆林·期末）若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意，根据对数函数的图象可知，利用对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】由对数函数的性质，得，解得， 则函数的定义域为，又函数的图象经过第一、二、三象限， 所以，即，化简得， 则，解得. 故答案为： 40．【多选】（22-23高一上·江苏淮安·月考）设a与b为实数，，且，已知函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．函数的定义域为 D．函数在为增函数 【答案】ABD 【分析】由图像求出函数解析式为，则可求其定义域，判断单调性. 【详解】解：有题意可知， 即，解得，AB选项正确， ，则， 函数的定义域为，C选项错误； ，函数在为增函数，D选项正确； 故选：ABD. 41．（2022高三·全国·专题练习）已知函数，若且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，可得出，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围. 【详解】画出的图象如图： ∵，且， ∴且，， ∴，即，∴，， 由图象得在上为减函数， ∴， ∴的取值范围是. 故答案为：. 【题型8 对数型函数图象过定点问题】 高妙技法 核心原理是对数函数恒过定点，即无论底数如何变化，当时，函数值恒为0。解题时设对数型函数为，令内层函数，解出此时的值；再将代入函数解析式，计算对应的值（此时），则即为函数图象恒过的定点。需注意验证时是否在定义域内，确保定点存在的有效性。 42．（25-26高一上·重庆·期中）函数，且恒过点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合对数函数图象恒过的点列式求解. 【详解】由函数的图象恒过点，得，解得， 所以. 故选：A 43．（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数（且）的图象必过定点 ． 【答案】 【分析】根据，即可得到定点. 【详解】由，， 所以当时，， 所以函数过定点. 故答案为：. 44．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）函数（且）的图象所过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令即可求得定点坐标. 【详解】令，得，此时，故定点坐标为. 故选：A 45．（24-25高二下·河南商丘·期末）若函数，且的图象过定点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的性质和图象进行求解即可. 【详解】令，则， 又，所以的图象过定点． 故答案为：. 46．（24-25高二下·河北沧州·期末）函数（且）的图象恒过的点为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定点计算求解. 【详解】在函数中，当时，恒有， 即函数的图象恒过的点为， 故选:C． 【题型9 对数函数图象的应用】 高妙技法 对数函数图象的应用核心是数形结合思想，将代数问题转化为图象的位置或交点问题。求解对数方程的根的个数时，转化为两个函数图象的交点个数；解对数不等式时，转化为对数函数图象在某条直线上方或下方的的取值范围；求参数范围时，结合图象的单调性、特殊点、渐近线等特征列不等式。解题时需准确画出函数图象的关键部分（如定点、渐近线、单调区间），利用图象的直观性简化复杂的代数推理，同时注意定义域对图象的限制。 47．（24-25高一上·四川南充·期末）设关于x的方程有两个不相等的实数根a，b，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】AB选项，画出和的图象，得到，并结合特殊点函数值，数形结合得到，，C选项，，，两式相减得到；D选项，由C知，结合的单调性得到，D错误. 【详解】AB选项，画出和的函数图象，如下： 显然， ，， 由于，故， 结合图象可知，，故，A错误； 由于，故， 结合图象可知，B正确； C选项，，，两式相减得 ，故，C错误； D选项，由C知，，故， 又，在上单调递减， 故，D错误. 故选：B 【点睛】方法点睛：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 48．（24-25高一上·湖南郴州·期末）已知函数，方程恰有三个不同的实数解，则可能的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出函数图象，数形结合得到，得到答案. 【详解】画出的图象， 显然当时，方程恰有三个不同的实数解，C正确，ABD错误. 故选：C 49．【多选】（24-25高一上·辽宁·期末）已知直线分别与函数和的图象交于，，则下列说法正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据互为反函数的性质可得，，从而可判断A；利用基本不等式可判断B； 依题意可得，，则，即可判断C；根据，由A知，，和整理替换可判断D. 【详解】函数与互为反函数，则与的图象关于对称， 因为与垂直，由直线分别与函数和的图象交于点，也与对称，所以，， 又因为在直线 上，所以，即，故A正确； 对于B，， 因为，即等号不成立，所以，故B正确； 对于C：因为，， 所以， 所以，故C错误； 对于D，，因为，所以， 由A可知，所以， 两边同时减，得， 又因为，所以， 由题可知，所以，故D正确. 故选：ABD. 50．（24-25高一下·广西贵港·期末）已知函数，当时，取得最大值n，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，，由定义域排除CD，根据单调性排除B，得到答案. 【详解】当时，取得最大值，则，所以， 由，得，C，D错误． 当时，单调递减，B错误． 故选：A． 51．（24-25高一上·广西南宁·期末）如图，平行于轴的直线分别与函数及的图像交于点和，点为函数图像上一点．若为正三角形，则 ． 【答案】 【分析】利用给定条件结合对数函数性质求出点的坐标，代入对应函数里，整体求值即可. 【详解】因为平行于轴的直线分别与两个函数的图像交于点和， 所以设，故， 若为正三角形，如图，作， 则到的距离，故， 因为点为函数图像上一点，所以 因为在图像上， 所以，而， 即，， 故，解得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查对数函数，解题关键是合理利用给定条件表示出点的坐标，然后代入函数中进行整体求值，得到所要求的参数值即可． 【题型10 判断对数型函数的单调性】 高妙技法 对于简单对数函数（），直接根据底数判断：时在上单调递增；时在上单调递减。对于复合对数型函数，需遵循“同增异减”原则：先确定定义域（），再分析内层函数的单调性，最后结合外层对数函数的单调性判断复合函数的单调性。若且递增，则复合函数递增；若且递增，则复合函数递减。解题时需优先保证定义域的完整性。 52．【多选】（25-26高一上·广东·期末）下列函数在上单调递增的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数的解析式，直接判断函数的单调性，判断ABC，D选项，可以分区间取特殊值，判断D. 【详解】A.根据对勾函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，故A不是； B.在上单调递增，故B是； C.在上单调递增，故C是； D，由，得函数在上不单调，D不是． 故选：BC 53．（25-26高一上·海南·期中）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数定义及应用解析式的单调性判断各个选项. 【详解】对于A：定义域为不关于原点对称，函数不是奇函数，A选项错误； 对于B：函数定义域为，，所以函数是奇函数， 在定义域内单调递增，B选项正确； 对于C：在区间上单调递减的，C选项错误； 对于D：定义域为不关于原点对称，函数不是奇函数，D选项错误； 故选：B. 54．（22-23高一上·江苏徐州·期末）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的解析式直接判断函数的单调性，即可得答案. 【详解】对于A，为指数函数，在区间上单调递增，A错误； 对于B，为对数函数，在区间上单调递增，B错误； 对于C，为幂函数，在区间上单调递增，C错误； 对于D, 为反比例函数，在区间上单调递减，D正确， 故选：D 55．【多选】（21-22高一上·江苏连云港·期末）下列函数中，在区间内单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由函数单调性的性质可判断AC，由二次函数的性质可判断B，由指数函数的性质可判断D 【详解】对于A：因为在单调递减， 所以在内单调递减，故A错误． 对于B：的对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增，故B错误． 对于C：因为在单调递增， 所以在区间内单调递增，故C正确． 对于D：因为在定义域上单调递增， 所以在区间内单调递增，故D正确． 故选：CD． 【题型11 对数型复合函数的单调性】 高妙技法 形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法 (1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)． (2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间． (3)当底数0<a<1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调增区间． 56．（2023高一上·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数“同增异减”可得到结果. 【详解】因为函数，则， 解得或，所以函数的定义域为， 令，则函数在定义域上为单调递减函数， 而在上单调递减，在单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则可得的单调递减区间为. 故选：A. 57．（25-26高一上·贵州·期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得函数定义域，然后由复合函数单调性可得答案. 【详解】令，求得，故函数的定义域为 ，且.要求函数的单调递增区间 ，即求函数在内的增区间，因在上单调递增， 则函数的单调递增区间是. 故选：B. 58．（25-26高二上·湖南·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性分析即可. 【详解】由，得或， 因为在上单调递增，由复合函数的单调性，可得在上单调递增． 故选：D. 59．（24-25高一下·安徽滁州·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B．的值域是 C．是偶函数 D．的单调递减区间是 【答案】D 【分析】根据对数函数性质可判断AB；根据函数奇偶性定义可判断C；根据复合函数单调性可判断D. 【详解】对于A，要使函数有意义，则，解得或， 所以函数定义域为，故A错误； 对于B，由对数函数性质可知，函数的值域是，故B错误； 对于C，因为函数定义域不关于原点对称，故函数不具有奇偶性，故C错误； 对于D，令，则， 由二次函数性质可知，在区间上单调递减， 由对数函数性质可知，在定义域内单调递增， 所以在区间上单调递减，故D正确. 故选：D 【题型12 由对数型函数的单调性求参数】 高妙技法 解题需结合复合函数单调性的“同增异减”原则，分两类情况讨论：若对数型函数为，当时，函数的单调性与一致，需在定义域内单调递增（或递减）以满足整体单调性；当时，函数的单调性与相反，需在定义域内单调递减（或递增）。若参数在底数的位置，需先确定且，再结合单调性列不等式；若参数在中，需保证恒成立，同时结合的单调性限制参数范围，最后验证参数取值是否符合所有条件。 60．（24-25高一上·安徽宿州·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】令，则， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减，且， 所以，解得， 故答案为：. 61．（24-25高一上·云南德宏·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构建，根据对数函数性质可知函数在区间上单调递增，且在内恒成立，列式求解即可. 【详解】构建，其图象开口向上，对称轴为， 因为函数在区间上单调递增，且在定义域内单调递增， 则函数在区间上单调递增，且在内恒成立， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 62．（22-23高二下·江苏南京·期末）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数型复合函数单调性判断方法，结合条件列式计算作答. 【详解】函数可看作函数，的复合函数， 又函数在上单调递增， 而函数在区间上单调递增， 则有函数在区间上单调递增， 且在区间恒成立， 因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 63．（24-25高一上·安徽亳州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复合函数单调性可得，再解不等式组即可. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，且大于零恒成立， 则，解得. 故选：B. 64．（24-25高二下·重庆·期末）已知，，若函数在单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据复合函数单调性的判断方法，以及函数定义域，对参数分类讨论，分别求出单调性的情况，求出参数范围. 【详解】由题意知，化简得，因为且，所以， 且在上，单调递增， 所以当函数在有定义时，即， 当时，函数在定义域上单调递增，在上也单调递增，满足题意， 所以的取值范围是. 故答案为： 65．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，则由题意可得在上是减函数，且在区间上恒成立，从而列不等式组可求得答案 【详解】令，因为在区间上是减函数，且在上是增函数， 所以在区间上是减函数，且在区间上恒成立， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 66．（20-21高二下·江苏苏州·期末）若函数在上单调，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意利用复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，求得的范围． 【详解】解：函数在上单调，函数的定义域为，因为，在上单调递增，在上单调递减，在定义域上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 要使函数在上单调， ，或，解得，或，即， 故选：． 67．（24-25高二下·河北邢台·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数单调性性质列式，计算即可. 【详解】由题意得，解得． 故选：B 68．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知且，函数是减函数，则a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由是减函数，列不等式组，解出即可. 【详解】因为是减函数，所以，解得． 故选：B. 【题型13 由对数函数的单调性解不等式】 高妙技法 对数不等式的三种考查类型及解法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论． (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解． 69．（2025·江西吉安·模拟预测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可先求解集合，再根据交集的定义求. 【详解】已知， 因为， 所以. 解得， 即. 已知， . 故选：C 70．（24-25高二下·海南海口·期末）已知，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数单调性进行判断. 【详解】， ①；②. 所以实数a的取值范围为. 故选：A 71．（25-26高一上·新疆喀什·期末）求不等式的解集． 【答案】 【分析】先判断对数函数单调性，再将原不等式转化为真数的不等关系（同时要满足真数大于0），最后分别解出每个不等式的解集，再取它们的交集即可. 【详解】因为在上单调递增，且， 所以， 由对数函数的单调性，可得 ， 解不等式，解得或， 解不等式，即，解得， 综上，取交集得或， 因此，不等式的解集为. 72．（24-25高二下·江苏·期末）已知函数，则的解集为 ． 【答案】 【分析】根据函数解析式，结合指对数函数的单调性解不等式求解集. 【详解】由题设，若，可得，即； 若，可得； 综上，不等式的解集为. 故答案为： 73．（24-25高一下·云南保山·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】变形得到，得到是偶函数，且由定义法和复合函数单调性满足同增异减，得到在上单调递增，从而得到，求出解集. 【详解】， 的定义域为，，所以函数是偶函数． 令，取， 则， 因为，在R上单调递增， 所以，故， 所以，故在上单调递增， 由复合函数单调性满足同增异减，可知在上单调递增， 所以不等式， 等价于，两边平方得，， 解得． 故答案为： 74．（24-25高一下·云南昆明·期末）已知函数，其中且． (1)求的定义域，判断的奇偶性，并说明理由； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)，奇函数，理由见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据奇函数定义判断证明即可； （2）分和结合对数函数单调性及定义域计算求解. 【详解】（1）因为，解得，所以的定义域为． 又， 所以为奇函数． （2）， 当时，，解得，因为，所以； 当时，，解得，因为，所以． 综上所述：当时，；当时，． 75．（24-25高二下·陕西渭南·期末）设且，已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)解关于x的不等式. 【答案】(1)偶函数，理由见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）先求出定义域，关于原点对称，并求出，得到答案； （2）令，分和两种情况，由复合函数单调性满足同增异减，得到的单调性，并结合（1）中函数的奇偶性和定义域，得到不等式组，求出答案. 【详解】（1）函数是偶函数，理由如下： 依题意， 由解得， 即函数的定义域为，关于原点对称. 又， ∴函数是偶函数. （2）由（1）的结论，为偶函数， 令， 其中在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在区间上单调递减， 由，得且解得. 当时，在上单调递减，在区间上单调递增， 由，得且解得. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. 【题型14 比较对数式的大小】 高妙技法 比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同，找中间量． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． 76．（25-26高一上·云南昭通·期中）设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数与对数函数性质判断即可 【详解】因为函数在上单调递增，且， 所以，即， 因为函数在上单调递减，且， 所以，即； 因为函数在上单调递增，且， 所以，即； 所以. 故选：B. 77．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知，，，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数与指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为函数在上单调递减，所以，故； 因为函数在上单调递增，所以，故； 因为函数在上单调递减，所以，故； 综上，. 故选：D. 78．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性比较大小. 【详解】，，，， ，， 所以. 故选：D. 79．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合对数函数和指数函数性质证明由此比较它们的大小. 【详解】因为， 所以． 故选：D． 80．（25-26高一上·浙江湖州·月考）设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数的单调性，对数函数的单调性及中间值法求解. 【详解】，， ，， ，， . 故选：C. 81．（25-26高一上·河北张家口·月考）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为在上单调递减，所以， 由对数函数在上单调递增知，， 所以. 故选：C 82．（25-26高三上·湖南·月考）若，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数和指数函数的单调性，再结合特殊值即可比较大小. 【详解】根据对数函数的单调性可知：， ，， 根据指数函数的单调性可知：， 所以有， 故选：D. 【题型15 对数型函数的最值问题】 高妙技法 对数型函数的最值求解需结合单调性与定义域，分两类情况：一是简单对数函数，在定义域上无最值；二是复合对数函数，先求定义域（），再分析内层函数的取值范围，结合外层对数函数的单调性确定最值。若，的最大值对应的最大值，最小值对应的最小值；若则相反。若为二次函数等常见函数，可通过求的最值间接求的最值，含参数时需分类讨论参数对单调性和最值的影响。 83．（24-25高一下·上海·期中）已知函数有最小值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】需要分别分析函数在不同区间上的情况，通过比较确定的取值范围. 【详解】分析时函数的最小值： 对于函数，将其进行配方可得. 因为，所以当时，取得最小值，此时在这个区间内取得最小值.   分析时函数存在最小值的条件： 当时，. 因为函数有最小值，且时最小值为，所以当时，的最小值要大于等于. 又因为对数函数在上单调递增，所以. 要使存在最小值，则，即，解得.   故答案为：. 84．（24-25高一上·河北·期末）函数的最小值为 ． 【答案】1 【分析】先求出函数的定义域，再判断出函数的单调性，根据单调性可得函数的最小值. 【详解】由得，则的定义域为． 因为在上都是增函数， 所以在上是增函数， 所以的最小值为． 故答案为：1. 85．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数，，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求函数的定义域，然后利用换元法将其化成二次函数，求其值域即可. 【详解】因，，对于函数， 由，解得，即函数的定义域为， ， 设，则由可得， 而在区间上单调递减， 故当时，取得最小值为. 故选：A. 86．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若在上单调递增，求的取值范围． (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，分析函数的单调性，可求得函数的最小值； （2）利用复合函数的单调性可知，内层函数在上为增函数，且，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （3）由题意可知，对任意的恒成立，可得出对任意的恒成立，参变量分离可得出，利用基本不等式可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 对任意的，恒成立，此时，函数的定义域为， 因为内层函数的减区间为，增区间为， 外层函数为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为，增区间为， 故. （2）令，因为外层函数在定义域上为增函数，且函数在上单调递增， 则内层函数在上为增函数，且， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. （3）对于任意，存在，使得不等式成立， 则对任意的恒成立， 因为， 当时，，故当时，即当时，函数取最小值， 即， 所以，对任意的恒成立， 由可得，参变量分离得， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时等号成立，则， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 87．【多选】（24-25高一上·浙江温州·期末）若函数存在最小值，则实数的值可以是（    ） A．0 B．-1 C．1 D． 【答案】ACD 【分析】分类讨论，结合二次函数的性质求出的取值范围即可得解. 【详解】当时，，此时函数无最小值； 当时，， 若时，则，此时函数有最小值； 若时，则的对称轴为， 在上先增后减，没有最小值； 若时，的对称轴为， 当时，要使函数有最小值， 则即可，解得. 当时，要使函数有最小值， 则，无解. 综上，，所以实数的值可以是. 故选：ACD 88．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知函数有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据真数对应的函数有正的最小值可求实数的取值范围. 【详解】当时，，当且仅当时等号成立， 故，故有最小值， 当时，令，则， 故或， 故函数的定义域为， 在定义域的条件下，此时无最小值，故舍去； 综上，， 故选：D 89．（24-25高一上·新疆·期末）已知函数，且． (1)判断的奇偶性并说明理由； (2)若在上的最小值是－1，求的值． 【答案】(1)为奇函数，理由见解析； (2)或3. 【分析】（1）由对数的真数大于零，可求得定义域关于原点对称，由奇偶性定义可得到结论； （2）按底数a分类讨论，依据对数函数的单调性分别去求实数a的值即可解决. 【详解】（1）为奇函数，理由如下： 由得：，的定义域为关于原点对称； ， 为定义在上的奇函数. （2）令 由得，，，即， 当时，在上单调递减，最小值是－1， 则，解之得； 当时，在上单调递增，最小值是－1， 则，解之得， 综上，实数a的值为或3. 90．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数（，且） (1)求函数的定义域； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数定义域的求法来求得正确答案. （2）化简的解析式，对进行分类讨论，根据最值列方程来求得的值. 【详解】（1）要使函数的解析式有意义， 则 解得， 函数的定义域为． （2）， 当时，， 当时，函数在上单调递减， 此时， ，即，解得（舍）． 当时，函数在上单调递增， 此时， ，即，解得或（舍）． 综上，实数的值为． 91．（24-25高一上·四川绵阳·期末）已知函数，当时，，且函数在上的最大值与最小值之差为2，则的值为 . 【答案】8 【分析】根据对数型函数的图象，结合函数的单调性进行求解即可. 【详解】函数的图象如下图所示： 当时，，因此有， 由， 于是当，即当时，因为， 所以，由函数图象可知， ，， 因为， 所以，所以， 因为函数在上的最大值与最小值之差为2， 所以， 因此， 故答案为：    【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数形结合思想得到，再根据函数的单调性进行求解. 【题型16 恒成立与能成立问题】 高妙技法 对数型函数的恒成立与能成立问题，核心是转化为最值问题。恒成立问题：若在区间上恒成立，当时等价于恒成立，即；当时等价于恒成立，即且。能成立（存在性）问题：若存在使，当时等价于；当时等价于且。解题时需先确定定义域，再求的最值，进而转化为参数的不等式求解。 92．（24-25高一上·安徽·月考）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论，当时， 令可判断原不等式不成立，当时，令函数，由函数的单调性可得当时，取得最大值，从而代入不等式可得解. 【详解】不等式，变形为， 当时， 令，则，此时原不等式不成立； 当时，令， 由在单调递增，在单调递减， 所以在单调递增， 故当时，取得最大值为， 由，解得， 所以. 故选：B. 93．（20-21高一上·云南德宏·期末）已知函数的图象关于原点对称，其中a为常数． (1)求a的值； (2)当时，恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据得到方程，求出，检验，舍去，时满足要求； （2）变形得到，根据函数单调性求出的最大值，从而得到. 【详解】（1）函数的图象关于原点对称， 则函数为奇函数，有， 即，解得， 当时，，不满足真数大于0，不满足题意， 当时，满足要求， 故； （2）由，得，即， 令，易知在上单调递减， 则的最大值为．又当时，恒成立， 即在恒成立，所以． 94．（24-25高一上·河北石家庄·月考）已知函数，. (1)求证：为奇函数； (2)解关于的不等式； (3)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据奇偶性定义判断可得答案； （2）设，根据在上的单调性可得答案； （3）原不等式等价为对恒成立，再利用基本不等式可得答案. 【详解】（1）函数，即， 可得，解得或， 可得的定义域为，关于原点对称， 又，则为奇函数. （2）不等式，即为式， 设，即，可得在上单调递减， 所以由，所以，解得， 所以原不等式的解集为. （3）由题意，则，解得， 所以恒成立，即恒成立， 化为，即对恒成立 由， 当且仅当，即时，取得等号， 所以，即的取值范围是. 95．（23-24高二下·山西吕梁·期末）已知函数，其中． (1)若，求函数的定义域； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由真数大于0列出不等式即可求解； （2）先根据函数为单调递增函数，将转化为，根据题意可转化为在上最小值大于0，然后结合二次函数的性质即可求得. 【详解】（1）当时，， 由得， 故或， 得或， 故函数的定义域为； （2）由得， 得， 即， 设， 因，故， 所以当时，恒成立， 即为在上最小值大于0， 函数的对称轴为， 当即时，函数在上单调递增， 此时，得， 即满足题意； 当，即时，函数在对称轴取得最小值， 此时，得， 即满足题意； 故的取值范围为. 96．（22-23高一上·江苏淮安·期末）已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的奇偶性和单调性，再根据得到的函数性质化简不等式，，最后结合基本不等式计算求解即可 【详解】, , 所以为奇函数, 为单调增函数, , ,恒成立, , . 故选：D. 97．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数 (1)若，求的值; (2)根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增; (3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求得，然后求得. （2）根据函数单调性的定义进行证明. （3）根据函数的单调性化简题目所给不等式，分离常数，然后利用换元法以及函数的单调性来求得的取值范围. 【详解】（1），， （2）证明：任取，，且， 则 ，，，， 故，即，所以在上单调递增. （3）， 由（2）可知，在上单调递增， 要存在，使得不等式成立， 只要存在，使得成立， ，，令 只要存在，使得成立， 即，，函数在上单调递增， ， 【点睛】思路点睛： 小问 1：遇到此类问题，先根据已知对数等式求出自变量的值，再将其代入函数，利用对数性质计算函数值. 小问 2：证明函数单调性，按照定义，先设出两个自变量，作差并化简变形，再根据函数性质判断差的正负，得出函数单调性结论. 小问 3：对于存在性不等式问题，先利用函数表达式化简不等式，再根据函数单调性去掉函数符号，通过换元转化为常见函数的最值问题，最后利用函数单调性求出最值，进而得到参数的取值范围. 【题型17 对数型函数的奇偶性问题】 高妙技法 判断对数型函数奇偶性的步骤：第一步，判断定义域是否关于原点对称，若不对称则函数非奇非偶；若对称，进入第二步。第二步，计算，将解析式中的替换为，利用对数运算法则化简的表达式。第三步，比较与、的关系：若，则为偶函数；若，则为奇函数；若两者均不满足，则非奇非偶。含参数的对数型函数，可利用奇偶性的定义列方程求参数值，注意验证参数取值是否满足定义域要求。 98．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】当时，利用函数的单调性解不等式，再利用是偶函数解不等式即可. 【详解】由对数函数和一次函数的单调性可得是上的增函数， 且， 所以当时，的解集为， 所以当时，不等式的解集为：. 又因为是奇函数，易知是偶函数， 所以当时，不等式的解集为：. 故不等式的解集为：. 故答案为： 99．（24-25高二下·福建漳州·期末）已知函数为奇函数不为偶函数，则实数的值是 【答案】 【分析】由奇函数的性质可得，可求得，再结合题意分别验证即可求解. 【详解】由为奇函数，所以可得， 则 ， 即， 化简整理得， 所以得，即， 当时，为常函数， 此时既是奇函数又是偶函数，故不符合题意， 当时，， 由对数函数的定义域得且， 解得，关于原点对称，经检验符合题意. 综上所述：故实数的值为. 故答案为：. 100．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）定义在R上的奇函数，当时，，则 【答案】 【分析】由奇函数的性质求得，再有求函数值. 【详解】由在R上为奇函数，则， 所以. 故答案为： 101．（24-25高一上·上海闵行·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， 【答案】 【分析】根据条件得到时，，又，求出答案. 【详解】当时，，故， 又是定义在上的奇函数，故， 所以，故. 故答案为： 102．（2025·湖南长沙·一模）已知为奇函数，则实数a的值是 ． 【答案】4 【分析】由奇函数的定义域关于原点对称得出，再检验即可求解． 【详解】由题意知，得， 令，解得或， 又该函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称， 所以，解得，即， 令，其定义域为， ，满足题意， 故答案为：4． 103．（23-24高二下·云南曲靖·月考）已知函数为奇函数，则的值为 . 【答案】 【分析】求出函数的定义域，再由奇函数的性质求出并验证即得. 【详解】函数中，，方程的根为， 由函数是奇函数，得，解得，此时的定义域为， ，即函数为奇函数， 所以的值为. 故答案为： 104．（23-24高一上·江苏淮安·期末）若函数是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的定义域关于关于原点对称，即可求出，求出函数的定义域，再由奇函数得，即可求出，即可得解. 【详解】由，可得，即， 且，即， 又因为奇函数的定义域关于原点对称， 所以，所以， 故，定义域为， 因为函数是奇函数， 所以，所以， 经检验，符合题意，所以，， 所以. 故答案为：. 105．（2024·宁夏银川·二模）若是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称，得到，即可求出的值，求出函数的定义域，再由奇函数的性质，求出的值，即可得到结果. 【详解】因为是奇函数， 定义域关于原点对称， 由,可得， 所以且， 所以，解得， 所以函数的定义域为， 则，即，解得， 此时， 符合题意， 所以. 故答案为：. 106．（24-25高二下·山西运城·期末）若函数是偶函数，则 . 【答案】/0.5 【分析】根据偶函数的定义求解即可. 【详解】由题意，函数是偶函数，可得， 即， 可得，解得. 故答案为：. 107．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知函数是偶函数，则 . 【答案】 【分析】先确定函数的定义域，再根据偶函数的定义得，即可求解，最后验证即可. 【详解】由解得的定义域为， 因为是偶函数，所以，即，即，解得. 当时，， ， 此时是偶函数，所以符合题意. 故答案为：. 108．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知幂函数的图像过点，若函数为奇函数，则实数 ． 【答案】1 【分析】根据幂函数定义确定参数值，再结合对数型复合函数是奇函数计算求参. 【详解】由幂函数过点， 即，解得，所以为偶函数， 因为为奇函数，所以为奇函数， 所以， ，， 所以，，所以，则实数. 当时，定义域为关于原点对称， ，所以函数为奇函数， 故答案为：1. 【题型18 反函数问题】 高妙技法 对数函数（）的反函数是指数函数，二者互为反函数，图象关于直线对称。求解对数型函数反函数的步骤：第一步，确定原函数的定义域和值域，反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域；第二步，用表示，将对数式转化为指数式，解出关于的表达式；第三步，互换，得到反函数的解析式，并注明定义域。解题时需注意原函数与反函数的定义域和值域的对应关系，避免混淆。 109．（24-25高一上·山西大同·期末）已知函数，若函数是的反函数，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先根据对数的反函数为指数函数可求，然后代入求值即可. 【详解】是的反函数，，． 故选：D 110．（24-25高二下·山西吕梁·期末）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用反函数的定义求得，可求的值. 【详解】已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以，所以． 故选：B． 111．（24-25高一上·四川成都·期末）已知是函数（，且）的反函数，则的图象经过的定点坐标为 ． 【答案】 【分析】由条件先确定函数的解析式，结合指数函数性质求结论. 【详解】是函数的反函数， 所以， 所以的图象经过的定点. 故答案为：. 112．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）函数是的反函数，记函数，则使成立的x的取值范围为 . 【答案】，其中 【分析】根据给定条件，求出函数，再分段并借助函数图象求解不等式. 【详解】依题意，，， 不等式，而， 当，即，不等式为，则， 解得或，因此或； 当，即时，不等式为，即， 则，在同一坐标系内作出函数， 函数图象在上有唯一交点， 即方程在上有唯一解，不等式在上的解为， 因此不等式在上的解集为， 所以x的取值范围为，. 故答案为：， 【点睛】思路点睛：求出不等式在上的解集，作出函数图象，利用图象法求解不等式. 113．（24-25高一上·云南昆明·期末）若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题中条件，求出，得到，再求出其定义，利用复合函数单调性的判断方法，即可得出结果. 【详解】∵函数与的图象关于直线对称，则， ∴，由，解得，令，， 在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递减， ∴的单调减区间为. 故选：D. 【题型19 对数函数的实际应用】 高妙技法 对数函数应用题的解题思路 (1)依题意，找出或建立数学模型． (2)依实际情况确定解析式中的参数． (3)依题设数据解决数学问题． (4)得出结论． 114．（24-25高一下·上海宝山·期末）如图，某池塘中的浮萍蔓延的面积（单位：）与时间（单位：月）满足关系式：（且），则浮萍面积从到至少需要经过 个月.（精确到0.1） 【答案】 【分析】根据图象得，再解指数方程求面积为、的对应月数，作差即可得. 【详解】由题设过点，则，可得，即， 所以，， 所以个月. 故答案为： 115．（25-26高三上·北京海淀·月考）某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律.设初始电量为（单位：），经过小时后，剩余电量（单位：）满足函数关系（其中为电量衰减系数）.已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数模型，代入数值，化简可得，即可得函数解析式，代入数值可得不等式，解不等式即可. 【详解】已知初始电量为，经过小时后，剩余电量， 则有即，解得， 当剩余电量不低于即，化简得， 两边同取以为底的对数即，由对数运算法则得， 解得，代入数据可得， 故选：C. 116．（25-26高一上·上海闵行·期中）某地火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.为满足此要求，该地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，其中为二氧化硫的初始浓度.若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，那么从现在起至少经过 分钟才能达到排放标准.（结果精确到整数, ） 【答案】 【分析】根据题干给出的关系式，结合排放标准列出不等式，再通过对数运算求解不等式即可. 【详解】由题意得， ，其中为二氧化硫的初始浓度， 又二氧化硫的初始浓度为，， 又排放废气中二氧化硫最高允许浓度为，， 两边同时取对数，得， 即，， 又，解得， 又结果精确到整数，从现在起至少经过分钟才能达到排放标准. 故答案为：. 117．（24-25高二下·北京·期末）荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步.假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高1%.而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么从学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍到3倍，大约经过了（    ） （参考数据：，，） A．41天 B．70天 C．111天 D．181天 【答案】A 【分析】设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”为，根据题意结合增长率列出相应方程，利用对数近似计算，即得答案. 【详解】设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”为，当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了天，当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的3倍时，大约经过了天， 由题意得，即， 取对数得， 由于，所以， 所以，解得， 所以当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了天， 当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的3倍时，大约经过了天， 所以从学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍到3倍至少经过了天， 故选：A 118．【多选】（24-25高一下·江苏南京·期中）某药物在人体内的血药浓度与时间有关，血药浓度（单位：）与时间（小时）的变化规律可近似表述为：，其中为初始血药浓度，为代谢速率常数，图象如图所示，则（    ） A． B．每小时血药浓度降低的数值相等 C．服药后6小时，血药浓度降至初始值的 D．服药后，人体内的血药浓度随着时间的增加而降低 【答案】ACD 【分析】A将点代入即可；B当时，计算；C计算的值；D由图象的单调性可知. 【详解】将点代入中得，，得，故A正确； 因， 则当时，， 不是定值，故B错误； 因，则，故C正确； 由图象可知，服药后人体内的血药浓度随着时间的增加而降低，故D正确. 故选：ACD 【题型20 对数型函数性质的综合应用】 高妙技法 对数型函数性质的综合应用 (1)已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系． (2)求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解． 119．【多选】（25-26高一上·山西·期末）已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A．的图象过定点 B． C． D． 【答案】AC 【分析】令时，得到，可判定A正确；令，求得，和，可判定B错误；根据对数的运算性质，可判定C正确；令，求得，由，得到，求得，可判定D错误. 【详解】对于A，由函数，当时，， 所以的图象过定点，所以A正确； 对于B，令，此时， 可得，， ， 此时不满足，所以B错误； 对于C，由， 又由， 因为，所以，所以C正确； 对于D，令，可得， 此时，， 所以，而，故， 得到，即，可得， 又由 ， 此时不满足，所以D错误. 故选：AC. 120．【多选】（25-26高三上·河北保定·月考）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称 【答案】BCD 【分析】根据对数函数的性质即可求解AB，根据复合函数单调性法则即可求解C，利用即可求解D. 【详解】由可得，故的定义域为，值域为，A错误，B正确， 由于函数在单调递增，在单调递减，而为上的单调递增函数，因此在上单调递增，C正确， 由于的定义域为关于对称，且，故的图象关于直线对称，D正确， 故选：BCD 121．【多选】（24-25高一下·内蒙古·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的图象是轴对称图形 B．在上单调递增 C．的值域为 D．恰有两个零点 【答案】ABD 【分析】先算出函数定义域，然后对函数解析式进行化简，再利用复合函数“同增异减”及二次函数、 对数函数性质分析即可得到答案. 【详解】函数的定义域为，故的图象关于直线对称，A正确； 当在上单调递增，且在其定义域内单调递增，B正确； 当时，，故的值域为，C错误； 令，则，易得有两个解，这两个解均在上，D正确． 故选：ABD. 122．【多选】（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）函数为奇函数，函数（    ） A．实数的值的值为2 B．函数为上的单调递增函数 C．不等式的解集为 D．若对，总，使得成立，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于A，由奇函数的性质可得出，可求出的值，然后利用函数奇偶性的定义证明即可，对于B，利用指数函数的单调性可判断出函数在其定义域上的单调性；对于C，利用函数的单调性结合奇偶性可将不等式变形为，利用指数函数的单调性解之即可；对于D，分析可知，函数的值域为函数在上的值域的子集，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】对于A，对任意的，， 所以，的定义域为且函数为奇函数， 所以，则， 因为， 所以是奇函数，符合题意，故成立，故A错误； 对于B，由（1），则，是定义域上的增函数，证明如下： 对任意的、且，则， 由可得， 故函数为上的增函数，故B正确； 对于C，因为函数是实数集上的增函数又是奇函数， 所以由可得， 根据B项，可得，可得，即， 因为，则，解得，即原不等式的解集为，故C正确； 对于D，因为函数，显然，所以有 可得，则，则， 因为 ， 令，当时，， 设，所以，， 于是当时，， 对，总，使得成立， 故函数的值域为函数在上的值域的子集，即， 所以有，解得，即实数的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 123．【多选】（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知函数，则下列结论中错误的是（    ） A．函数的定义域是 B．函数是偶函数 C．函数在区间上是减函数 D．函数的图象关于直线对称 【答案】AC 【分析】由求出定义域判断A，代入根据定义判断出其奇偶性判断B，根据判断C，根据为偶函数判断关于对称判断D. 【详解】函数， 由，，可得，即函数定义域为，故A错误； 由， 定义域为，显然为偶函数，故B正确； 由，，，，故C错误； 由为偶函数，图象向左平移1个单位得到图象， 故函数的图象关于直线对称，故D正确. 故选：AC 124．【多选】（24-25高一下·海南海口·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数是奇函数 C．函数是增函数 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对于A求即可判断，对于B根据函数的奇偶性即可判断，对于C利用复合函数的单调性即可判断，对于D利用奇偶性和单调性即可求解. 【详解】对于A：由，所以的定义域为，故A正确； 对于B：由A得的定义域为，又，所以是奇函数，故B正确； 对于C：令，所以，由在上单调递减，在单调递增， 根据复合函数单调性得在是减函数，故C错误； 对于D：由是奇函数且在是减函数，由得， 所以，故D正确. 故选：ABD. 125．【多选】（24-25高二下·江西赣州·期末）关于函数，以下说法正确的是（    ） A．当时，的增区间为 B．当时，的值域为 C．如果的值域为，则 D．函数的图象关于直线对称 【答案】AD 【分析】利用对数函数的性质，包括定义域、值域、单调性等，同时结合二次函数分析复合函数的性质，逐个分析每个选项即可得到答案. 【详解】由题可知为复合函数，其中对数函数的底数，对数函数单调递减，令. 对于A 选项，当时，，的定义域为，根据复合函数的单调性可知，只需求 的减区间即可，的单调递减区间为，的增区间为，故A正确. 对于B 选项，当时，，此时的定义域为，此时，的最小值为，即内层函数可取，即，的值域为，故B错误. 对于C 选项，的值域为,只需要内层函数能取到所有的正实数，即判别式，解得，故C错误. 对于D 选项，内层函数关于直线对称，而函数的图象是由经过对数变换得到的，的图象形状由决定，即函数的图象关于直线对称（也可验证是否成立），故D正确. 故选：AD. 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽合肥·期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解. 【详解】∵， ， ， ∴. 故选：B. 2．（25-26高一上·江苏·期末）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于ACD：举反例说明即可；对于B：根据对数的运算性质分析判断. 【详解】因为的定义域为，可知， 对于选项AD：例如，则，， 即，且，故AD错误； 对于选项C：例如，则，， 即，故C错误； 对于选项B：因为，故B正确； 故选：B. 3．（24-25高二下·江苏淮安·期末）下列函数中，其图象与函数的图象关于坐标原点对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点的对称性，代入中，求出函数的解析式，结合选项即可判断. 【详解】设函数的图象关于坐标原点对称的函数为， 设函数图象上任一点，则点关于原点对称的点， 将Q坐标代入得，即，所以函数为. 由选项可知，只有A选项符合题意. 故选：A 4．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）关于函数的单调性的说法正确的是（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是增函数 【答案】D 【分析】利用复合函数的单调性可得出结论. 【详解】对于函数，有，可得，即函数的定义域为， 因为内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数在区间上是增函数. 故选：D. 5．（24-25高一下·福建泉州·开学考试）若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的单调性，分和时，结合对数函数的性质讨论即可. 【详解】因为函数的值域为， 可知在内单调递减，则，解得， 可得当时，，即在内值域为，符合题意； 且在内不单调递减， 若在内单调递增，则，解得， 此时，符合题意； 若在内为常函数，则，解得， 此时，符合题意； 综上所述：实数的取值范围是． 故选：A． 6．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知函数，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性、单调性，由得，可得答案. 【详解】因为，所以函数的定义域为， 则定义域关于原点对称，且， 所以为偶函数， 又时，是单调递增函数，而是单调递减函数， 所以是单调递减函数， 根据对称性知时，所以是单调递增函数， 函数中，， 由得，解得或. 故选：D. 7．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域判断A；根据对数型复合函数的单调性判断B；根据判断C；根据函数的对称性及单调性判断D. 【详解】对于A，函数有意义，则，解得且， 因此函数的定义域为，故A错误； 对于B，当时，， 函数在区间上单调递增， 且，又在区间上单调递增， 因此在区间上单调递增，故B错误； 对于C，， 因此函数的图象关于点对称，故C正确； 对于D，，则， 即，因此，故D错误. 故选：C 二、多选题 8．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数若，则实数的取值可能为（    ） A．-2 B． C．1 D．27 【答案】ABD 【分析】由题意可得或，分类讨论和，代入解方程即可得出答案. 【详解】令，所以， 当时，，解得：，所以， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 当，，解得：，所以， 当时，，解得：， 当时，无解， 综上：实数的取值可能为：. 故选：ABD. 9．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】举反例判断A，结合不等式性质判断B，结合对数函数性质判断C，结合指数函数性质判断D. 【详解】若，，则，A错误； 因为，，所以，B正确； 因为对数函数为减函数，，所以，C错误； 因为，所以，所以，D正确； 故选：BD. 10．（24-25高一上·江苏南京·期末）（多选）若实数满足则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先利用函数为上的增函数，得，选项A，选项D利用不等式性质可得到，选项B则利用作差法即可得到结果；选项C利用对数函数的单调性即可得到. 【详解】因为函数为上的增函数，由，可得， 对于A，当时，不成立，故A不正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，则，可得，所以， 因为函数为上的减函数，所以C正确： 对于D，由于，所以，故D不正确. 故选：BC. 11．（24-25高一上·江苏连云港·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】构造函数函数，可得函数在是增函数，从而可得，再对选项中结论逐一分析即可. 【详解】对于A，因为，由对数函数的定义域可得， ，，A正确； 对于BD，， 即， 构造函数， 因为在都是增函数， 所以函数在是增函数， 由可得， ，，B错误，D正确， 对于C，因为，，C正确， 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是构造函数，利用该函数的单调性得到. 12．（24-25高一上·江苏南通·期末）通过等式（，）我们可以得到很多函数模型，例如将a视为自变量x，b视为常数，那么c就是a（即x）的函数，记为y，则，也就是我们熟悉的幂函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．若令，（e是自然对数的底数），将a视为自变量x（，），则b为x的函数，记为，下列关于函数的叙述中正确的有（   ） A． B．， C．若，且m，n均不等于1，，则 D．若对任意，不等式恒成立，则实数m的值为0 【答案】ACD 【分析】先根据题意得出的解析式，根据计算易于判断A，B两项，对于C项，可根据已知推出，结合基本不等式判断；对于D项，则需要等价转化，运用参变分离法，分区间讨论得出的范围进行判断. 【详解】由题意知，则， 对于A，，A正确； 对于B，，，不妨取，则，B错误； 对于C，，且m，n均不等于1， 由得，即，结合可知， 则，故， 当且仅当，即时等号成立，C正确； 对于D，当时，，则由恒成立， 得恒成立，即恒成立， 令，则， 设，由于在上单调递减，故， 则，故； 当时，，结合题意可知得恒成立， 即恒成立， 此时令，同理可得， 由于在上单调递增，在上单调递减， 故，则，故， 综合上述可知m的值为0，D正确， 故选：ACD 三、填空题 13．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数的图象经过定点，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用对数函数图象恒过定点求出即可. 【详解】对任意，当，即时，恒成立， 因此函数的图象过定点，则， 所以. 故答案为： 14．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知函数若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】因为分段函数的函数值计算求参. 【详解】当时，不合题意； 当时，,符合题意，结合，所以. 故答案为： 15．（24-25高一上·江苏·期末）已知，且，函数的图象恒过点P，若P在指数函数图象上，则 . 【答案】8 【分析】利用对数函数图象性质求出点的坐标，进而求出函数及函数值. 【详解】函数，当，即时，恒有，则点， 设，由，得，， 所以. 故答案为：8 16．（24-25高一上·江苏南京·期末）设为实数，已知函数，若存在实数a，b同时满足和，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意得，，令，则，利用单调性求出最值即可求解. 【详解】，所以， 所以，所以为奇函数， 又函数在单调递增， 所以函数在上单调递增，. ，即， 令， ， 在上为减函数，所以. 故答案为：. 17．（24-25高一上·江苏常州·期末）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由解得方程的解，利用二次函数，对数函数和复合函数的单调性可得，建立不等式组，解之即可求解. 【详解】由题意知，令， 解得， 所以， 对于函数，对称轴为， 所以该二次函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递减， 则，得， 即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 18．（24-25高一上·江苏盐城·期末）不等式恒成立，则 ． 【答案】2 【分析】根据对数式的符号分类讨论，将恒成立问题转化为求函数的最值. 【详解】由对数的定义得. ①当时，，由恒成立，得恒成立， 即，此时，则； ②当时，，由恒成立，得恒成立， 即恒成立，则； 综上所述，不等式恒成立时，. 故答案为：2. 19．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知函数，若不等式与的解集相同，则 . 【答案】 【分析】由求得，利用换元法，得到，由此列不等式来求得. 【详解】由，即，可得，解得. 令，由，可得， 即. 由题知解得t＝9. 故答案为： 四、解答题 20．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知函数的图象过点． (1)求实数的值； (2)证明：函数为偶函数； (3)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)a， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由已知点的坐标代入即可求解； （2）结合偶函数的定义即可证明； （3）结合指数函数的单调性即可求解． 【详解】（1）函数的图象过点， 所以，即，， 则，则，所以； （2）证明：函数， 故为偶函数； （3）不等式可化为， 即， 解得， 所以， 故不等式的解集为． 21．（24-25高一上·四川内江·期末）已知函数的图象经过点，其中． (1)求实数a，b的值； (2)求函数的定义域和值域． 【答案】(1)， (2)定义域：；值域： 【分析】（1）把点代入函数的解析式，列方程组求解可得a，b的值. （2）根据对数的意义求函数的定义域，结合对数函数的性质结合二次函数在给定区间上的值域可求函数的值域. 【详解】（1）由题意：， 又，所以. （2）因为， 由，所以函数的定义域为：. 因为，. 当时，，当时，取得最大值. 所以， 所以函数的值域为 22．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数是奇函数. (1)求a的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数定义以及函数解析式可得结果； （2）由函数单调性定义证明即可得出结论； （3）根据对数的运算性质，分离参数得，再求出都最小值即可. 【详解】（1）设的定义域为， 由题意得对于任意，都有恒成立， 即恒成立， ∴，∴， 当时，无意义； 当时，是定义域为的奇函数， ∴； （2）在上单调递减， 证明：设， 则， ∵， ∴，∴， ∴，∴， ∴在上单调递减； （3）由， 得， 即， 所以， 所以， 令， 则，所以， 令，则， 则， 因为函数在都是增函数， 所以在是增函数， 所以，所以， 所以， 所以. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法： （1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且； （2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值作差变形定号下结论. 23．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值与函数的定义域． (2)若对任意的时，都有恒成立．求实数m的取值范围． 【答案】(1)；函数的定义域为； (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性定义，求得，再通过函数解析式舍去，求解一元二次不等式即得函数的定义域； （2）先根据对数型复合函数的单调性求出函数在上的值域，再利用不等式恒成立即可求出参数m的取值范围. 【详解】（1）因是奇函数，故， 即得，则有，因不恒为0，故， 当时，，由，可得， 即函数的定义域为：， 又，故是奇函数； 当时，因，函数没有意义. 综上，且函数的定义域为. （2）由（1）得， 因，函数在上为减函数，故得， 又因在上为增函数，故有，即， 依题意对任意的恒成立，故，解得， 故实数m的取值范围为. 24．（24-25高二下·江苏苏州·期末）已知函数． (1)求的定义域； (2)解关于的方程； (3)若函数的图象关于直线对称，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对数函数的真数大于零列不等式求解即可. （2）先利用复合函数的单调性法则得在和上为增函数，然后将方程转化为，记，利用函数的单调性及特殊值求解方程即可. （3）根据的图象的对称性求得，进而利用对称性得，化简即可求得. 【详解】（1）由得或，所以的定义域为． （2）因为在和上单调递增， 又在定义域上单调递增， 由复合函数的单调性知在和上为增函数， 所以，所以，记， 结合指数函数的单调性可知为增函数，又，所以． （3）由（1）可知，的定义域为， 因为函数的图象关于直线对称，所以， 进一步根据，得， 即， 则有，即． 综上所述，． 25．（25-26高一上·全国·期末）已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对数函数的真数大于0列不等式，即可求解. （2）根据复合函数单调性的判断方法及对数函数的定义域列出关于的不等式组，即可求解. （3）由题意可知恒成立，先利用换元法和二次函数的性质得出，即对于任意恒成立，再根据对数函数的单调性和参变分离法可得对于任意恒成立，最后利用基本不等式得出，从而可得出的取值范围. 【详解】（1）若，则，令，得， 故的定义域为． （2）令，则. 因为函数是上的增函数，在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的判断方法可得： 函数在上单调递增,且在上恒成立， 所以，解得. 故的取值范围为. （3）因为对任意，存在，使得不等式成立， 所以. 令，，因为， 所以，. 又二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数有最小值，故当时，. 所以对于任意恒成立，即对于任意恒成立， 故对于任意恒成立. 又由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 故，即的取值范围为． 26．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复合函数的单调性判断函数的单调性，由得出，可得出，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知在上的最小值不小于在上的最小值，求出函数在上的最小值，对实数的取值进行分类讨论，求出函数在上的最小值，结合题意可得出关于实数的不等式，综合求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，令，， 对任意的，则， 内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数， 所以在上单调递增， 所以不等式得到， 所以，解得，所以实数的取值范围是． （2）因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增，所以当时，， 又的对称轴为直线，， 当时，在上单调递增，，解得，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 对数函数的图象和性质 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【考点01】对数与对数运算 1、对数的概念与性质 （1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式。 （2）对数的性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)； ①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1). 指数式与对数式的关系 2、对数的的运算法则：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0 ①loga(M·N)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM(n∈R) 3、换底公式 （1）logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0) 选用换底公式时，一般选用e或10作为底数。 （2）换底公式的三个重要结论 (1)logab＝； (2)logambn＝logab； (3)logab·logbc·logcd＝logad. 【考点02】对数函数的图象与性质 1、对数函数的概念 （1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． （2）特殊的对数函数 ①常用对数函数：以10为底的对数函数. ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 2、对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 【小结】当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势， 又当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴. 3、底数对对数函数图象的影响 （1）底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势； （2）函数与（，且）的图象关于轴对称； （3）底数的大小决定了图象相对位置的高低：无论还是，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大． 【二级结论1】指、对数方程的解法 解指、对数方程的关键是利用“”进行指对互化或将其转化为同底数方程求解． 方法 指数方程 对数方程 取对数法 化指法 解出 解出（注意检验） 解出 解出（注意检验且） 同底法 解出 解出 换元法 令，由，求 令，由，求 【二级结论2】对数函数的图象及其应用 1.过定点 因为，所以对数函数的图象均过点． 2.底数对对数函数图象的影响 如图1，在直线的右侧，轴的上方，底数越大，对数函数的图象越靠近轴，且底数均大于1；轴的下方，底数越小，对数函数的图象越靠近轴，且底数均在之间． 图中的对数函数的底数的大小关系是． 3.底数大小的判断依据 如图1，作直线，则直线与各对数函数图象交点的横坐标即为各对数函数的底数，分别为，结合单调性，可得． 4.图象的对称性 （1）底数互为倒数的两个对数函数且的图象关于轴对称，如图2.根据这种对称性，可以利用一个对数函数的图象画出另一个对数函数的图象． （2）函数（，且）为偶函数，其图象关于轴对称，如图3（1）（2）． （3）指数函数（，且）和对数函数（，且）互为反函数，其图象关于直线对称，如图4. 【二级结论3】对数型复合函数性质 指数函数、对数函数本身没有奇偶性，但通过复合或运算得到的函数却可以具有奇偶性．高考常考的几个奇函数：． 大招解读 1.求定义域的三种类型及解法 类型1 对数型函数定义域求法：①真数大于0；②底数大于0且不等于1． ①；②，且． 类型2 根式型定义域求法：偶次方根下被开方数非负，对数式中真数大于0． （，且）或 类型3 分式型定义域求法：分母不能为0，对数式中真数大于0． ，且． 2.单调性和值域（最值） （1）型函数 ①单调性：令，函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反． ②值域（最值）：由求出对应的范围，由求出对应的范围．因为对数函数是单调函数，所以解此类型题的关键是确定真数的取值范围． （2）型函数 ①单调性：令，只需研究及的单调性，再结合复合函数的单调性法则判断． ②值域（最值）：由的范围求出对应的范围，由的范围求出对应的范围．注意对数运算中，若底数不同，则需运用换底公式进行转换后，再进行分析． 3．奇偶性 常见的具有奇偶性的对数型复合函数有如下几类（下表以底数为例，时函数奇偶性不变，单调性相反）． 函数解析式 奇偶性 单调性 偶 在上单调递减，在上单调递增 奇 时，在上单调递减 时，在上单调递增 奇 时，在上单调递增 时，在上单调递减 奇 在上单调递减 奇 在上单调递增 除此之外，函数为偶函数．熟悉这几类函数模型，有助于我们秒解客观题． 【题型1 对数运算】 高妙技法 1、对数混合运算的一般原则 （1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并； （2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式； （3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂； （4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并； （5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式． 2、对数运算中的几个运算技巧 （1）的应用技巧：在对数运算中如果出现和，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现，再应用公式进行化简； （2）的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式化简； （3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式作为已知条件，求函数的值的问题，通常设，则，，，将值带入函数求解． 1．（24-25高一上·重庆黔江·期末）计算（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏镇江·期末）式子的值为（    ） A． B．10 C．11 D．12 3．（24-25高一上·山东潍坊·期末） . 4．（24-25高一上·云南西双版纳·期末）（1）计算：； （2）化简求值：； （3）化简求值. 【题型2 换底公式的应用】 高妙技法 1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 2．对数换底公式的重要推论： (1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)； (2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)； (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 注：可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③. 5．【多选】（21-22高一上·江苏苏州·期末）下列结果为1的是（   ） A． B． C．D． 6．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知，. (1)求的值； (2)用，表示. 7．（24-25高一上·江苏南通·期末）设.若，则 .（结果用表示） 8．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知正实数a，b满足，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（24-25高一上·江苏连云港·期末）设，，若函数满足，且，则 . 10．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ． 【题型3 对数函数求值问题】 高妙技法 若已知对数函数解析式（），直接代入自变量的值，结合对数运算法则计算；若已知函数值求自变量，将对数式转化为指数式求解。遇到复合对数函数（如），先计算内层函数的值，确保，再代入对数运算。部分题目需利用对数恒等式或换底公式简化，含参数时要分类讨论参数范围，验证解的有效性。 11．（24-25高一下·浙江杭州·期末）已知函数，若，则 ． 12．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 13．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，则 . 14．（24-25高一上·重庆·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D．5 15．（24-25高一上·上海·期末）若，则 . 16．（24-25高二上·广东广州·期末）定义在上的函数满足，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【题型4 对数型函数的定义域、值域问题】 高妙技法 1.求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 2.值域求解需先分析内层函数的取值范围，再结合外层对数函数的单调性：当时，的单调性与一致；当时，单调性相反。若的取值范围为，则根据单调性确定的最值或边界，进而得到值域。 17．（24-25高二下·甘肃定西·期末）函数的定义域为 ． 18．（24-25高一下·贵州毕节·期末）函数的定义域为 . 19．（22-23高一上·山东济南·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 20．（22-23高一上·湖北黄冈·期末）函数的定义域为 . 21．（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数 (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围． 23．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知，函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）已知函数，，则函数的值域为 ． 25．【多选】（24-25高一下·河北保定·期末）已知函数，若包含于的值域，则满足条件的实数m可以是（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高一上·新疆喀什·期末）已知函数的图像过点． (1)求函数的值，并求的定义域和值域； (2)若，求实数的值． 27．（24-25高二下·河北·期末）已知函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若函数为偶函数，求实数m的值． 28．（24-25高一下·四川南充·期中）已知函数的值域为的值域为，则（   ） A．0 B．1 C．3 D．5 29．（2025·海南·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．（0，1） D． 30．（2025·湖北宜昌·二模）已知，函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5 对数（型）函数图象的变换】 高妙技法 对数函数图象的变换方法 (1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称． (2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可． (3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律． (4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称． 31．（23-24高一上·四川德阳·月考）为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（    ） A．关于y轴对称，再向左平移3个单位长度 B．关于y轴对称，再向右平移3个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再关于x轴对称 D．向右平移3个单位长度，再关于x轴对称 32．（23-24高一上·北京昌平·期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（   ） A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度 C．向上平移2个单位长度 D．向下平移2个单位长度 33． （23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数的图象过点，则函数的大致图象是（   ） A．B．C． D． 【题型6 判断对数型函数的图象形状】 高妙技法 解题先抓核心要素：一是确定底数的范围，判断函数单调性（递增，递减）；二是找特殊点，对数函数必过定点，可代入验证；三是分析图象的渐近线，对数函数图象恒以轴（）为渐近线。若为复合对数函数，先分析内层函数的图象特征（如奇偶性、零点、单调性），再结合对数函数的单调性，利用复合函数图象变换规律推导最终图象形状，也可通过取特殊值描点辅助判断。 34．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）如图，①②③④不可能是函数或（其中且）的部分图象的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 35．（25-26高一上·贵州·期末）若函数，则的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 36．（21-22高一上·江西九江·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数的图象大致为（    ） A．B． C．D． 38．（24-25高一上·湖北·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【题型7 根据对数型函数图象判断参数的范围】 高妙技法 解题关键是将图象特征转化为关于参数的不等式（组）。先观察图象的单调性，确定底数的范围（递增则，递减则）；再结合图象过的特殊点（如定点外的已知点），代入解析式列方程或不等式；若图象涉及平移、伸缩变换，根据变换规律反推参数的取值。例如的图象位置由决定，可通过图象与坐标轴的交点、渐近线位置等条件限制参数范围，最后验证参数取值是否符合图象的所有特征。 39．（24-25高一上·陕西榆林·期末）若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数的取值范围为 . 40．【多选】（22-23高一上·江苏淮安·月考）设a与b为实数，，且，已知函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．函数的定义域为 D．函数在为增函数 41．（2022高三·全国·专题练习）已知函数，若且，则的取值范围为 . 【题型8 对数型函数图象过定点问题】 高妙技法 核心原理是对数函数恒过定点，即无论底数如何变化，当时，函数值恒为0。解题时设对数型函数为，令内层函数，解出此时的值；再将代入函数解析式，计算对应的值（此时），则即为函数图象恒过的定点。需注意验证时是否在定义域内，确保定点存在的有效性。 42．（25-26高一上·重庆·期中）函数，且恒过点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 43．（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数（且）的图象必过定点 ． 44．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）函数（且）的图象所过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 45．（24-25高二下·河南商丘·期末）若函数，且的图象过定点，则点的坐标是 ． 46．（24-25高二下·河北沧州·期末）函数（且）的图象恒过的点为（    ）． A． B． C． D． 【题型9 对数函数图象的应用】 高妙技法 对数函数图象的应用核心是数形结合思想，将代数问题转化为图象的位置或交点问题。求解对数方程的根的个数时，转化为两个函数图象的交点个数；解对数不等式时，转化为对数函数图象在某条直线上方或下方的的取值范围；求参数范围时，结合图象的单调性、特殊点、渐近线等特征列不等式。解题时需准确画出函数图象的关键部分（如定点、渐近线、单调区间），利用图象的直观性简化复杂的代数推理，同时注意定义域对图象的限制。 47．（24-25高一上·四川南充·期末）设关于x的方程有两个不相等的实数根a，b，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 48．（24-25高一上·湖南郴州·期末）已知函数，方程恰有三个不同的实数解，则可能的值是（   ） A． B． C． D． 49．【多选】（24-25高一上·辽宁·期末）已知直线分别与函数和的图象交于，，则下列说法正确的是(    ) A． B． C． D． 50．（24-25高一下·广西贵港·期末）已知函数，当时，取得最大值n，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 51．（24-25高一上·广西南宁·期末）如图，平行于轴的直线分别与函数及的图像交于点和，点为函数图像上一点．若为正三角形，则 ． 【题型10 判断对数型函数的单调性】 高妙技法 对于简单对数函数（），直接根据底数判断：时在上单调递增；时在上单调递减。对于复合对数型函数，需遵循“同增异减”原则：先确定定义域（），再分析内层函数的单调性，最后结合外层对数函数的单调性判断复合函数的单调性。若且递增，则复合函数递增；若且递增，则复合函数递减。解题时需优先保证定义域的完整性。 52．【多选】（25-26高一上·广东·期末）下列函数在上单调递增的为（    ） A． B． C． D． 53．（25-26高一上·海南·期中）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 54．（22-23高一上·江苏徐州·期末）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 55．【多选】（21-22高一上·江苏连云港·期末）下列函数中，在区间内单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【题型11 对数型复合函数的单调性】 高妙技法 形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法 (1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)． (2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间． (3)当底数0<a<1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调增区间． 56．（2023高一上·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 57．（25-26高一上·贵州·期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 58．（25-26高二上·湖南·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 59．（24-25高一下·安徽滁州·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B．的值域是 C．是偶函数 D．的单调递减区间是 【题型12 由对数型函数的单调性求参数】 高妙技法 解题需结合复合函数单调性的“同增异减”原则，分两类情况讨论：若对数型函数为，当时，函数的单调性与一致，需在定义域内单调递增（或递减）以满足整体单调性；当时，函数的单调性与相反，需在定义域内单调递减（或递增）。若参数在底数的位置，需先确定且，再结合单调性列不等式；若参数在中，需保证恒成立，同时结合的单调性限制参数范围，最后验证参数取值是否符合所有条件。 60．（24-25高一上·安徽宿州·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 . 61．（24-25高一上·云南德宏·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 62．（22-23高二下·江苏南京·期末）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 63．（24-25高一上·安徽亳州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 64．（24-25高二下·重庆·期末）已知，，若函数在单调递增，则实数的取值范围是 . 65．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是 ． 66．（20-21高二下·江苏苏州·期末）若函数在上单调，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 67．（24-25高二下·河北邢台·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 68．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知且，函数是减函数，则a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【题型13 由对数函数的单调性解不等式】 高妙技法 对数不等式的三种考查类型及解法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论． (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解． 69．（2025·江西吉安·模拟预测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 70．（24-25高二下·海南海口·期末）已知，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 71．（25-26高一上·新疆喀什·期末）求不等式的解集． 72．（24-25高二下·江苏·期末）已知函数，则的解集为 ． 73．（24-25高一下·云南保山·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 74．（24-25高一下·云南昆明·期末）已知函数，其中且． (1)求的定义域，判断的奇偶性，并说明理由； (2)求不等式的解集． 75．（24-25高二下·陕西渭南·期末）设且，已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)解关于x的不等式. 【题型14 比较对数式的大小】 高妙技法 比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同，找中间量． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． 76．（25-26高一上·云南昭通·期中）设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 77．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知，，，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 78．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 79．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）设，则（   ） A． B． C． D． 80．（25-26高一上·浙江湖州·月考）设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 81．（25-26高一上·河北张家口·月考）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 82．（25-26高三上·湖南·月考）若，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【题型15 对数型函数的最值问题】 高妙技法 对数型函数的最值求解需结合单调性与定义域，分两类情况：一是简单对数函数，在定义域上无最值；二是复合对数函数，先求定义域（），再分析内层函数的取值范围，结合外层对数函数的单调性确定最值。若，的最大值对应的最大值，最小值对应的最小值；若则相反。若为二次函数等常见函数，可通过求的最值间接求的最值，含参数时需分类讨论参数对单调性和最值的影响。 83．（24-25高一下·上海·期中）已知函数有最小值，则实数的取值范围为 ． 84．（24-25高一上·河北·期末）函数的最小值为 ． 85．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数，，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 86．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若在上单调递增，求的取值范围． (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 87．【多选】（24-25高一上·浙江温州·期末）若函数存在最小值，则实数的值可以是（    ） A．0 B．-1 C．1 D． 88．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知函数有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 89．（24-25高一上·新疆·期末）已知函数，且． (1)判断的奇偶性并说明理由； (2)若在上的最小值是－1，求的值． 90．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数（，且） (1)求函数的定义域； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数的值． 91．（24-25高一上·四川绵阳·期末）已知函数，当时，，且函数在上的最大值与最小值之差为2，则的值为 . 【题型16 恒成立与能成立问题】 高妙技法 对数型函数的恒成立与能成立问题，核心是转化为最值问题。恒成立问题：若在区间上恒成立，当时等价于恒成立，即；当时等价于恒成立，即且。能成立（存在性）问题：若存在使，当时等价于；当时等价于且。解题时需先确定定义域，再求的最值，进而转化为参数的不等式求解。 92．（24-25高一上·安徽·月考）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 93．（20-21高一上·云南德宏·期末）已知函数的图象关于原点对称，其中a为常数． (1)求a的值； (2)当时，恒成立，求实数k的取值范围． 94．（24-25高一上·河北石家庄·月考）已知函数，. (1)求证：为奇函数； (2)解关于的不等式； (3)若恒成立，求实数的取值范围． 95．（23-24高二下·山西吕梁·期末）已知函数，其中． (1)若，求函数的定义域； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 96．（22-23高一上·江苏淮安·期末）已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 97．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数 (1)若，求的值; (2)根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增; (3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【题型17 对数型函数的奇偶性问题】 高妙技法 判断对数型函数奇偶性的步骤：第一步，判断定义域是否关于原点对称，若不对称则函数非奇非偶；若对称，进入第二步。第二步，计算，将解析式中的替换为，利用对数运算法则化简的表达式。第三步，比较与、的关系：若，则为偶函数；若，则为奇函数；若两者均不满足，则非奇非偶。含参数的对数型函数，可利用奇偶性的定义列方程求参数值，注意验证参数取值是否满足定义域要求。 98．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是 . 99．（24-25高二下·福建漳州·期末）已知函数为奇函数不为偶函数，则实数的值是 100．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）定义在R上的奇函数，当时，，则 101．（24-25高一上·上海闵行·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， 102．（2025·湖南长沙·一模）已知为奇函数，则实数a的值是 ． 103．（23-24高二下·云南曲靖·月考）已知函数为奇函数，则的值为 . 104．（23-24高一上·江苏淮安·期末）若函数是奇函数，则 ． 105．（2024·宁夏银川·二模）若是奇函数，则 ． 106．（24-25高二下·山西运城·期末）若函数是偶函数，则 . 107．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知函数是偶函数，则 . 108．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知幂函数的图像过点，若函数为奇函数，则实数 ． 【题型18 反函数问题】 高妙技法 对数函数（）的反函数是指数函数，二者互为反函数，图象关于直线对称。求解对数型函数反函数的步骤：第一步，确定原函数的定义域和值域，反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域；第二步，用表示，将对数式转化为指数式，解出关于的表达式；第三步，互换，得到反函数的解析式，并注明定义域。解题时需注意原函数与反函数的定义域和值域的对应关系，避免混淆。 109．（24-25高一上·山西大同·期末）已知函数，若函数是的反函数，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 110．（24-25高二下·山西吕梁·期末）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 111．（24-25高一上·四川成都·期末）已知是函数（，且）的反函数，则的图象经过的定点坐标为 ． 112．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）函数是的反函数，记函数，则使成立的x的取值范围为 . 113．（24-25高一上·云南昆明·期末）若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是（ ） A． B． C． D． 【题型19 对数函数的实际应用】 高妙技法 对数函数应用题的解题思路 (1)依题意，找出或建立数学模型． (2)依实际情况确定解析式中的参数． (3)依题设数据解决数学问题． (4)得出结论． 114．（24-25高一下·上海宝山·期末）如图，某池塘中的浮萍蔓延的面积（单位：）与时间（单位：月）满足关系式：（且），则浮萍面积从到至少需要经过 个月.（精确到0.1） 115．（25-26高三上·北京海淀·月考）某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律.设初始电量为（单位：），经过小时后，剩余电量（单位：）满足函数关系（其中为电量衰减系数）.已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 116．（25-26高一上·上海闵行·期中）某地火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.为满足此要求，该地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，其中为二氧化硫的初始浓度.若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，那么从现在起至少经过 分钟才能达到排放标准.（结果精确到整数, ） 117．（24-25高二下·北京·期末）荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步.假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高1%.而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么从学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍到3倍，大约经过了（    ） （参考数据：，，） A．41天 B．70天 C．111天 D．181天 118．【多选】（24-25高一下·江苏南京·期中）某药物在人体内的血药浓度与时间有关，血药浓度（单位：）与时间（小时）的变化规律可近似表述为：，其中为初始血药浓度，为代谢速率常数，图象如图所示，则（    ） A． B．每小时血药浓度降低的数值相等 C．服药后6小时，血药浓度降至初始值的 D．服药后，人体内的血药浓度随着时间的增加而降低 【题型20 对数型函数性质的综合应用】 高妙技法 对数型函数性质的综合应用 (1)已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系． (2)求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解． 119．【多选】（25-26高一上·山西·期末）已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A．的图象过定点 B． C． D． 120．【多选】（25-26高三上·河北保定·月考）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称 121．【多选】（24-25高一下·内蒙古·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的图象是轴对称图形 B．在上单调递增 C．的值域为 D．恰有两个零点 122．【多选】（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）函数为奇函数，函数（    ） A．实数的值的值为2 B．函数为上的单调递增函数 C．不等式的解集为 D．若对，总，使得成立，则实数的取值范围是 123．【多选】（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知函数，则下列结论中错误的是（    ） A．函数的定义域是 B．函数是偶函数 C．函数在区间上是减函数 D．函数的图象关于直线对称 124．【多选】（24-25高一下·海南海口·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数是奇函数 C．函数是增函数 D．若，则 125．【多选】（24-25高二下·江西赣州·期末）关于函数，以下说法正确的是（    ） A．当时，的增区间为 B．当时，的值域为 C．如果的值域为，则 D．函数的图象关于直线对称 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽合肥·期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏·期末）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏淮安·期末）下列函数中，其图象与函数的图象关于坐标原点对称的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）关于函数的单调性的说法正确的是（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是增函数 5．（24-25高一下·福建泉州·开学考试）若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知函数，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 二、多选题 8．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数若，则实数的取值可能为（    ） A．-2 B． C．1 D．27 9．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·江苏南京·期末）（多选）若实数满足则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·江苏连云港·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·江苏南通·期末）通过等式（，）我们可以得到很多函数模型，例如将a视为自变量x，b视为常数，那么c就是a（即x）的函数，记为y，则，也就是我们熟悉的幂函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．若令，（e是自然对数的底数），将a视为自变量x（，），则b为x的函数，记为，下列关于函数的叙述中正确的有（   ） A． B．， C．若，且m，n均不等于1，，则 D．若对任意，不等式恒成立，则实数m的值为0 三、填空题 13．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数的图象经过定点，则 . 14．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知函数若，则实数的取值范围是 . 15．（24-25高一上·江苏·期末）已知，且，函数的图象恒过点P，若P在指数函数图象上，则 . 16．（24-25高一上·江苏南京·期末）设为实数，已知函数，若存在实数a，b同时满足和，则实数的取值范围是 . 17．（24-25高一上·江苏常州·期末）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 . 18．（24-25高一上·江苏盐城·期末）不等式恒成立，则 ． 19．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知函数，若不等式与的解集相同，则 . 四、解答题 20．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知函数的图象过点． (1)求实数的值； (2)证明：函数为偶函数； (3)求关于的不等式的解集． 21．（24-25高一上·四川内江·期末）已知函数的图象经过点，其中． (1)求实数a，b的值； (2)求函数的定义域和值域． 22．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数是奇函数. (1)求a的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围. 23．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值与函数的定义域． (2)若对任意的时，都有恒成立．求实数m的取值范围． 24．（24-25高二下·江苏苏州·期末）已知函数． (1)求的定义域； (2)解关于的方程； (3)若函数的图象关于直线对称，求实数的值． 25．（25-26高一上·全国·期末）已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 26．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $