7.2 认识证明（第2课时）课件 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“证明”核心内容，涵盖公理、定理、证明的概念及区分，通过回顾定义与命题，引导学生将命题改写为“如果……那么……”形式，搭建新旧知识支架，为证明学习奠定基础。 其亮点在于渗透公理化思想，结合《原本》介绍公理体系，通过对顶角相等、三角形两边之和大于第三边等规范证明示例，培养学生推理意识与数学语言表达能力。分层练习巩固知识，助力学生发展逻辑思维，教师可直接用于课堂提升教学效率。

认识证明 第七章 证明 第2课时 数学北师大版八年级上册 北 东 60° 西 南 B A 1.了解公理、定理和证明的概念，会区分定理、公理和命题. 2.了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题. 3.初步感受公理化思想，并了解本套教科书所采用的基本事实. 4.阅读有关《原本》和公理化的资料，感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值. 重点 难点 学习目标 表示判断的句子都是 ，而不管判断是否正确. 思考 回顾一下定义和命题有关概念. 对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义. 命题 正确的命题称为 ，不正确的命题称为 . 真命题 假命题 命题的组成：每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项. 情境导入 思考 回顾一下定义和命题有关概念. 命题的形式：命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论. 做一做 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的条件和结论. 1.相等的角是对顶角； 2.钝角大于它的补角； 3.两直线平行，同位角相等. 如果两个角相等，那么它们是对顶角. 如果一个角是钝角，那么这个角大于它的补角. 如果两直线平行，那么同位角相等. 情境导入 思考 我们知道，举一个反例就可以证明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？ 观察、实验、验证特例 方法不可靠 根据已经知道的真命题证实 已经知道的真命题又是如何证实的呢？ 真命题 命题 怎么办呢？ 探究新知 探究 古希腊数学家欧几里得(Euclid，公元前300年前后)编写了一本书，书名叫做《原本》(Elements).为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造： 挑选一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据； 其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理. 除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断. 公理=基本事实 不需要证明 探究新知 演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理.每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明. 推 理 推理的过程叫证明. 经过证明的真命题叫定理. + 一些条件 原名、公理 证实其它命题的正确性 探究新知 探究 定义、命题、基本事实(公理)、定理之间的区别与联系： 联系：这四者都是命题． 区别：定义、公理、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据； 只不过公理是最原始的依据，不需要再进行推理论证而都承认的真命题；而命题不一定是真命题，因而不能作为进一步判断其他命题真假的依据. 探究新知 做一做 1.下列句子中，定理是( )，公理是( )，定义是( ) A.若a=b，b=c，则a=c B.对顶角相等 C.全等三角形的对应边相等，对应角相等 D.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 E.两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等 B，C，E A D 探究新知 2.下列说法错误的是( ) A.命题不一定是定理，定理一定是命题 B.定理不可能是假命题 C.真命题是定理 D.如果真命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题就是定理 做一做 C 探究新知 1.两点确定一条直线.(直线公理) 探究 我们已经认识的八条基本事实，可作为证明的出发点和依据！ 2.两点之间线段最短.(线段公理) A B A B 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. D 探究新知 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行(即：同位角相等，两直线平行). 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. ∠1=∠2⇒ l1∥l2 1 2 l1 l2 D 探究 我们已经认识的八条基本事实，可作为证明的出发点和依据！ 探究新知 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 8.三边分别相等的两个三角形全等. 判定三角形全等. 探究 我们已经认识的八条基本事实，可作为证明的出发点和依据！ 探究新知 探究 此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据. 例如： (1)如果a=b，b=c，那么a=c，这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”. (2)如果a>b，b>c，那么a>c，这一性质同样可以作为证明的依据. 探究新知 探究 从这些基本事实出发，就可以证明已经探索过的结论了. 比如下面这些定理. 1. 同角(等角)的补角相等. 2. 同角(等角)的余角相等. 3. 三角形的任意两边之和大于第三边. 探究新知 公理不用证明，定理是经过证明所得，但不是所有的真命题都是定理. 为了方便，在证明过程中可以用“∵”代替因为， “ ∴”代替所以，分别读作“因为”“所以”. 注意 探究新知 例1 已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O， ∠AOC与∠BOD是对顶角.求证：∠AOC=∠BOD. 分析：根据同角的补角相等可得答案． 证明：∵直线AB与直线CD相交于点O， ∴∠AOB和∠COD都是平角 (平角的定义). ∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角 (补角的定义). ∴∠AOC=∠BOD(同角的补角相等). 由上面的例题，我们可以得到定理：对顶角相等. 应用新知 例2 证明定理：三角形的任意两边之和大于第三边. 分析：根据两点之间线段最短证明结论． 已知：如图△ABC. 求证：AC+BC＞AB，AB+BC＞AC，AB+AC＞BC. 证明： ∵ AB是点A到点B的距离，AC+BC是连接点A、点C、点B的一条折线的长度， 根据两点之间线段最短得：AC+BC＞AB. 同理可得：AB+BC＞AC，AB+AC＞BC. ∴三角形任意两边之和大于第三边. C A B 应用新知 (1)所有的命题都是公理. (2)所有的真命题都是定理. (3)所有的定理是真命题. (4)所有的公理是真命题. 1.判断对错 课堂练习 2.数学上证明一个命题时，通常从命题的 出发，运用 、 及已经证明了的 ，通过一步步的 ，最后证明这个命题的结论成立.证明的每一步都必 须要有 . 条件 公理 定义 定理 推理 根据 3.下列命题可以作为定理的有 . ①2与6的平均值是8； ②能被3整除的数字也能被6整除； ③5是方程号x+7=3x–3的根；④三角形内角和是180°； ⑤等式两边加上同一个数仍是等式. ④⑤ 课堂练习 4.在证明过程中可以作为推理根据的是( ) A.命题、定义、公理 B.定理、定义、公理 C.命题 D.真命题 B 5. 下列说法错误的是(　　) A．命题是判断一件事情的句子 B．基本事实的正确性必须得到证明 C．证明假命题举一个反例即可 D．推理的过程叫做证明 B 课堂练习 6.已知：b∥c， a⊥b,求证：a⊥c． 分析：首先根据垂直定义可得∠1=90°，再根据平行线的性质可得∠2=∠1=90°，进而得到a⊥c． 证明：∵ a ⊥b(已知) ， ∴ ∠1=90°(垂直的定义). 又 b ∥ c (已知) ， ∴ ∠2=∠1=90°(两直线平行，同位角相等). ∴ a ⊥ c (垂直的定义). a b c 1 2 课堂练习 6.已知：∠2是∠1的余角，∠3是∠1的余角. 求证∠2=∠3. 分析：根据余角的概念：和为90°的两角互为余角可得答案． 证明：∵∠2是∠1的余角(已知)， ∴∠2+∠1=90°(余角的定义). ∴∠2=90°–∠1(等式的性质). 又∵∠3是∠1的余角(己知)， ∴∠3+∠1=90°(余角的定义). ∴∠3=90°–∠1(等式的性质). ∴∠2=∠3(等量代换). 1 3 2 课堂练习 总结归纳 $