第05讲 等比数列前n项和及其性质（高效培优讲义）高二数学北师大版选择性必修第二册

本高中数学讲义聚焦等比数列前n项和及其性质，以错位相减法推导公式为起点，系统梳理公式两种形式及适用条件，延伸至“知三求一”应用、前n项和核心性质（片段和、奇偶项和等）及与通项关系，构建从推导到应用的完整知识链。 资料通过“观察—猜想—推导—验证”过程培养数学思维，以复利等实例渗透数学眼光，设置易错辨析和梯度题型助力数学语言表达。课中辅助教师突破重难点，课后帮助学生通过即学即练和综合题型查漏补缺，提升逻辑推理与运算能力。

第5讲 等比数列前n项和及其性质 教学目标 1.知识与技能：理解等比数列前n项和公式的推导逻辑（错位相减法），熟练掌握公式的两种形式及适用条件；能灵活运用公式求解前n项和、首项、公比、项数等基本量；理解并掌握等比数列前n项和的核心性质，能结合性质简化计算；掌握前n项和与通项的关系 2.过程与方法：通过类比等差数列前n项和的研究思路，经历“观察—猜想—推导—验证”的公式生成过程，体会错位相减法的核心思想；通过典型例题分析，总结前n项和问题的解题规律，提升分类讨论、逻辑推理与数学运算能力 3.情感态度与价值观：感受等比数列前n项和在实际问题中的应用价值（如复利、增长率问题），培养数学建模意识；通过公式推导与性质探究，体会数学知识的严谨性与系统性，提升对数列知识体系的整体认知 教学重难点 重点：等比数列前n项和公式的推导（错位相减法）与灵活应用；等比数列前n项和核心性质的理解与应用；前n项和与通项的关系及应用 难点：错位相减法的推导逻辑与操作步骤；公式应用中对“公比q=1与q≠1”的分类讨论；前n项和性质的推导与灵活迁移应用；结合前n项和与通项关系解决含参数问题 知识点01 等比数列前n项和公式的推导（核心方法：错位相减法） 1.推导前提：设等比数列的首项为，公比为，前n项和为，即 2.推导过程（分情况讨论）： 情况1：当时：等比数列为常数列，故 情况2：当时（错位相减法核心步骤）： 1.写出前n项和表达式：① 2.两边同乘公比q：② 3.错位相减（①-②）：左边；右边消去中间项，得 4.整理得公式：（也可变形为，便于q>1时计算） 3.推导关键：错位相减的核心是“消除中间项”，通过同乘公比使相邻两项的指数对齐，相减后中间的等比项全部抵消，仅剩余首项和末项相关的项 易错辨析： 易错点1：推导时忽略q=1的特殊情况，直接用错位相减法推导，导致当q=1时分母为0，公式无意义 易错点2：错位相减时计算失误，如漏减末项或首项，或符号错误（正确应为①-②，若误写为②-①，需注意符号调整） 易错点3：对“错位”理解偏差，未将两式中指数相同的项对齐，导致中间项无法完全抵消 重点记忆： 错位相减法的适用场景：适用于“等差数列×等比数列”型数列的前n项和求解，是等比数列前n项和推导的专属方法 推导的核心逻辑：“同乘公比—错位对齐—相减消项—整理化简”，四步缺一不可 常考结论： 错位相减法的通用步骤可迁移至混合型数列求和，如数列（等差数列×等比数列），其前n项和可通过错位相减法求解 当q≠1时，推导过程中“中间项抵消”是必然结果，本质是等比数列的递推特性决定的 【即学即练】 1．（24-25高二上·全国·课前预习）你能否用等比数列中的，来表示？ 【答案】， 【详解】思路一： ． 思路二： ． 2.（24-25高二上·全国·课前预习）若等比数列的首项是，公比是，如何求该等比数列的前项的和？ 【答案】答案见解析 【详解】思路一：（错位相减法）因为， 所以， 等式两边同乘以，可得：， 两式左右分别相减可得：， 即，故当时，有，而当时，． 思路二：（定义法）当时，由等比数列的定义得， 由比例式的等比性质有，，即 故当时，，而当时，. 思路三：(方程法)， 所以有，，因，故得， 整理得，， 故当时，或，而当时，. 知识点02 等比数列前n项和公式的两种形式及适用条件 1.核心公式： 形式1（基本形式）：（n∈N+） 形式2（含末项形式）：由通项公式得，代入q≠1的公式得（q≠1），该形式适用于已知首项、末项、公比q时快速计算 2.适用条件总结： 优先用形式1的情况：已知、q、n，求；或已知的表达式，判断数列是否为等比数列 优先用形式2的情况：已知、、q，求（无需计算n，简化步骤） 必须分类讨论的情况：题干未明确q是否为1时，需先讨论q=1，再讨论q≠1 易错辨析： 易错点1：忽略公式的适用条件，将q≠1的公式用于q=1的情况，导致计算错误（如q=1时，用计算会出现0/0的无意义形式） 易错点2：混淆两种形式的结构，误将含末项形式写为，符号错误 易错点3：当q为负数或分数时，计算时符号或指数运算失误（如，） 重点记忆： 等比数列前n项和公式的“灵魂”是分类讨论，核心分界点为q=1，必须优先判断 两个核心公式的等价性：当q≠1时，，可根据已知条件灵活转换 常考结论： 当等比数列的公比q≠1时，前n项和可改写为（其中），即是“指数函数型”函数，且常数项与指数项系数互为相反数；反之，若数列前n项和为（A≠0，q≠0，q≠1），则该数列为等比数列 当q=1时，是关于n的一次函数，且一次项系数为，常数项为0 【即学即练】 1．（23-24高二下·全国·课前预习）已知正项等比数列中，为前n项和，，则（　　） A．7 B．9 C．15 D．30 【答案】C 【分析】先根据已知条件并结合等比数列的通项公式求得公比，再求出各项得出结果即可. 【详解】由，，得， 即，由等比数列， 得，即. 由题知，所以， 所以. 故选：C. 2．（23-24高二上·江苏·课前预习）设数列是等比数列，其前项和为，且，则公比的值为 . 【答案】或 【分析】直接利用等比数列的通项公式和求和公式列方程求解. 【详解】当时，，成立； 当时，，又，所以， 化简得， 解得 或． 综上可知，公比的值为或． 故答案为：1或 知识点03 等比数列前n项和公式的应用（知三求一） 1.核心逻辑：已知等比数列的五个基本量、q、n、、中的三个，求另外两个（即“知三求一”），核心工具是前n项和公式与通项公式的联立 2.常见应用场景及步骤： 场景1：已知、q、n，求 1.步骤1：判断q是否为1； 2.步骤2：q=1时，；q≠1时，代入计算 场景2：已知、q、，求n 1.步骤1：q=1时，由得（验证n为正整数）； 2.步骤2：q≠1时，代入公式得，整理为，两边取对数得（验证对数真数大于0，n为正整数） 场景3：已知、n、，求q 1.步骤1：先验证q=1是否成立（代入，若等式成立，则q=1）； 2.步骤2：若q≠1，代入公式得，整理为关于q的方程，求解后验证q≠0且q≠1 场景4：已知、q、，求或n 1.步骤1：q≠1时，优先用含末项公式，代入已知量求； 2.步骤2：再结合通项公式求n 易错辨析： 易错点1：求解公比q时，忽略q的多解情况，如已知、、，代入公式得，即，解得q=2或q=-3，不可只取正根 易错点2：取对数求n时，忽略真数大于0的条件（因等比数列中与q同号时，为正，真数恒正；若与q异号，n为偶数时为正，n为奇数时为负，需结合题干判断） 易错点3：已知求参数时，未验证q=1的情况，导致漏解 重点记忆： “知三求一”的核心是“公式选型+分类讨论”，优先根据已知量选择含末项或含n的公式，减少计算量 求解关于q的高次方程时，可利用因式分解简化计算（如q³-1=(q-1)(q²+q+1)），避免复杂运算 常考结论： 若等比数列为正项数列，则q>0，求解时可舍去负根；若无数项符号限制，需保留所有符合条件的q值 当n为偶数时，qⁿ为正；当n为奇数时，qⁿ的符号与q一致，可利用此规律快速判断q的符号范围 【即学即练】 1．（23-24高二上·上海·课后作业）在等比数列中， (1)，，求； (2)，，求； (3)，，求； (4)，，求． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）根据等比数列前项和公式求解即可； （2）根据等比数列通项公式求解可得，再根据等比数列前项和公式求解即可； （3）根据代入化简求解即可； （4）根据等比数列前项和公式求解即可. 【详解】（1），，故 （2），又，故，故， （3）由，可得，即，解得或. （4），故，即 2.（24-25高二·全国·随堂练习）求下列等比数列的前n项和． (1)，，； (2)，，； (3)，，； (4)，，． 【答案】(1) (2) (3) (4)378 【分析】根据等比数列的求和公式即可代入求解. 【详解】（1）由，，得 （2）由，，得 （3）由，，得 （4）由，，得 知识点04 等比数列前n项和的核心性质 1.核心性质梳理（均基于q≠1的前提，q=1时可单独验证）： 性质1（片段和性质）：设等比数列的前n项和为，则、、、…仍为等比数列，公比为（记为片段和数列，首项为） 性质2（和的比值性质）：设两个等比数列、的前n项和分别为、，公比分别为、，则（类比等差数列的类似性质，核心是“中间项”的桥梁作用） 性质3（奇偶项和性质）：若等比数列的公比为q，前n项和为，则： 当n为偶数时，（为偶数项和，为奇数项和）； 当n为奇数时，，且 性质4（前n项和与公比的关系）：若为等比数列前n项和（q≠1），则（可理解为前n+m项和=前n项和+第n+1到n+m项和，后者是首项为、公比为q的等比数列前m项和） 2.性质的验证（以片段和性质为例）：设，则，同理，故片段和数列公比为 易错辨析： 易错点1：应用片段和性质时，忽略“连续n项和”的前提，如将、、误认为是等比数列（需是连续的n项和，即间隔为n的和） 易错点2：应用性质2时，混淆“前2n-1项和”与“前n项和”，误写为，正确应为前2n-1项和的比值 易错点3：应用奇偶项和性质时，未区分n的奇偶性，如n为偶数时误用，导致计算错误 易错点4：忽略性质的适用条件（q≠1），当q=1时，片段和数列变为、、、…，是公比为1的等比数列（常数列），需单独验证 重点记忆： 片段和性质是考试高频考点，核心应用场景：已知、，求（无需求、q，直接用性质求解） 所有性质的核心均源于等比数列的定义，可通过前n项和公式推导验证，理解推导逻辑可避免记忆混淆 常考结论： 片段和性质的延伸：若片段和数列的公比为，则当q=-1且n为偶数时，，片段和数列变为、、、…；当q=-1且n为奇数时，，片段和数列变为、、、…（交替出现） 利用性质4可快速求解“间隔项和”，如求，已知、，则 【即学即练】 1．（1）在等比数列中，已知，求； （2）一个等比数列的首项是，项数是偶数，其奇数项的和为，偶数项的和为，求此数列的公比和项数. 【答案】（1）；（2）公比为，项数为. 【分析】（1）由等比数列片段和数列的性质可求； （2）设该等比数列有项，由偶数项和与奇数项和之比得公比，再由前项和为，利用公式法得方程解即可. 【详解】（1）∵为等比数列，由知数列的公比不等于， 也成等比数列， ，则， ； （2）设等比数列的公比为，项数为． 记，， 则 ，则， 根据，得，解得. 此数列的公比为，项数为. 2．设等比数列的前项和为，若，则（    ） A．20 B．30 C．35 D．40 【答案】B 【分析】根据等比数列前项和的性质列方程求解 【详解】由等比数列的前项和的性质可得：也成等比数列， ，得， 解得. 故选：B. 知识点05 等比数列前n项和与通项的关系 1.核心关系：对任意等比数列，其前n项和与通项满足： 当n=1时，； 当n≥2时，； 综上： 2.应用场景：已知前n项和的表达式，求通项公式；或验证已知的数列是否为等比数列 3.关键步骤（已知求）： 1.第一步：求； 2.第二步：求n≥2时的； 3.第三步：验证n=1时的是否满足n≥2时的表达式：若满足，通项公式统一为（n∈N+）；若不满足，需分段表示 易错辨析： 易错点1：忽略n≥2的限制，直接用表示所有项，未验证n=1的情况，导致通项公式错误（如，n≥2时，n=1时，满足，故统一为；若，n≥2时，n=1时，不满足，需分段） 易错点2：已知（A≠0，q≠0，q≠1），未判断A与B的关系，直接判定为等比数列，正确结论是：当A+B=0时，数列是等比数列；当A+B≠0时，数列从第2项起是等比数列，首项不满足 易错点3：计算时，代数变形失误，如，，相减时漏项或符号错误 重点记忆： “验证n=1”是已知求的必步骤，不可省略，否则可能导致首项错误 等比数列前n项和的特征：（A≠0，q≠0，q≠1），即常数项与指数项系数互为相反数，这是判断数列是否为等比数列的快速依据 常考结论： 若数列的前n项和为（A≠0，q≠0，q≠1），则： 当A+B=0时，是首项为、公比为q的等比数列； 当A+B≠0时，不是等比数列，但从第2项起的子数列（n≥2）是等比数列，公比为q 若是等比数列，则（n≥2）与通项公式完全等价，可相互验证 【即学即练】 1.根据等比数列前n项和的函数特征，回答以下两个问题： (1)与q的关系． (2)与的关系． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】略 【详解】（1）①当公比时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为，设，则上式可以写成的形式，由此可见，数列的图像是函数图像上的一群孤立的点； ②当公比时，等比数列的前n项和公式是，则数列的图像是函数图像上的一群孤立的点． （2）当公比时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为，设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数． 2.判断正误，正确的填写“正确”，错误的填写“错误”. (1)求等比数列{an}的前n项和时，可直接套用公式Sn＝.( ) (2)若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na.( ) (3)若a∈R，则1＋a＋a2＋…＋an－1＝.( ) (4)等比数列前n项和Sn不可能为0.( ) (5)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a（a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*），则此数列一定是等比数列.( ) 【答案】(1)错误 (2)正确 (3)错误 (4)错误 (5)正确 【分析】利用常数列可判断（1）（2）（3）（5）（6）；通过举例可判断（4）；根据与的关系求出通项，然后再根据等比数列定义验证即可判断（7）. 【详解】（1）当时，不能使用公式求和，错误； （2）若数列是首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则， 所以，，正确； （3）当时，不能使用等比求和公式计算1＋a＋a2＋…＋an－1＝，错误. （4）例如：等比数列前n项和Sn可能为0，错误. （5）若某数列的前n项和公式为， 则时，， 时，， 综上，该数列的通项为， 因为，所以该数列为等比数列，正确. 题型01 求等比数列的前n项和 【典例1】已知数列通项公式，则数列的前9项和为 . 【答案】 【分析】由通项公式可得，数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，利用分组求和求解. 【详解】， 数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列． 则，． 则数列的前9项和 ． 故答案为：． 【变式1】（25-26高二上·陕西·月考）已知数列满足，其前n项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析数列的性质，利用等比数列的求和公式进行计算即可. 【详解】令，则 . 由，所以， 两式相除可得：. 所以数列的奇数项和偶数项都是以2为公比的等比数列. 所以 . 故选：B 【变式2】（25-26高二上·上海浦东新·月考）设是等比数列， (1)求的通项公式； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题设条件算出公比，进而得到通项公式； （2）利用等比数列的求和公式计算. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由题知，解得， 则等比数列的通项公式； （2）结合（1）可知，是首项为，公比为的等比数列， 共项， 由等比数列的求和公式， 【变式3】（25-26高二上·山东青岛·月考）已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，为数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，即可求解； （2）利用（1）中结果得，再分组利用等差数列、等比数列的前项和公式，即可求解 【详解】（1）因为①，当时，②， 由①②得到， 又时，，不满足， 所以 （2）由（1）知， 所以 . 一、核心公式 设等比数列的首项为，公比为，前项和为，则： 1.当时，； 2.当时，或； 二、方法技巧 1.公比判定优先：求解前需先判断是否为1，这是避免公式误用的关键，若直接套用的公式会导致根本性错误； 2.公式选择策略：已知、、时，直接代入对应公式；已知时，优先选用，可减少指数运算量； 3.结果验证辅助：当时，可根据的正负性和的奇偶性判断的符号，辅助验证计算结果的合理性； 4.公式推导理解：结合教材中错位相减法的推导过程，深化对公式的理解，便于应对公式逆用、变形等复杂问题. 题型02 等比数列前n项和基本量的计算 【典例1】（24-25高三上·福建厦门·期中）已知是等比数列的前项和，，则（　　） A．18 B．21 C．24 D．27 【答案】B 【分析】根据题意结合等比数列性质求得，即可得结果. 【详解】已知数列是等比数列，又， 则公比，， 故选：B 【变式1】【多选题】（25-26高二上·河南·月考）已知公比为的正项等比数列的前3项和为，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．数列是递减数列 D． 【答案】ABD 【分析】对于AB，根据题意列出方程组求解即可；对于CD，由求出的等比数列通项公式即可判断． 【详解】对于AB，由题意得且，， 由得，由 得， 所以，化简得， 解得或（舍），将2代入，解得，故AB正确； 对于C，由AB选项可知，，所以数列是递增数列，故C错误； 对于D，法一：由等比数列的性质，得，因为，所以； 法二：因为，所以，所以； 故D正确． 故选：ABD． 【变式2】（25-26高三上·江西·月考）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用等比数列前项和公式和通项公式分析计算即可. 【详解】设等比数列的首项为，公比为. 当时， ，不满足，舍去； 当时，， 所以， 所以，解得. 所以. 故选：C. 【变式3】（25-26高二上·湖南·月考）已知是递增的等比数列，若，且的前项和，则 . 【答案】4 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的性质，得到，结合，求得，再由，列出方程，求得，进而求得的值. 【详解】设等比数列的公比为， 由等比数列的性质，可得， 又由，所以是方程的两个根，解方程得或， 因为等比数列为递增数列，所以， 又因为，解得， 因为，解得. 故答案为：. 一、核心关系 等比数列前项和涉及、、、、五个基本量，已知其中三个量可通过以下核心关系列方程组求解： 1.通项公式：； 2.求和公式：（）或（）； 二、方法技巧 1.先定公比再列方程：优先判断是否为1，简化方程组求解难度，时方程组可简化为； 2.通项与和的转化：若已知与的关系式，可利用求出，再反求、； 3.高次方程简化：求解含的高次方程时，结合等比数列性质进行因式分解，避免复杂运算； 4.运算规范：注意指数运算的准确性，区分与，避免因符号、指数错误导致结果偏差. 题型03 等比数列奇偶项和的性质 【典例1】（25-26高二上·重庆·月考）若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 . 【答案】 【分析】由奇数项和，偶数项和及末项的关系式，代入数据得，再计算求出公比. 【详解】设等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项， 设公比为，得到奇数项和为， 偶数项和为， 所以， 即， 可得：，解得． 故答案为： 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）设无穷等比数列所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为，求首项的值． 【答案】 【分析】由等比数列的求和公式可得，求解即可. 【详解】解：设无穷等比数列的公比为，首项为， 有题意知，且奇数项和偶数项的公比为， 则， 解得． 【变式2】（24-25高三上·重庆·月考）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【答案】D 【分析】设数列共有项，设所有奇数项之和为，由题意表求出和，利用求出公比，再结合求出即可. 【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为， 因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以， 所以，， 故满足，解得， 又， 所以. 故选：D 【变式3】（2024高二·全国·专题练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 【答案】/ 【分析】结合题意列方程组分别求出，，再由等比数列的性质求出结果即可. 【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得 解得 所以． 故答案为：. 一、核心性质 设等比数列公比为，前项和为，奇数项和为，偶数项和为，则： 1.项数为偶数时：，； 2.项数为奇数时：，； 3.特殊情况（）：为偶数时；为奇数时； 二、方法技巧 1.项数判断优先：明确数列项数的奇偶性是应用性质的前提，避免性质混淆； 2.比例关系应用：已知时，可通过与的比例快速求解某一项和；未知时，可通过两者关系列方程求； 3.奇偶项子数列性质：等比数列的奇数项、偶数项分别构成公比为的等比数列，可利用此性质辅助计算； 4.特殊值验证：遇到的情况时，直接利用特殊性质简化计算，无需套用常规公式. 题型04 等比数列片段和的性质 【典例1】（25-26高三上·重庆·月考）已知等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【分析】根据等比数列的片段和的性质可得也成等比数列，借助于等比中项列式求解即得. 【详解】等比数列中，， 因也成等比数列，则， 即，解得：. 故答案为: . 【变式1】（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．49 B．63 C．84 D．105 【答案】A 【分析】根据等比数列前项和性质列式计算即可求解. 【详解】由题意可知，成等比数列， 所以，解得. 故选：A 【变式2】（25-26高三上·河北·月考）设为公比大于1的等比数列的前项和，若，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】由等比数列片段和的性质可得。 【详解】设为公比大于1的等比数列的前项和， 所以成等比数列，所以， 因为，所以， 解得或者, 因为等比数列公比大于1，所以， 所以, 故选：D 【变式3】（25-26高三上·河北沧州·月考）已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．56 B． C．63 D． 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质建立方程，求解即可. 【详解】因为等比数列的前n项和为， 所以，，成等比数列，且公比为正数， 设，由题意得，， 则7，，成等比数列，得到， 即，解得或， 因为，，三者同号，所以，故C正确. 故选：C. 一、核心性质 设等比数列公比为，前项和为，则片段和、、、构成公比为的等比数列，即： （前提：）； 二、方法技巧 1.片段和定义明确：片段和是连续项的和，需确保每个片段的项数均为，起始项依次顺延； 2.性质应用前提：必须验证，若，则片段和数列不满足等比数列性质，此时需结合且为偶数的特殊情况分析； 3.快速求解工具：利用该性质可直接求解未知片段和，无需重复计算完整前项和，大幅提升计算效率； 4.逆用求参数：已知片段和之间的关系时，可逆用性质求解或，简化参数求解过程. 题型05 错位相减求和 【典例1】（25-26高二上·天津红桥·月考）已知等差数列的通项公式，数列满足． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)已知数列求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）结合已知得，，再根据等比数列的定义与通项公式求解即可； （2）由题知，再根据错位相减法求解即可. 【详解】（1）因为数列满足，即 所以， 又，，故,， 所以，， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以，即， 所以的通项公式为. （2）因为等差数列的通项公式， 可得， 所以  ①，   ②， 得： ， 所以. 【变式1】（2425高二上·山东济南·月考）等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题目条件列出等式求出公比和首项，即可得数列的通项公式； （2）先求出数列的通项公式，再利用错位相减法求出其前项和为，即可得证 【详解】（1）因为，，成等差数列，所以， 即，整理可得，所以公比. 由，可得，解得， 所以； （2）因为， 所以， 则， ， 上面两式相减可得 ， 所以. 又因为，所以． 【变式2】（24-25高二上·广东清远·期末）已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且. (1)求数列、的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）当时，当时，结合，求得，再由，利用等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）得到，利用乘公比错位相减法，即可求出数列的前项和. 【详解】（1）因为，所以当时，， 当时，， 当时，，符合上式，所以， 又因为，数列是公比为3的等比数列，所以， 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为. （2）由（1）知，，可得， 则， ， 两式相减，可得 ， 所以. 【变式3】（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知等差数列满足，，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）设等差数列的公差为，可得，求解即可得数列的通项公式，运用累加法可求得数列的通项公式； （2）由（1）可得，运用错位相减法可求得，根据的单调性可得结论. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，，所以， 即，解得，， 所以数列的通项公式； 因为，所以，所以， 又，适合上式，所以的通项公式为：； （2）由（1）知和，得：； 两式相减得， 所以，因，则， 当时，， 单调递增，又，所以. 一、适用范围 适用于求解“等差数列×等比数列”型数列的前项和，其中，为等差数列，为等比数列（）； 二、核心步骤 设，具体步骤如下： 1.乘公比：； 2.作差：； 3.化简右边：设等差数列公差为，则右边可化为，其中利用等比数列求和公式计算； 4.整理得结果：左边提取得，两边同除以即得； 三、方法技巧 1.题型判断精准：严格区分“等差×等比”型数列，避免对其他类型数列误用错位相减法； 2.乘公比规范：乘公比时，确保等比数列的每一项都对应乘，保证与的项错位对齐，避免错位偏差； 3.作差符号注意：作差过程中，尤其是最后一项的负号容易遗漏，需重点关注； 4.等比求和准确：化简右边的等比数列和时，准确确定首项（）、末项（）和项数（），避免求和公式应用错误； 5.特殊情况处理：若，则为常数列，可直接利用等差数列求和公式计算. 题型06 数列求和与恒成立问题 【典例1】（25-26高二上·江苏苏州·月考）在数列，且满足；在数列中，记数列的前n项和为，满足. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得到，得出数列为等差数列，求得，再由时，，两式相减求得，得到为等比数列，求得，即可求解. （2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解； （3）根据题意，转化为对任意恒成立，设，根据，分为偶数和为奇数，两种情况讨论，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由数列，且满足，可得， 即，所以数列是以，公差为的等差数列， 所以，所以， 又由数列的前n项和为，满足， 当时，，可得， 当时，， 两式相减，可得，即，所以， 即，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以. （2）解：由（1）知：且，所以， 则， 可得， 两式相减，可得 ， 所以. （3）解：由不等式，可得 即对任意恒成立， 设，可得， 当时，可得； 当时，，即，即， 当为偶数时，可得，解得； 当为奇数时，可得，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 【变式1】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为. （i）求； （ii）若，，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）对左右同除后，结合等差数列定义即可得证，再利用等差数列性质计算即可得的通项公式； （2）（i）借助错位相减法计算即可得；（ii）由题意可得，构造数列，借助作商法可得数列单调性，即可求出数列的最大值，即可得解. 【详解】（1）由，则， 即有，又， 故数列为以为首项，为公差的等差数列， 则，故； （2）（i）， 则， ， 则 ， 则； （ii），即， 整理得，令， 令，解得，又，故， 则数列在时，单调递增，在时，单调递减， 又， 故的最大值为，故. 【变式2】（25-26高二上·重庆江北·月考）已知数列前项和，数列前项和． (1)求数列，的通项公式： (2)若，求数列前项和； (3)若，为数列的前项和，且恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)的取值范围为. 【分析】（1）利用作差法求解，构造等比数列求解； （2）通过错位相减法求解； （3）通过裂项可得，再分别求解以及即可. 【详解】（1）因为，当时，，当时，，，所以， 所以当时，，所以；同理，当时，，即，当时，，， 两式相减，所以，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以,. （2）由（1）可得，，所以①， ②， ①②可得， ，所以， . （3），所以，所以当时， 可得 ，当增大时，减小，所以的最大值为 当时，，当增大时，增大，此时趋近于 又因为，所以，所以的取值范围为. 【变式3】（2025·辽宁葫芦岛·二模）已知为正项数列，．在与之间插入个7，构成数列 ．设． (1)求的通项公式． (2)设，求． (3)设，数列的前项积为，数列的前项积为．若不等式 对任意恒成立，求的最大值． 【答案】(1)， (2) (3)． 【分析】（1）由题知，进而根据等比数列定义得，根据得； （2）由（1）知，，进而根据错位相减法求解即可； （3）由题，转化为不等式对任意恒成立，再令，研究其单调性，求解最小值即可得答案. 【详解】（1）解：因为，所以， 因为，所以，即，又， 所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以． 根据题意可得． （2）解：，则 记① ②， ①②得， ， 故（或）． （3）解：依题意得． 不等式对任意恒成立， 即不等式对任意恒成立． 设，则， 所以 ， 又，所以， 所以数列单调递增，则， 所以，即的最大值为． 一、核心思路 先准确求解数列前项和，再将恒成立问题转化为关于的不等式（或等式）问题，结合数列的单调性、最值求解参数取值范围； 二、方法技巧 1.求和精准优先：根据数列类型选择对应求和方法（等比求和、错位相减等），确保表达式准确无误，这是后续求解的基础； 2.数列单调性分析：通过计算的符号判断的增减性：若，则递增，最小值为；若，则递减，最大值为；若存在极值，需找到极值点对应的值； 3.恒成立条件转化： ①若（为常数）恒成立，则； ②若恒成立，则； ③含参数问题：优先分离参数，转化为“参数恒成立”或“参数恒成立”，再求的最值； 4.注意的取值限制：为正整数，求最值时，需结合函数单调性和的整数性，不能直接套用连续函数的最值结论，必要时验证相邻整数点的函数值； 5.结果验证：求出参数范围后，代入的特殊值（如、）验证，确保恒成立条件始终满足. 题型07 等比数列求和的应用 【典例1】（25-26高三上·甘肃白银·月考）已知一个热气球在第一分钟上升了的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它前一分钟上升高度的60%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】由题意，热气球每分钟上升的高度构成等比数列，且首项，公比． 则该热气球在前3分钟里上升的总高度． 故选：C． 【变式1】（24-25高一下·上海·月考）近日，某网站发表了一项针对新冠肺炎疫情数据的最新分析，该研究显示，新冠病毒的中位潜伏期约4.75天，即病毒侵入人体到人体出现反应或开始呈现症状时平均4.75天；基本传染数（R0）达3.77，即每位患者平均传染3.77人．假如有一种细菌能够杀死新冠病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个新冠病毒的同时自身分裂为2个，现有一个这样的细菌和500个病毒，则细菌将新冠病毒全部杀死至少需要（    ） A．7秒钟 B．8秒钟 C．9秒钟 D．10秒钟 【答案】C 【分析】设第秒种的细菌的个数为，且，求得通项公式，据题意可得，求解即可. 【详解】设第秒种的细菌的个数为，且， 又每个细菌在每秒钟杀死一个新冠病毒的同时自身分裂为2个， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以， 则经过秒钟共杀死个新冠病毒， 依题意，需使，即，所以， 因是增函数，且，故. 即细菌将新冠病毒全部杀死至少需要9秒钟. 故选：C 【变式2】（24-25高二下·陕西西安·期中）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期，感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要（    ）轮传染？（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】设第轮感染人数为，所以数列为等比数列，首项，公比.再由题意结合等比数列前项和公式，列出不等式，求解即可. 【详解】由1个初始感染者经过第一轮传染，感染人数为，经过第二轮感染，感染人数为，…… 设第轮感染人数为，所以数列为等比数列，首项，公比. 所以经过轮后感染人数为， 若感染人数由1个初始感染者增加到1000人 则，因为且 又因为，所以， 所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要5轮传染. 故选：B 【变式3】（24-25高二上·河南安阳·期末）洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 【答案】C 【分析】借助等比数列求和公式求出首项，然后利用等比数列通项公式基本量的运算求解即可. 【详解】由题意，从下往上“浮雕像”的数量成等比数列，设为， 则，公比，所以， 所以，所以第4层“浮雕像”的数量为. 故选：C 一、单选题 1．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知为递增等比数列，其前项和为，若，，则（   ） A． B．27 C．81 D．或81 【答案】C 【分析】根据题意结合等比数列的通项公式运算求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由题意可得，解得或， 又数列为递增等比数列，所以，所以. 故选：C. 2．（2024·全国·模拟预测）等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．3 D．12 【答案】A 【分析】按与两种情况分类讨论，根据等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，当时，，不合题意； 当时，等比数列前项和公式， 依题意，得：，解得：. 故选：A 3．（23-24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可． 【详解】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B 4．（25-26高二上·重庆·月考）已知为等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意先求出基本量，再把目标式转化为等比数列求和，进而利用公式法求解即可. 【详解】由题意得为等比数列，则设首项为，公比为， 因为，，所以， 联立方程组，解得， 结合题意可得是首项为1，公比为4的等比数列的前50项和， 由求和公式得前50项和为，故D正确. 故选：D 5．（2025·广东·模拟预测）已知是首项和公差均为的等差数列，是首项和公比均为的等比数列，．若的前5项和与的前4项和都等于，则（   ） A．30 B．32 C．42 D．46 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用等差数列、等比数列前项和公式列式求解即可. 【详解】依题意，，显然， ，则， 又，故， 所以，由，得， 则，解得，所以. 故选：A 6．（25-26高三上·江苏镇江·月考）记等比数列的前n项和为．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出等比数列得首项和公比，依据等比数列前项和公式即可得 【详解】设首项为，公比为，则根据题意，所以， 因为，因为，所以， 所以， 故选:D 二、多选题 7．（24-25高二上·湖北·月考）关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（ ） A．若数列为等比数列，且其前项的和，则 B．若数列为等比数列，且，则 C．若数列为等比数列，为前项和，则，，，…成等比数列 D．若数列为等差数列，，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为12 【答案】CD 【分析】求出的值判断A；利用等比数列的性质计算判断B；举例说明判断C；求出与公差的关系判断D. 【详解】对于A，由，得， 又数列为等比数列，则，解得，经验证符合题意，A正确； 对于B，等比数列中，由，得，则，B正确； 对于C，等比数列的公比，为偶数时，，，，，…不成等比数列，C错误； 对于D，因为等差数列的前项和有最大值，故可得， 因为，故可得，即， 所以，可得， 又，故可得， 所以数列的前6项和有最大值，且， 又因为，， 故取得最小正值时n等于，D错误. 故选：CD 8．（25-26高二上·江苏苏州·月考）关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（   ） A．若数列为等比数列，且其前项的和，则 B．若数列为等比数列，且，则 C．若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列 D．若数列为等差数列，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为 【答案】AB 【分析】对A，利用，求出，再利用等比数列的定义求出的值，即可判断A；对B，根据条件，利用等比数列的性质，即可求解；对C，通过举例即可说明；对D，结合条件，利用等差数列的性质得，进而可得，，即可求解. 【详解】对于A，因为，则，， ，由，得到，解得，故A正确， 对于B，由，得到，所以，故B正确， 对于C，取，显然有数列为等比数列，当为偶数时，， 此时不成等比数列，故C错误， 对于D，因为等差数列的前项和有最大值，故可得， 因为，故可得，即， 所以，可得， 又，故可得， 所以前项和在时取得最大值，且， 又因为，， 故取得最小正值时，所以D错误. 故选：AB. 9．（2025·广东江门·模拟预测）已知等比数列的首项为4，公比为，前项和为.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据等比数列片段和的性质及已知得，进而得到、，再依次判断各项的正误. 【详解】由题设，，而，则， 所以，又，则，A错， 且，所以，B对， ，，C对，D错. 故选：BC 10．（25-26高三上·河北·期中）已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为则下列结论中一定正确的是（    ） A．若则 B． C．若则的最大值为1024 D．构成等比数列 【答案】BC 【分析】利用等比数列的通项公式判断A、B；先根据已知条件求出首项和公比从而求得数列和的公式，再根据指数函数和一元二次函数的性质求出最大值判断C；当时，，不能构成等比数列可判断D. 【详解】在等比数列中，，则，所以，A错误； ，B正确； 在等比数列中，，则，，， 设， ， 当或时，可取得最大值10，此时取得最大值，C正确； 当时，，不满足等比数列的定义，不能构成等比数列，D错误. 故选：BC 三、填空题 11．（2024·广东·模拟预测）已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则 ． 【答案】1 【分析】设出公比，根据，求出公比，故，得到. 【详解】设公比为，则， 其中，又， 故，， 故，即， 解得. 故答案为：1 12．（24-25高二下·广东佛山·月考）已知等比数列的前项和（是常数），则 . 【答案】 【分析】由求出数列的通项公式，根据该数列为等比数列求出的值，即可得出的值. 【详解】因为等比数列的前项和（是常数）， 当时，， 当且时，， 因为数列是等比数列，则也满足， 即，解得，故， 且对任意的，，即数列为等比数列，故， 故答案为：. 13．（25-26高三上·湖北黄冈·月考）《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于田地面积的问题.假设有5块长均相等、宽依次成等比数列的矩形田地.这5块矩形田地的总面积为，且最大的矩形田地的面积是最小的矩形田地面积的16倍，则最小的矩形田地的面积为 . 【答案】 【分析】设5块矩形田地的宽构成等比数列，公比为，矩形的长为，根据题意，列出方程组，即可求解. 【详解】设5块矩形田地的宽构成等比数列，其中首项为，公比为，前和为， 不妨设公比，矩形的长为， 因为田地的总面积为620m2，且最大的矩形田地的面积是最小的矩形田地面积的16倍， 可得，即，解得， 所以最小的矩形田地的面积为. 故答案为：. 14．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为 ． 【答案】4 【分析】根据等比数列的求和公式，即可利用比例求解. 【详解】由可知公比， 若,则公比,此时,这与条件矛盾，因此不等于0，因此，因此， 进而，解得或（舍去）， 又，故， 故答案为：4 15．（25-26高三上·山东·月考）设等比数列的前项和为，公比，若，则 ． 【答案】 【分析】由，求得的值，从而可得公比，利用等比数列求和公式求解即可. 【详解】因为数列是等比数列，所以，， 所以是方程的两根，所以或， 所以公比或，所以或， 又，所以，所以 所以. 故答案为：. 四、解答题 16．（25-26高三上·甘肃·月考）已知正项数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用递推式结合已知条件求出公比，再利用求出，从而求出的通项公式； （2）先求出数列的通项公式，列出和，再利用错位相减法结合等比数列前项和公式求． 【详解】（1）因为数列为正项数列，所以，故， 又， 所以，故是公比为的等比数列， 又因为，， 所以，解得， 所以． （2），①， ②， 式①减去②得， ． 17．（25-26高二上·福建龙岩·月考）已知数列，前项和为， (1)若是等差数列，求数列的前项和； (2)若，求； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出等差数列的通项公式，然后利用裂项相消法求出结果即可. （2）利用分组求和法和等差数列、等比数列的前项和公式进行计算即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意，所以， 所以； （2）由题意， 18．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列的通项与求和的关系，以及等比数列的通项公式，可得所求. （2）由数列的裂项相消求和，可得，再由参数分离和不等式恒成立思想，结合数列的单调性，可得所求取值范围. 【详解】（1）当时，，，解得， 当时，由，可得，相减可得，对也成立， 由此可得数列是首项为，公比为的等比数列，所以， 所以，数列的通项公式为. （2）， 则 两式相减可得： , 整理可得, 若对任意的，恒成立,即为恒成立， 设，则，当时，即时，所以当时，， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 可以看出在处取得最小值，所以从后才开始递增，即当，，时，， 当时，，所以， 所以的取值范围为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 等比数列前n项和及其性质 教学目标 1.知识与技能：理解等比数列前n项和公式的推导逻辑（错位相减法），熟练掌握公式的两种形式及适用条件；能灵活运用公式求解前n项和、首项、公比、项数等基本量；理解并掌握等比数列前n项和的核心性质，能结合性质简化计算；掌握前n项和与通项的关系 2.过程与方法：通过类比等差数列前n项和的研究思路，经历“观察—猜想—推导—验证”的公式生成过程，体会错位相减法的核心思想；通过典型例题分析，总结前n项和问题的解题规律，提升分类讨论、逻辑推理与数学运算能力 3.情感态度与价值观：感受等比数列前n项和在实际问题中的应用价值（如复利、增长率问题），培养数学建模意识；通过公式推导与性质探究，体会数学知识的严谨性与系统性，提升对数列知识体系的整体认知 教学重难点 重点：等比数列前n项和公式的推导（错位相减法）与灵活应用；等比数列前n项和核心性质的理解与应用；前n项和与通项的关系及应用 难点：错位相减法的推导逻辑与操作步骤；公式应用中对“公比q=1与q≠1”的分类讨论；前n项和性质的推导与灵活迁移应用；结合前n项和与通项关系解决含参数问题 知识点01 等比数列前n项和公式的推导（核心方法：错位相减法） 1.推导前提：设等比数列的首项为，公比为，前n项和为，即 2.推导过程（分情况讨论）： 情况1：当时：等比数列为常数列，故 情况2：当时（错位相减法核心步骤）： 1.写出前n项和表达式：① 2.两边同乘公比q：② 3.错位相减（①-②）：左边；右边消去中间项，得 4.整理得公式：（也可变形为，便于q>1时计算） 3.推导关键：错位相减的核心是“消除中间项”，通过同乘公比使相邻两项的指数对齐，相减后中间的等比项全部抵消，仅剩余首项和末项相关的项 易错辨析： 易错点1：推导时忽略q=1的特殊情况，直接用错位相减法推导，导致当q=1时分母为0，公式无意义 易错点2：错位相减时计算失误，如漏减末项或首项，或符号错误（正确应为①-②，若误写为②-①，需注意符号调整） 易错点3：对“错位”理解偏差，未将两式中指数相同的项对齐，导致中间项无法完全抵消 重点记忆： 错位相减法的适用场景：适用于“等差数列×等比数列”型数列的前n项和求解，是等比数列前n项和推导的专属方法 推导的核心逻辑：“同乘公比—错位对齐—相减消项—整理化简”，四步缺一不可 常考结论： 错位相减法的通用步骤可迁移至混合型数列求和，如数列（等差数列×等比数列），其前n项和可通过错位相减法求解 当q≠1时，推导过程中“中间项抵消”是必然结果，本质是等比数列的递推特性决定的 【即学即练】 1．（24-25高二上·全国·课前预习）你能否用等比数列中的，来表示？ 2.（24-25高二上·全国·课前预习）若等比数列的首项是，公比是，如何求该等比数列的前项的和？ 知识点02 等比数列前n项和公式的两种形式及适用条件 1.核心公式： 形式1（基本形式）：（n∈N+） 形式2（含末项形式）：由通项公式得，代入q≠1的公式得（q≠1），该形式适用于已知首项、末项、公比q时快速计算 2.适用条件总结： 优先用形式1的情况：已知、q、n，求；或已知的表达式，判断数列是否为等比数列 优先用形式2的情况：已知、、q，求（无需计算n，简化步骤） 必须分类讨论的情况：题干未明确q是否为1时，需先讨论q=1，再讨论q≠1 易错辨析： 易错点1：忽略公式的适用条件，将q≠1的公式用于q=1的情况，导致计算错误（如q=1时，用计算会出现0/0的无意义形式） 易错点2：混淆两种形式的结构，误将含末项形式写为，符号错误 易错点3：当q为负数或分数时，计算时符号或指数运算失误（如，） 重点记忆： 等比数列前n项和公式的“灵魂”是分类讨论，核心分界点为q=1，必须优先判断 两个核心公式的等价性：当q≠1时，，可根据已知条件灵活转换 常考结论： 当等比数列的公比q≠1时，前n项和可改写为（其中），即是“指数函数型”函数，且常数项与指数项系数互为相反数；反之，若数列前n项和为（A≠0，q≠0，q≠1），则该数列为等比数列 当q=1时，是关于n的一次函数，且一次项系数为，常数项为0 【即学即练】 1．（23-24高二下·全国·课前预习）已知正项等比数列中，为前n项和，，则（　　） A．7 B．9 C．15 D．30 2．（23-24高二上·江苏·课前预习）设数列是等比数列，其前项和为，且，则公比的值为 . 知识点03 等比数列前n项和公式的应用（知三求一） 1.核心逻辑：已知等比数列的五个基本量、q、n、、中的三个，求另外两个（即“知三求一”），核心工具是前n项和公式与通项公式的联立 2.常见应用场景及步骤： 场景1：已知、q、n，求 1.步骤1：判断q是否为1； 2.步骤2：q=1时，；q≠1时，代入计算 场景2：已知、q、，求n 1.步骤1：q=1时，由得（验证n为正整数）； 2.步骤2：q≠1时，代入公式得，整理为，两边取对数得（验证对数真数大于0，n为正整数） 场景3：已知、n、，求q 1.步骤1：先验证q=1是否成立（代入，若等式成立，则q=1）； 2.步骤2：若q≠1，代入公式得，整理为关于q的方程，求解后验证q≠0且q≠1 场景4：已知、q、，求或n 1.步骤1：q≠1时，优先用含末项公式，代入已知量求； 2.步骤2：再结合通项公式求n 易错辨析： 易错点1：求解公比q时，忽略q的多解情况，如已知、、，代入公式得，即，解得q=2或q=-3，不可只取正根 易错点2：取对数求n时，忽略真数大于0的条件（因等比数列中与q同号时，为正，真数恒正；若与q异号，n为偶数时为正，n为奇数时为负，需结合题干判断） 易错点3：已知求参数时，未验证q=1的情况，导致漏解 重点记忆： “知三求一”的核心是“公式选型+分类讨论”，优先根据已知量选择含末项或含n的公式，减少计算量 求解关于q的高次方程时，可利用因式分解简化计算（如q³-1=(q-1)(q²+q+1)），避免复杂运算 常考结论： 若等比数列为正项数列，则q>0，求解时可舍去负根；若无数项符号限制，需保留所有符合条件的q值 当n为偶数时，qⁿ为正；当n为奇数时，qⁿ的符号与q一致，可利用此规律快速判断q的符号范围 【即学即练】 1．（23-24高二上·上海·课后作业）在等比数列中， (1)，，求； (2)，，求； (3)，，求； (4)，，求． 2.（24-25高二·全国·随堂练习）求下列等比数列的前n项和． (1)，，； (2)，，； (3)，，； (4)，，． 知识点04 等比数列前n项和的核心性质 1.核心性质梳理（均基于q≠1的前提，q=1时可单独验证）： 性质1（片段和性质）：设等比数列的前n项和为，则、、、…仍为等比数列，公比为（记为片段和数列，首项为） 性质2（和的比值性质）：设两个等比数列、的前n项和分别为、，公比分别为、，则（类比等差数列的类似性质，核心是“中间项”的桥梁作用） 性质3（奇偶项和性质）：若等比数列的公比为q，前n项和为，则： 当n为偶数时，（为偶数项和，为奇数项和）； 当n为奇数时，，且 性质4（前n项和与公比的关系）：若为等比数列前n项和（q≠1），则（可理解为前n+m项和=前n项和+第n+1到n+m项和，后者是首项为、公比为q的等比数列前m项和） 2.性质的验证（以片段和性质为例）：设，则，同理，故片段和数列公比为 易错辨析： 易错点1：应用片段和性质时，忽略“连续n项和”的前提，如将、、误认为是等比数列（需是连续的n项和，即间隔为n的和） 易错点2：应用性质2时，混淆“前2n-1项和”与“前n项和”，误写为，正确应为前2n-1项和的比值 易错点3：应用奇偶项和性质时，未区分n的奇偶性，如n为偶数时误用，导致计算错误 易错点4：忽略性质的适用条件（q≠1），当q=1时，片段和数列变为、、、…，是公比为1的等比数列（常数列），需单独验证 重点记忆： 片段和性质是考试高频考点，核心应用场景：已知、，求（无需求、q，直接用性质求解） 所有性质的核心均源于等比数列的定义，可通过前n项和公式推导验证，理解推导逻辑可避免记忆混淆 常考结论： 片段和性质的延伸：若片段和数列的公比为，则当q=-1且n为偶数时，，片段和数列变为、、、…；当q=-1且n为奇数时，，片段和数列变为、、、…（交替出现） 利用性质4可快速求解“间隔项和”，如求，已知、，则 【即学即练】 1．（1）在等比数列中，已知，求； （2）一个等比数列的首项是，项数是偶数，其奇数项的和为，偶数项的和为，求此数列的公比和项数. 2．设等比数列的前项和为，若，则（    ） A．20 B．30 C．35 D．40 知识点05 等比数列前n项和与通项的关系 1.核心关系：对任意等比数列，其前n项和与通项满足： 当n=1时，； 当n≥2时，； 综上： 2.应用场景：已知前n项和的表达式，求通项公式；或验证已知的数列是否为等比数列 3.关键步骤（已知求）： 1.第一步：求； 2.第二步：求n≥2时的； 3.第三步：验证n=1时的是否满足n≥2时的表达式：若满足，通项公式统一为（n∈N+）；若不满足，需分段表示 易错辨析： 易错点1：忽略n≥2的限制，直接用表示所有项，未验证n=1的情况，导致通项公式错误（如，n≥2时，n=1时，满足，故统一为；若，n≥2时，n=1时，不满足，需分段） 易错点2：已知（A≠0，q≠0，q≠1），未判断A与B的关系，直接判定为等比数列，正确结论是：当A+B=0时，数列是等比数列；当A+B≠0时，数列从第2项起是等比数列，首项不满足 易错点3：计算时，代数变形失误，如，，相减时漏项或符号错误 重点记忆： “验证n=1”是已知求的必步骤，不可省略，否则可能导致首项错误 等比数列前n项和的特征：（A≠0，q≠0，q≠1），即常数项与指数项系数互为相反数，这是判断数列是否为等比数列的快速依据 常考结论： 若数列的前n项和为（A≠0，q≠0，q≠1），则： 当A+B=0时，是首项为、公比为q的等比数列； 当A+B≠0时，不是等比数列，但从第2项起的子数列（n≥2）是等比数列，公比为q 若是等比数列，则（n≥2）与通项公式完全等价，可相互验证 【即学即练】 1.根据等比数列前n项和的函数特征，回答以下两个问题： (1)与q的关系． (2)与的关系． 2.判断正误，正确的填写“正确”，错误的填写“错误”. (1)求等比数列{an}的前n项和时，可直接套用公式Sn＝.( ) (2)若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na.( ) (3)若a∈R，则1＋a＋a2＋…＋an－1＝.( ) (4)等比数列前n项和Sn不可能为0.( ) (5)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a（a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*），则此数列一定是等比数列.( ) 题型01 求等比数列的前n项和 【典例1】已知数列通项公式，则数列的前9项和为 . 【变式1】（25-26高二上·陕西·月考）已知数列满足，其前n项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·上海浦东新·月考）设是等比数列， (1)求的通项公式； (2)求． 【变式3】（25-26高二上·山东青岛·月考）已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，为数列的前项和，求. 一、核心公式 设等比数列的首项为，公比为，前项和为，则： 1.当时，； 2.当时，或； 二、方法技巧 1.公比判定优先：求解前需先判断是否为1，这是避免公式误用的关键，若直接套用的公式会导致根本性错误； 2.公式选择策略：已知、、时，直接代入对应公式；已知时，优先选用，可减少指数运算量； 3.结果验证辅助：当时，可根据的正负性和的奇偶性判断的符号，辅助验证计算结果的合理性； 4.公式推导理解：结合教材中错位相减法的推导过程，深化对公式的理解，便于应对公式逆用、变形等复杂问题. 题型02 等比数列前n项和基本量的计算 【典例1】（24-25高三上·福建厦门·期中）已知是等比数列的前项和，，则（　　） A．18 B．21 C．24 D．27 【变式1】【多选题】（25-26高二上·河南·月考）已知公比为的正项等比数列的前3项和为，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．数列是递减数列 D． 【变式2】（25-26高三上·江西·月考）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A．4 B．2 C． D． 【变式3】（25-26高二上·湖南·月考）已知是递增的等比数列，若，且的前项和，则 . 一、核心关系 等比数列前项和涉及、、、、五个基本量，已知其中三个量可通过以下核心关系列方程组求解： 1.通项公式：； 2.求和公式：（）或（）； 二、方法技巧 1.先定公比再列方程：优先判断是否为1，简化方程组求解难度，时方程组可简化为； 2.通项与和的转化：若已知与的关系式，可利用求出，再反求、； 3.高次方程简化：求解含的高次方程时，结合等比数列性质进行因式分解，避免复杂运算； 4.运算规范：注意指数运算的准确性，区分与，避免因符号、指数错误导致结果偏差. 题型03 等比数列奇偶项和的性质 【典例1】（25-26高二上·重庆·月考）若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 . 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）设无穷等比数列所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为，求首项的值． 【变式2】（24-25高三上·重庆·月考）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【变式3】（2024高二·全国·专题练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 一、核心性质 设等比数列公比为，前项和为，奇数项和为，偶数项和为，则： 1.项数为偶数时：，； 2.项数为奇数时：，； 3.特殊情况（）：为偶数时；为奇数时； 二、方法技巧 1.项数判断优先：明确数列项数的奇偶性是应用性质的前提，避免性质混淆； 2.比例关系应用：已知时，可通过与的比例快速求解某一项和；未知时，可通过两者关系列方程求； 3.奇偶项子数列性质：等比数列的奇数项、偶数项分别构成公比为的等比数列，可利用此性质辅助计算； 4.特殊值验证：遇到的情况时，直接利用特殊性质简化计算，无需套用常规公式. 题型04 等比数列片段和的性质 【典例1】（25-26高三上·重庆·月考）已知等比数列的前项和为，若，则 . 【变式1】（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．49 B．63 C．84 D．105 【变式2】（25-26高三上·河北·月考）设为公比大于1的等比数列的前项和，若，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式3】（25-26高三上·河北沧州·月考）已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．56 B． C．63 D． 一、核心性质 设等比数列公比为，前项和为，则片段和、、、构成公比为的等比数列，即： （前提：）； 二、方法技巧 1.片段和定义明确：片段和是连续项的和，需确保每个片段的项数均为，起始项依次顺延； 2.性质应用前提：必须验证，若，则片段和数列不满足等比数列性质，此时需结合且为偶数的特殊情况分析； 3.快速求解工具：利用该性质可直接求解未知片段和，无需重复计算完整前项和，大幅提升计算效率； 4.逆用求参数：已知片段和之间的关系时，可逆用性质求解或，简化参数求解过程. 题型05 错位相减求和 【典例1】（25-26高二上·天津红桥·月考）已知等差数列的通项公式，数列满足． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)已知数列求数列的前项和． 【变式1】（2425高二上·山东济南·月考）等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，证明：． 【变式2】（24-25高二上·广东清远·期末）已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且. (1)求数列、的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【变式3】（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知等差数列满足，，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 一、适用范围 适用于求解“等差数列×等比数列”型数列的前项和，其中，为等差数列，为等比数列（）； 二、核心步骤 设，具体步骤如下： 1.乘公比：； 2.作差：； 3.化简右边：设等差数列公差为，则右边可化为，其中利用等比数列求和公式计算； 4.整理得结果：左边提取得，两边同除以即得； 三、方法技巧 1.题型判断精准：严格区分“等差×等比”型数列，避免对其他类型数列误用错位相减法； 2.乘公比规范：乘公比时，确保等比数列的每一项都对应乘，保证与的项错位对齐，避免错位偏差； 3.作差符号注意：作差过程中，尤其是最后一项的负号容易遗漏，需重点关注； 4.等比求和准确：化简右边的等比数列和时，准确确定首项（）、末项（）和项数（），避免求和公式应用错误； 5.特殊情况处理：若，则为常数列，可直接利用等差数列求和公式计算. 题型06 数列求和与恒成立问题 【典例1】（25-26高二上·江苏苏州·月考）在数列，且满足；在数列中，记数列的前n项和为，满足. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【变式1】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为. （i）求； （ii）若，，求的取值范围. 【变式2】（25-26高二上·重庆江北·月考）已知数列前项和，数列前项和． (1)求数列，的通项公式： (2)若，求数列前项和； (3)若，为数列的前项和，且恒成立，求的取值范围． 【变式3】（2025·辽宁葫芦岛·二模）已知为正项数列，．在与之间插入个7，构成数列 ．设． (1)求的通项公式． (2)设，求． (3)设，数列的前项积为，数列的前项积为．若不等式 对任意恒成立，求的最大值． 一、核心思路 先准确求解数列前项和，再将恒成立问题转化为关于的不等式（或等式）问题，结合数列的单调性、最值求解参数取值范围； 二、方法技巧 1.求和精准优先：根据数列类型选择对应求和方法（等比求和、错位相减等），确保表达式准确无误，这是后续求解的基础； 2.数列单调性分析：通过计算的符号判断的增减性：若，则递增，最小值为；若，则递减，最大值为；若存在极值，需找到极值点对应的值； 3.恒成立条件转化： ①若（为常数）恒成立，则； ②若恒成立，则； ③含参数问题：优先分离参数，转化为“参数恒成立”或“参数恒成立”，再求的最值； 4.注意的取值限制：为正整数，求最值时，需结合函数单调性和的整数性，不能直接套用连续函数的最值结论，必要时验证相邻整数点的函数值； 5.结果验证：求出参数范围后，代入的特殊值（如、）验证，确保恒成立条件始终满足. 题型07 等比数列求和的应用 【典例1】（25-26高三上·甘肃白银·月考）已知一个热气球在第一分钟上升了的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它前一分钟上升高度的60%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·上海·月考）近日，某网站发表了一项针对新冠肺炎疫情数据的最新分析，该研究显示，新冠病毒的中位潜伏期约4.75天，即病毒侵入人体到人体出现反应或开始呈现症状时平均4.75天；基本传染数（R0）达3.77，即每位患者平均传染3.77人．假如有一种细菌能够杀死新冠病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个新冠病毒的同时自身分裂为2个，现有一个这样的细菌和500个病毒，则细菌将新冠病毒全部杀死至少需要（    ） A．7秒钟 B．8秒钟 C．9秒钟 D．10秒钟 【变式2】（24-25高二下·陕西西安·期中）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期，感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要（    ）轮传染？（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式3】（24-25高二上·河南安阳·期末）洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 一、单选题 1．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知为递增等比数列，其前项和为，若，，则（   ） A． B．27 C．81 D．或81 2．（2024·全国·模拟预测）等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．3 D．12 3．（23-24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（25-26高二上·重庆·月考）已知为等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广东·模拟预测）已知是首项和公差均为的等差数列，是首项和公比均为的等比数列，．若的前5项和与的前4项和都等于，则（   ） A．30 B．32 C．42 D．46 6．（25-26高三上·江苏镇江·月考）记等比数列的前n项和为．若，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高二上·湖北·月考）关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（ ） A．若数列为等比数列，且其前项的和，则 B．若数列为等比数列，且，则 C．若数列为等比数列，为前项和，则，，，…成等比数列 D．若数列为等差数列，，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为12 8．（25-26高二上·江苏苏州·月考）关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（   ） A．若数列为等比数列，且其前项的和，则 B．若数列为等比数列，且，则 C．若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列 D．若数列为等差数列，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为 9．（2025·广东江门·模拟预测）已知等比数列的首项为4，公比为，前项和为.若，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·河北·期中）已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为则下列结论中一定正确的是（    ） A．若则 B． C．若则的最大值为1024 D．构成等比数列 三、填空题 11．（2024·广东·模拟预测）已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则 ． 12．（24-25高二下·广东佛山·月考）已知等比数列的前项和（是常数），则 . 13．（25-26高三上·湖北黄冈·月考）《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于田地面积的问题.假设有5块长均相等、宽依次成等比数列的矩形田地.这5块矩形田地的总面积为，且最大的矩形田地的面积是最小的矩形田地面积的16倍，则最小的矩形田地的面积为 . 14．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为 ． 15．（25-26高三上·山东·月考）设等比数列的前项和为，公比，若，则 ． 四、解答题 16．（25-26高三上·甘肃·月考）已知正项数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 17．（25-26高二上·福建龙岩·月考）已知数列，前项和为， (1)若是等差数列，求数列的前项和； (2)若，求； 18．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $