第01讲 数列的概念及其函数特性（高效培优讲义）高二数学北师大版选择性必修第二册

本讲义聚焦数列的概念及其函数特性，系统梳理数列的定义、分类、通项公式、递推公式及单调性、周期性等核心知识点，构建从概念本质到表示方法再到函数特性应用的完整学习支架。 资料通过易错辨析和概念比较深化数学抽象，结合“冰雹猜想”等实例培养逻辑推理与应用意识。分层题型设计助力课中教学实施，即学即练与综合练习便于课后查漏补缺，有效提升教学效果与学生学习效率。

第1讲 数列的概念及其函数特性 教学目标 1.数学抽象：理解数列的有序性、确定性本质，区分数列与第n项，掌握数列的表示方法. 2.逻辑推理：能根据数列前几项归纳通项公式，能由递推公式推导前几项，理解数列与函数的关联. 3.数学运算：掌握通项公式代入求值、递推公式逐项计算，运用作差法、作商法判断单调性. 4.直观想象：通过数列图像分析单调性、周期性，体会数形结合思想. 5.应用意识：运用单调性解决最值问题，结合概念解决简单实际问题. 教学重难点 （一）核心重点 1.数列的概念及通项公式的理解与应用. 2.递推公式的含义及前几项的求解. 3.数列的函数本质及单调性判断. （二）高频难点 1.由数列前几项归纳通项公式. 2.数列单调性的应用. 3.递推公式与通项公式的初步转化. 4.数列图像的应用. 知识点01 数列的概念与分类 1.定义：按确定次序排列的一列数称为数列，记作，其中是第n项，n为项数.核心特征：有序性、确定性. 2.本质属性：数列是定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数，即，图像是平面直角坐标系中一群孤立的点. 3.分类维度： 按项数多少： 有穷数列：项数有限，存在首项和末项. 无穷数列：项数无限，只有首项，无末项. 按项的增减趋势： 递增数列：（对任意n∈）. 递减数列：（对任意n∈）. 常数列：（对任意n∈）. 摆动数列：项的大小交替变化. 易错辨析： 易错点1：混淆数列与集合，集合无序、元素互异，数列有序、项可重复. 易错点2：忽略数列图像的孤立性，误画为连续曲线. 概念比较： 对比维度 数列 函数 定义域 或其有限子集 任意非空实数集（或其他集合） 图像特征 孤立点 连续或分段连续曲线 对应关系 n→（n为正整数） x→y（x为实数） 重点记忆内容与常考结论： 数列的核心是有序性，次序改变则为不同数列. 有穷数列有末项，无穷数列无末项. 数列图像为孤立点，可直观判断项的增减趋势. 【即学即练】 1．（24-25高二下·全国·课前预习）给出下列数列：①2010～2017年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；②无穷多个构成数列， ， ， ，…；③-2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列-2，4，-8，16，－32，…. 其中，有穷数列是 ，无穷数列是 ，递增数列是 ，常数列是 ． 【答案】 ① ②③ ① ② 【分析】根据数列的分类特征得到答案. 【详解】①为有穷数列，②③为无穷数列，①为递增数列，②为常数列，③为摆动数列， 故答案为：①，②③，①，② 2．（24-25高二上·全国·课前预习）数列可以看成以 （或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，，，….与函数的表示方法一样，数列还可以用 和 来表示. 【答案】 正整数集 列表法 图象法 知识点02 数列的通项公式 1.定义：若数列的第n项与项数n的关系可表示为，则称为通项公式.核心作用：知n求项、知项判位置. 2.通项公式的特征： 并非所有数列都有通项公式；有通项公式的数列，通项可能不唯一. 通项公式必须对数列所有项成立. 3.通项公式求解技巧： 符号规律：正负交替用或调节. 数字规律：将项拆分为符号部分+绝对值部分，绝对值部分与常见数列对比变形. 验证：归纳后代入n=1,2,3验证是否与前几项一致. 易错辨析： 易错点1：归纳通项时忽略符号规律. 易错点2：归纳通项时未验证所有项. 易错点3：认为有前几项就一定有唯一通项. 概念比较： 通项公式可表示所有项（若存在），列举法仅能体现有限项. 重点记忆内容与常考结论： 常见基础数列的通项公式： 正整数列： 正奇数列： 正偶数列： 平方数列： 倒数数列： 归纳通项的常用变形方法：通分、拆分. 【即学即练】 1．（24-25高二上·江苏南通·期末）在数列中，若，则的值为（    ） A．17 B．23 C．25 D．41 【答案】A 【分析】根据给定的通项公式，直接计算即可. 【详解】依题意，. 故选：A 2．（23-24高二上·河南·月考）数列1，，，…的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入即可结合选项逐一排除. 【详解】当时，对于B中， 当时，对于C中，对于D中， 四个选项中只有同时满足，，. 故选：A 知识点03 数列的递推公式 1.定义：已知数列的首项（或前几项），且任意一项与它的前一项（或前几项）的关系可表示为一个式子，该式子称为递推公式.核心要素：初始条件+递推关系. 2.常见递推类型： 等差型递推：（d为常数，n≥2）. 等比型递推：（q为常数，n≥2）. 累加型递推：（n≥2）. 累乘型递推：（n≥2）. 3.递推公式转化为通项公式的方法：迭代法，将递推关系逐步展开迭代，关联到初始条件. 易错辨析： 易错点1：遗漏初始条件，无法确定唯一数列. 易错点2：递推公式的n取值范围错误，误代入无意义的n值. 概念比较： 对比维度 通项公式 递推公式 求项方式 直接代入n，一步到位 从初始项逐步推导 适用场景 求任意项、判断项的位置 已知前项求后项、简单数列的通项推导 存在性 部分数列不存在 所有数列都存在 重点记忆内容与常考结论： 递推公式的核心是初始条件+递推关系，两者共同确定唯一数列. 累加型递推公式通项：；累乘型递推公式通项：. 【即学即练】 1．（23-24高二上·江苏·课前预习）（1）若数列满足， ，求； （2）设数列{an}满足，写出这个数列的前5项. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用递推公式求周期，进而求； （2）根据递推公式即可得到前5项. 【详解】（1）根据题意可得， ， ， ， ， ∴是周期为4的数列，于是. （2）根据题意，这个数列的前5项如下： ， 所以，， ， ， . 2．（23-24高二上·江苏·课前预习）（1）在数列中， ，则 ； （2）已知数列中，，则数列{an}的通项公式是 . 【答案】 【分析】(1)由递推公式得，进而利用累加法得到答案；(2)由递推公式得，进而利用累乘法得到答案. 【详解】(1)由，得. 当时， 当时，也符合． 故. (2)因为，，所以. 当时，， 于是 ， 当时，也符合． 故. 故答案为：；. 知识点04 数列的函数特性（单调性+周期性） 1.核心本质：数列是特殊函数，函数特性可通过函数性质迁移，注意定义域为正整数集的特殊性. 2.单调性： 定义：对任意n∈，若，则为严格递增数列；若，则为严格递减数列. 判断方法： 作差法：计算，正→递增，负→递减，零→常数列. 作商法：适用于各项同号的数列，计算，结合符号判断增减. 图像法：观察孤立点，从左到右上升→递增，下降→递减. 单调性的应用：求最值.递增数列最小值为首项，无穷递增数列无最大值；递减数列最大值为首项，无穷递减数列无最小值；有穷数列结合末项判断. 3.周期性： 定义：存在正整数T（T≥2），对任意n∈，都有，则称数列是周期数列，T为最小正周期. 判断方法：观察数列的项是否重复出现，找到最小的重复周期. 易错辨析： 易错点1：判断单调性时仅验证前几项. 易错点2：作商法忽略各项同号的前提. 易错点3：无穷数列求最值时忽略无最值的情况. 易错点4：将局部重复当作周期. 概念比较： 函数单调性定义域为连续实数区间，可通过导数等方法判断；数列单调性定义域为离散正整数，仅能通过作差、作商等方法判断，且需对所有正整数n成立. 重点记忆内容与常考结论： 作差法是判断数列单调性的万能方法. 有穷数列的最值一定存在，无穷数列的最值不一定存在. 周期数列的通项公式具有周期性，可利用周期简化计算. 常见周期数列：（T=2），（T=4）. 【即学即练】 1．（24-25高二上·全国·课前预习）已知数列，则该数列中最大项的序号是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据数列的函数特性进行判断即可. 【详解】因为，， 所以当时，取得最大值. 故选：A. 2．（24-25高二·全国·随堂练习）已知数列的通项公式是，画出该数列的图象．并根据图象，判断从第几项起，这个数列是递增的． 【答案】图象见解析；从第二项开始递增． 【分析】利用描点法画图，结合图象分析单调性即可． 【详解】列表如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 …… -30 -30 -28 -24 -18 -10 0 12 …… 作图如下： 如图所示，易知数列首项与第二项相同，从第二项开始每一项都大于前一项，即从第二项开始递增． 知识点05 拓展补充（通项与前n项和的关系） 1.核心定义：数列前n项和记为，即（规定，辅助理解递推关系）. 2.通项与前n项和的核心关系：. 3.关键注意事项： 利用该关系求通项时，必须验证n=1时的表达式是否满足n≥2时的通项公式；若满足，可合并为一个表达式；若不满足，需分段表示. 与的转化是双向的：已知可求，已知也可通过求和求，是后续数列求和问题的基础. 【即学即练】 1．（24-25高二·全国·课后作业）已知数列满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用与的关系即得. 【详解】①， 当时， ②， 则①－②得，， 故． 当时，，也符合. 故选：D． 2．（25-26高二上·重庆荣昌·月考）（1）若数列的前n项和，求数列的通项公式. （2）在数列中，已知，求数列的通项公式. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据公式，可得答案； （2）利用累乘法，可得答案. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）当时，， 则 ， 当时，满足上式， 所以. 题型01 数列的概念及其辨析 【典例1】（25-26高二上·陕西榆林·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列的通项公式的形式是唯一的 C．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D．数列不存在通项公式 【答案】C 【分析】根据数列的定义判断AC；根据数列通项公式的概念举例判断BD. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，数列和数列是不同的数列，A错误； 对于B，数列的通项公式可以为，也可以为， 该数列通项公式不唯一，B错误； 对于C，由数列定义知，数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，C正确； 对于D，该数列的通项公式可以为，错误． 故选：C 【变式1】【多选题】（25-26高二上·重庆·期中）下列给出的命题中正确的有（   ） A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．数列1，1，2，3，5，8，13，，34，55，…中，的值为21 D．数列0，，4，，…的一个通项公式是 【答案】BCD 【分析】由数列的定义判断A；由求参数判断B，通过观察及代入验证判断C、D. 【详解】A：数列1，2，3，4和数列1，3，4，2分别对应各自的，显然后三项各不相同，即不是相同数列，错； B：令，则且，可得，即对应第11项，对； C：根据数列中的数据，观察可知从第三项开始，后一项都是前两项的和，则，对； D：根据数列中的数据，观察并验证知，，，，满足前四项，对. 故选：BCD 【变式2】【多选题】（25-26高二上·江苏南通·月考）下列有关数列的说法正确的是（   ） A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 【答案】BC 【分析】A选项，根据数列的定义作出判断；B选项，，B正确；C选项，观察得到第8个数是；D选项，，故D错误. 【详解】A选项，数列，0，4中，， 数列4，0，中，，不是同一个数列，A错误； B选项，，则110是该数列的第11项，B正确； C选项，在数列，，，，，....，第8个数是，C正确； D选项，，故通项公式不为，D错误. 故选：BC 【变式3】（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）下列结论中，正确的是（   ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列的项数一定是无限的 C．数列的通项公式的形式是唯一的 D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式 【答案】A 【分析】利用数列的定义判断A；举例说明判断BC；写出数列通项公式判断D作答. 【详解】对于A，由数列定义知，A正确； 对于B，数列只有5项，该数列项数有限，B错误； 对于C，数列的通项公式可以为， 也可以为，该数列通项公式不唯一，C错误； 对于D，该数列的通项公式可以为，D错误. 故选：A 核心判断依据：紧扣数列“有序性”“确定性”两大本质特征，判断一组数是否为数列的关键是看排列次序是否确定，次序不同则为不同数列. 概念辨析要点：①区分数列与集合：数列有序、项可重复，集合无序、元素互异；②区分“项”与“项数”：项是具体数值，项数是正整数序号. 易错规避：判断数列类型（有穷/无穷、递增/递减等）时，需严格依据定义，如判断递增数列需满足对任意，均有，不可仅验证前几项. 题型02 根据规律写出数列中的某项 【典例1】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）数列，，，，…的第项为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过观察数列的分母和分子的规律，即可求得数列第项的值. 【详解】首先分析数列的分母规律：给出的前项分母依次为，，，，可见第项的分母为.因此，第项的分母为. 再分析数列的分子规律：给出的前项分母依次为，，，，相邻两项的差均为，构成首项为，公差为的等差数列，其通项公式为.因此，第项的分子为. 综上所述，数列的第项为. 故选：C 【变式1】（2025高二·全国·专题练习）已知数列：，，，，，，，，，，，则该数列的第17项 ． 【答案】/ 【分析】可以将数列分组，确定第17项应该是第6组的第2个，即可得解. 【详解】可以将数列分组如下：，，，，， 由项数，知第17项应该是第6组的第2个， 而第6组的第2个是，因此这个数列的第17项． 故答案为： 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它是由正整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，，则第7行第4个数（从左往右数）为（   ） 　 　　 　　　 　　　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知的条件，利用每个数是它下一行左右相邻两数的和这一规律进行逐步推导. 【详解】第6行从左到右各数依次为，，，，，， 第7行从左到右各数依次为，，，，，，， 故选：A. 【变式3】（24-25高一上·上海青浦·开学考试）某种规律排列的一列数： 那么第50个数是 . 【答案】 【分析】寻找规律，得到分母为的数个数为个，推出第50个数的分母为11，为第50个数，得到答案. 【详解】分母为的数个数为个， 其中，故第50个数的分母为11， 其中为第47个数，为第50个数. 故答案为： 解题步骤：①拆分数列的项为“符号部分”和“绝对值部分”，分别找规律；②建立项与项数的对应关系，归纳出通用表达式（无需写出完整通项公式，仅需明确对应规律）；③代入目标项数，计算出对应项. 符号规律处理：若项的符号正负交替，常用（首项为负）或（首项为正）调节. 常见规律参考：绝对值部分常与正整数列、平方数列、立方数列、分式数列等基础数列相关，可对比基础数列找差异. 题型03 观察法求数列的通项公式 【典例1】（25-26高二上·吉林四平·月考）数列的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列的定义和规律求解即可. 【详解】将数列7，25，79，241，… 的各项都加上2后为9，27，81，243，… ， 故该数列的一个通项公式为. 故选：C. 【变式1】（24-25高二上·贵州黔西·期末）数列，，，，，的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据前5项的规律，分析总结，即可得答案. 【详解】数列前5项均为分数，其分子是从1开始的正奇数，分母比对应分子多2， 则第项的分子为，对应的分母为， 所以 故选：B. 【变式2】【多选题】（25-26高二上·黑龙江佳木斯·月考）数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据规律写出数列的通项公式判断AB，结合选项求，推出矛盾判断CD. 【详解】对于选项A，B，根据题意，数列， 即， 故一个通项公式为或，选项A，B正确， 对于选项C，若，则，矛盾，C错误， 对于选项D，若，则，矛盾，D错误， 故选：AB 【变式3】（25-26高二上·河北石家庄·月考）观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列所给项，找到数列中项与项数的规律即可得解. 【详解】因为数列，可以写成， 所以可得到该数列的一个通项公式. 故选：A 三步核心法：①定符号：根据项的正负交替规律，确定符号调节因子[如、]；②找规律：对项的绝对值部分，通过拆分、通分、变形等方式，对比常见基础数列（正整数列、奇/偶数列、平方数列等），找出与项数的对应关系；③验通项：将代入归纳的表达式，验证是否与数列前几项一致，确保通项公式对所有项成立. 常见变形技巧：①分式数列：统一分母后分析分子规律，如可化为，分子为正奇数列；②根式数列：将根式外的系数纳入根式内，便于找规律；③含常数项数列：拆分常数项与变量项，如可拆为. 注意事项：并非所有数列都存在通项公式，且部分数列的通项公式不唯一，归纳时需以最简形式为准. 题型04 由递推公式求出数列中的项 【典例1】（24-25高二上·福建漳州·期中）数列满足，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据数列的递推关系可求 【详解】因为，故为奇数，故， 而为偶数，故，因为为偶数，故. 故选：B. 【变式1】（25-26高二上·天津河北·月考）已知数列中,,（）则 . 【答案】7 【分析】由递推公式依次求得. 【详解】当时，， 当时，， 故答案为：7 【变式2】（25-26高二上·陕西咸阳·月考）在数列中，已知，，则（   ） A．32 B．33 C．31 D．30 【答案】C 【分析】根据递推公式依次代入计算即可求解. 【详解】已知，， 则，， ，. 故选：C 【变式3】（25-26高二上·湖南·月考）已知数列满足，则 . 【答案】 【分析】先求出，再根据递推公式求即可. 【详解】由题意可得，，则. 故答案为：. 核心思路：“初始条件+逐项迭代”，递推公式的核心是“递推关系+初始条件”，两者缺一不可，需先明确首项（或前几项）和递推关系的取值范围（通常）. 解题步骤：①明确初始项（如的值）；②根据递推关系，将代入求出，再将代入求出，依次迭代至目标项数；③计算过程中注意符号和运算准确性，避免因一步错误导致后续结果偏差. 易错规避：不可忽略递推关系的取值限制，如递推式（），不可代入计算（会出现无意义的）. 题型05 根据规律求递推关系式 【典例1】（24-25高二下·四川眉山·期末）在风水学中，单数被视为阳数，象征着积极向上和吉祥，而双数被视为阴数，寓意不佳．在实际应用中，家庭中常见的楼梯台数通常是9级，而公共建筑中则多为11级．今李白在教学楼一二楼之间的楼梯（共11个台阶）上行走，他每次迈步有两种方式：每步登上1个台阶或2个台阶．那么李白从楼梯底部登上第11个台阶的迈步方法有 种． 【答案】144 【分析】首先设从楼梯底部登上第个台阶的迈步方法数为，由题意得到递推关系式，再代入求. 【详解】按李白的迈步方式，记从楼梯底部登上第个台阶的迈步方法数为，显然，， 当时，要登上第个台阶，可以分两类： 第一类，从第个台阶一步迈上，有种； 第二类，从第个台阶一步迈上，有种． 根据分类加法计数原理，． 易得，，，，，，，，． 故答案为： 【变式1】（24-25高二上·广东惠州·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数，则正方形数所构成的数列的第5项是 ，五边形数所构成的数列的通项公式为 ． 【答案】 25 【分析】根据正方形数的前4项特征，即可求解第5项；根据五边形数的特征，列式递推公式，利用累加法，即可求通项公式. 【详解】正方形数所构成数列的第5项是， 五边形数所构成数列满足，，，，， 所以，， 累加可得，当时成立， 所以. 故答案为：25； 【变式2】（2025·黑龙江·模拟预测）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房，，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则被除的余数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可得，将数列中每项除的余数一一列举，找出余数的周期性，进而可求得结果. 【详解】当且时，蜜蜂到达第号蜂房，可以从第号蜂房到达第号蜂房， 也可从第号蜂房到达第号蜂房，所以，，且，， 所以，，，，，，，，， ，，，，，，， ，， 所以，中每项除的余数依次为：、、、、、、、、、、、、 、、、、、、、， 发现余数的周期是，而，因此，被除的余数为， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是列举出每项除的余数，结合周期性求解. 【变式3】（24-25高二上·江苏南通·期末）一点从起点P出发，每次只能向右、向上或向左移动一步，恰好走步且不经过已走的路线和点共有种走法，如则 ，数列相邻三项的递推关系式为 .    【答案】 【分析】先根据题意求出，进而得到相邻项的关系式. 【详解】解 …… 故 即 故答案为： 解题步骤：①列出数列的前几项（至少4项），确保能清晰观察相邻项的关系；②分析相邻两项（或三项）的数量关系，常见关系包括“差为常数”“商为常数”“差为某一数列”“商为某一数列”等；③根据观察到的规律，归纳出与（或）的关系式，即递推关系；④验证递推关系：将前几项代入关系式，确认是否成立. 关键要点：递推关系式需明确的取值范围（如、），同时需标注初始条件（如、的值），否则无法确定唯一数列. 常见规律方向：优先观察的差值规律，再观察的比值规律，若两者均无明显规律，可考虑与的复合关系. 题型06 累加法求数列通项公式 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）在数列中，，，求. 【答案】 【详解】由题意，则，，，，…，，以上各项相加得.所以. 因为也适合上式，所以. 【变式1】（24-25高二上·湖北孝感·月考）数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由累加法可得，从而可得的值. 【详解】由，可得， 利用累加法可得, 化简得，则. 故选：C. 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则 ． 【答案】 【分析】整理数列的递推公式，利用累加法求得其通项公式，再赋值计算即得. 【详解】因为，所以， 所以时，， 则 ， 故. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·重庆九龙坡·期末）数列满足，且，则等于（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【分析】递推公式两侧同时乘以，化简递推公式，得，运用累加法及裂项相消法求和，化简整理，即可得到所求通项，代入数值即可得解. 【详解】因为，，， 所以有，，，，. 累加得，又， 所以，即. 当时，符合上式，所以. 则. 故选：B. 适用条件：递推公式形式为（），且数列的前项和可直接计算（如为一次函数、等差数列、可拆分的分式等）. 四步解题法：①列出递推式：当时，；时，；…；时，（）；②累加消项：将上述个式子左右两边分别相加，左边消去中间项，得；③计算和式：求出（即从到的所有项的和）；④整理通项：，化简后验证时是否成立，若成立则合并为一个表达式，否则分段表示. 易错提醒：累加时注意项数为项，不可多算或漏算；若为常数，累加法即转化为等差数列通项公式的推导过程. 题型07 累乘法求数列通项公式 【典例1】（24-25高二·全国·课后作业）数列中，，（n为正整数），则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合递推式特征，得到为常数列可得答案. 【详解】因为，所以， 则有，得，故. 故选：A 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）已知，，求数列的通项． 【答案】 【分析】，累乘法进行求解. 【详解】因为， 所以， 故， 【变式2】（24-25高二下·四川成都·期中）数列中，若，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】由递推关系得到为常数列，从而可求解. 【详解】因为，所以， 所以数列为常数列，且， 所以. 故答案为:. 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）若数列满足，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意得到，结合累乘法即可求解. 【详解】由，得． 所以 ， 又满足上式，所以． 故答案为：. 适用条件：递推公式形式为（），且数列的前项积可直接计算，同时需满足对任意，（保证分式有意义）. 四步解题法：①列出递推式：当时，；时，；…；时，（）；②累乘消项：将上述个式子左右两边分别相乘，左边消去中间项，得；③计算积式：求出（即从到的所有项的积）；④整理通项：，化简后验证时是否成立，若成立则合并为一个表达式，否则分段表示. 关键要点：累乘时注意分子分母的消项规律，若为常数（且不为0），累乘法即转化为等比数列通项公式的推导过程. 题型08 由Sn与an的关系求通项公式 【典例1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【分析】利用的关系，作差求出后检验首项即可求解. 【详解】当， 故， 当不符合上式， 故， 故答案为：. 【变式1】（25-26高二上·天津红桥·月考）已知数列各项均为正数，为数列的前项和，，则的值为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据计算求解得出结合，计算求解. 【详解】因为，则， 当时，则，且，所以， 当时，，且，即， 则. 故选：C. 【变式2】（25-26高二上·甘肃兰州·月考）已知数列的前项和为，且满足，则 . 【答案】 【分析】当时，由，可得的值，当时，由，代入化简，综合即可得答案. 【详解】当时，， 当时，， 综上，. 故答案为： 【变式3】（2025·湖南岳阳·一模）已知数列满足，则 . 【答案】； 【分析】由题意可得，可得，两式相减可求通项公式. 【详解】由，可得， 所以， 两式相减得， 所以， 当时，，所以，适合上式， 所以. 故答案为：. 核心公式：利用与的内在关系：，其中，规定（辅助理解递推逻辑）. 三步解题法：①求首项：令，；②求时的：由计算表达式，计算时注意与的正确代入（需将、的表达式用和分别替换）；③验证合并：将代入时的表达式，若结果与相等，则可将通项公式合并为一个式子；若不相等，则需分段表示（为一段，为另一段）. 易错规避：①不可忽略的单独求解，直接用计算会遗漏首项；②计算时，需注意符号和代数式的化简，避免运算错误；③验证步骤必不可少，否则可能出现通项公式不完整的情况. 题型09 数列的单调性与最大或最小项 【典例1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】设数列的最大项为,由求解. 【详解】设数列的最大项为， 则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：B 【变式1】（25-26高二上·江苏连云港·月考）数列的通项公式为．若数列仅第7项最小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设函数，结合题意根据二次函数性质列不等式求解即可. 【详解】设函数， 由二次函数性质可知，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 若数列仅第7项最小，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 【变式2】（2025·辽宁·模拟预测）数列的最大项的值为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得，求得数列的最大项的值，得到答案. 【详解】由数列， 则， 当时，，即，且， 当时，，即； 当时，，即，且； 当时，，即； 当时，，即，所以. 综上可得，数列的最大项为. 故答案为：. 【变式3】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 【答案】B 【分析】由题设，结合分式型函数的性质分析数列的单调性及的区间上下界，即可得. 【详解】由，， 当时，，即， 当时，，即， 数列在 上都单调递减， 所以最小项为，即第6项. 故选：B 单调性判断方法：①作差法（万能方法）：计算，若，则数列递增；若，则数列递减；若，则为常数列；②作商法（适用于各项同号的数列）：计算，若且，或且，则数列递增；反之则递减；③图像法：将数列视为函数（），其图像为孤立点，观察点的变化趋势，从左到右上升则递增，下降则递减. 最大/最小项求解技巧：①递增数列：最小项为，无穷递增数列无最大项，有穷递增数列最大项为末项；②递减数列：最大项为，无穷递减数列无最小项，有穷递减数列最小项为末项；③非单调数列：通过作差法找到由正变负（或由负变正）的临界点，临界点对应的项即为最大项（或最小项），也可通过解不等式组（求最大项）或（求最小项）求解的值. 注意事项：判断单调性时需对任意成立，不可仅验证前几项；求解有穷数列的最值时，需结合末项的项数确定，避免遗漏. 题型10 周期数列 【典例1】（25-26高二上·重庆·月考）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据数列递推公式，依次计算数列的项，判断数列的周期，进而求出结果. 【详解】由题意可得，，， 所以数列是周期为3的周期数列，即， 则. 故选：D. 【变式1】（25-26高二上·重庆·期中）已知数列中，，，则（    ） A．1 B． C．－1 D．－2 【答案】D 【分析】由题目所给的递推公式可得周期，从而可得答案. 【详解】因为，， 所以，，， 所以是以3为周期的数列， 所以. 故选：D. 【变式2】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知在数列中，，，则 ． 【答案】 【分析】首先确定数列的周期，再求值. 【详解】，， ，，， 所以数列的周期为3，. 故答案为： 【变式3】（25-26高二上·福建·月考）数列满足，则 . 【答案】 【分析】根据数列的递推关系式，通过写出前几项观察规律，发现数列具有周期性，再利用周期性求出指定项的值. 【详解】已知，且， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 发现从第项开始，数列以为一个周期循环出现，周期长度为， 因为，所以 . 故答案为：. 周期判断方法：①观察法：列出数列的前若干项，观察是否存在重复出现的项组，找到最小的正整数（），使得对任意，均有，即为最小正周期；②递推法：若递推公式隐含周期性，可通过迭代前几项推导周期，如，可推出，周期. 周期应用技巧：①求任意项：若数列周期为，则（为正整数），可将目标项数转化为（），则（时，）；②求前项和：，其中为除以的商，为余数（），为一个周期内各项的和，为前项的和. 易错规避：①不可将局部重复的项组当作周期，需验证对任意均满足周期性；②计算项数转化时，注意余数的取值范围（），避免周期应用错误. 一、单选题 1．（25-26高二上·新疆·月考）数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定数列前4项，利用观察法求出通项公式. 【详解】依题意， 由此得. 故选：B 2．（22-23高二上·山东济南·月考）意大利数学家斐波那契（约1170∼1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列满足：，，若，则（   ） A．2022 B．2023 C．59 D．60 【答案】D 【分析】根据斐波那契数列的性质即可求解. 【详解】由题意，所以. 故选：D 3．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列满足，，则（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】A 【分析】根据题中递推公式可得，，进而可得结果. 【详解】因为，， 令，可得，即； 又因为，可得， 所以. 故选：A. 4．（25-26高二上·甘肃酒泉·月考）已知数列的通项公式为，则下列各数是数列的项是（   ） A．11 B．22 C．24 D．44 【答案】B 【分析】分别将选项中的数换，得到的等式，计算的值，若，则此数是数列中的项，否则，不是数列中的项. 【详解】解得，故A错误； 解得，故B正确； 解得，故C错误； 解得，故D错误． 故选:B． 5．（25-26高二上·天津滨海新·月考）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据“冰雹猜想”探讨数列的周期性，再利用该性质求得答案. 【详解】在数列中，，， 因此数列是以3为周期的周期数列，而，所以， 故选：D 6．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列中，且，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据递推公式计算数列的前几项找到周期性并进行计算即可. 【详解】由且， 得， 所以数列是以为周期的周期数列， 则. 故选：D. 7．（2025高二上·重庆·专题练习）已知，数列，，，…，的项数为（   ） A． B． C．m D． 【答案】B 【分析】本题可先根据数列的通项公式，结合数列的最后一项，通过建立等式来求解项数. 【详解】可以发现其被开方数是首项为3，公差为2的等差数列. 根据等差数列通项公式（其中为首项，d为公差）， 这里，，则被开方数的通项公式为. 已知数列的最后一项为， 那么被开方数对应通项公式. 令， 解得. 所以数列，，，…，的项数为， 故选：B. 8．（25-26高二上·江苏苏州·月考）数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】设数列的最大项为,由求解. 【详解】设数列的最大项为.则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：A. 二、填空题 9．（25-26高三上·云南临沧·开学考试）已知数列满足，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】累乘法求数列通项公式； 【详解】因为，所以 ， 而也满足上式，因此数列的通项公式为. 故答案为： 10．（25-26高二上·河北唐山·月考）已知数列的通项公式为，则110是该数列的第 .项 【答案】11 【分析】根据给定的通项公式列出方程求解即得. 【详解】数列的通项公式为，由，得， 而，解得，所以110是该数列的第11项. 故答案为：11 11．（25-26高二上·福建宁德·月考）已知数列满足，设数列的通项公式为，则 ． 【答案】 【分析】根据给定的递推关系求出可得. 【详解】数列满足， 当时，， 两式相减得，因此. 又时，，满足上式，所以. 故答案为：. 12．（2026高三·全国·专题练习）数列的有关概念 概念 含义 数列 按照 排列的一列数 数列的项 数列中的 通项公式 如果数列的第n项与它的 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫作这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫作这个数列的递推公式 数列的 前n项和 把数列从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列的前n项和，记作，即 【答案】 确定的顺序 每一个数 项数n 【分析】根据数列的概念填空即可. 【详解】数列是按照确定的顺序排列的一列数； 数列的项是数列中的每一个数； 通项公式是数列的第项与项数之间的对应关系式； 数列的前项和是把数列从第1项起到第项止的各项之和，即. 13．（25-26高三上·黑龙江·月考）在数列中，，且，则 . 【答案】 【分析】由变形可得，由此推出数列为常数列，结合，可求结论. 【详解】因为， 等式两边同乘以可得，， 两边再同减可得，， 所以数列为常数列， 因为，所以，故， 所以， 故答案为：. 14．（25-26高二上·浙江嘉兴·月考）已知数列满足，，设数列的前项和为，则 . 【答案】/ 【分析】根据数列的递推关系式，求出数列的项，可知数列周期为4，利用周期求解即可. 【详解】因为， 所以，， ， 所以数列的周期为， 所以， 故答案为：. 三、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）设数列满足．写出这个数列的前5项． 【答案】，，，， 【分析】由可得，将式子中的代入求出；代入求出，代入求出，代入求出即可得解. 【详解】，，， ，． 16．（2025高一·全国·专题练习）一位登山者正在攀登一段有n级台阶的山路．他体力充沛，一步可以迈上1级台阶，也可以一步迈上2级台阶．假设他从第0级台阶（地面）开始，要到达第n级台阶的顶部．我们记从地面到达第k级台阶的不同走法总数为． (1)求的值； (2)试写出数列的递推关系式； (3)若山路的第4级台阶有一处塌陷无法落脚，但其他台阶均完好，求此时登山者到达第6级台阶的不同走法总数． 【答案】(1)，， (2) (3)3 【分析】（1）根据题意即可求出的值； （2）根据要到达第n级台阶，登山者的最后一步必然只有两种可能分析即可； （3）当第4级台阶无法落脚时，意味着任何路径都不能经过第4级台阶，再分情况分析即可. 【详解】（1）定义状态：表示到达第k级台阶的不同走法总数． 要想到达第1级，只能从地面（第0级）迈1步，只有1种走法．故． 要想到达第2级，可以从地面迈2步（1种走法），也可以从第1级迈1步（而到第1级有种走法）．根据加法原理，共有种走法．故． 要想到达第3级，可以从第1级迈2步，也可以从第2级迈1步．到第1级有种走法，到第2级有种走法．因此，总走法为种．故． （2）推导递推关系．要想到达第n级台阶，登山者的最后一步必然只有两种可能： 从第级台阶迈1步上来．到达第级有种走法． 从第级台阶迈2步上来．到达第级有种走法． 这两种情况互相独立，覆盖了所有可能性．根据加法原理，到达第n级的总走法是这两种情况之和． 因此，数列的递推关系式为： 其初始条件为（原地不动算1种方法）和，或． （3）当第4级台阶无法落脚时，意味着任何路径都不能经过第4级台阶．这会影响到后续台阶的走法计算．我们记新的走法总数为．对于，走法不受影响， 即．（因为第4级无法落脚） 要想到达第5级，可以从第3级迈2步，或从第4级迈1步． 由于第4级无法到达，后一种路径不存在．所以． :要想到达第6级，可以从第5级迈1步，或从第4级迈2步． 由于第4级无法到达，后一种路径不存在．所以．因此，到达第6级台阶的不同走法总数为3． 17．（2025高三·全国·专题练习）已知数列，问： (1)第43项为多少？ (2)是数列的第几项？ 【答案】(1) (2)5724项 【分析】（1）将原数列按适当的方法分群即可求解； （2）结合数列呈现的规律即可求解. 【详解】（1）将原数列按下面的方法分群： 在第个群中有个元素，且第个群中的分母都等于， 则第1个群到第个群共有：个元素， 有，解得，故第43项在第9群中． 又，所以第43项是第9群中的第7个元素，即为． （2）又， 所以是原数列中的第项． 18．（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，． (1)若是递增数列，求的取值范围； (2)若的第7项是最小项，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由是递增数列得到，利用计算得到的取值范围． （2）依题意有，利用，解该不等式组即可求出的取值范围． 【详解】（1）由是递增数列，，所以的取值范围是． （2）依题意有，即，解得，即的取值范围是． 四、判断题 19．（2025高三·全国·专题练习）数列1，2，3与3，2，1是两个不同的数列．( ) 【答案】正确 【分析】根据数列的定义即可判断． 【详解】数列是按一定顺序排列的一列数字，数列1，2，3和3，2，1顺序不同，故它们是不同的数列． 故答案为：正确 20．（2025高三·全国·专题练习）若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．( ) 【答案】正确 【分析】可以用图象表示数列，项数和项构成了一个个孤立的点，据此即可判断解答． 【详解】数列表示为图象，则是孤立的点，点的坐标为，故该说法正确． 故答案为：正确 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 数列的概念及其函数特性 教学目标 1.数学抽象：理解数列的有序性、确定性本质，区分数列与第n项，掌握数列的表示方法. 2.逻辑推理：能根据数列前几项归纳通项公式，能由递推公式推导前几项，理解数列与函数的关联. 3.数学运算：掌握通项公式代入求值、递推公式逐项计算，运用作差法、作商法判断单调性. 4.直观想象：通过数列图像分析单调性、周期性，体会数形结合思想. 5.应用意识：运用单调性解决最值问题，结合概念解决简单实际问题. 教学重难点 （一）核心重点 1.数列的概念及通项公式的理解与应用. 2.递推公式的含义及前几项的求解. 3.数列的函数本质及单调性判断. （二）高频难点 1.由数列前几项归纳通项公式. 2.数列单调性的应用. 3.递推公式与通项公式的初步转化. 4.数列图像的应用. 知识点01 数列的概念与分类 1.定义：按确定次序排列的一列数称为数列，记作，其中是第n项，n为项数.核心特征：有序性、确定性. 2.本质属性：数列是定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数，即，图像是平面直角坐标系中一群孤立的点. 3.分类维度： 按项数多少： 有穷数列：项数有限，存在首项和末项. 无穷数列：项数无限，只有首项，无末项. 按项的增减趋势： 递增数列：（对任意n∈）. 递减数列：（对任意n∈）. 常数列：（对任意n∈）. 摆动数列：项的大小交替变化. 易错辨析： 易错点1：混淆数列与集合，集合无序、元素互异，数列有序、项可重复. 易错点2：忽略数列图像的孤立性，误画为连续曲线. 概念比较： 对比维度 数列 函数 定义域 或其有限子集 任意非空实数集（或其他集合） 图像特征 孤立点 连续或分段连续曲线 对应关系 n→（n为正整数） x→y（x为实数） 重点记忆内容与常考结论： 数列的核心是有序性，次序改变则为不同数列. 有穷数列有末项，无穷数列无末项. 数列图像为孤立点，可直观判断项的增减趋势. 【即学即练】 1．（24-25高二下·全国·课前预习）给出下列数列：①2010～2017年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；②无穷多个构成数列， ， ， ，…；③-2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列-2，4，-8，16，－32，…. 其中，有穷数列是 ，无穷数列是 ，递增数列是 ，常数列是 ． 2．（24-25高二上·全国·课前预习）数列可以看成以 （或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，，，….与函数的表示方法一样，数列还可以用 和 来表示. 知识点02 数列的通项公式 1.定义：若数列的第n项与项数n的关系可表示为，则称为通项公式.核心作用：知n求项、知项判位置. 2.通项公式的特征： 并非所有数列都有通项公式；有通项公式的数列，通项可能不唯一. 通项公式必须对数列所有项成立. 3.通项公式求解技巧： 符号规律：正负交替用或调节. 数字规律：将项拆分为符号部分+绝对值部分，绝对值部分与常见数列对比变形. 验证：归纳后代入n=1,2,3验证是否与前几项一致. 易错辨析： 易错点1：归纳通项时忽略符号规律. 易错点2：归纳通项时未验证所有项. 易错点3：认为有前几项就一定有唯一通项. 概念比较： 通项公式可表示所有项（若存在），列举法仅能体现有限项. 重点记忆内容与常考结论： 常见基础数列的通项公式： 正整数列： 正奇数列： 正偶数列： 平方数列： 倒数数列： 归纳通项的常用变形方法：通分、拆分. 【即学即练】 1．（24-25高二上·江苏南通·期末）在数列中，若，则的值为（    ） A．17 B．23 C．25 D．41 2．（23-24高二上·河南·月考）数列1，，，…的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 知识点03 数列的递推公式 1.定义：已知数列的首项（或前几项），且任意一项与它的前一项（或前几项）的关系可表示为一个式子，该式子称为递推公式.核心要素：初始条件+递推关系. 2.常见递推类型： 等差型递推：（d为常数，n≥2）. 等比型递推：（q为常数，n≥2）. 累加型递推：（n≥2）. 累乘型递推：（n≥2）. 3.递推公式转化为通项公式的方法：迭代法，将递推关系逐步展开迭代，关联到初始条件. 易错辨析： 易错点1：遗漏初始条件，无法确定唯一数列. 易错点2：递推公式的n取值范围错误，误代入无意义的n值. 概念比较： 对比维度 通项公式 递推公式 求项方式 直接代入n，一步到位 从初始项逐步推导 适用场景 求任意项、判断项的位置 已知前项求后项、简单数列的通项推导 存在性 部分数列不存在 所有数列都存在 重点记忆内容与常考结论： 递推公式的核心是初始条件+递推关系，两者共同确定唯一数列. 累加型递推公式通项：；累乘型递推公式通项：. 【即学即练】 1．（23-24高二上·江苏·课前预习）（1）若数列满足， ，求； （2）设数列{an}满足，写出这个数列的前5项. 2．（23-24高二上·江苏·课前预习）（1）在数列中， ，则 ； （2）已知数列中，，则数列{an}的通项公式是 . 知识点04 数列的函数特性（单调性+周期性） 1.核心本质：数列是特殊函数，函数特性可通过函数性质迁移，注意定义域为正整数集的特殊性. 2.单调性： 定义：对任意n∈，若，则为严格递增数列；若，则为严格递减数列. 判断方法： 作差法：计算，正→递增，负→递减，零→常数列. 作商法：适用于各项同号的数列，计算，结合符号判断增减. 图像法：观察孤立点，从左到右上升→递增，下降→递减. 单调性的应用：求最值.递增数列最小值为首项，无穷递增数列无最大值；递减数列最大值为首项，无穷递减数列无最小值；有穷数列结合末项判断. 3.周期性： 定义：存在正整数T（T≥2），对任意n∈，都有，则称数列是周期数列，T为最小正周期. 判断方法：观察数列的项是否重复出现，找到最小的重复周期. 易错辨析： 易错点1：判断单调性时仅验证前几项. 易错点2：作商法忽略各项同号的前提. 易错点3：无穷数列求最值时忽略无最值的情况. 易错点4：将局部重复当作周期. 概念比较： 函数单调性定义域为连续实数区间，可通过导数等方法判断；数列单调性定义域为离散正整数，仅能通过作差、作商等方法判断，且需对所有正整数n成立. 重点记忆内容与常考结论： 作差法是判断数列单调性的万能方法. 有穷数列的最值一定存在，无穷数列的最值不一定存在. 周期数列的通项公式具有周期性，可利用周期简化计算. 常见周期数列：（T=2），（T=4）. 【即学即练】 1．（24-25高二上·全国·课前预习）已知数列，则该数列中最大项的序号是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25高二·全国·随堂练习）已知数列的通项公式是，画出该数列的图象．并根据图象，判断从第几项起，这个数列是递增的． 知识点05 拓展补充（通项与前n项和的关系） 1.核心定义：数列前n项和记为，即（规定，辅助理解递推关系）. 2.通项与前n项和的核心关系：. 3.关键注意事项： 利用该关系求通项时，必须验证n=1时的表达式是否满足n≥2时的通项公式；若满足，可合并为一个表达式；若不满足，需分段表示. 与的转化是双向的：已知可求，已知也可通过求和求，是后续数列求和问题的基础. 【即学即练】 1．（24-25高二·全国·课后作业）已知数列满足，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·重庆荣昌·月考）（1）若数列的前n项和，求数列的通项公式. （2）在数列中，已知，求数列的通项公式. 题型01 数列的概念及其辨析 【典例1】（25-26高二上·陕西榆林·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列的通项公式的形式是唯一的 C．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D．数列不存在通项公式 【变式1】【多选题】（25-26高二上·重庆·期中）下列给出的命题中正确的有（   ） A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．数列1，1，2，3，5，8，13，，34，55，…中，的值为21 D．数列0，，4，，…的一个通项公式是 【变式2】【多选题】（25-26高二上·江苏南通·月考）下列有关数列的说法正确的是（   ） A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 【变式3】（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）下列结论中，正确的是（   ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列的项数一定是无限的 C．数列的通项公式的形式是唯一的 D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式 核心判断依据：紧扣数列“有序性”“确定性”两大本质特征，判断一组数是否为数列的关键是看排列次序是否确定，次序不同则为不同数列. 概念辨析要点：①区分数列与集合：数列有序、项可重复，集合无序、元素互异；②区分“项”与“项数”：项是具体数值，项数是正整数序号. 易错规避：判断数列类型（有穷/无穷、递增/递减等）时，需严格依据定义，如判断递增数列需满足对任意，均有，不可仅验证前几项. 题型02 根据规律写出数列中的某项 【典例1】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）数列，，，，…的第项为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025高二·全国·专题练习）已知数列：，，，，，，，，，，，则该数列的第17项 ． 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它是由正整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，，则第7行第4个数（从左往右数）为（   ） 　 　　 　　　 　　　　 A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·上海青浦·开学考试）某种规律排列的一列数： 那么第50个数是 . 解题步骤：①拆分数列的项为“符号部分”和“绝对值部分”，分别找规律；②建立项与项数的对应关系，归纳出通用表达式（无需写出完整通项公式，仅需明确对应规律）；③代入目标项数，计算出对应项. 符号规律处理：若项的符号正负交替，常用（首项为负）或（首项为正）调节. 常见规律参考：绝对值部分常与正整数列、平方数列、立方数列、分式数列等基础数列相关，可对比基础数列找差异. 题型03 观察法求数列的通项公式 【典例1】（25-26高二上·吉林四平·月考）数列的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·贵州黔西·期末）数列，，，，，的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】【多选题】（25-26高二上·黑龙江佳木斯·月考）数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·河北石家庄·月考）观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 三步核心法：①定符号：根据项的正负交替规律，确定符号调节因子[如、]；②找规律：对项的绝对值部分，通过拆分、通分、变形等方式，对比常见基础数列（正整数列、奇/偶数列、平方数列等），找出与项数的对应关系；③验通项：将代入归纳的表达式，验证是否与数列前几项一致，确保通项公式对所有项成立. 常见变形技巧：①分式数列：统一分母后分析分子规律，如可化为，分子为正奇数列；②根式数列：将根式外的系数纳入根式内，便于找规律；③含常数项数列：拆分常数项与变量项，如可拆为. 注意事项：并非所有数列都存在通项公式，且部分数列的通项公式不唯一，归纳时需以最简形式为准. 题型04 由递推公式求出数列中的项 【典例1】（24-25高二上·福建漳州·期中）数列满足，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【变式1】（25-26高二上·天津河北·月考）已知数列中,,（）则 . 【变式2】（25-26高二上·陕西咸阳·月考）在数列中，已知，，则（   ） A．32 B．33 C．31 D．30 【变式3】（25-26高二上·湖南·月考）已知数列满足，则 . 核心思路：“初始条件+逐项迭代”，递推公式的核心是“递推关系+初始条件”，两者缺一不可，需先明确首项（或前几项）和递推关系的取值范围（通常）. 解题步骤：①明确初始项（如的值）；②根据递推关系，将代入求出，再将代入求出，依次迭代至目标项数；③计算过程中注意符号和运算准确性，避免因一步错误导致后续结果偏差. 易错规避：不可忽略递推关系的取值限制，如递推式（），不可代入计算（会出现无意义的）. 题型05 根据规律求递推关系式 【典例1】（24-25高二下·四川眉山·期末）在风水学中，单数被视为阳数，象征着积极向上和吉祥，而双数被视为阴数，寓意不佳．在实际应用中，家庭中常见的楼梯台数通常是9级，而公共建筑中则多为11级．今李白在教学楼一二楼之间的楼梯（共11个台阶）上行走，他每次迈步有两种方式：每步登上1个台阶或2个台阶．那么李白从楼梯底部登上第11个台阶的迈步方法有 种． 【变式1】（24-25高二上·广东惠州·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数，则正方形数所构成的数列的第5项是 ，五边形数所构成的数列的通项公式为 ． 【变式2】（2025·黑龙江·模拟预测）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房，，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则被除的余数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·江苏南通·期末）一点从起点P出发，每次只能向右、向上或向左移动一步，恰好走步且不经过已走的路线和点共有种走法，如则 ，数列相邻三项的递推关系式为 .    解题步骤：①列出数列的前几项（至少4项），确保能清晰观察相邻项的关系；②分析相邻两项（或三项）的数量关系，常见关系包括“差为常数”“商为常数”“差为某一数列”“商为某一数列”等；③根据观察到的规律，归纳出与（或）的关系式，即递推关系；④验证递推关系：将前几项代入关系式，确认是否成立. 关键要点：递推关系式需明确的取值范围（如、），同时需标注初始条件（如、的值），否则无法确定唯一数列. 常见规律方向：优先观察的差值规律，再观察的比值规律，若两者均无明显规律，可考虑与的复合关系. 题型06 累加法求数列通项公式 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）在数列中，，，求. 【变式1】（24-25高二上·湖北孝感·月考）数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则 ． 【变式3】（24-25高二上·重庆九龙坡·期末）数列满足，且，则等于（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 适用条件：递推公式形式为（），且数列的前项和可直接计算（如为一次函数、等差数列、可拆分的分式等）. 四步解题法：①列出递推式：当时，；时，；…；时，（）；②累加消项：将上述个式子左右两边分别相加，左边消去中间项，得；③计算和式：求出（即从到的所有项的和）；④整理通项：，化简后验证时是否成立，若成立则合并为一个表达式，否则分段表示. 易错提醒：累加时注意项数为项，不可多算或漏算；若为常数，累加法即转化为等差数列通项公式的推导过程. 题型07 累乘法求数列通项公式 【典例1】（24-25高二·全国·课后作业）数列中，，（n为正整数），则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）已知，，求数列的通项． 【变式2】（24-25高二下·四川成都·期中）数列中，若，则数列的通项公式为 ． 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）若数列满足，，则 ． 适用条件：递推公式形式为（），且数列的前项积可直接计算，同时需满足对任意，（保证分式有意义）. 四步解题法：①列出递推式：当时，；时，；…；时，（）；②累乘消项：将上述个式子左右两边分别相乘，左边消去中间项，得；③计算积式：求出（即从到的所有项的积）；④整理通项：，化简后验证时是否成立，若成立则合并为一个表达式，否则分段表示. 关键要点：累乘时注意分子分母的消项规律，若为常数（且不为0），累乘法即转化为等比数列通项公式的推导过程. 题型08 由Sn与an的关系求通项公式 【典例1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）数列的前项和为，若，则 . 【变式1】（25-26高二上·天津红桥·月考）已知数列各项均为正数，为数列的前项和，，则的值为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式2】（25-26高二上·甘肃兰州·月考）已知数列的前项和为，且满足，则 . 【变式3】（2025·湖南岳阳·一模）已知数列满足，则 . 核心公式：利用与的内在关系：，其中，规定（辅助理解递推逻辑）. 三步解题法：①求首项：令，；②求时的：由计算表达式，计算时注意与的正确代入（需将、的表达式用和分别替换）；③验证合并：将代入时的表达式，若结果与相等，则可将通项公式合并为一个式子；若不相等，则需分段表示（为一段，为另一段）. 易错规避：①不可忽略的单独求解，直接用计算会遗漏首项；②计算时，需注意符号和代数式的化简，避免运算错误；③验证步骤必不可少，否则可能出现通项公式不完整的情况. 题型09 数列的单调性与最大或最小项 【典例1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1】（25-26高二上·江苏连云港·月考）数列的通项公式为．若数列仅第7项最小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·辽宁·模拟预测）数列的最大项的值为 . 【变式3】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 单调性判断方法：①作差法（万能方法）：计算，若，则数列递增；若，则数列递减；若，则为常数列；②作商法（适用于各项同号的数列）：计算，若且，或且，则数列递增；反之则递减；③图像法：将数列视为函数（），其图像为孤立点，观察点的变化趋势，从左到右上升则递增，下降则递减. 最大/最小项求解技巧：①递增数列：最小项为，无穷递增数列无最大项，有穷递增数列最大项为末项；②递减数列：最大项为，无穷递减数列无最小项，有穷递减数列最小项为末项；③非单调数列：通过作差法找到由正变负（或由负变正）的临界点，临界点对应的项即为最大项（或最小项），也可通过解不等式组（求最大项）或（求最小项）求解的值. 注意事项：判断单调性时需对任意成立，不可仅验证前几项；求解有穷数列的最值时，需结合末项的项数确定，避免遗漏. 题型10 周期数列 【典例1】（25-26高二上·重庆·月考）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D．3 【变式1】（25-26高二上·重庆·期中）已知数列中，，，则（    ） A．1 B． C．－1 D．－2 【变式2】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知在数列中，，，则 ． 【变式3】（25-26高二上·福建·月考）数列满足，则 . 周期判断方法：①观察法：列出数列的前若干项，观察是否存在重复出现的项组，找到最小的正整数（），使得对任意，均有，即为最小正周期；②递推法：若递推公式隐含周期性，可通过迭代前几项推导周期，如，可推出，周期. 周期应用技巧：①求任意项：若数列周期为，则（为正整数），可将目标项数转化为（），则（时，）；②求前项和：，其中为除以的商，为余数（），为一个周期内各项的和，为前项的和. 易错规避：①不可将局部重复的项组当作周期，需验证对任意均满足周期性；②计算项数转化时，注意余数的取值范围（），避免周期应用错误. 一、单选题 1．（25-26高二上·新疆·月考）数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·山东济南·月考）意大利数学家斐波那契（约1170∼1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列满足：，，若，则（   ） A．2022 B．2023 C．59 D．60 3．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列满足，，则（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 4．（25-26高二上·甘肃酒泉·月考）已知数列的通项公式为，则下列各数是数列的项是（   ） A．11 B．22 C．24 D．44 5．（25-26高二上·天津滨海新·月考）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列中，且，则（    ） A． B．2 C． D． 7．（2025高二上·重庆·专题练习）已知，数列，，，…，的项数为（   ） A． B． C．m D． 8．（25-26高二上·江苏苏州·月考）数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 9．（25-26高三上·云南临沧·开学考试）已知数列满足，，则数列的通项公式为 ． 10．（25-26高二上·河北唐山·月考）已知数列的通项公式为，则110是该数列的第 .项 11．（25-26高二上·福建宁德·月考）已知数列满足，设数列的通项公式为，则 ． 12．（2026高三·全国·专题练习）数列的有关概念 概念 含义 数列 按照 排列的一列数 数列的项 数列中的 通项公式 如果数列的第n项与它的 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫作这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫作这个数列的递推公式 数列的 前n项和 把数列从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列的前n项和，记作，即 13．（25-26高三上·黑龙江·月考）在数列中，，且，则 . 14．（25-26高二上·浙江嘉兴·月考）已知数列满足，，设数列的前项和为，则 . 三、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）设数列满足．写出这个数列的前5项． 16．（2025高一·全国·专题练习）一位登山者正在攀登一段有n级台阶的山路．他体力充沛，一步可以迈上1级台阶，也可以一步迈上2级台阶．假设他从第0级台阶（地面）开始，要到达第n级台阶的顶部．我们记从地面到达第k级台阶的不同走法总数为． (1)求的值； (2)试写出数列的递推关系式； (3)若山路的第4级台阶有一处塌陷无法落脚，但其他台阶均完好，求此时登山者到达第6级台阶的不同走法总数． 17．（2025高三·全国·专题练习）已知数列，问： (1)第43项为多少？ (2)是数列的第几项？ 18．（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，． (1)若是递增数列，求的取值范围； (2)若的第7项是最小项，求的取值范围． 四、判断题 19．（2025高三·全国·专题练习）数列1，2，3与3，2，1是两个不同的数列．( ) 20．（2025高三·全国·专题练习）若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．( ) 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $