第04讲 等比数列的概念及其通项公式（高效培优讲义）高二数学北师大版选择性必修第二册

本讲义围绕等比数列的概念及其通项公式展开，以定义为基础，衔接等比中项、通项公式推导（含累乘法）及应用，通过易错辨析、常考结论构建知识体系，形成从概念理解到问题解决的完整学习支架。 资料通过类比等差数列研究思路，引导学生经历观察、猜想、归纳、证明的数学思维过程，培养逻辑推理能力。题型分类涵盖累乘法、构造法等，步骤清晰，结合即学即练与实例辨析“公比不为0”等易错点，课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固知识，提升用数学语言表达与解决问题的应用意识。

第4讲 等比数列的概念及其通项公式 教学目标 1.知识与技能：理解等比数列的定义，掌握等比数列的通项公式及推导方法；能准确判断一个数列是否为等比数列，熟练运用通项公式求解首项、公比、项数及指定项；理解等比中项的概念，掌握其求解与应用方法 2.过程与方法：通过类比等差数列的研究思路，经历观察、猜想、归纳、证明等比数列定义及通项公式的过程，提升抽象概括与逻辑推理能力；通过典型例题与练习，掌握等比数列问题的核心解题思路，培养数学建模能力 3.情感态度与价值观：体会等比数列在实际生活中的广泛应用，感受数学与现实的联系；通过类比思想的应用，构建数列知识体系，提升对数学知识的系统性认知 教学重难点 重点：等比数列的定义；等比数列通项公式的推导与灵活应用；等比中项的概念与应用 难点：等比数列定义中“从第二项起”“公比不为0”“各项不为0”的理解与辨析；通项公式推导过程中累乘法的应用逻辑；利用等比数列知识解决含参数或实际应用类问题 知识点01 等比数列的定义 1.文字定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母（）表示 2.符号表示：在数列中，若（为常数，，），则数列为等比数列 3.核心特征：①从第2项起，每一项与前一项的比为常数；②公比；③数列中所有项均不为0（由公比不为0推导得出） 易错辨析： 易错点1：忽略“从第2项起”的限制，误将“任意相邻两项的比为常数”等同于“从第1项起”，如判断数列“5,5,5”时，需明确从第2项起比值为1，才是等比数列（同时也是等差数列） 易错点2：忽略公比的条件，若数列中出现0项，则一定不是等比数列，如“1,0,1,0”，因，无意义，故非等比数列 易错点3：混淆“等比数列”与“等差数列”的定义，前者是“比值为常数”，后者是“差值为常数”，二者核心运算不同，不可混淆 重点记忆： 等比数列定义的两个核心要素：①从第2项起；②比值为同一个非零常数 等比数列的必要条件：所有项均不为0，公比，二者缺一不可 常考结论： 常数列（为常数）是等比数列的充要条件是，此时公比 若数列是等比数列，则数列（）、、均为等比数列，公比分别为、、 【即学即练】 1．（25-26高三上·贵州·月考）设数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 2.【多选题】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）设是等比数列，则（   ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等差数列 知识点02 等比中项 1.定义：如果在与之间插入一个数，使得，，成等比数列，那么叫做与的等比中项 2.公式：若是与的等比中项，则，即 3.存在条件：与同号（即），若，则与没有等比中项 易错辨析： 易错点1：忽略等比中项的存在条件，认为任意两个数都有等比中项，如“-1与2”，因，故无等比中项 易错点2：混淆等比中项与等差中项，等差中项唯一（若存在），而等比中项有两个（互为相反数），除非，此时 易错点3：误将“”当作“，，成等比数列”的充要条件，实际是必要不充分条件，需补充，，均不为0（如，，时，成立，但不是等比数列） 重点记忆： 等比中项的核心公式：（） 等比中项的两个关键：①同号才有中项；②中项有两个（互为相反数） 常考结论： 在等比数列中，任意连续三项，，满足（即中间项是前后两项的等比中项），反之，若一个数列任意连续三项满足此关系（且各项不为0），则该数列为等比数列 若，，成等比数列，则；若且，，均不为0，则，，成等比数列 【即学即练】 1．（25-26高二上·江苏苏州·月考）4与9的等比中项为（    ） A．6.5 B．6 C． D． 2．（24-25高二下·贵州黔南·期末）已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 知识点03 等比数列的通项公式 1.推导过程： 方法一：不完全归纳法 由等比数列定义，得，，，……，归纳可得（） 方法二：累乘法 由，，，……，（），将以上个式子左右两边分别相乘，得，故（）；当时，，式子成立，因此通项公式为（） 2.标准形式：（其中为等比数列的首项，为公比，，） 3.推广形式：若已知等比数列中第项为，则第项可表示为（，） 易错辨析： 易错点1：通项公式记忆错误，误写为，忽略指数为“”（首项时，指数为0，，才能保证） 易错点2：应用推广形式时，混淆项数差，误将写为，需注意“后项减前项”的指数规律（如） 易错点3：忽略通项公式的适用条件，当时，通项公式为（常数列），此时仍满足等比数列定义，不可因公比为1而否定等比数列属性 易错点4：求解通项公式时，未验证首项是否满足时的表达式，如由（）求得表达式后，需补充验证的情况 重点记忆： 核心通项公式：（必记公式，所有等比数列问题的基础） 推广公式：（已知任意一项求另一项时优先使用，简化计算） 通项公式的推导方法：累乘法（等比数列专属推导方法，需理解“相乘消项”的逻辑） 常考结论： 等比数列的通项公式可改写为，若令（），则，即等比数列的通项公式是关于的指数型函数（当时，为常函数，可看作指数型函数的特殊情况） 若两个等比数列（首项，公比）和（首项，公比），则数列仍为等比数列，首项为，公比为；数列仍为等比数列，首项为，公比为 在等比数列中，若（，，，），则；若（，，），则（即是与的等比中项） 若等比数列的公比为，则（，），可用于快速求解公比，即（需注意为偶数时，若，则有两个值；若，则无实数公比） 【即学即练】 1．（25-26高二上·河南·月考）在等比数列中，，则 ． 2.（25-26高二上·山东青岛·月考）已知正项等比数列满足，则该数列的公比为（    ） A．2 B．1 C． D．-2 知识点04 等比数列通项公式的应用 1.求指定项：已知，，，直接代入求解；已知，，，代入推广公式求解 2.求首项或公比：已知数列中两项及对应项数，列方程组求解（如已知和，则，两式相除消去求，再代入求） 3.求项数：已知，，，由变形得，两边取对数求解（注意对数的定义域，即） 4.证明数列是等比数列：利用通项公式证明（常数，）；或已知通项公式为（，），直接判定为等比数列 易错辨析： 易错点1：求解公比时，忽略多解情况，如已知，，则，故，不可只取 易错点2：利用对数求项数时，忽略的条件，若，则无正整数项数（因等比数列各项同号，恒成立，实际解题中需注意题干是否隐含正项条件） 易错点3：证明数列是等比数列时，仅验证前几项的比值为常数，未证明对任意均成立，需严格依据定义证明（常数） 重点记忆： 已知等比数列两项求公比的核心方法：两式相除，利用求解，注意的奇偶性对解的个数的影响 求项数的关键步骤：将通项公式变形为指数形式，通过对数运算求解，结果需验证为正整数 常考结论： 若等比数列为正项数列，则（，）为等差数列，公差为；反之，若为等差数列，则为正项等比数列 已知等比数列的通项公式为，则，数列为等比数列，公比为 若等比数列的公比，则，可用于快速比较两项的大小（当，时，数列递增；当，时，数列递减） 【即学即练】 1．（25-26高三上·河北邢台·月考）在等比数列中，，且，则（   ） A．36 B．27 C．18 D．9 2．（2025·陕西西安·模拟预测）若一个等比数列的各项均为正数，且前3项的积等于1，前8项的积等于1024，则这个等比数列的公比为 ． 题型01 累乘法求通项公式 【典例1】（25-26高二上·湖北恩施·月考）在数列中，若 ，则（    ） A．1013 B．1014 C．2025 D．2026 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，，求数列的通项公式. 【变式2】（2025高三上·吉林长春·专题练习）已知为数列的前n项和，，，则 ． 【变式3】（25-26高二上·甘肃平凉·月考）已知数列满足，，则数列的通项公式是 方法技巧与步骤： 1.第一步：判断适用条件：数列满足“”（为可化简的关于的表达式，且前项乘积可消项），等比数列是（常数）的特殊情况 2.第二步：列出递推比值式：当时，依次写出，，，……， 3.第三步：累乘消项：将上述个式子左右两边分别相乘，左边乘积为；右边乘积为，化简右边乘积得（关于的表达式） 4.第四步：推导通项：由，得（） 5.第五步：验证首项：将代入，若满足，则通项公式为（）；若不满足，需分段表示 核心公式补充：等比数列中（常数，），右边乘积为，故通项公式为 题型02 由等比数列的定义求通项公式 【典例1】（24-25高二下·安徽亳州·期末）已知数列满足，则（   ） A．64 B．128 C．256 D．512 【变式1】（24-25高二下·安徽阜阳·期中）若数列是公比为的等比数列，且，则的最小值为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式2】（24-25高二下·江西·月考）已知数列满足，则的前5项的乘积为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知数列是等比数列，记数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．1 D．3 方法技巧与步骤： 1.第一步：明确定义条件：已知数列为等比数列，或可证明（为常数，，） 2.第二步：推导通项雏形：由定义依次展开得，，，……，归纳得（） 3.第三步：验证首项兼容性：当时，，式子成立，故通项公式统一为（） 4.第四步：已知非首项求通项（拓展）：若已知第项，由定义得，联立消去，得推广式 关键要点：定义中“”“各项不为0”是前提，推导时需明确标注，避免遗漏约束条件 题型03 构造法求等比数列的通项公式 【典例1】（23-24高二上·福建厦门·期中）若数列满足，，则（ ） A．1020 B．1024 C．2044 D．2048 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足（）且，求数列的通项公式． 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，满足，则数列的通项公式为 . 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）已知数列{an}满足，，求{an}的通项公式． 方法技巧与步骤（分模型梳理）： 1.模型1：（，，，常数型递推） 步骤1：构造等比数列：设（为待定常数），展开得 步骤2：求待定常数：对比原式，得，解得 步骤3：确定新等比数列：数列是首项为、公比为的等比数列 步骤4：求通项：由等比数列通项公式得，整理得 2.模型2：（，，，指数型递推） 步骤1：构造等比数列：两边同除以，得 步骤2：换元简化：令，则递推式转化为，回归模型1 步骤3：求通项：用模型1方法求出，再代回得原数列通项 3.模型3：（，，一次函数型递推） 步骤1：构造等比数列：设（、为待定常数） 步骤2：展开对比求参数：展开后对比原式系数，列方程组求解、 步骤3：求新等比数列通项，再整理得原数列通项 核心要点：构造的关键是“补项匹配系数”，需根据递推式的类型（常数、指数、一次函数）选择对应补项形式，确保构造后为等比数列 题型04 用定义判断等比数列 【典例1】（25-26高二上·江苏镇江·期中）设是等比数列，有下列四个命题： ①是等比数列；        ②是等比数列； ③是等比数列；        ④是等比数列. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】【多选题】（25-26高三上·黑龙江·月考）设首项为1的数列前n项和为，已知，则下列结论正确的是（   ） A．数列为等比数列 B．数列的前n项和 C．数列的通项公式为 D．数列不是等比数列 【变式2】【多选题】（25-26高二上·江苏苏州·期中）设，是两个公比不相等的等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高三上·山东临沂·期中）已知数列的各项均不为零，若甲：是等比数列；乙：.则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 方法技巧与步骤： 1.第一步：定性初判：先检查数列各项是否均不为0，若存在0项，则直接判定为非等比数列（因等比数列公比，各项必不为0） 2.第二步：定量验证（核心步骤）： 方法1：验证“从第二项起，每一项与前一项的比为常数”：计算（），若结果为常数（），则为等比数列；否则非等比数列 方法2：验证“连续三项满足等比中项关系”：对任意，验证（且、、均不为0），若恒成立，则为等比数列；否则非等比数列 3.第三步：特殊情况判定： 常数列：若，则为等比数列（公比）；若，则非等比数列 含有限项的数列：需验证所有相邻项的比为常数，不可仅验证前几项 关键提醒：判断时需明确“任意性”，即对所有符合条件的均成立，而非部分 题型05 等比数列基本量的计算 【典例1】（2025·吉林松原·模拟预测）已知数列是等比数列，若，则 ． 【变式1】（25-26高二上·全国·月考）在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（    ） A． B． C．18 D．24 【变式2】（2025高三上·贵州贵阳·专题练习）已知等比数列，，，则（   ） A． B．4 C． D．6 【变式3】（25-26高三上·湖南·月考）在正项等比数列中，若，，则 . 方法技巧与步骤： 1.第一步：定位已知量与未知量，选择对应公式： 已知、，求或：用通项公式 已知、（），求、：用推广公式 2.第二步：列方程（组）求解： 单未知量：直接代入公式变形求解（如已知、、，求：由得，两边取对数得，故） 双未知量：联立方程组消元求解（如已知、，两式相除得，解得，再代入其中一式求） 3.第三步：验证结果合理性： 公比，项数 若题干隐含“正项等比数列”，则，需舍去负公比；若无数项符号限制，可能有多个解（如为偶数时，可能为正负两个值） 核心公式补充：基本量运算的核心工具是和，优先选择推广公式可简化计算 题型06 等比中项及其应用 【典例1】（25-26高三上·重庆·月考）若为等差数列的前项和，，，则与的等比中项为 . 【变式1】（2025·湖北·模拟预测）1与2025的等比中项为 . 【变式2】（25-26高二上·北京东城·月考）已知是公差不为零的等差数列，，若，，成等比数列，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式3】（25-26高三上·江苏南京·月考）已知等差数列的公差d不为0，若,,成等比数列，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 方法技巧与步骤： 1.第一步：明确等比中项的核心关系：若是与的等比中项，则（，即、同号） 2.第二步：分场景应用： 场景1：求已知两数的等比中项： 步骤1：判断存在性：计算，若，则存在等比中项；若，则不存在 步骤2：计算中项：由得 场景2：利用等比中项求数列未知项： 步骤1：定位等比中项关系：若数列为等比数列，则对任意，有 步骤2：代入已知项列方程：将已知项代入关系式，求解未知项（注意检验未知项不为0） 场景3：利用等比中项判断数列是否为等比数列： 步骤1：验证任意连续三项满足（），且各项不为0 步骤2：若恒成立，则为等比数列；否则非等比数列 易错要点：等比中项的“”是必要不充分条件，需补充“、、均不为0”才是、、成等比数列的充要条件 题型07 等比数列下标的性质 【典例1】（25-26高二上·湖南衡阳·月考）已知递增的等比数列满足，，则的公比（   ） A．6 B．3 C．2 D． 【变式1】（25-26高二上·天津·月考）设各项均为正数的等比数列满足，则等于 . 【变式2】（25-26高三上·山西大同·月考）设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高三上·广西·月考）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则 ． 方法技巧与步骤： 1.第一步：牢记核心性质： 性质1：若（、、、），则 性质2：若（、、），则（即是与的等比中项） 性质3：延伸性质：若（、），则 2.第二步：分析题干下标关系： 若题干给出“下标和相等”的条件（如，因），直接应用性质1化简 若要求“某两项乘积”，先观察是否存在下标和与已知项下标和相等的情况，再代入已知值计算 3.第三步：验证性质应用条件：确保所有涉及的项均为等比数列中的项（即各项不为0），且下标均为正整数 常考应用示例：已知等比数列中，求：由，得，故（若为正项等比数列，则） 题型08 由递推关系证明等比数列 【典例1】（25-26高二上·天津津南·月考）（1）数列的前项和为，且.求数列的通项公式； （2）数列的首项，满足.证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （3） 数列满足，求数列的通项公式； 【变式1】（25-26高二上·四川达州·月考）已知数列，若，且. (1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，且数列的前项的和为，求. 【变式2】（25-26高三上·陕西西安·月考）在数列中，，. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，，求数列的前n项和. 方法技巧与步骤（分递推类型梳理）： 1.类型1：直接递推型（如，） 步骤1：明确首项：由题干条件求出，确保（若，则数列非等比数列） 步骤2：变形递推式：两边同除以（，需简要说明：由递推式及、，可证所有），得（常数） 步骤3：下结论：由等比数列定义，数列是首项为、公比为的等比数列 2.类型2：构造递推型（如，，） 步骤1：构造新数列：按题型03的构造方法，将递推式转化为（） 步骤2：证明新数列等比： 先证：由（题干隐含不为0）及，可证所有 再变形得（常数） 步骤3：下结论：数列是等比数列，进而可推导原数列的属性（若需证明原数列为等比数列，需验证构造后的常数关系） 3.类型3：乘积递推型（如，） 步骤1：化简递推式：两边同除以（），得（常数） 步骤2：后续证明同类型1 证明规范要点：证明过程需包含“首项不为0”“从第二项起比值为常数”两个核心要素，逻辑链条完整，不可遗漏关键推导步骤 题型09 等比数列的单调性与最值 【典例1】（25-26高三上·福建龙岩·月考）若数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知等比数列的公比为.设甲：为递减数列，乙：，，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】【多选题】（24-25高三下·重庆·月考）公差为的等差数列与公比为的等比数列首项相同且为正数，则（   ） A．若，则为递减数列 B．若，则为递减数列 C．若，则为递增数列 D．若，则为递增数列 方法技巧与步骤： 1.第一步：判断等比数列的单调性（核心依据：通项公式） 情况1：： 若，则数列递增（） 若，则数列递减（） 情况2：： 若，则数列递减（） 若，则数列递增（） 情况3：：数列为常数列（），无单调性（既不递增也不递减） 情况4：：数列各项正负交替，无单调性（如时，，，，……） 2.第二步：求解等比数列的最值： 有界数列（存在最值）： 当且：数列递增，最小值为，无最大值（当时，） 当且：数列递减，最大值为，无最小值（当时，） 当且：数列递减，最大值为，无最小值（当时，） 当且：数列递增，最小值为，无最大值（当时，） 无界数列（无最值）： 当：各项正负交替，既无最大值也无最小值（当时，在正负无穷间波动） 当：常数列，最大值和最小值均为 关键要点：等比数列的单调性和最值仅与的符号和的大小相关，需注意“时无单调性”“且非零时有界 一、单选题 1．（24-25高二下·广东·月考）已知首项为1的数列满足，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·重庆·月考）已知数列是等比数列，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·贵州遵义·月考）设数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河南·月考）已知数列满足：，对，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·福建龙岩·月考）已知数列中，，，则下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·天津和平·月考）已知为数列的前项和，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·河南·月考）已知是递增的等差数列，，若成等比数列，则（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 8．（24-25高二下·黑龙江·月考）已知数列为等比数列，其中，为方程的两根．则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·甘肃兰州·月考）已知数列满足：.且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知等比数列是递减数列，是其公比，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·湖北·月考）已知等差数列的公差为正数，是数列的前项和，若，，则（    ） A． B．数列是公比为的等比数列（为自然对数的底数） C． D．数列是公差为的等差数列 12．（25-26高三上·福建厦门·月考）（多选）若数列的首项，且，则（    ） A．数列为等比数列 B． C．数列为递增数列 D．存在三个不相等正整数，使得 三、填空题 13．（25-26高三上·云南楚雄·期中）在等比数列中，，，则 ． 14．（23-24高二下·山东淄博·期中）已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，则取最大值时，n的值为 . 四、解答题 15．（25-26高二上·上海·期中）已知数列的前项和满足条件，其中是正整数． (1)求证：数列成等比数列； (2)设数列满足．若，求数列的前项和． 16．（24-25高三下·广东广州·月考）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.在数列中是否存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 17．（25-26高三上·安徽马鞍山·月考）已知等差数列的前项和为，公差不为，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 18．（25-26高二上·福建莆田·月考）已知数列的前n项和为，_______.请在①，；②，，成等比数列，，两个条件中任选一个补充在上面横线中，并解答下面问题. (1)求数列的通项公式； (2)记，求. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 等比数列的概念及其通项公式 教学目标 1.知识与技能：理解等比数列的定义，掌握等比数列的通项公式及推导方法；能准确判断一个数列是否为等比数列，熟练运用通项公式求解首项、公比、项数及指定项；理解等比中项的概念，掌握其求解与应用方法 2.过程与方法：通过类比等差数列的研究思路，经历观察、猜想、归纳、证明等比数列定义及通项公式的过程，提升抽象概括与逻辑推理能力；通过典型例题与练习，掌握等比数列问题的核心解题思路，培养数学建模能力 3.情感态度与价值观：体会等比数列在实际生活中的广泛应用，感受数学与现实的联系；通过类比思想的应用，构建数列知识体系，提升对数学知识的系统性认知 教学重难点 重点：等比数列的定义；等比数列通项公式的推导与灵活应用；等比中项的概念与应用 难点：等比数列定义中“从第二项起”“公比不为0”“各项不为0”的理解与辨析；通项公式推导过程中累乘法的应用逻辑；利用等比数列知识解决含参数或实际应用类问题 知识点01 等比数列的定义 1.文字定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母（）表示 2.符号表示：在数列中，若（为常数，，），则数列为等比数列 3.核心特征：①从第2项起，每一项与前一项的比为常数；②公比；③数列中所有项均不为0（由公比不为0推导得出） 易错辨析： 易错点1：忽略“从第2项起”的限制，误将“任意相邻两项的比为常数”等同于“从第1项起”，如判断数列“5,5,5”时，需明确从第2项起比值为1，才是等比数列（同时也是等差数列） 易错点2：忽略公比的条件，若数列中出现0项，则一定不是等比数列，如“1,0,1,0”，因，无意义，故非等比数列 易错点3：混淆“等比数列”与“等差数列”的定义，前者是“比值为常数”，后者是“差值为常数”，二者核心运算不同，不可混淆 重点记忆： 等比数列定义的两个核心要素：①从第2项起；②比值为同一个非零常数 等比数列的必要条件：所有项均不为0，公比，二者缺一不可 常考结论： 常数列（为常数）是等比数列的充要条件是，此时公比 若数列是等比数列，则数列（）、、均为等比数列，公比分别为、、 【即学即练】 1．（25-26高三上·贵州·月考）设数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得数列为公比e的等比数列，又，即可求解. 【详解】由，得，所以． 因为，所以是公比为e的等比数列，所以． 故选：C 2.【多选题】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）设是等比数列，则（   ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等差数列 【答案】AC 【分析】利用等比数列定义可判断A、C，令，可判断B，取等比数列为，可判断D. 【详解】因为是等比数列，所以设其公比为，即． 因为，所以是等比数列，所以A选项正确； 因为，所以是等比数列，所以C选项正确； 当时，，所以此时不是等比数列，所以B选项错误； 不妨设等比数列为，当时，不存在， 所以不是等差数列，所以D选项错误. 故选：AC 知识点02 等比中项 1.定义：如果在与之间插入一个数，使得，，成等比数列，那么叫做与的等比中项 2.公式：若是与的等比中项，则，即 3.存在条件：与同号（即），若，则与没有等比中项 易错辨析： 易错点1：忽略等比中项的存在条件，认为任意两个数都有等比中项，如“-1与2”，因，故无等比中项 易错点2：混淆等比中项与等差中项，等差中项唯一（若存在），而等比中项有两个（互为相反数），除非，此时 易错点3：误将“”当作“，，成等比数列”的充要条件，实际是必要不充分条件，需补充，，均不为0（如，，时，成立，但不是等比数列） 重点记忆： 等比中项的核心公式：（） 等比中项的两个关键：①同号才有中项；②中项有两个（互为相反数） 常考结论： 在等比数列中，任意连续三项，，满足（即中间项是前后两项的等比中项），反之，若一个数列任意连续三项满足此关系（且各项不为0），则该数列为等比数列 若，，成等比数列，则；若且，，均不为0，则，，成等比数列 【即学即练】 1．（25-26高二上·江苏苏州·月考）4与9的等比中项为（    ） A．6.5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】设4与9的等比中项为，根据等比中项的性质运算即可得等比中项. 【详解】设4与9的等比中项为， 则，所以， 故4与9的等比中项为. 故选：D. 2．（24-25高二下·贵州黔南·期末）已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由韦达定理可得，，根据等比中项可求，注意符号的判定. 【详解】因为等比数列，，为方程的两根， 所以，故， 又因为， 所以，同为负数，由等比数列的性质可知，等比数列的隔项同号， 所以. 故选：A. 知识点03 等比数列的通项公式 1.推导过程： 方法一：不完全归纳法 由等比数列定义，得，，，……，归纳可得（） 方法二：累乘法 由，，，……，（），将以上个式子左右两边分别相乘，得，故（）；当时，，式子成立，因此通项公式为（） 2.标准形式：（其中为等比数列的首项，为公比，，） 3.推广形式：若已知等比数列中第项为，则第项可表示为（，） 易错辨析： 易错点1：通项公式记忆错误，误写为，忽略指数为“”（首项时，指数为0，，才能保证） 易错点2：应用推广形式时，混淆项数差，误将写为，需注意“后项减前项”的指数规律（如） 易错点3：忽略通项公式的适用条件，当时，通项公式为（常数列），此时仍满足等比数列定义，不可因公比为1而否定等比数列属性 易错点4：求解通项公式时，未验证首项是否满足时的表达式，如由（）求得表达式后，需补充验证的情况 重点记忆： 核心通项公式：（必记公式，所有等比数列问题的基础） 推广公式：（已知任意一项求另一项时优先使用，简化计算） 通项公式的推导方法：累乘法（等比数列专属推导方法，需理解“相乘消项”的逻辑） 常考结论： 等比数列的通项公式可改写为，若令（），则，即等比数列的通项公式是关于的指数型函数（当时，为常函数，可看作指数型函数的特殊情况） 若两个等比数列（首项，公比）和（首项，公比），则数列仍为等比数列，首项为，公比为；数列仍为等比数列，首项为，公比为 在等比数列中，若（，，，），则；若（，，），则（即是与的等比中项） 若等比数列的公比为，则（，），可用于快速求解公比，即（需注意为偶数时，若，则有两个值；若，则无实数公比） 【即学即练】 1．（25-26高二上·河南·月考）在等比数列中，，则 ． 【答案】729 【分析】先根据，求出等比数列的公比，再由求出. 【详解】设等比数列的公比为． 因为，所以，所以． 所以 故答案为： 2.（25-26高二上·山东青岛·月考）已知正项等比数列满足，则该数列的公比为（    ） A．2 B．1 C． D．-2 【答案】C 【分析】根据等比数列的定义及其通项公式列方程即可求得结果. 【详解】设正项等比数列的公比为，则有，， 由，得，即，代入，得， 因为是正项等比数列，所以，解得. 故选：C. 知识点04 等比数列通项公式的应用 1.求指定项：已知，，，直接代入求解；已知，，，代入推广公式求解 2.求首项或公比：已知数列中两项及对应项数，列方程组求解（如已知和，则，两式相除消去求，再代入求） 3.求项数：已知，，，由变形得，两边取对数求解（注意对数的定义域，即） 4.证明数列是等比数列：利用通项公式证明（常数，）；或已知通项公式为（，），直接判定为等比数列 易错辨析： 易错点1：求解公比时，忽略多解情况，如已知，，则，故，不可只取 易错点2：利用对数求项数时，忽略的条件，若，则无正整数项数（因等比数列各项同号，恒成立，实际解题中需注意题干是否隐含正项条件） 易错点3：证明数列是等比数列时，仅验证前几项的比值为常数，未证明对任意均成立，需严格依据定义证明（常数） 重点记忆： 已知等比数列两项求公比的核心方法：两式相除，利用求解，注意的奇偶性对解的个数的影响 求项数的关键步骤：将通项公式变形为指数形式，通过对数运算求解，结果需验证为正整数 常考结论： 若等比数列为正项数列，则（，）为等差数列，公差为；反之，若为等差数列，则为正项等比数列 已知等比数列的通项公式为，则，数列为等比数列，公比为 若等比数列的公比，则，可用于快速比较两项的大小（当，时，数列递增；当，时，数列递减） 【即学即练】 1．（25-26高三上·河北邢台·月考）在等比数列中，，且，则（   ） A．36 B．27 C．18 D．9 【答案】C 【分析】由等比数列下标和的性质化简，可得，再结合解出，即可得解. 【详解】由等比数列的性质得，故， 得． 由，得，则，所以． 故选：C. 2．（2025·陕西西安·模拟预测）若一个等比数列的各项均为正数，且前3项的积等于1，前8项的积等于1024，则这个等比数列的公比为 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的性质结合题目条件，即可求出等比数列的公比 【详解】已知等比数列前项的积等于，前项的积等于，且各项均为正数， 设等比数列为，公比为，则，， 由等比中项可得：， ，即， . 故答案为： 题型01 累乘法求通项公式 【典例1】（25-26高二上·湖北恩施·月考）在数列中，若 ，则（    ） A．1013 B．1014 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】利用累乘法求出通项公式，然后可得. 【详解】在中，取，可得，代入解得， 又由可得， 于是， 故. 故选：B 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，，求数列的通项公式. 【答案】 【详解】由得，所以当时， ，满足上式，所以数列的通项公式为. 【变式2】（2025高三上·吉林长春·专题练习）已知为数列的前n项和，，，则 ． 【答案】/0.8 【分析】通过变形条件利用累乘法求解出的通项公式，然后利用裂项相消法求解出结果. 【详解】由，可得， 两式相减可得，所以，， 当时，， 当时，符合上式， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 【变式3】（25-26高二上·甘肃平凉·月考）已知数列满足，，则数列的通项公式是 【答案】 【分析】根据题意可得，再利用累乘法求解． 【详解】，，即， ， 满足上式，所以. 故答案为：． 方法技巧与步骤： 1.第一步：判断适用条件：数列满足“”（为可化简的关于的表达式，且前项乘积可消项），等比数列是（常数）的特殊情况 2.第二步：列出递推比值式：当时，依次写出，，，……， 3.第三步：累乘消项：将上述个式子左右两边分别相乘，左边乘积为；右边乘积为，化简右边乘积得（关于的表达式） 4.第四步：推导通项：由，得（） 5.第五步：验证首项：将代入，若满足，则通项公式为（）；若不满足，需分段表示 核心公式补充：等比数列中（常数，），右边乘积为，故通项公式为 题型02 由等比数列的定义求通项公式 【典例1】（24-25高二下·安徽亳州·期末）已知数列满足，则（   ） A．64 B．128 C．256 D．512 【答案】B 【分析】根据题意，得，则. 【详解】根据题意，， 则，即， 即数列的奇数项和偶数项分别成公比为2的等比数列， 又，所以. 故选：B 【变式1】（24-25高二下·安徽阜阳·期中）若数列是公比为的等比数列，且，则的最小值为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】根据等比数列定义推导关系，再由得到关系，最后通过化简变形和基本不等式求解即可. 【详解】因为数列是公比为的等比数列，则， 即，所以. 又因为，，则. . （当且仅当，即时等号成立.） 则的最小值为. 故选：D. 【变式2】（24-25高二下·江西·月考）已知数列满足，则的前5项的乘积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件可得数列是等比数列，利用等比数列的通项公式可得结果. 【详解】由得， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴， ∴的前5项的乘积为． 故选：C． 【变式3】（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知数列是等比数列，记数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据数列是等比数列，可知数列为等差数列，由等差数列的性质求解即可. 【详解】则为常数，所以 为常数， 知数列为等差数列， 由，知，又， 所以公差， 故. 故选：A 方法技巧与步骤： 1.第一步：明确定义条件：已知数列为等比数列，或可证明（为常数，，） 2.第二步：推导通项雏形：由定义依次展开得，，，……，归纳得（） 3.第三步：验证首项兼容性：当时，，式子成立，故通项公式统一为（） 4.第四步：已知非首项求通项（拓展）：若已知第项，由定义得，联立消去，得推广式 关键要点：定义中“”“各项不为0”是前提，推导时需明确标注，避免遗漏约束条件 题型03 构造法求等比数列的通项公式 【典例1】（23-24高二上·福建厦门·期中）若数列满足，，则（ ） A．1020 B．1024 C．2044 D．2048 【答案】C 【分析】整理可得，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解. 【详解】因为，则， 且，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列， 则，即， 所以. 故选：C. 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足（）且，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】构造法得到为公比为4的等比数列，且，求出通项公式. 【详解】，设，故，所以， 解得，所以， 所以为公比为4的等比数列，且，所以， 故. 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】当时，可得，①，当时，②，①②得：，下列两种方式求数列的通项： 解法一：由得，故数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以. 解法二：由得，令，则，属于题型一模型，得，又，，故，所以. 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）已知数列{an}满足，，求{an}的通项公式． 【答案】 【分析】等式两边同时除以可得，利用换元法令 ，可得数列 是等比数列，再根据等比数列的通项公式化简即可. 【详解】由 得 ， 设 ，则 ， 再变形得 ， 所以数列 是等比数列，其中首项是 ，公比为 ． 所以有 ，即 ． 于是 ， 故 ． 方法技巧与步骤（分模型梳理）： 1.模型1：（，，，常数型递推） 步骤1：构造等比数列：设（为待定常数），展开得 步骤2：求待定常数：对比原式，得，解得 步骤3：确定新等比数列：数列是首项为、公比为的等比数列 步骤4：求通项：由等比数列通项公式得，整理得 2.模型2：（，，，指数型递推） 步骤1：构造等比数列：两边同除以，得 步骤2：换元简化：令，则递推式转化为，回归模型1 步骤3：求通项：用模型1方法求出，再代回得原数列通项 3.模型3：（，，一次函数型递推） 步骤1：构造等比数列：设（、为待定常数） 步骤2：展开对比求参数：展开后对比原式系数，列方程组求解、 步骤3：求新等比数列通项，再整理得原数列通项 核心要点：构造的关键是“补项匹配系数”，需根据递推式的类型（常数、指数、一次函数）选择对应补项形式，确保构造后为等比数列 题型04 用定义判断等比数列 【典例1】（25-26高二上·江苏镇江·期中）设是等比数列，有下列四个命题： ①是等比数列；        ②是等比数列； ③是等比数列；        ④是等比数列. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用等比数列的定义判断即可. 【详解】设等比数列的公比为，则， ∵，∴是等比数列，①正确； ∵，∴是等比数列，②正确； ∵，∴是等比数列，③正确；         ∵，∴是等比数列，④正确. 故选：D. 【变式1】【多选题】（25-26高三上·黑龙江·月考）设首项为1的数列前n项和为，已知，则下列结论正确的是（   ） A．数列为等比数列 B．数列的前n项和 C．数列的通项公式为 D．数列不是等比数列 【答案】ABD 【分析】条件可化为，结合等比数列定义可判断A正确，由A可求得的通项公式判断B，由的通项公式可求得的通项公式判断C，利用特殊值可判断D. 【详解】 又，数列是首项公比都为的等比数列，故选项A正确； 由A知， ，故B选项正确； 又因为，当，，当，， ，故选项C错误； ，，所以数列不是等比数列，故选项D正确. 故选：ABD 【变式2】【多选题】（25-26高二上·江苏苏州·期中）设，是两个公比不相等的等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据等比数列的定义与等比中项逐一判断即可. 【详解】设等比数列，是两个公比分别为，且 对于A，因为， ， 因,则，故不是等比数列，即A错误； 对于B，因为， ， 与A同理，，故不是等比数列，即B错误； 对于C，因为， ，是一个常数，所以是等比数列，故C正确. 对于D，因为，，是一个常数， 所以是等比数列，故D正确. 故选：CD. 【变式3】（25-26高三上·山东临沂·期中）已知数列的各项均不为零，若甲：是等比数列；乙：.则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分性、必要性的定义以及等比数列的定义进行判断即可. 【详解】若数列是公比为的等比数列，则， 所以，充分性成立； 若，则， 当时，满足， 但数列不是等比数列，所以必要性不成立； 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A. 方法技巧与步骤： 1.第一步：定性初判：先检查数列各项是否均不为0，若存在0项，则直接判定为非等比数列（因等比数列公比，各项必不为0） 2.第二步：定量验证（核心步骤）： 方法1：验证“从第二项起，每一项与前一项的比为常数”：计算（），若结果为常数（），则为等比数列；否则非等比数列 方法2：验证“连续三项满足等比中项关系”：对任意，验证（且、、均不为0），若恒成立，则为等比数列；否则非等比数列 3.第三步：特殊情况判定： 常数列：若，则为等比数列（公比）；若，则非等比数列 含有限项的数列：需验证所有相邻项的比为常数，不可仅验证前几项 关键提醒：判断时需明确“任意性”，即对所有符合条件的均成立，而非部分 题型05 等比数列基本量的计算 【典例1】（2025·吉林松原·模拟预测）已知数列是等比数列，若，则 ． 【答案】 【分析】设等比数列的公比为，由，求得，结合，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，可得，解得，所以． 故答案为：. 【变式1】（25-26高二上·全国·月考）在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（    ） A． B． C．18 D．24 【答案】C 【分析】由等比数列下标和性质，结合等差中项列出等式求解即可. 【详解】在正项等比数列中，设公比为， 则，又，，10成等差数列， 则，则， 故， 故选：C 【变式2】（2025高三上·贵州贵阳·专题练习）已知等比数列，，，则（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】由等比数列通项公式基本量计算即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 故选：B 【变式3】（25-26高三上·湖南·月考）在正项等比数列中，若，，则 . 【答案】1024/ 【分析】利用等比数列通项公式即可求出公比，再求首项，最后可得通项，从而可求解. 【详解】由题意知，， 因为正项等比数列，所以， 由，可得， 所以，即. 故答案为： 方法技巧与步骤： 1.第一步：定位已知量与未知量，选择对应公式： 已知、，求或：用通项公式 已知、（），求、：用推广公式 2.第二步：列方程（组）求解： 单未知量：直接代入公式变形求解（如已知、、，求：由得，两边取对数得，故） 双未知量：联立方程组消元求解（如已知、，两式相除得，解得，再代入其中一式求） 3.第三步：验证结果合理性： 公比，项数 若题干隐含“正项等比数列”，则，需舍去负公比；若无数项符号限制，可能有多个解（如为偶数时，可能为正负两个值） 核心公式补充：基本量运算的核心工具是和，优先选择推广公式可简化计算 题型06 等比中项及其应用 【典例1】（25-26高三上·重庆·月考）若为等差数列的前项和，，，则与的等比中项为 . 【答案】 【分析】根据等差数列的相关计算，可求得，，进而可求得和，再结合等比中项的性质即可求解. 【详解】因为为等差数列的前项和，且，， 所以可得，解得， 所以，， 设与的等比中项为，则，则， 所以与的等比中项为. 故答案为： 【变式1】（2025·湖北·模拟预测）1与2025的等比中项为 . 【答案】. 【分析】根据等比中项定义计算求参. 【详解】设1与2025的等比中项为为，所以，所以. 故答案为：. 【变式2】（25-26高二上·北京东城·月考）已知是公差不为零的等差数列，，若，，成等比数列，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用等比数列定义列式求出公差即可. 【详解】设等差数列的公差为，由，，成等比数列，得， 则，整理得，而，解得， 所以. 故选：A 【变式3】（25-26高三上·江苏南京·月考）已知等差数列的公差d不为0，若,,成等比数列，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用等比中项列方程，根据等差数列通项的基本量运算化简即得. 【详解】因，，成等比数列，则， 即，化简得， 又，则. 故选：C. 方法技巧与步骤： 1.第一步：明确等比中项的核心关系：若是与的等比中项，则（，即、同号） 2.第二步：分场景应用： 场景1：求已知两数的等比中项： 步骤1：判断存在性：计算，若，则存在等比中项；若，则不存在 步骤2：计算中项：由得 场景2：利用等比中项求数列未知项： 步骤1：定位等比中项关系：若数列为等比数列，则对任意，有 步骤2：代入已知项列方程：将已知项代入关系式，求解未知项（注意检验未知项不为0） 场景3：利用等比中项判断数列是否为等比数列： 步骤1：验证任意连续三项满足（），且各项不为0 步骤2：若恒成立，则为等比数列；否则非等比数列 易错要点：等比中项的“”是必要不充分条件，需补充“、、均不为0”才是、、成等比数列的充要条件 题型07 等比数列下标的性质 【典例1】（25-26高二上·湖南衡阳·月考）已知递增的等比数列满足，，则的公比（   ） A．6 B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】由等比数列的性质可得的值，结合以及为递增数列可得和的值，从而可得公比. 【详解】由，，解得或， 因为是递增数列，所以，则，又为递增的等比数列，所以. 故选：B. 【变式1】（25-26高二上·天津·月考）设各项均为正数的等比数列满足，则等于 . 【答案】 【分析】利用等比数列的通项公式将转化为的等式，通过计算得到的值，即的值，利用等比数列的性质得到，代入计算得解. 【详解】是各项均为正数的等比数列，，， ，， ， . 故答案为：. 【变式2】（25-26高三上·山西大同·月考）设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设公比为，利用等比数列的性质得到，再结合基本不等式求出公比，然后利用等比数列的性质可得. 【详解】设公比为， 所以， 当且仅当，即3时取等号，此时. 故选：B. 【变式3】（25-26高三上·广西·月考）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则 ． 【答案】 【分析】结合等差中项和等比中项分别求出和，代值运算化简即可． 【详解】由是等比数列可得，是等差数列可得， 所以. 故答案为：. 方法技巧与步骤： 1.第一步：牢记核心性质： 性质1：若（、、、），则 性质2：若（、、），则（即是与的等比中项） 性质3：延伸性质：若（、），则 2.第二步：分析题干下标关系： 若题干给出“下标和相等”的条件（如，因），直接应用性质1化简 若要求“某两项乘积”，先观察是否存在下标和与已知项下标和相等的情况，再代入已知值计算 3.第三步：验证性质应用条件：确保所有涉及的项均为等比数列中的项（即各项不为0），且下标均为正整数 常考应用示例：已知等比数列中，求：由，得，故（若为正项等比数列，则） 题型08 由递推关系证明等比数列 【典例1】（25-26高二上·天津津南·月考）（1）数列的前项和为，且.求数列的通项公式； （2）数列的首项，满足.证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （3） 数列满足，求数列的通项公式； 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）根据与的关系得数列是等比数列，进而求出通项； （2）根据等比数列的定义证明，再利用等比数列的通项公式求解； （3）由，得，两式相减即可求出答案. 【详解】（1）当时，，解得， 当，，所以， 即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以； （2）因为，所以， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 所以； （3）当时，因为， 所以， 所以 ， 所以； 当时，，所以，也满足上式， 所以 【变式1】（25-26高二上·四川达州·月考）已知数列，若，且. (1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，且数列的前项的和为，求. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据数列的递推公式构造等比数列，再由等比数列的通项公式化简即得； （2）先求得，求出的通项，利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）因为， 所以，又，所以， 所以是以为首项、为公比的等比数列， 所以，则. （2）由（1）可得，所以， 故 . 【变式2】（25-26高三上·陕西西安·月考）在数列中，，. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）计算的值证明是等比数列；先求解出的通项公式，则的通项公式可求； （2）先计算出并化简，然后采用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）证明：因为，且， 所以数列是首项为公比为的等比数列； 所以， 所以. （2）因为， 所以， 所以. 方法技巧与步骤（分递推类型梳理）： 1.类型1：直接递推型（如，） 步骤1：明确首项：由题干条件求出，确保（若，则数列非等比数列） 步骤2：变形递推式：两边同除以（，需简要说明：由递推式及、，可证所有），得（常数） 步骤3：下结论：由等比数列定义，数列是首项为、公比为的等比数列 2.类型2：构造递推型（如，，） 步骤1：构造新数列：按题型03的构造方法，将递推式转化为（） 步骤2：证明新数列等比： 先证：由（题干隐含不为0）及，可证所有 再变形得（常数） 步骤3：下结论：数列是等比数列，进而可推导原数列的属性（若需证明原数列为等比数列，需验证构造后的常数关系） 3.类型3：乘积递推型（如，） 步骤1：化简递推式：两边同除以（），得（常数） 步骤2：后续证明同类型1 证明规范要点：证明过程需包含“首项不为0”“从第二项起比值为常数”两个核心要素，逻辑链条完整，不可遗漏关键推导步骤 题型09 等比数列的单调性与最值 【典例1】（25-26高三上·福建龙岩·月考）若数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分条件和必要条件的定义得到结论. 【详解】取，，则，满足， 此时，所以数列不为递增数列， 故充分性不成立； 当数列为递增数列时，则，故必要性成立. ∴“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用等比数列的性质，结合充分、必要条件的定义分析判断选项． 【详解】是等比数列，则， ， ，等价于， 当时，，数列为递增数列； 当时，，则数列不一定递增，如时，， 不能推出为单调递增数列，不满足充分性； 若为单调递增数列，则对于任意，有， 令，则， 为单调递增数列能推出，满足必要性， “”是“数列为单调递增数列”的必要不充分条件，故A正确． 故选：A． 【变式2】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知等比数列的公比为.设甲：为递减数列，乙：，，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用等比数列的概念结合必要不充分条件定义即可得解. 【详解】若为递减数列，则对任意有即， 所以或， 如满足和的数列均为递减数列，故充分性不成立； 若，，则数列为递减数列，所以必要性成立. 所以甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 【变式3】【多选题】（24-25高三下·重庆·月考）公差为的等差数列与公比为的等比数列首项相同且为正数，则（   ） A．若，则为递减数列 B．若，则为递减数列 C．若，则为递增数列 D．若，则为递增数列 【答案】ABD 【分析】根据递增数列和递减数列的定义分别判断即可． 【详解】对于A，若，则，为递减数列，故A正确； 对于B，若，则，为递减数列，故B正确； 对于C，取，此时，不满足递增数列，故C错误； 对于D，因为，当时，等比数列为正项且， 当时，等差数列各项为正且递增，即， 所以，即为递增数列，故D正确； 故选：ABD． 方法技巧与步骤： 1.第一步：判断等比数列的单调性（核心依据：通项公式） 情况1：： 若，则数列递增（） 若，则数列递减（） 情况2：： 若，则数列递减（） 若，则数列递增（） 情况3：：数列为常数列（），无单调性（既不递增也不递减） 情况4：：数列各项正负交替，无单调性（如时，，，，……） 2.第二步：求解等比数列的最值： 有界数列（存在最值）： 当且：数列递增，最小值为，无最大值（当时，） 当且：数列递减，最大值为，无最小值（当时，） 当且：数列递减，最大值为，无最小值（当时，） 当且：数列递增，最小值为，无最大值（当时，） 无界数列（无最值）： 当：各项正负交替，既无最大值也无最小值（当时，在正负无穷间波动） 当：常数列，最大值和最小值均为 关键要点：等比数列的单调性和最值仅与的符号和的大小相关，需注意“时无单调性”“且非零时有界 一、单选题 1．（24-25高二下·广东·月考）已知首项为1的数列满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用累乘法求解. 【详解】依题意，. 故选：A. 2．（25-26高三上·重庆·月考）已知数列是等比数列，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为 ， 两个式子相比，得， 又由于同号，且相加小于0，所以， 故选：C 3．（24-25高二下·贵州遵义·月考）设数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质可得，结合等比数列的定义和通项公式计算即可求解. 【详解】由，得，所以， 则数列是以为公比的等比数列， 因为， 所以. 故选：C 4．（25-26高三上·河南·月考）已知数列满足：，对，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据递推关系式可整理得到，由此可得数列为等比数列，利用等比数列通项公式可推导得到，代入即可求得结果. 【详解】因为，， 所以为公比为的等比数列， 则， 故． 取，则． 故选：C． 5．（25-26高二上·福建龙岩·月考）已知数列中，，，则下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由递推关系可得，可得数列是等比数列，求出通项公式得解. 【详解】由 ，得，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， ，得， . 故选：D 6．（25-26高三上·天津和平·月考）已知为数列的前项和，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知条件求出数列前项的和以及前项的和，然后求解即可. 【详解】因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以，， 所以， 故选：A 7．（25-26高三上·河南·月考）已知是递增的等差数列，，若成等比数列，则（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项公式，结合等比中项的性质、等差数列的单调性进行求解即可. 【详解】设该等差数列的公差为， 因为数列是递增的等差数列，所以， 因为成等比数列，， 所以，或（舍去）， 则， 故选：B. 8．（24-25高二下·黑龙江·月考）已知数列为等比数列，其中，为方程的两根．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据韦达定理可得，利用等比数列的等比中项性质即可求解. 【详解】由题得，根据韦达定理可得，，则， 由等比数列的等比中项性质可得：. 因为等比数列的偶数项符号相同，都是负数，设公比为q，则, 所以. 故选：B. 9．（25-26高二上·甘肃兰州·月考）已知数列满足：.且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等比数列的定义证明数列为等比数列，再由通项公式求解. 【详解】由题知， 故 ， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 故选：C. 二、多选题 10．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知等比数列是递减数列，是其公比，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据等比数列的单调性求解判断. 【详解】，为递减数列， 则或. 故BD正确. 故选：BD. 11．（24-25高二下·湖北·月考）已知等差数列的公差为正数，是数列的前项和，若，，则（    ） A． B．数列是公比为的等比数列（为自然对数的底数） C． D．数列是公差为的等差数列 【答案】AB 【分析】由题意，根据等差数列的通项公式求出，进而求出，，即可判断AC；结合等、差比数列的定义即可判断BD. 【详解】A：依题意，设公差为d，则， 由，， 解得，，故A正确； B：由，得，所以， 由，即数列是以为公比的等比数列，故B正确； C：，故C错误； D：由，得， 所以，不恒为常数， 所以不是等差数列，故D错误. 故选：AB 12．（25-26高三上·福建厦门·月考）（多选）若数列的首项，且，则（    ） A．数列为等比数列 B． C．数列为递增数列 D．存在三个不相等正整数，使得 【答案】AC 【分析】通过取倒数变形判断数列类型，推导通项公式，分析数列单调性，假设存在性验证等式是否成立，逐一验证各选项. 【详解】选项A，由，取倒数得，变形得. 首项，故是以为首项、为公比的等比数列，A正确. 选项B，由的通项得，故，即. 选项B中表达式为，与推导结果不符，B错误. 选项C，，因随增大而递增，随增大而递减， 故随增大而递增，数列为递增数列，C正确. 选项D，假设存在不相等正整数，使得， 由C选项分析可知，数列为递增数列， 则对于任意不相等的正整数，有， 而，则， 所以等式无法成立，故不存在这样的，D错误. 故答案为：AC 三、填空题 13．（25-26高三上·云南楚雄·期中）在等比数列中，，，则 ． 【答案】10 【分析】根据等比数列的通项公式与性质求解，并检验公比的值是否符合题意，从而根据等比数列项的递推关系得的值. 【详解】设等比数列的公比为，因为，解得； 当，又，则， 解得，不符合题意； 当时，又，则， 解得，符合题意．综上可得． 故答案为：10. 14．（23-24高二下·山东淄博·期中）已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，则取最大值时，n的值为 . 【答案】6或7 【分析】首先求数列的通项公式，再根据数列的单调性，由前项积最大时满足的不等式，即可列式求解. 【详解】由题意可知，，数列单调递减，若最大时， 即，解得：， 所以或7. 故答案为：或 四、解答题 15．（25-26高二上·上海·期中）已知数列的前项和满足条件，其中是正整数． (1)求证：数列成等比数列； (2)设数列满足．若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用化简，易得结论； （2）通过（1）求出，进而求出，再利用裂项相消的方法求数列的前项和. 【详解】（1）证明:由题意得， ∴， 又，解得， ∴， ∴ 数列是首项为3，公比为3的等比数列； （2）由（1）得：， 故， 所以， 令数列的前项和为， 则， 计算得， 综上：数列的前项和为. 16．（24-25高三下·广东广州·月考）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.在数列中是否存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）当时，求出的值，当时，由，得，两式推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）求得，假设存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列，可得出，整理得出，联立可得出结论. 【详解】（1）当时，由①，得②. 由①②得，，即. 当时，，解得. 所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以. （2）不存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列.理由如下： 依题意得，即，解得. 假设存在项、、成等比数列（其中），则， 即，整理得. 联立，解得，这与已知条件矛盾. 所以不存项、、（其中、、成等差数列）成等比数列. 17．（25-26高三上·安徽马鞍山·月考）已知等差数列的前项和为，公差不为，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）得到，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为， 由，可得，即， 又由成等比数列，可得，所以， 整理得，联立方程组，解得， 所以， 所以数列的通项公式为. （2）解：由（1）知，可得， 所以． 18．（25-26高二上·福建莆田·月考）已知数列的前n项和为，_______.请在①，；②，，成等比数列，，两个条件中任选一个补充在上面横线中，并解答下面问题. (1)求数列的通项公式； (2)记，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选择条件①，利用数列前n项和为与数列的项之间的关系，化简等式求得，利用“累乘法”求得数列通项公式.选择条件②，利用数列前n项和为与数列的项之间的关系，得到数列为等差数列且求得公差，再由题意建立等量关系，求得，即可求得数列通项公式. （2）利用裂项相消求得的值. 【详解】（1）选择条件①， ∵，即，∴， 由累乘法可知当时，, 验证，当时，， ∴数列的通项公式. 选择条件②， ∵，即，∴， ∴数列是公差的等差数列， 由题意可知，∴，解得，∴， ∴数列的通项公式. （2） ， . 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $