1.3.2 第1课时 等比数列的前n项和（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

3．2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和 课程内容标准 学科素养凝练 1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用． 2．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题． 1.在推导等比数列前n项和公式的过程中达成逻辑推理、数学抽象的核心素养． 2．在运用等比数列前n项和公式的过程中提升逻辑推理和数学运算的核心素养． 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和 公式 Sn＝ Sn＝ 对首项为a1，公比为q(q≠0)的等比数列{an}， 设Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，① 则qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，② ①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn． 当q≠1时，Sn＝． 又因为an＝a1qn－1，所以上式还可以写成Sn＝． 当q＝1时，Sn＝na1． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求．(×) (2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.(√) (3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N＋)，则此数列一定是等比数列.(√) (4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列.(×) 2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，a2＝4，那么S10等于(　　) A．210＋2　　　　　　 B．29－2 C．210－2 D．211－2 D　[等比数列的公比q＝＝＝2，所以前10项和S10＝＝＝211－2.] 3．(教材习题改编)在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为(　　) A．4　　　　　　 B．－4 C．2 D．－2 A　[由S5＝＝44，得a1＝4.] 4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋…＋a99＝________． 12　[设a1＋a3＋…＋a99＝S，则a2＋a4＋…＋a100＝2S. ∵S100＝36，∴3S＝36. ∴S＝12，即a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.] 在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q. 解题程序： 第一步，泛读题目明待求结论：求a3和q. 第二步，精读题目挖已知条件：{an}为等比数列，且知道首项和前3项和． 第三步，建立联系寻解题思路：讨论公比q是否为1，利用前n项和公式，求出公比，进而求出a3. 第四步，书写过程养规范习惯． 解　若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意．此时，q＝1，a3＝a1＝2. 若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，得S3＝＝＝6，解得q＝－2. 此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8. 综上，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8. [方法总结]　使用等比数列求和公式时的注意事项 (1)一定不要忽略q＝1的情况． (2)知道首项a1、公比q和项数n，可以用Sn＝；知道首尾两项a1，an和q，可以用Sn＝. (3)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn，知道其中任意三个，可求其余两个． [训练1]　设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝，a＝a6，则S5＝________． 　[设等比数列{an}的公比为q，由a＝a6得(a1q3)2＝a1q5， 整理得q＝＝3. ∴S5＝＝.] [训练2]　(2020·全国卷Ⅱ)在数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝(　　) A．2　　　　 B．3　　　　 C．4　　　 　D．5 C　[在等式am＋n＝aman中，令m＝1，可得an＋1＝ana1＝2an，∴＝2. ∴数列{an}是首项为2、公比为2的等比数列， 即an＝2×2n－1＝2n. ∴ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝ ＝＝2k＋1(210－1) ＝25(210－1). ∴2k＋1＝25.∴k＋1＝5，解得k＝4.] [训练3]　在等比数列{an}中，若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n. 解　方法一　∵an＝96，q＝2， ∴a1·2n＝192.　① 又Sn＝＝189， 即a1－a1·2n＝－189， ∴a1＝a1·2n－189＝192－189＝3，代入①式得n＝6. 方法二　由公式Sn＝及已知，得189＝，解得a1＝3. 又由an＝a1qn－1，得96＝3·2n－1，解得n＝6. [知能解读]　等比数列前n项和的性质 (1)在等比数列{an}中，若项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q. (2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n