吉林省吉林市第二十三中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

学 校 2025一2026学年度第一学期综合练习 九年级数学试题 本试卷包括三道大题，共22道小题，共6页。全卷满分120分，考试时间为120分钟。考试 站束后，将本试卷和答题卡一并交回。 姓 名 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴 在条形码区域内。 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题 班 级 无效。 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意：每小题3分，共18分） 1.用配方法解方程x2-2x=1时，原方程变形为 A(x+1)2=2 B.(x-1)2=2 C.（x+2)2=5 学 D.(x-2)2=5 号 2下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 装 B D 3.已知-个不透明的袋子里装有2个黑球，m个白球，这些球除颜色外其余都相同，若从该袋子 线 里随机摸出一个球，是黑球的概率为亏，则m的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，∠A=80°，则∠C的度数是 A.80° B.90° C.95° D.100° B D D 00 8 装 (第4题) (第6题) 5.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分 订 支的总数是91个，问每个支干长出多少个小分支？设每个支干长出x个小分支，根据题意可 列出的方程为 线 A.x+x2=91 B.1+x2=91 C.1+x+x2=91 D.1+x(x-1)=91 6.如图，AD是⊙0的直径，弦BC⊥AD于点E,若AB=BC=12,则OC的长为 A.2 B.23 C.4 D.4万 二、填空题（每小题3分，共15分）】 7.若点P(3,2)与点Q关于原点0对称点，则点Q的坐标为 …数学试题第1页（共6页）… 8.如图，直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CM=CB,则直线AB和⊙O的位置关系 是 10 (第8题) (第9题) (第10题) (第11题) 9.二次函数y=2(x+1)2的图象如图所示，则△AB0的面积为 10.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AED,点B落在边DE上，若线段AB=5,则BL 11.如图，口ABCD的顶点A,B,D在⊙0上，顶点C在⊙0的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE,则 ∠AEB的度数为 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12.(6分)解方程：(x+1)2-9=0. 13.（6分)已知关于x的方程x2+mx+m-2=0. (1)求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 (2)若方程的一个根为0，则m= 14.(6分)为落实中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于实施中华优秀传统文化传承发 工程意见》，深人开展“我们的节日”主题活动，某校七年级在元且来临之际，成立了四个善 团：A包粽子，B腌咸蛋，C酿甜酒，D摘艾叶，在每人只参加个社团的悄况下，学校计划从 个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图的方法，求同时选中A和C两 社团的概率 考 生 座位序号 …数学试题第2页（共6页）… 15.(7分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线了=之(x-22+6与)轴交于点4(0,1)，过点4和 x轴平行的直线与地物线的另一个交点为点B.点P为抛物线上一点（点P在直线B的上 方)、设点P的横坐标为m,△PAB的面积为S. (1)k= ,点B的坐标为 (2)求S关于m的函数解折式 (第15题) 16.（7分)图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的 顶点叫作格点.在给定的网格中，分别按下列要求作图，所画图形的各点均在格点上，只用无 刻度的直尺，保留作图痕迹 图① 图② 图③ (第16题) (1)在图①中，画一个底边长为4，面积为8的答腰三角形 (2)在图②中，画一个面积为10的等腰直角三角形 (3)在图③中，画一个底边长为2万，面积为6的等腰三角形 17.(7分)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，∠ABC=2∠D,连接OA,OB,OC,AC,OB与 AC相交于点E. (1)求∠0CA的度数 (2)当∠C0B=3∠A0B,OC=25时，直接写出图中阴彤部分图形的面积（结果保留T) D (第17题) …数学试题第3页（共6页）… 18.(8分)[项目主题】 估计π的值 N 【项目实施】 步骤一：在纸上画一一个正方形及其内切圆，如图 (1)该内切圆的面积与正方形的而积的比值用a表示，求a的值 步琛二：随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的纸上，统计并计算落在圆 内的米拉数(m)与正方形内的米拉数()的比值（只 ,如下表. (第18愿) 落在圆内的米粒数(m) 落在正方形内的米拉数(n) 泉幸侣) 450 600 b (2)b= 步骤三：利用α与b的关系，估计π的值 (3)T≈ 【项目反思】 小明同学发现，上述π的估计莉度不够高，应怎样提高π的估计指度呢？请你给出至少一条 合理化建议 (4)建议： 订 线 19.（8分)如图，在菱形ABCD中，B=4cm,∠A=60°.动点P从点A出发以2.cm/s的速度沿射 线AB运动，以P为一边在射线AB的上方作等边△APQ.设点P的运动时间为xs(x>0), △APQ与姿形ABCD.垂叠部分图形的面积为ycm2. (I)△PQ的边PQ的长为一（用含x的代数式表示) (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变武x的取值范围。 装 B (第19题) ·…数学试题第4页（共6页）… 20.（10分)如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直向上抛，那么经 过x秒物体离地面的高度为(10x-4.9x2)米 (1)当x=1时，物体离地面的高度为 米 (2)根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？ (3)当物体高开地面最高时，求x的值 (4)当物体离地面高度为0.4米时，直接写出x的值 (第20题) 21.（10分)阅读下面材料，并解答问题 材料：将分式一+3拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式 x2+1 解：由分母为-x2+1,可设-xx2+3=(-x2+1)(x2+a)+b、 订 则-xx2+3=(-x2+1)(x2+a)+b=-x-x2+x2+ab=-x-(a-1)x2+(a+b), ~对应任意x,上述等式均成立，{ dga2a1 -x-2+3（-x2+1)(✉2+2)+1_（-2+1)(x2+2),1 x2+1 -x2+1 -x2+1 -x2+1 x2+241 -x2+1' -x2+1 1的和 这样，分式+3被拆分成了一个整式子+2与一个分式 根据材料解答下列问愿。 (1)若xtx2-2x-2=(xta)(x2+b)(a,b是常数)，则a= (2)将分式6+8拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式 -x2+1 装 (3)试说明62+8 的最小值为8 x2+1 线 …数学试题第5页（共6页）… m 22.(12分)如图，抛物线y=-(x-1)2+k与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴相 交于点C(0,3).点P为抛物线上一点，横坐标为m,且m>0. (1)求此抛物线的解析式 (2)当点P位于x轴上方时，△BCP面积的最大值为 (3)设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P)的最高点与最低点的纵坐标之差 为h ①当A=2时，求m的值 ②当△ACP为直角三角形时，直接写出m的值 4 可 (第22题) …数学试题第6页（共6页）… 2025-2026学年度第一学期综合练习 九年级数学参考答案及评分标准 阅卷说明： 1.评卷采分最小单位为1分，每步标出的是累积分 2.考生若用本“参考答案”以外的解（证）法，可参照本“参考答案”的相应步骤给分 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意.每小题3分，共18分） 1.B 2.A 3.C 4.D 5.C 6.D 二、填空题（每小题3分，共15分） 7.(-3,-2) 8.相切 9.1 10.5 11.36 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12.解：原方程整理得(x+1)2=9. (2分) .x+1=3,或x+1=-3. (4分) .∴.x1=2,x2=-4 (6分) 13.解：(1)根据题意，得△=2-4-2)=2-4m+8=m-2)2+4>0. (3分) ∴.不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根. (4分) (2)2. (6分) 14.解：树状图如下所示， B·C·D·…A…C。·DA·B··D··A·B (4分) 由上可得，一共有12种等可能性的结果，其中同时选中A和C两个社团的可能性有2种， P(同时选中A和C两个社团)21 (6分) 126 15.解：(1)3(4,1) (2分) （2)由(1)得，AB=4-0=4. :点P的横坐标为m,六点P的纵坐标为--2°+3 数学试题参考答案及评分标准第1页（共4页） a9x4xf-m-2妒+3-非-0m-29+4=-m+m (7分) 16.解：(1)如图所示 (3分) (2)如图所示。 (5分) -4---4-- 4 (3)如图所示. (7分) -1--1--1-+-1 rt- 17.解：(1)，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴.∠ABC+∠D=180° (2分) ,∠ABC=2∠D .∠ABC=120°，∠D=60°. .∴.∠AOC=120° (3分) OA=OC, ∴.∠OCA=∠OAC=30°. (4分) (2)3π-2√5 (7分) 18.解：(1)设正方形的边为2x,则圆的半径为x. a=x2=亚 4x4 (2分) (2)0.75 (4分) (3)3 (6分) (4)增加撒在画有正方形及其内切圆纸上的米粒数等.（答案不唯一） (8分) 数学试题参考答案及评分标准 第2页（共4页） 19.解：（1)2x (2分) (2)当0<x≤2时，如图①，= 3 (2x)2=V3x2 (4分) 4 当2≤4时，知图@.，=5-52-02×2 .y=-V3x2+8V3x-8V5 (6分) 当x>4时，如图③，y=8V3 (8分) V3x2(0<x≤2) 综上，y= V3x2+8W3x-8v3(2<x≤4) 8W3(x>4) D 0 B B 图① 图② 图③ 20.解：（1)5.1 (2分) (2)根据题意，得10x-4.9x2=0, 解得x1=100 ,x2=0(舍去) 49 答：物体经过100秒落回地面 (5分) 49 (3)解法-：10m-4.9x2=-4.96K-50+250 49 49 当x=50时，物体离开地面最高. (8分) 49 解法二：a=-4.9<0,b=10, :当=会-8时，物体离开绝面袋尚 (8分) (4)2或2 (10分) 49 21.解：(1)1-2 （2分) (2)由分母为-x2+1,可设-x4-6x2+8=（←x2+1)x2+四+b, 则-x4-6x2+8=(-x2+1)x2+)+b=-x4-ax2+x2+a+b 即-x4-6x2+8=-x4-(a-1)x2+(a+b) 数学试题参考答案及评分标准第3页（共4页） a-1=6 ,对应任意x,上述等式均成立， ,a=7,6=1 (6分) a+b= -x-6x2+8_(-x2+10x2+7)+1_(-x2+10x2+7)1 -x2+1 -x2+1 -x2+1 -x2+1 2+7+1 -x2+1 这样，分式r-6r2+ -x2+1 被拆分成了一个整式2+7与一个分式的和，(8分) -x2+1 (3)由-x-6r2+8 x2+7+1知 -x2+1 -x2+1 对于x2+7+1 ,当x=0时，这两个式子的和有最小值，最小值为8. (10分) -x2+1 22.解：(1)根据题意，得3=-(0-1)2+k,解得k=4. (1分) ∴.所求的抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4或y=-x2+2x+3. (2分) 2 27 8 (4分) (3)由题可知C(0,3),P(,-2+2L+3) ①当0<m≤1时，最高点为点P,最低点为点C, 1 :h=-m2+2m+3-3=- 2 、解得22之，=2+V2 2(舍去) (6分) 当1<m≤2时，最高点为顶点(1,4)，最低点为点C, h=43判≠2，不成立 (8分) 当>2时，最高点为顶点(1,4)，最低点为点P, h=4-←m+2m+3)= 解得h=2-V 2(舍去)，阳=2+2（舍去) (10分) 2 2 综上所述，= 2-V2 2 7 10 ② 3 (12分) 3 数学试题参考答案及评分标准第4页（共4页）