精品解析：2026年辽宁省普通高中学业水平合格性考试沈阳市模拟数学试卷（二）

2026年辽宁省普通高中学业水平合格性考试沈阳市模拟试卷（二） 数 学 （本试卷分第Ⅰ卷和第II卷两部分.满分100分，考试时间90分钟） 第Ⅰ卷（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据集合间的并集定义计算可得结果。 【详解】由，解得，因为，所以， 故选：C. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据充分必要条件的定义判断可得结果. 【详解】由“”可得出“”或“”，所以由“”推不出“”， 而由“”能推出“”，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知是纯虚数，则实数的值为（ ） A. -1或3 B. 1或3 C. -1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由纯虚数定义结合题意可得答案. 【详解】由题意可知解得. 故选：D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式分母不为、偶次根式被开方数大于等于列出不等式组，解之即可. 【详解】由题意可知，解得， 所以的定义域为， 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用向量数量积的运算律结合条件求出，再根据向量夹角的计算公式列式求解即得. 【详解】由得， 又因为，代入解得， 由， 因为，所以. 故选：C. 6. 已知，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由同角三角函数基本关系可得，根据两角和的正弦公式计算即可求解. 【详解】因为，所以， ， 故选：A. 7. 将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象平移原则得出的表达式，由三角函数性质求出对称轴即可. 【详解】由题意可知， 令，解得，当时，. 故选:C. 8. 已知函数，在下列区间中，一定存在零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断区间端点值的符号，结合零点存在定理可得答案. 【详解】计算；；；， 由零点存在定理可得一定存在零点. 故选：B. 9. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出的关系，然后根据的值求解出结果. 【详解】因，则 则， 则，即，故. 故选：C. 10. 已知函数（且）的图象恒过定点，则定点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的特征，令，进而求出定点坐标. 【详解】因为，所以令，则，此时， 所以定点坐标为. 故选:D. 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 为了解某校高二年级学生的近视情况，从中随机抽取40名学生进行调查，其中40名学生是该调查的样本 B. 若一组数据1，2，4，2，4，3，5，，3的唯一众数是3，则这组数据的平均数为3 C. 已知样本数据的平均数为5，方差为2，则的平均数和方差分别为14和17 D. 一组数据10，11，11，12，13，13，14，16，20，23的60%分位数是13 【答案】B 【解析】 【分析】根据调查试验中的样本定义可判断A；利用一组数据的众数概念可判断B；根据一组数据的加减倍分后得到的新数据与原数据之间的平均数与方差的性质可判断C，利用百分位数的定义可判断D. 【详解】对于A，该调查中，40名学生的视力情况才是该调查的样本，故A错误； 对于B，这组数据已经有两个2，两个3，两个4，如果有唯一的众数3，说明， 则这组数据的平均数为，故B正确； 对于C，因为样本数据的平均数和方差分别为5和2， 则的平均数为，方差为，故C错误； 对于D，因为D中一共有10个数，60%分位数是从小到大排列后的第6个数和第7个数的平均数，即，故D错误. 故选：B. 12. 已知两个正实数满足，并且恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由基本不等式“1”的妙用求得，进而可得，计算即可求解. 【详解】因为恒成立，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 因为函数在定义域内单调递增， 所以，解得， 故实数的取值范围是. 故选：D. 第II卷（非选择题共64分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.要求直接写出答案，不必写出计算过程或推证过程.） 13. 已知，用表示是________________. 【答案】## 【解析】 【分析】指数式化为对数式，再结合对数运算法则进行求解. 【详解】由得，故. 故答案为：. 14. 已知关于的一元二次方程的两个根分别为，若，则的值为_____________. 【答案】##1.5 【解析】 【分析】由题意结合韦达定理可得答案. 【详解】由已知可得，即，由韦达定理得， ，化简得，解得（舍）或. 故答案为:. 15. 已知一个口袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，这6个球除颜色外完全相同，先从这个口袋中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，两次摸出的球颜色相同的概率是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由古典概型及事件的互斥性质进行求解． 【详解】记事件：摸出的是红球，事件 ：摸出的是白球，事件：摸出的是黑球，则 因为从口袋中有放回地摸球两次，两次摸球是相互独立的，两次摸出的球的颜色相同的事件可以表示为， 所以， 故答案为:. 16. 已知定义在上的偶函数满足：对任意，且时，都有成立，则不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的定义域，奇偶性和单调性可得限制条件，求解不等式组可得答案. 【详解】对任意，且时，都有成立， 可得在上单调递减， 因为为偶函数，所以在上单调递增， 所以,解得或. 故答案为:. 三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知平面向量，且. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件化简得到，结合先平方再开方计算向量的模； （2）先计算，，最后根据计算即可. 【小问1详解】 由整理得，又， 代入得，解得， 则； 【小问2详解】 因为， 又， 所以. 18. 已知函数. （1）求的单调递增区间及对称轴； （2）若，且，求. 【答案】（1）单调递增区间为，对称轴为 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据整体法得到不等式和方程，求出函数单调递增区间和对称轴； （2）由得到方程，求出，结合角的范围得到，再凑角，利用正弦差角公式得到答案. 【小问1详解】 令，解得， 所以的单调递增区间为； 令，解得， 所以的对称轴为. 【小问2详解】 因为，即，所以， 又，所以，所以， 所以 19. 从某校高二随机抽取100名学生的期中考试的数学成绩进行调查，发现他们的成绩都在分之间，将成绩分为五组，画出频率分布直方图，如图所示： （1）若该校高二有1500名学生，估计该段学生的数学成绩不低于80分的学生有多少名？ （2）估计高二学生的数学成绩的平均数和中位数； （3）用分层抽样的方法在区间中抽取一个容量为6的样本，将该样本看作一个总体，从中抽取2名学生的数学成绩，求这两名学生中至少有一人的数学成绩在区间的概率． 【答案】（1）450 （2）平均数为，中位数为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图先求出，进而可确定数学成绩不低于80分的学生人数. （2）根据平均数和中位数的定义进行求解即可. （3）先求出数学成绩分别在的容量，然后求出至少有一人的数学成绩在的概率即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得， 解得. 所以该校学生的数学成绩不低于80分的学生有： 名. 【小问2详解】 高二学生的数学成绩的平均数为： . 因为前两组的频率为，前三组的频率为. 所以中位数在内，设中位数为， 则，解得. 【小问3详解】 因为数学成绩在的频率之比为， 因样本容量为6，所以数学成绩在的容量为3，2，1. 所以抽取2名学生中至少有一人的数学成绩在的概率是： . 20. 如图，在正方体中，，分别为，的中点． （1）证明直线平面； （2）设，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理得证. （2）利用等体积法及锥体的体积公式计算即得. 【小问1详解】 在正方体中，连接， 由，得四边形为平行四边形，则， 由分别为的中点，得，则， 而平面，平面，所以直线平面. 【小问2详解】 在正方体中，平面，而， 所以三棱锥的体积. 21. 已知分别为三个内角的对边，满足 （1）求; （2）若的周长为，面积为 求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，得到，再由辅助角公式求出答案； （2）根据题中条件得到的关系式，结合余弦定理解得的值 【小问1详解】 由正弦定理得， 其中， 故， 因为，所以，故， 即，所以， 因为，所以， 故，解得； 【小问2详解】 因为的周长为，面积为 所以，即 由余弦定理得，即 结合方程化简得，解得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年辽宁省普通高中学业水平合格性考试沈阳市模拟试卷（二） 数 学 （本试卷分第Ⅰ卷和第II卷两部分.满分100分，考试时间90分钟） 第Ⅰ卷（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知是纯虚数，则实数的值为（ ） A. -1或3 B. 1或3 C. -1 D. 3 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，其中，则（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，在下列区间中，一定存在零点的区间是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数（且）的图象恒过定点，则定点的坐标是（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 为了解某校高二年级学生的近视情况，从中随机抽取40名学生进行调查，其中40名学生是该调查的样本 B. 若一组数据1，2，4，2，4，3，5，，3的唯一众数是3，则这组数据的平均数为3 C. 已知样本数据的平均数为5，方差为2，则的平均数和方差分别为14和17 D. 一组数据10，11，11，12，13，13，14，16，20，23的60%分位数是13 12. 已知两个正实数满足，并且恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题共64分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.要求直接写出答案，不必写出计算过程或推证过程.） 13. 已知，用表示是________________. 14. 已知关于的一元二次方程的两个根分别为，若，则的值为_____________. 15. 已知一个口袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，这6个球除颜色外完全相同，先从这个口袋中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，两次摸出的球颜色相同的概率是_____________. 16. 已知定义在上的偶函数满足：对任意，且时，都有成立，则不等式的解集为___________. 三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知平面向量，且. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 18. 已知函数. （1）求的单调递增区间及对称轴； （2）若，且，求. 19. 从某校高二随机抽取100名学生的期中考试的数学成绩进行调查，发现他们的成绩都在分之间，将成绩分为五组，画出频率分布直方图，如图所示： （1）若该校高二有1500名学生，估计该段学生的数学成绩不低于80分的学生有多少名？ （2）估计高二学生的数学成绩的平均数和中位数； （3）用分层抽样的方法在区间中抽取一个容量为6的样本，将该样本看作一个总体，从中抽取2名学生的数学成绩，求这两名学生中至少有一人的数学成绩在区间的概率． 20. 如图，在正方体中，，分别为，的中点． （1）证明直线平面； （2）设，求三棱锥的体积． 21. 已知分别为三个内角的对边，满足 （1）求; （2）若的周长为，面积为 求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $