精品解析：河南省济源沁园中学2025-2026学年上学期九年级数学12月月考试卷

九年级数学试题 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意； C、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； D、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 如果m，n是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，那么代数式的值为（ ） A. 2021 B. 2032 C. 2022 D. 2030 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系可知： ， 又 ，利用它们可以化简 ，然后就可以求出所求的代数式的值． 【详解】由题意可知： 是 的两个不相等的实数根， 则根据根与系数的关系可知： ， 又， 则 ， 故选：B． 3. 将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的物物线解析式是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线平移法则“左加右减，上加下减”得到新抛物线解析式，整理即可． 【详解】解：将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的新抛物线解析式是，即． 故选：D 【点睛】本题考查了抛物线的平移，掌握抛物线的平移法则是解题的关键． 4. 如图，在中，弦相交于点P，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的外角的性质可得，求得，再根据同弧所对的圆周角相等，即可得到答案． 【详解】，， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 5. 根据学校合唱比赛的活动细则，每个参赛的合唱团在比赛时须演唱4首歌曲，九（2）班合唱团已确定了2首歌曲，还需在A，B两首歌曲中确定一首，在C、D、E三首歌曲中确定另一首，则确定的参赛歌曲中有一首是D的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：画树状图为： 共有6种等可能的结果数，其中确定的参赛歌曲中有一首是D的结果数为2， 所以确定的参赛歌曲中有一首是D的概率==．故选B． 考点：列表法与树状图法． 6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD:BD=5:3，CF=6，则DE的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由DEBC可得出，∠AED＝∠C，结合∠ADE＝∠EFC可得出△ADE∽△EFC，根据相似三角形的性质可得出，再根据CF＝6,即可求出DE的长度． 【详解】解：∵DEBC， ∴，∠AED＝∠C． 又∵∠ADE＝∠EFC， ∴△ADE∽△EFC， ∴， ∵CF＝6， ∴， ∴DE＝10． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质列出比例式是解题的关键． 7. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　） A. （3+x）（4﹣0.5x）＝15 B. （x+3）（4+0.5x）＝15 C. （x+4）（3﹣0.5x）＝15 D. （x+1）（4﹣0.5x）＝15 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有(x+3)株，得出平均单株盈利为(4-0.5x)元，由题意得(x+3)(4-0.5x)=15即可． 【详解】解：设每盆应该多植x株，由题意得 (x+3)(4-0.5x)=15， 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键． 8. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】∵k=-6<0， ∴函数图象的两个分式分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大． ∵-1＜0， ∴点（-1，y1）位于第二象限， ∴y1＞0， ∵0<1<3 ∴（1，y2），点（3，y3）位于第四象限， ∴y2<y3＜0， ∴y2＜y3＜y1． 故选D. 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及反比例函数的性质，k>0时，图像位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小；k<0时，图象位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大；熟练掌握反比例函数的性质是解题关键. 9. 如图，直角三角板叠放在量角器上，均落在量角器的外圆弧上，点在量角器上的读数为与圆弧交于点，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，与相交于点H，由等腰三角形性质得到,由圆周角定理得出,再由,得出,从而求出,最后由弧长公式可得结果． 【详解】解：连接，与相交于点H， , , , , , , , , , , , , 故选：B 【点睛】本题考查了弧长公式，圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形及平行线的性质，解决本题的关键是熟练掌握弧长公式及圆周角定理． 10. 如图1，在中，，，动点从点出发，沿向点以每秒2个单位长度的速度运动，同时，动点从点出发，沿向点以每秒3个单位长度的速度运动，且当其中一点到达终点时，另一点继续运动到终点停止，设，出发时间为（秒，图2是关于的图像，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得，，，则，由图像中的可知，，又当时，，，即可求出的值． 【详解】解：由已知得，，， 则， 由图像中的可知， 当时，，， ，， ． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，根据图象确定x的运动时间与面积之间的关系是解本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称，则a＋b＝_____． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，得到a，b的值，进而即可求解． 【详解】解：∵点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称， ∴b=-3，a-2=-a， ∴a=1， ∴a+b=-2． 故答案是：-2． 【点睛】本题主要考查关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两点的横纵左边分别互为相反数，是解题的关键． 12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3．将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形HBEF，点H落在矩形ABCD的边CD上，则CH的长是______． 【答案】4 【解析】 【分析】由题意可知，BH=AB=5，BC=3，在Rt△BCH中，由勾股定理求出CH． 【详解】解：由题意可知， BH=AB=5，BC=3， ∴在Rt△BCH中， 故答案为：4 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 13. 如图，在扇形中，，正方形的顶点C是弧的中点，点D在上，点E在的延长线上，若正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不规则图形的面积，连接，用扇形的面积减去三角形的面积即可． 【详解】解：连接， ∵点C是弧的中点， ∴， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为； 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，的半径为1，直线切于点，则线段的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，如图，根据切线的性质得，再利用勾股定理得到，利用垂线段最短，当最小时，最小，然后求出的最小值，从而得到的最小值．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理． 【详解】解：连接、，如图， 直线切于点， ， 在中，， 当最小时，最小， 当直线时，有最小值2， 的最小值为． 故答案为． 15. 如图，等边中，，点D是边上一动点，将绕点A逆时针旋转得到，点F是边的中点，连接，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用，旋转的性质， 先证明，得出，从而可得点E在射线上，即可得出当时，最小，再根据等边三角形的性质求出，然后解，求出的长即可． 【详解】解：由旋转可得：，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点D是边上一动点， ∴点E在射线上，如图， ∵点F是的中点， ∴， 根据垂线段最短得：当时，即 时，最小， ∴在 中， ， 所以的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ，； （2） ，． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）用公式法解方程即可； （2）移项，用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴有两个不相等的实数根， ∴，； 【小问2详解】 解：， 移项得，， 即， 因式分解得， ∴，或， ∴，． 17. 已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣k﹣2=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）给k取一个负整数值，解这个方程． 【答案】（1）k＞﹣3；（2）取k=﹣2，x1=0，x2=2． 【解析】 【分析】（1）利用判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0，然后解不等式即可； （2）在（1）中的k的范围内取﹣2，方程变形为x2﹣2x=0，然后利用因式分法解方程即可． 【详解】（1）根据题意得△=（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0， 解得：k＞﹣3； （2）取k=﹣2，则方程变形为x2﹣2x=0， 解得：x1=0，x2=2． 【点睛】本题考查了根的判别式，解一元二次方程．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 18. 如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上． （1）请你作出，并判断的形状是________三角形： （2）在图中仅用无刻度的直尺作图．将绕点逆时针旋转得到，旋转角为，请你完成作图，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求． 直角 （2）如图所示，即为所求，点的坐标为． 【解析】 【分析】（）根据坐标画出三角形，再根据勾股定理的逆定理判定即可求解； （）根据旋转的性质画图即可； 本题考查了坐标与图形，勾股定理及其逆定理，旋转作图等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 ∵，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； 【小问2详解】 理由如下：如图，取格点，连接， 由网格可得，，，， ∴， ∴， ∵，点是线段的中点， ∴， ∴，即旋转角为， ∴即为所求． 19. 如图，在中，，过点作，垂足为． （1）若，，，求的长； （2）连接，若，且，，求的长． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （）证明即可求解； （）由得到，求得，利用勾股定理可得，再证明即可求解； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与直线y＝mx交于点A（2，2）． （1）求k，m的值； （2）点P的横坐标为n，且在直线y＝mx上，过点P作平行于x轴的直线，交y轴于点M，交函数（x＞0）的图象于点N． ①n=1时，用等式表示线段PM与PN的数量关系，并说明理由； ②若0<PN≤3PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）k=4，m=1． （2）①PN=3PM． ②n≥1且n≠2． 【解析】 【分析】（1）将点A坐标代入双曲线解析式中和直线解析式中，求解即可得出结论． （2）①先求出点M，N点坐标，即可得出结论． ②根据①当n=1时，PN=3PM，结合函数图象可以求解结果． 【小问1详解】 解：∵函数y＝(x＞0)的图象与直线y=mx交于点A（2，2）， ∴k=2×2=4，2=2m， ∴m=1， ∴k=4，m=1． 【小问2详解】 解：①由（1）知，k=4，m=1， ∴双曲线的解析式为y＝，直线OA的解析式为y=x， ∵n=1， ∴P（1，1）， ∵PM//x轴， ∴M（0，1），N（4，1）， ∴PM=1，PN=4-1=3， ∴PN=3PM． ②如图， 根据①可知：当n=1时，PN=3PM． 当n≥1且n≠2时，0＜PN≤3PM． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合题，解题关键是结合函数图象，求解不等式，掌握数形结合思想． 21. “沙包掷准”是同学们非常喜爱的一项趣味运动．沙包行进的路线呈抛物线形状，经研究，小航在掷沙包时，掷出起点处高度为，当水平距离为时，沙包行进至最高点；建立如图所示直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是水平距离，是行进高度． （1）求抛物线的表达式； （2）若地靶的中心到起掷线的距离为，设沙包落点与地靶中心的距离为，区域与得分对应如表，请问小航成绩怎样？并说明理由． 区域 得分 50 40 30 20 10 【答案】（1） （2）小航成绩应为50分，理由如下： 当时，， 解得，（舍去）， ∵， ∴沙包落地点距 O点的距离为, ∴沙包落点与地靶中心的距离为 ， ∵， ∴小航成绩应为50分． 【解析】 【分析】（1）根据题目设出的y关于x的函数表达式以及顶点和点，用待定系数法即可解答； （2）令，解方程求出x的值，再求出沙包落地点距地靶中心的距离，即可判断小航成绩． 【小问1详解】 解：由图象知，抛物线的顶点为， ∴抛物线解析式为， 把代入解析式得，， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 略． 【点睛】本题考查二次函数的应用、解一元二次方程，解题关键是理解题意，运用图象，把函数问题转化为方程问题． 22. 【材料】自从义务教育数学课程标准年版实施以来，九年级的晏老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”，在学习完切线的性质与判定后，她布置一题：已知：如图所示，及外一点求作：直线，使与相切于点李蕾同学经过探索，给出了如下的一种作图方法： ①连接，分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于、两点（、分别位于直线的上下两侧）； ②作直线，交于点； ③以点为圆心，为半径作，交于点点位于直线的上侧； ④连接，交于点，则直线即为所求． 【问题】 （1）请按照步骤完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）结合图形，说明是切线的理由； （3）若半径为，依据作图痕迹求的长． 【答案】（1） 解：按照步骤完成作图如下： （2） 解：由题意得：为的直径， ， ， 为的半径， 直线为的切线． （3） 【解析】 【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2），先根据圆周角定理的推论得到，，然后根据切线的判定定理得到直线为切线； （3）由勾股定理求出，设，则，由勾股定理可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解:如图：连接． ，， 在中，， 由图知为的垂直平分线， ， 设，则， 在中，， ，解得， ． ∴的长为． 【点睛】本题考查了作图复杂作图、线段垂直平分线的性质，勾股定理，圆周角定理和切线的判定与性质等知识点，掌握基本几何图形的性质、结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图是解答本题的关键． 23. 在数学综合实践课上，老师让同学们探究等腰直角三角形中的折叠问题． 引入：如图1，在中，，，点D在边上运动，点E在边上运动． （1）判断：如图2，当沿折叠，点B落在边的点处，且时，_____；四边形的形状是_______； （2）拓展：如图3，奇异小组同学的折叠方法是沿折叠，点B落在点处，延长交于点F，，点G在边上运动，沿折叠使点C落在线段的中点处，求线段的长； （3）应用：沿折叠，点B的对应点恰好落在边的三等分点处，请借助图1探究，并直接写出的长． 【答案】（1）90，菱形 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据菱形的判定即可得； （2）先求出，再根据折叠的性质可得，从而可得，设，则，，，然后在中，利用勾股定理求出的值，由此即可得； （3）分两种情况：①和②，在中，利用勾股定理求解即可得． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形， 故答案为：90，菱形． 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 由折叠的性质得：， ， ， ∵点是线段的中点， ， ， 设，则， ， ， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 【小问3详解】 解：①如图，当时， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴； ②如图，当时， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、菱形的判定、折叠的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果m，n是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，那么代数式的值为（ ） A. 2021 B. 2032 C. 2022 D. 2030 3. 将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的物物线解析式是( ) A. B. C. D. 4. 如图，在中，弦相交于点P，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 根据学校合唱比赛的活动细则，每个参赛的合唱团在比赛时须演唱4首歌曲，九（2）班合唱团已确定了2首歌曲，还需在A，B两首歌曲中确定一首，在C、D、E三首歌曲中确定另一首，则确定的参赛歌曲中有一首是D的概率是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD:BD=5:3，CF=6，则DE的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　） A. （3+x）（4﹣0.5x）＝15 B. （x+3）（4+0.5x）＝15 C. （x+4）（3﹣0.5x）＝15 D. （x+1）（4﹣0.5x）＝15 8. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是( ) A. B. C. D. 9. 如图，直角三角板叠放在量角器上，均落在量角器的外圆弧上，点在量角器上的读数为与圆弧交于点，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，，动点从点出发，沿向点以每秒2个单位长度的速度运动，同时，动点从点出发，沿向点以每秒3个单位长度的速度运动，且当其中一点到达终点时，另一点继续运动到终点停止，设，出发时间为（秒，图2是关于的图像，则的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称，则a＋b＝_____． 12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3．将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形HBEF，点H落在矩形ABCD的边CD上，则CH的长是______． 13. 如图，在扇形中，，正方形的顶点C是弧的中点，点D在上，点E在的延长线上，若正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，的半径为1，直线切于点，则线段的最小值为________． 15. 如图，等边中，，点D是边上一动点，将绕点A逆时针旋转得到，点F是边的中点，连接，则的最小值是________． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣k﹣2=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）给k取一个负整数值，解这个方程． 18. 如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上． （1）请你作出，并判断的形状是________三角形： （2）在图中仅用无刻度的直尺作图．将绕点逆时针旋转得到，旋转角为，请你完成作图，并写出点的坐标． 19. 如图，在中，，过点作，垂足为． （1）若，，，求的长； （2）连接，若，且，，求的长． 20. 在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与直线y＝mx交于点A（2，2）． （1）求k，m的值； （2）点P的横坐标为n，且在直线y＝mx上，过点P作平行于x轴的直线，交y轴于点M，交函数（x＞0）的图象于点N． ①n=1时，用等式表示线段PM与PN的数量关系，并说明理由； ②若0<PN≤3PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围． 21. “沙包掷准”是同学们非常喜爱的一项趣味运动．沙包行进的路线呈抛物线形状，经研究，小航在掷沙包时，掷出起点处高度为，当水平距离为时，沙包行进至最高点；建立如图所示直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是水平距离，是行进高度． （1）求抛物线的表达式； （2）若地靶的中心到起掷线的距离为，设沙包落点与地靶中心的距离为，区域与得分对应如表，请问小航成绩怎样？并说明理由． 区域 得分 50 40 30 20 10 22. 【材料】自从义务教育数学课程标准年版实施以来，九年级的晏老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”，在学习完切线的性质与判定后，她布置一题：已知：如图所示，及外一点求作：直线，使与相切于点李蕾同学经过探索，给出了如下的一种作图方法： ①连接，分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于、两点（、分别位于直线的上下两侧）； ②作直线，交于点； ③以点为圆心，为半径作，交于点点位于直线的上侧； ④连接，交于点，则直线即为所求． 【问题】 （1）请按照步骤完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）结合图形，说明是切线的理由； （3）若半径为，依据作图痕迹求的长． 23. 在数学综合实践课上，老师让同学们探究等腰直角三角形中的折叠问题． 引入：如图1，在中，，，点D在边上运动，点E在边上运动． （1）判断：如图2，当沿折叠，点B落在边的点处，且时，_____；四边形的形状是_______； （2）拓展：如图3，奇异小组同学的折叠方法是沿折叠，点B落在点处，延长交于点F，，点G在边上运动，沿折叠使点C落在线段的中点处，求线段的长； （3）应用：沿折叠，点B的对应点恰好落在边的三等分点处，请借助图1探究，并直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $