专题7.2.3 平行线的性质（知识荟萃+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题）-2025-2026学年人教版数学七年级下册同步培优讲义

本初中数学讲义聚焦平行线的性质这一核心知识点，系统梳理两直线平行时同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的三大性质及两条平行线的距离概念，衔接前期平行线的判定，构建“判定-性质-应用”的完整知识支架。 资料以8个题型讲练为主线，每个题型含典例精讲与变式训练，融入生活应用案例培养数学眼光，通过证明题提升推理思维，配套中考真题及基础夯实、培优拔高分层训练，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺。

专题7.2.3 平行线的性质 （知识荟萃+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【原卷版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：平行线的性质 1 知识点梳理02：两条平行线的距离 2 题型讲练 2 题型1：两直线平行同位角相等 2 题型2：两直线平行内错角相等 3 题型3：两直线平行同旁内角互补 4 题型4：根据平行线的性质探究角的关系 4 题型5：根据平行线的性质求角的度数 6 题型6：平行线的性质在生活中的应用 7 题型7：根据平行线判定与性质求角度 8 题型8：根据平行线判定与性质证明 9 中考真题 11 分层训练 12 基础夯实 12 培优拔高 15 知识点梳理01：平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 【易错点拨】 （1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”． （2）从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质． 知识点梳理02：两条平行线的距离 同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线 的距离． 【易错点拨】 （1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离． （2） 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等． 题型1：两直线平行同位角相等 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图，直线，被直线所截，，，是的平分线，，求的度数． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·周测）如图，在三角形ABC中，，DF交AB于点D，交BC于点F．若，则DE与AH的位置关系是 ． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·周测）如图，，，求证：． 题型2：两直线平行内错角相等 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图，直线，被直线所截，，与相交于点，与交于点，平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图，直线c与直线a，b都相交，．若，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知：如图，．请说明的理由． 题型3：两直线平行同旁内角互补 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若，，则的度数是 ． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下面给出了命题“如图，如果，那么”的说理过程，请补充完整． （   ）， ________________（   ）． （   ）． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线被直线c所截．如果同位角，请写出图中其他相等的同位角、所有相等的内错角、所有互补的同旁内角． 题型4：根据平行线的性质探究角的关系 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·期末）已知直线，点M、N分别在直线、上． (1)如图1，点E在直线、之间，求证：； (2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明； (3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）完成下面的证明，并在括号里注明理由：如图，已知点O，E在直线AB上，OD是的平分线，过点E作OD的平行线EF交OC于点F．证明：． 证明：∵， ∴， ． ∵OD是的平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，BEC是一条折线段，BP平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系． (2)如图②，CQ平分，直线BP，CQ交于点F，探究和的数量关系． 题型5：根据平行线的性质求角的度数 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·周测）在一次数学活动课上，老师让同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺ABC中，，． 【操作发现】（1）如图①，当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____________． 【探索证明】（2）如图②，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与的数量关系，并说明理由． 【变式训练1】（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图，直线，直线与分别相交于点M，N，，垂足为M，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【变式训练2】（25-26七年级下·安徽安庆·期中）如图，直线，直线，若，则（   ） A． B． C． D． 题型6：平行线的性质在生活中的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为 ． 【变式训练1】（24-25七年级下·吉林·月考）如图，小明绘制了一个安全用电的标识，点、、、在同一条直线上，且，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【变式训练2】（24-25七年级下·贵州遵义·月考）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是某品牌共享单车在水平地面上的示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则的度数为(   ) A． B． C． D． 题型7：根据平行线判定与性质求角度 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）【问题提出】 （1）如图1，直线，被直线所截，平分交于点，，判断与是否平行，并说明理由． 【问题解决】 （2）如图2，，，是三条主路，，超市的入口在主路上，三角形区域是一个大型购物中心，且平分，小路，为一条特色小吃街，，已知，求特色小吃街与主路的夹角的度数． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线被直线所截．若，求的度数． 【变式训练2】（24-25七年级下·甘肃定西·期中）直线a、b、c、d的位置如图，如果，，那么等于多少度？ 题型8：根据平行线判定与性质证明 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知：如图，，．直线AD与BE平行吗？直线AB与DC平行吗？请说明理由（在横线上填空）． 解：直线AD与BE平行，直线AB与DC____________． 理由：因为（已知）， 所以AD________BE（________________________）， 所以（________________________）． 又因为（已知）， 所以________________（等量代换）， 所以AB________DC（________________________）． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在三角形ABC中，CD平分，过点D作交CB于点E，过点E作交AB于点F．试说明：EF平分． 【变式训练2】（24-25七年级下·广东·期末）如图，以直角的直角顶点为原点，以，所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，满足． (1)点的坐标为________；点的坐标为________． (2)已知坐标轴上有两动点，同时出发，点从点出发沿轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴正方向以每秒个单位长度的速度匀速移动，点到达点整个运动随之结束．的中点的坐标是，设运动时间为秒．问：是否存在这样的，使得与的面积相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，若，点是第二象限中一点，并且轴平分．点是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动的过程中，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． 1．（2024·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，学校在李老师家的南偏东方向上，且与李老师家的距离是，则李老师家在学校的（    ） A．南偏东方向上，相距处 B．北偏西方向上，相距处 C．北偏东方向上，相距处 D．北偏西方向上，相距处 2．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，与在直线异侧．若，，射线、分别绕点，点以2度/秒和6度/秒的速度，同时开始顺时针在同一平面内转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，请问当时间的值为多少时，与平行．（   ） A．5秒 B．秒 C．5或秒 D．5或秒 3．（2024·陕西渭南·中考真题）如图已知：，，平分，，有以下结论：①；②；③；④，其中，正确的结论有 ．（填序号） 4．（2024·湖南娄底·中考真题）如图，在四边形中，，D为线段上的一个动点，连接，并作，交于点M，，的平分线相交于点N，在点D的运动过程中，的大小不会发生变化，则 °． 5．（2024·江西新余·中考真题）如图，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，点在点的右侧，，，平分，平分，直线、交于点E． (1)写出的度数______； (2)试求的度数（用含n的代数式表示）； (3)将线段向右平行移动，使点B在点A的右侧，其他条件不变，请直接写出的度数（用含n的代数式表示） 基础夯实 1．（24-25七年级下·全国·周测）如图，，AD平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD被直线EF所截，FG平分．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川雅安·二模）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（    ） A．45° B．58° C．65° D．75° 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，则的度数为 ． 5．（24-25七年级下·辽宁盘锦·月考）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数 ． 6．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，将两块含角的三角板和含角的三角板按如图所示的位置放置，若，则的度数为 °． 7．（25-26七年级下·四川达州·开学考试）有下列说法：①相等的角是对顶角；②经过一点可作一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线相交；④经过一点可作一条直线与已知直线垂直；⑤内错角相等．其中正确的有 ． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，，．求的度数． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）将下面的说理过程补充完整． 已知：如图，直线被直线c所截，，． 请说明的理由． 理由：理由：（   ）， ________（   ）． （）， （   ）． ________（   ）． （   ）． 10．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，，，．求的度数． 培优拔高 11．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）将一块含角的直角三角板如图放置，已知直线，，则等于（    ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，已知直线，直线分别交直线，于点E，F，平分交于点，是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点．设．下列四个式子：①；②；③；④．一定成立的是（   ） A．①② B．①④ C．③④ D．②④ 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在两个景区之间建立一段观光索道，索道支撑架互相平行（），且索道AB，BC均是直的．若，，则 ． 15．（24-25七年级下·陕西安康·期末）如图，直线被直线所截，平分交于点F，平分交于点E，，则的度数为 ． 16．（24-25七年级下·广东江门·月考）如图，，将直角三角板与的顶点放在直线a、b上，若，则 ． 17．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）如图，与互补，，则的度数是 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）下图所示的是一种躺椅的简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G，D，AB与DM交于点N．当，时，人躺着最舒服．求此时扶手AB与前支架OE的夹角和扶手AB与靠背DM的夹角的度数． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，B，C，E三点在一条直线上，，，．试说明：． 请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：因为（____________）， 所以 ____________（____________________）． 因为（____________）， 所以 ____________（____________________）， 所以________________________（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， 所以____________，____________． 又因为（已知）， 所以（____________）． 20．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知．将一副三角板摆放在两条平行线之间，使三角板的顶点E落在直线上，三角板的边落在直线上，并且边在一条直线上．求的度数． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.2.3 平行线的性质 （知识荟萃+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【解析版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：平行线的性质 1 知识点梳理02：两条平行线的距离 2 题型讲练 2 题型1：两直线平行同位角相等 2 题型2：两直线平行内错角相等 4 题型3：两直线平行同旁内角互补 6 题型4：根据平行线的性质探究角的关系 7 题型5：根据平行线的性质求角的度数 12 题型6：平行线的性质在生活中的应用 15 题型7：根据平行线判定与性质求角度 17 题型8：根据平行线判定与性质证明 20 中考真题 24 分层训练 31 基础夯实 31 培优拔高 37 知识点梳理01：平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 【易错点拨】 （1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”． （2）从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质． 知识点梳理02：两条平行线的距离 同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线 的距离． 【易错点拨】 （1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离． （2） 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等． 题型1：两直线平行同位角相等 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图，直线，被直线所截，，，是的平分线，，求的度数． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，角平分线的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 利用垂线的定义得，进而求得，利用平行线的性质求得，再利用角平分线的定义即可求解． 【规范解答】解： ， ， ， ， ， ， 平分， ． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·周测）如图，在三角形ABC中，，DF交AB于点D，交BC于点F．若，则DE与AH的位置关系是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查平行线的判定与性质，掌握两直线平行，内错角相等及同位角相等，两直线平行是解题的关键． 先利用的平行线性质，得到与这组同位角相等；再结合，用这两个等角分别减去和，得到与相等；最后根据同位角相等的判定规则，确定与的位置关系． 【规范解答】解： 故答案为：． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·周测）如图，，，求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了平行线的判定与性质，掌握内错角/同位角相等则两直线平行，两直线平行则内错角/同位角相等是解题的关键． 先利用同角的补角相等推出，得到；再结合，通过平行线性质和等量代换，得到，从而得到；最后利用平行线的性质，证明． 【规范解答】证明：∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 题型2：两直线平行内错角相等 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图，直线，被直线所截，，与相交于点，与交于点，平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，对顶角相等． 根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据对顶角相等作答即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A． 【变式训练1】（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图，直线c与直线a，b都相交，．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得，即可作答． 【规范解答】解：∵，， ∴， 故选：B 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知：如图，．请说明的理由． 【答案】见详解． 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． 先有证，再得即可． 【规范解答】证明：∵， ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） 题型3：两直线平行同旁内角互补 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若，，则的度数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． 根据平行线的性质，即“两直线平行，同旁内角互补”，由此可求解与的度数，再根据由此可求解． 【规范解答】解：，， ，． ，， ，， ． 故答案为：． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下面给出了命题“如图，如果，那么”的说理过程，请补充完整． （   ）， ________________（   ）． （   ）． 【答案】已知；；内错角相等，两直线平行 ；两直线平行，同旁内角互补. 【思路点拨】本题考查了平行线的判定和性质，根据平行线判定和性质即可求解. 【规范解答】解：（已知   ）， （内错角相等，两直线平行   ）． （两直线平行，同旁内角互补   ）． 故答案为：已知；；内错角相等，两直线平行 ；两直线平行，同旁内角互补. 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线被直线c所截．如果同位角，请写出图中其他相等的同位角、所有相等的内错角、所有互补的同旁内角． 【答案】与，与，与都是相等的同位角， 与，与都是相等的内错角， 与，与都是互补的同旁内角． 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质与判定，根据同位角相等，两直线平行可证明，再根据平行线的性质求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴，，， ∴与，与，与都是相等的同位角， 与，与都是相等的内错角， 与，与都是互补的同旁内角． 题型4：根据平行线的性质探究角的关系 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·期末）已知直线，点M、N分别在直线、上． (1)如图1，点E在直线、之间，求证：； (2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明； (3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【思路点拨】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． （1）过E作，根据平行线的性质即可得证； （2）过E作，过F作，根据平行线的性质及角平分线的定义即可解答； （3）记交于点H，根据题意设，，则，，，根据平行线的性质表示出、，由列式求解即可． 【规范解答】（1）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，过E作，过F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∴，， ∵与的角平分线交于点F， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，记交于点H， ∵，， 设，， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）完成下面的证明，并在括号里注明理由：如图，已知点O，E在直线AB上，OD是的平分线，过点E作OD的平行线EF交OC于点F．证明：． 证明：∵， ∴， ． ∵OD是的平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴． 【答案】见解析 【思路点拨】由两直线平行，内错角相等，根据可得到；由两直线平行，同位角相等，根据可得到．由是的平分线，根据角的平分线的定义得到，从而得到，最后根据等角的补角相等得到． 【规范解答】证明：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． ∵是的平分线， ∴（角的平分线的定义）， ∴． ∵，， ∴（等角的补角相等）． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，BEC是一条折线段，BP平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系． (2)如图②，CQ平分，直线BP，CQ交于点F，探究和的数量关系． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】(1) 要探究和的数量关系，先延长DC交BE于点K，交BP于点T，借助的平行线性质得到角的等量关系，结合平分、的条件推导角相等，再利用平角的定义得出两者的数量关系； (2) 要探究和∠F的数量关系，设角平分线分后的角为未知数，利用的性质表示，结合角的和差关系表示，进而推导两者的数量关系． 【规范解答】（1）解：延长DC交BE于点K，交BP于点T，如图①． ∵，∴． ∵BP平分， ∴，∴． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， 即． （2）解：延长AB交FQ于点M，延长DC交BE于点N，如图②． ∵射线BP，CQ分别平分，， ∴，． 设，， ∴，，，． ∵， ∴，， ∴， ， ∴， 即． 题型5：根据平行线的性质求角的度数 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·周测）在一次数学活动课上，老师让同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺ABC中，，． 【操作发现】（1）如图①，当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____________． 【探索证明】（2）如图②，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）（2）．理由见解析 【思路点拨】（1）过点作，先证，从而得，，则，再根据，，可求出的度数； （2）由（1）可知，再由平角的定义得，据此可得与间的数量关系． 【规范解答】解：（1）如图，过点作． ，， ， ，， ． ， ． ， ． 故答案为：． （2）．理由如下： 如图． 由（1）可知． ∵，， ∴， ∴． 【变式训练1】（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图，直线，直线与分别相交于点M，N，，垂足为M，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，解二元一次方程组等知识； （1）由对顶角相等及角平分线的性质得，再由垂直关系即可求解； （2）由平行线的性质得，再由及可求得，从而求得，再由互补关系即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴①， ∵， ∴， 即有②， 由得：， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式训练2】（25-26七年级下·安徽安庆·期中）如图，直线，直线，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查平行线的性质，两直线平行同位角相等，垂直的性质，对顶角相等，解题的关键在于准确识别图中熟练掌握平行线的性质，准确识别同位角，利用平行线的性质算出，用补角、余角、对顶角推算出的度数． 【规范解答】如下图 ∵ ∴ ∴ ∵直线 ∴ ∴ 故选：B． 题型6：平行线的性质在生活中的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为 ． 【答案】/度 【思路点拨】本题考查了平行线性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据两直线平行，同旁内角互补，求得，再根据两直线平行，内错角相等，即得答案． 【规范解答】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式训练1】（24-25七年级下·吉林·月考）如图，小明绘制了一个安全用电的标识，点、、、在同一条直线上，且，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了平行线的判定和性质． （1）根据平行线的判定方法，由，即可得； （2）根据平行线的性质，由，得，结合已知条件，即可得到结果． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练2】（24-25七年级下·贵州遵义·月考）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是某品牌共享单车在水平地面上的示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．根据平行线的性质定理求解即可． 【规范解答】解：，都与地面平行， ， ， ，， ， 故选：B． 题型7：根据平行线判定与性质求角度 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）【问题提出】 （1）如图1，直线，被直线所截，平分交于点，，判断与是否平行，并说明理由． 【问题解决】 （2）如图2，，，是三条主路，，超市的入口在主路上，三角形区域是一个大型购物中心，且平分，小路，为一条特色小吃街，，已知，求特色小吃街与主路的夹角的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2） 【思路点拨】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的判定定理即可得到结论； （2）由得，结合垂直的定义求出，由平分得出，然后根据求解即可． 【规范解答】解：（1），理由如下： 平分， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ，即， 平分，， ， ， ， ， ， 特色小吃街与主路的夹角的度数为． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线被直线所截．若，求的度数． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区分平行线的判定与性质，并准确运用．由已知可得，根据平行线的判定可证得，再根据平行线的性质即可知，则题目可解． 【规范解答】解：，， ， ， ， ， ． 【变式训练2】（24-25七年级下·甘肃定西·期中）直线a、b、c、d的位置如图，如果，，那么等于多少度？ 【答案】． 【思路点拨】本题考查平行线的判定和性质．先根据同位角相等推出，然后根据平行线的性质判定，根据邻补角的定义求出的度数后即可求出的度数． 【规范解答】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型8：根据平行线判定与性质证明 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知：如图，，．直线AD与BE平行吗？直线AB与DC平行吗？请说明理由（在横线上填空）． 解：直线AD与BE平行，直线AB与DC____________． 理由：因为（已知）， 所以AD________BE（________________________）， 所以（________________________）． 又因为（已知）， 所以________________（等量代换）， 所以AB________DC（________________________）． 【答案】平行；∥；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；∥；同位角相等，两直线平行 【思路点拨】先通过与的位置关系判定与平行，再利用平行线的内错角相等性质得到，结合已知进行等量代换，得到与的位置关系，进而判定与平行． 【规范解答】解：直线AD与BE平行，直线AB与DC平行 理由：因为（已知）， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）, 又因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在三角形ABC中，CD平分，过点D作交CB于点E，过点E作交AB于点F．试说明：EF平分． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟记平行线的性质定理是解题的关键． 由，根据两直线平行，内错角相等可得，由，根据两直线平行，内错角相等可得，根据两直线平行，同位角相等可得；再根据等量代换得到；最后结合角平分线的定义即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∵平分， ∴， ∴，即平分． 【变式训练2】（24-25七年级下·广东·期末）如图，以直角的直角顶点为原点，以，所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，满足． (1)点的坐标为________；点的坐标为________． (2)已知坐标轴上有两动点，同时出发，点从点出发沿轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴正方向以每秒个单位长度的速度匀速移动，点到达点整个运动随之结束．的中点的坐标是，设运动时间为秒．问：是否存在这样的，使得与的面积相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，若，点是第二象限中一点，并且轴平分．点是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动的过程中，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)， (2)存在时，与的面积相等 (3)，理由见详解 【思路点拨】（1）利用非负性即可求出，即可得出结论； （2）先表示出，利用面积相等，建立方程求解即可得出结论； （3）先判断出，过点作交轴于点，进而判断出，由可判断出，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：根据题意得， ∵， ∴，解得，， ∴，， （2）解：由（1）可知，，， ∴， 根据运动的情况可得，， ∴， ∵， ∴， ， 若与的面积相等， ∴，解得，， ∴存在时，与的面积相等． （3）解：，理由如下： ∵以所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作交轴于点， ∴， ∴，同理，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 1．（2024·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，学校在李老师家的南偏东方向上，且与李老师家的距离是，则李老师家在学校的（    ） A．南偏东方向上，相距处 B．北偏西方向上，相距处 C．北偏东方向上，相距处 D．北偏西方向上，相距处 【答案】B 【思路点拨】本题考查了方向角，平行线的性质，由题意可得，，，然后通过平行线的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图， 由题意可得，，， ∴， ∴李老师家在学校的北偏西方向上，相距处， 故选：． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，与在直线异侧．若，，射线、分别绕点，点以2度/秒和6度/秒的速度，同时开始顺时针在同一平面内转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，请问当时间的值为多少时，与平行．（   ） A．5秒 B．秒 C．5或秒 D．5或秒 【答案】A 【思路点拨】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．分情况讨论：①与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【规范解答】解：当与在的两侧时，如图， ，， ，， 要使，则， 即， 解得：； 此时， ； 当旋转到与都在的上方时，如图②， ，， 要使，则， 即， 解得：， 此时， ， 秒的情形不存在，此时、、在一条直线上，不符合题意； 当旋转到与都在的下方时，如图， ，， 要使，则， 即， 解得：， 此时， 而， 此情况不存在． 综上所述，当时间的值为5秒时，与平行． 故选：A． 3．（2024·陕西渭南·中考真题）如图已知：，，平分，，有以下结论：①；②；③；④，其中，正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【思路点拨】根据平行公理判断①；根据角平分线得到，根据平行线的性质和垂线的定义分别得到，，进一步推出，可判断②；结合，得到，根据两式相减可判断③；根据平行线的性质得到，得到，从而判断④． 【规范解答】解：，， ，故①正确； 平分， ， ， ， ， ， ， 得，，故②正确； ， ， 平分， ， ， ， ， 得，，故③正确； ， ， ， ，故④错误． 故正确的结论有：①②③． 故答案为：①②③． 4．（2024·湖南娄底·中考真题）如图，在四边形中，，D为线段上的一个动点，连接，并作，交于点M，，的平分线相交于点N，在点D的运动过程中，的大小不会发生变化，则 °． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平行线的判定与性质，与角平分线有关的计算问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点作，过点作，运用平行线的性质得，即，又因为，的平分线相交于点N，得，同理得，所以，即可作答． 【规范解答】解：过点作，过点作，如图所示： 依题意，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，的平分线相交于点N， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2024·江西新余·中考真题）如图，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，点在点的右侧，，，平分，平分，直线、交于点E． (1)写出的度数______； (2)试求的度数（用含n的代数式表示）； (3)将线段向右平行移动，使点B在点A的右侧，其他条件不变，请直接写出的度数（用含n的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)的度数为或 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义，即可得到； （2）过点E作，根据两直线平行，内错角相等可得，，根据角平分线的定义求出，，然后求解即可； （3）过点E作，点B在点A的右侧时，若点E在和之间时，根据角平分线的定义求出，，根据两直线平行，内错角相等可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后求解即可；同理，再分别求解当点E在上方或下方时的值即可． 【规范解答】（1）解：∵平分，， ∴ 故答案为：； （2）如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （3）过点E作，点B在点A的右侧时， 若点E在和之间，如图， ∵平分，平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴； 若点E在上方，如图， 同理，，， 则； 若点E在下方，如图， 同理，，， 则， 综上所述，度数为或． 基础夯实 1．（24-25七年级下·全国·周测）如图，，AD平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义，关键是相关性质和定义的熟练掌握． 由两直线平行，内错角相等可得到，再根据角平分线的定义即可得到的度数． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD被直线EF所截，FG平分．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，掌握同位角相等判定两直线平行，两直线平行内错角相等是解题的关键． 先通过判定AB与CD平行，再利用角平分线的定义求出的度数，最后根据平行线的内错角相等性质，得到的度数． 【规范解答】解：∵， ∴． ∵，FG平分， ∴． ∵， ∴． 故选：A． 3．（2025·四川雅安·二模）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（    ） A．45° B．58° C．65° D．75° 【答案】B 【思路点拨】本题考查平行线的性质，平行公理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行线的性质和直角三角形的性质，可以得到的度数，本题得以解决． 【规范解答】解：过直角顶点作直线如图所示， ， ∴， 则，， ， ， ， ， ， 故选：B． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查平行线的性质及邻补角的定义，掌握两直线平行，内错角相等、邻补角之和为是解题的关键． 由，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，再根据邻补角的定义计算的度数． 【规范解答】解： 与是邻补角 故答案为：． 5．（24-25七年级下·辽宁盘锦·月考）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数 ． 【答案】90 【思路点拨】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线． 过点D作，过点E作，根据平行线的性质求解即可． 【规范解答】解：如图，过点D作，过点E作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：90． 6．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，将两块含角的三角板和含角的三角板按如图所示的位置放置，若，则的度数为 °． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了三角板，平行线的性质，先确定各角的度数，再根据平行线的性质求出，然后根据角的关系求出． 【规范解答】解：根据题意可知． ， ， ， ， 故答案为：15． 7．（25-26七年级下·四川达州·开学考试）有下列说法：①相等的角是对顶角；②经过一点可作一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线相交；④经过一点可作一条直线与已知直线垂直；⑤内错角相等．其中正确的有 ． 【答案】③ 【思路点拨】本题考查了对顶角的定义、平行公理、平行线的性质、垂直的性质，根据以上性质定理进行判断即可． 【规范解答】解： 相等的角不一定是对顶角，①说法错误； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，②说法错误； 在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线相交，③说法正确； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，④说法错误； ⑤两直线平行，内错角相等，⑤说法错误； 故答案为：③． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，，．求的度数． 【答案】 【思路点拨】本题可依据平行线的性质，借助中间角构建与的数量关系，进而求出的度数． 【规范解答】解：如图，设与相交于点．   ∵，∴． ∵，∴． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）将下面的说理过程补充完整． 已知：如图，直线被直线c所截，，． 请说明的理由． 理由：理由：（   ）， ________（   ）． （）， （   ）． ________（   ）． （   ）． 【答案】已知；2，两直线平行，同位角相等；已知；垂直定义；等量代换；垂直定义 【思路点拨】本题主要考查了垂线和平行线，熟练掌握垂直定义，平行线的性质，是解题关键． 要证，只需证，由已知条件得，即可求解． 【规范解答】解：∵（已知）， （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （垂直定义）． （等量代换）． （垂直定义）． 故答案为：已知；2，两直线平行，同位角相等；已知；垂直定义；等量代换；垂直定义 10．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，，，．求的度数． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查的是平行线的判定及性质，熟记平行线的判定方法及性质是做题的关键．根据平行线的判定方法及性质进行解答即可． 【规范解答】解：∵，， ， ∴， ∴． 又∵， ∴． 答：的度数为． 培优拔高 11．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，角的和差的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据内错角相等可得，同旁内角互补可得，再根据角的和差可得． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 12．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）将一块含角的直角三角板如图放置，已知直线，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，能正确作出辅助线是解此题的关键． 过C作，求出，根据平行线的性质得出，，即可求出答案． 【规范解答】解：如图，过C作直线， ∵直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 13．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，已知直线，直线分别交直线，于点E，F，平分交于点，是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点．设．下列四个式子：①；②；③；④．一定成立的是（   ） A．①② B．①④ C．③④ D．②④ 【答案】B 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，画出图形分类讨论是解题的关键． 分点在点右侧，点在和之间，根据平行线的性质和角平分线的定义，分别求出结论即可． 【规范解答】解：当点在点右侧时，如图示： 平分，平分， ，， ， ． ， ， 当点在和之间时，如图： 平分，平分， ，， ， ． ， ，则； 综上：①④正确，②③错误； 故选：B． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在两个景区之间建立一段观光索道，索道支撑架互相平行（），且索道AB，BC均是直的．若，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，掌握通过作辅助线构造平行线，利用内错角相等将未知角转化为已知角是解题的关键． 本题过点作平行于的平行线，利用平行线的传递性使该辅助线同时平行于，再借助内错角相等的性质，将拆分为与已知角相等的两个角，进而求出其度数． 【规范解答】解：如图，过点B作． ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·陕西安康·期末）如图，直线被直线所截，平分交于点F，平分交于点E，，则的度数为 ． 【答案】90 【思路点拨】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键．根据角平分线的定义，推出，进而得到，得到，进而得到，即可得出结果． 【规范解答】解：∵平分交于点F，平分交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：90 16．（24-25七年级下·广东江门·月考）如图，，将直角三角板与的顶点放在直线a、b上，若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了利用平行线的性质求角的度数、三角板中角度的计算，由平行线的性质可得，结合计算即可得解． 【规范解答】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）如图，与互补，，则的度数是 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质，解决此题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质的应用；先根据同旁内角互补判断两直线平行，再根据平行线的性质即可求解； 【规范解答】解：∵与互补， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴； 故答案为：． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）下图所示的是一种躺椅的简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G，D，AB与DM交于点N．当，时，人躺着最舒服．求此时扶手AB与前支架OE的夹角和扶手AB与靠背DM的夹角的度数． 【答案】60°， 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等． 由平行线的性质推出，由平角定义求出，由平行线的性质推出，由平角定义得到的度数． 【规范解答】解：由题意可知，，． ， ． ， ． ， ， ． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，B，C，E三点在一条直线上，，，．试说明：． 请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：因为（____________）， 所以 ____________（____________________）． 因为（____________）， 所以 ____________（____________________）， 所以________________________（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， 所以____________，____________． 又因为（已知）， 所以（____________）． 【答案】已知，EF，内错角相等两直线平行，已知，CD，同旁内角互补，两直线平行，  CD，EF，，，等量代换 【思路点拨】本题主要考查平行线的性质与判定的综合，熟练掌握平行线的相关知识是解题的关键； 通过内错角相等、同旁内角互补等条件判定直线平行，再根据平行线的性质得到角的关系，最后利用等量代换得出结论. 【规范解答】解：∵（已知）， ∴ EF（_内错角相等，两直线平行）． ∵（已知）， ∴ CD（同旁内角互补，两直线平行）， ∴CDEF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴ ， ． ∵（已知）， （等量代换）． 20．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知．将一副三角板摆放在两条平行线之间，使三角板的顶点E落在直线上，三角板的边落在直线上，并且边在一条直线上．求的度数． 【答案】 【思路点拨】本题考查平行公理，平行线的性质，平角定义，掌握相关知识是解决问题的关键．作，因为，所以，由平行线的性质可知，即，由三角板的度数可求，则的度数可求． 【规范解答】解∶作， ∵， ∴， ∴， ∴， 由三角板的度数可知，， ∵， ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $