第七章 证明 章综合复习课件 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件系统梳理了“证明”章的核心知识，涵盖定义与命题、证明的基本事实、平行线的判定与性质等内容，通过知识框架图和要点提炼将概念、逻辑推理与几何应用串联，帮助学生构建完整的证明知识网络。 其亮点在于分层设计例题与综合题，基础题如真假命题判断通过举反例培养推理意识，综合题如动点问题结合平行线性质发展几何直观，既满足不同学生需求，又助力教师高效开展针对性复习，提升学生逻辑推理与应用能力。

证明 章综合复习 数学北师大版八年级上册 北 东 60° 西 南 B A 证明 真命题 对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义. 假命题 公理 定理 公认的真命题称为公理. 经过证明的真命题称为定理. 判断一件事情的句子,叫做命题. 证 明 推理的过程称为证明. 过 程 从条件出发，根据定义、公理和已学过的定理，逐步进行推理． 本章知识结构 证明 平行线的判定 平行线的性质 同位角相等,两直线平行 内错角相等,两直线平行 同旁内角互补,两直线平行 平行于同一条直线的两条直线平行 两直线平行,同位角相等 两直线平行,内错角相等 两直线平行,同旁内角互补 本章知识结构 一、定义和命题 (1)命题的构成： (2)命题的分类： 正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题. 1.定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义. 2.命题：判断一件事情的句子. ①陈述句 ②能对某一件事情做出判断——即能够判断真假 命题一般都由条件(题设)和结论两部分组成；条件(题设)是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. 知识要点提炼 二、证明 2.作为证明出发点的基本事实 ① 两点确定一条直线. ② 两点之间线段最短. ③ 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 1.定义：演绎推理的过程，基本格式：“因为…，所以…” ①真命题的证明：依据定义、基本事实、定理、推论等. ②假命题的证明：举反例. 知识要点提炼 二、证明 2.作为证明出发点的基本事实 ④ 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行(简述为：同位角相等，两直线平行). ⑤ 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. ⑥ 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. ⑦ 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. ⑧ 三边分别相等的两个三角形全等. 知识要点提炼 三、平行线的证明 1.平行线的判定 判定的基本事实(同位角相等，两直线平行). 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行. 2.平行线的性质 性质定理1：两直线平行，同位角相等. 性质定理2：两直线平行，内错角相等. 性质定理3：两直线平行，同旁内角互补. 平行于同一条直线的两条直线平行. 知识要点提炼 三、平行线的证明 3.命题证明的一般步骤有 (1)理解题意，根据题意画出正确图形，标明字母和符号. (2)根据图形写出“已知”和“求证”. (3)分析因果关系，根据图形性质探索证明思路. (4)运用数学符号和数学语言有条理地写出证明过程. 知识要点提炼 例1 下列语句中，是定义的是(     ) A. 点A到点B的距离是3cm B. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 C. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 D. 两边相等的三角形是等腰三角形 考点一 定义和命题 D 重点知识巩固 考点二 真假命题 D 重点知识巩固 例3 下列命题，其中是真命题的为(     ) A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 一组邻边相等的矩形是正方形 考点二 真假命题 分析：A、可能是等腰梯形，本选项错误； B、根据菱形的判定，应是对角线互相垂直的平行四边形，本选项错误； C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，本选项错误； D、一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项正确． 故选：D． D 重点知识巩固 例4 说明“每一个角的补角都大于它本身”是假命题，可以举的反 例是(     ) A. 该角等于90° B. 该角等于60° C. 该角等于45° D. 该角等于30° 考点二 真假命题 分析：由题意知，“每一个角的补角都大于它本身”反证法的假设是：至少有一个角的补角不大于它本身. 若该角等于90°，则其补角为90°，90°=90°，故A符合题意； 若该角等于60°，则其补角为120°，120°>60°，故B不符合题意； 若该角等于45°，则该角的补角为135°，135°>45°，故C不符合题意； 若该角等于30°，则该角的补角为150°，150°>30°，故D不符合题意． A 重点知识巩固 例5 下列命题：①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④所有实数都可以用数轴上的点表示. 其中真命题的个数是(     ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考点二 真假命题 分析：①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题； ③两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题是假命题； ④所有实数都可以用数轴上的点表示，是真命题； 故选：C． C 重点知识巩固 例6 在一次1500米比赛中，有如下的判断：甲说：丙第一，我第三；乙说：我第一，丁第四；丙说：丁第二，我第三．结果是每人的两句话中都只说对了一句，则可判断第一名是(     ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 考点三 平行线的证明 分析：根据分析，知第一名应是乙．故选B． 假设甲说的前半句话是正确的，即丙第一，则乙的后半句是正确的，即丁第四，则丙说的后半句应是正确的，出现矛盾，所以必须是甲说的后半句是正确的，即甲第三，所以丙说的前半句是正确的，即丁第二，所以乙说的前半句是正确的，即乙第一． B 重点知识巩固 例7 如图，不能判定AB/​/CD的条件是(     ) A. ∠B+∠BCD=180° B. ∠1=∠2 C. ∠3=∠4 D. ∠B=∠5 考点三 平行线的证明 分析：A、∠B+∠BCD=180°，则AB/​/CD(同旁内角互补，两直线平行)，所以A选项不符合题意； B、∠1=∠2，则AD/​/BC(内错角相等，两直线平行)，不能判定AB/​/CD，所以B选项符合题意； C、∠3=∠4，则AB/​/CD(内错角相等，两直线平行)，所以C选项不符合题意； D、∠B=∠5，则AB/​/CD(同位角相等，两直线平行)，所以D选项不符合题意．故选：B． B 重点知识巩固 考点三 平行线的证明 分析①：∵AD平分∠EAC， ∴∠EAC=2∠EAD， ∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB， ∴∠EAD=∠ABC， ∴AD//BC，即①正确； 重点知识巩固 考点三 平行线的证明 重点知识巩固 考点三 平行线的证明 重点知识巩固 考点三 平行线的证明 C 重点知识巩固 例9 如图所示，已知∠A=∠F，∠C=∠D． (1)求证：BD//CE； (2)已知∠ABD:∠DEC=2:3，求∠DEC的度数． 考点三 平行线的证明 证明：(1)∵∠A=∠F，∴AC//DE，∴∠D=∠ABD. ∵∠D=∠C，∴∠C=∠ABD，∴BD//CE. (2)∵BD//CE，DF/​/BC， ∴∠ABD=∠C，∠DEC+∠C=180°. ∵∠ABD:∠DEC=2:3， ∴设∠ABD=2x，∠DEC=3x，则2x+3x=180°， ∴x=36°，∴∠DEC=3x=108°. 重点知识巩固 例10 如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，AB//DG，∠1+∠2=180°． (1)求证：AD/​/EF； 分析：由平行线的性质可得∠1=∠DAE， 由∠1+∠2=180°可得∠DAE+∠2=180°，即可证明； 解：∵AB/​/DG，∴∠1=∠DAE， ∵∠1+∠2=180°，∴∠DAE+∠2=180°， ∴AD/​/EF； 综合能力提升 例10 如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，AB//DG，∠1+∠2=180°． (2)若DG是∠ADC的平分线，∠2=140°，求∠B的度数． 分析：由(1)可知∠DAE=40°，再由平行线性质可得∠1=40°，由角平分线的定义可得∠ADC=80°，再由三角形外角 性质即可求出∠B． 解：∵AD//EF，∠2=140°，∴∠DAE=180°−∠2=40° ∵AB/​/DG，∴∠1=∠DAE=40°， ∵DG是∠ADC的平分线，∴∠ADC=2∠1=80°， ∵∠B+∠BAD=∠ADC，∠ADC−∠BAD=80°−40°=40°．  综合能力提升 分析：过点D作EF/​/MN，则∠NAD=∠ADE，EF//OP，依据平行线的性质可得到 ∠PBD=∠BDE，则∠NAD+∠PBD =∠ADB，最后，依据垂线的定义求 解即可； 例11 如图，MN/​/OP，点A为直线MN上一定点，B为直线OP上的动点，在直线MN与OP之间且在线段AB的右方作点D，使得AD⊥BD.∠DAB=α (α为锐角)．(1)求∠NAD与∠PBD的和；(提示过点D作EF//MN) E F 综合能力提升 例11 如图，MN/​/OP，点A为直线MN上一定点，B为直线OP上的动点，在直线MN与OP之间且在线段AB的右方作点D，使得AD⊥BD.∠DAB=α (α为锐角)．(1)求∠NAD与∠PBD的和；(提示过点D作EF//MN) 解：如图，过点D作EF/​/MN，则∠NAD=∠ADE． ∵MN//OP，EF/​/MN， ∴EF//OP． ∴∠PBD=∠BDE， ∴∠NAD+∠PBD=∠ADE+∠BDE=∠ADB． ∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°，∴∠NAD+∠PBD=90°； E F 综合能力提升 例11 如图，MN/​/OP，点A为直线MN上一定点，B为直线OP上的动点，在直线MN与OP之间且在线段AB的右方作点D，使得AD⊥BD.∠DAB=α (α为锐角)．(2)当点B在直线OP上运动时，试说明∠OBD−∠NAD=90°； 分析：由(1)得∠NAD=90°−∠PBD， 然后结合∠OBD+∠PBD=180°， 进行证明即可； E F 综合能力提升 解：由(1)得：∠NAD+∠PBD=90°， 则∠NAD=90°−∠PBD． ∵∠OBD+∠PBD=180°， ∴∠OBD=180°−∠PBD， ∴∠OBD−∠NAD = (180°−∠PBD)−(90°−∠PBD)=90°； 例11 如图，MN/​/OP，点A为直线MN上一定点，B为直线OP上的动点，在直线MN与OP之间且在线段AB的右方作点D，使得AD⊥BD.∠DAB=α (α为锐角)．(2)当点B在直线OP上运动时，试说明∠OBD−∠NAD=90°； E F 综合能力提升 解：若AD平分∠NAB，AB也恰好平 分∠OBD，则有∠NAD=∠BAD=α， ∠NAB=2∠BAD=2α，∠OBD=2∠OBA． ∵OP//MN，∴∠OBA=∠NAB=2α， ∴∠OBD=2α×2=4α．由(2)知：∠OBD−∠NAD=90°， 则4α−α=90°，解得：α=30°．  例11 如图，MN/​/OP，点A为直线MN上一定点，B为直线OP上的动点，在直线MN与OP之间且在线段AB的右方作点D，使得AD⊥BD.∠DAB=α (α为锐角)．(3)当点B在直线OP上运动的过程中，若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，请求出此时α的值 E F 综合能力提升 $