8.2用配方法求解一元二次方程第2课时（教学课件）数学鲁教版五四制八年级下册

该初中数学课件聚焦用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，通过对比二次项系数为1与不为1的方程引入新知，结合知识回顾中配方法基础，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以问题链引导探究，通过“化1、移项、配方、开方、求解”步骤归纳培养推理意识，结合小球高度、道路宽度等实例渗透模型观念。学生能掌握方法并理解应用，教师可借助结构化流程提升教学效率。

8.2 用配方法求解一元二次方程 第2课时 第八章 一元二次方程 学 习 目 标 1.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程;（重点） 2.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程.（难点） 知识回顾 1.直接开平方法解一元二次方程 理论依据： . 适用范围：能转化为 的形式的方程. 2.配方法解一元二次方程的思路是将方程转化为 的形式，它的一边是一个 ，另一边是一个常数，当 n ≥0 时，两边同时 ，转化为 方程，便可求出它的根. ( x + m) 2 = n 开平方 一元一次 完全平方式 3.配方法的关键： 在形如的两边同时加 ，即 . 一次项系数一半的平方 平方根的意义 x2=a或（mx＋n）2= a（a≥0） 情境引入 问题1：观察下面两个一元二次方程的联系和区别： ① x2 + 6x + 8 = 0 ; ② 3x2 +18x +24 = 0. 问题2：用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 . 解：移项，得 x2 + 6x = -8 , 配方，得 （x + 3）2 = 1. 开平方, 得 x + 3 = ±1. 解得 x1 = -2 , x2= -4. 想一想怎么来解3x2 +18x +24 = 0？ 新知探究 探究一：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 用配方法解方程： 3x2 +18x +24 = 0. 解：方程两边同时除以3,得 x2 + 6x + 8 = 0 . 移项，得 x2 + 6x = -8 , 配方, 得 （x + 3）2 = 1. 开平方, 得 x + 3 = ±1. 解得 x1 = -2 , x2= -4 . 二次项系数化为1 新知探究 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 知识归纳 基本思路：在使用配方法过程中若二次项的系数不为1时，需要将二次项系数化为1后，再根据配方法步骤进行求解. 解：两边同除以3,得 x2 +x - 1=0. 配方,得 x2 +x + () 2 - ()2 - 1 = 0, 即 （x +）2 -=0. 移项,得 （x +）2 -=0 两边开平方，得 x +=±, 即 x += 或 x +=. 所以 x1=, x2 = -3 . 新知探究 1.解方程： 3x2 + 8x -3 = 0. 新知探究 用配方法解一元二次方程的步骤： 知识归纳 ①化：二次项系数化为1； ②移项：将常数项移到右边，含未知数的项移到左边； ③配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，使原方程变为( x + m) 2 = n的形式； ④开方：若方程右边为负数，则方程没有实数根，若方程右边为非负数，就可以左右两边开平方得x + m =； ⑤求解：解两个一元一次方程，得方程的解为x=. 新知探究 探究二：配方法的应用 做一做 一个小球从地面上以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h (m)与时间 t (s)满足关系：h=15t - 5t2. 小球何时能达到10m高？ 解：将 h = 10代入方程式中，得 15t - 5t2 =10. 两边同时除以-5,得 t2 - 3t = -2, 配方,得 t2 - 3t + ()2= ()2 - 2, 即 （t -）2 = 移项,得 （t -）2 = 即 t -= ,或 t -=. 所以 t1= 2 , t2 = 1 . ∴小球在1s或2s时能达到10m高. 新知探究 证明：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1 =（k－2）2＋1 ∵（k－2）2≥0， ∴（k－2）2＋1≥1. ∴k2－4k＋5的值必定大于零. 试用配方法证明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5 的值必定大于零. 议一议 典例分析 解方程：（1）＝0 ； （2）＝0. 例1 ∴ x1＝ 1，x2＝. 解：(1)移项，得2x2x＝ 1. 二次项系数化为1，得x2x＝. 配方，得x2x+ =, 即 , 由此可得＝， 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x－1)2都是非负数，即上式都不成立，所以原方程无实数根． (2)移项，得 3x2－6x=-4, 二次项系数化为1，得 x2－2x=－ , 配方，得 x2－2x+12=－ +12， 即 (x－1)2=－ . 若a,b,c为△ABC的三边长,且 试判断△ABC的形状. 例2 典例分析 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 ∴=3，=4，=5, ∴, ∴△ABC为直角三角形. 巩固练习 基础巩固题 1.如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（ ） A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9 C D 2.下列配方法有错误的是（      ） A.x2-4x-1＝0化为(x-2)2＝5         B.x2+6x+8＝0化为(x+3)2＝1 C.2x2-7x-6＝0化为＝      D.3x2-4x+2＝0化为(3x+2)2＝2 巩固练习 基础巩固题 3.用配方法解方程3x2-6x+1＝0,则方程可变形为（      ）   A.(x-3)2＝13     B.3(x-1)2＝13      C.(3x-1)2＝1        D.(x-1)2＝ D 4.若一元二次方-x2+bx-5=0程配方后为(x-3)2=k，则b，k的值分别是（    ） A.6，4          B.6，5           C.-6,5           D.-6,4 A 5.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11； （2）x(x+4)=8x+12； （3）4x2-6x-3=0； （4） 3x2+6x-9=0. 巩固练习 基础巩固题 解：x2+2x+2=0， (x+1)2=-1. 此方程无解； 解：x2+2x-3=0， (x+1)2=4. x1=-3,x2=1. 解：x2-x-=0， , 解：x2-4x-12=0， (x-2)2=16. x1=6,x2=-2； x-2=4. x+1=2. 巩固练习 基础巩固题 6.应用配方法求最值. (1) 2x2 - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 5x +1的最大值. 解：（1） 2x2 - 4x +5 = 2(x - 1)2 +3 , 所以当x =1时，有最小值，为3. （2） -3x2 + 12x - 16 = -3(x - 2)2 - 4 , 所以当x =2时,有最大值，为-4. 7.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？  巩固练习 基础巩固题 解：设道路的宽为xm, 根据题意得 （35-x)(26-x)=850， 整理得 x2-61x+60=0. 解得 x1=60（不合题意，舍去）, x2=1. 答：道路的宽为1m. 课堂小结 用配方法求解一元二次方程2 ①化：二次项系数化为1； ②移项：将常数项移到右边,含未知数的项移到左边； 配方法的步骤 ③配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，使原方程变为( x + m) 2 = n的形式; 应用 求代数式的最值或证明 ⑤求解：解两个一元一次方程,得方程的解为x=. ④开方：若方程右边为负数,则方程没有实数根,若方程右边为非负数,就可以左右两边开平方得x + m =； 感谢聆听! $