14.3　角的平分线 教学设计 2025-2026学年 人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦角的平分线的画法、性质及判定，通过简易平分角仪器（AB=AD, BC=DC）引发探究导入第一课时，第二课时由性质定理逆命题切入，以“性质-判定”逻辑递进，借助动手操作和问题串搭建学习支架。 资料突出数学思维的推理意识与数学眼光的几何直观，通过“操作发现-逻辑证明-生活应用”流程，如性质推导用AAS全等证明，判定定理结合HL推理，集贸市场选址实例培养应用意识。助力学生提升逻辑推理与问题解决能力，为教师提供结构化教学方案及分层例题设计。

14.3　角的平分线 第1课时　角的平分线的画法及性质 课题 第1课时　角的平分线的画法及性质 授课人 学 习 目 标 1.掌握利用逻辑推理的方法证明角的平分线的性质. 2.掌握作已知角的平分线的方法. 3.了解证明几何命题的一般步骤和格式. 4.使学生能够利用角的平分线的性质解决相应的问题. 5.能进行简单的推理. 学习 重点 探究角的平分线的性质,能够利用其解决相关实际问题. 学习 难点 角的平分线的性质的推导过程. 授课 类型 新授课 课时 教具 三角板、直尺、圆规(多媒体课件及几何画板) 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 如图14-3-11是一个简易平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线,为什么? 图14-3-11 　　1.创设情境,通过实践探究角的平分线的作法,引起学生的探究兴趣,引出本节课的内容. 2.培养学生的抽象思维能力和运用三角形全等的知识(“SSS”)解决问题的能力. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 角的平分线的画法 思考:从利用平分角的仪器画角的平分线中,找找灵感,如何利用直尺和圆规作一个角的平分线? 1.如图14-3-12,OC是∠AOB的平分线,P是OC上的任意一点,M,N分别是OA,OB上的点,当OM与ON满足什么关系时,PM=PN? 图14-3-12 分析:容易发现在△OPM和△OPN中,OP=OP,∠POM=∠PON.如果OM=ON,那么△OPM≌△OPN(SAS),就有PM=PN. 活动 二: 探究 与 应用 2.如图14-3-13,M,N分别是∠AOB的边OA,OB上的点,OM=ON,点P在∠AOB的内部,PM=PN.过点P作射线OC,可以得到OC平分∠AOB吗?理由是什么? 图14-3-13 分析:①利用所给条件,我们直接能得到什么结论?理由是什么? ②∠POM与∠PON有什么关系? 3.根据上述结论,你能想到如何作一个角的平分线吗? 学生分组讨论、探究,教师巡视,必要时做适当提示. 师生共同归纳作角的平分线的步骤: ①先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点; ②再在角的内部作出与这两点距离相等的点; ③以角的顶点为端点,作过这个点的射线,即为这个角的平分线. 4.教师出示作图过程. 师生探究,说明其中的原理(利用“边边边”),进而得到利用尺规作角的平分线的方法.教师出示作图过程: 已知:∠AOB(如图14-3-14). 图14-3-14 图14-3-15 求作:∠AOB的平分线. 作法:如图14-3-15,(1)以点O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于点M,交OB于点N. (2)分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部相交于点C. (3)作射线OC.射线OC即为∠AOB的平分线. 教师提出问题:角的平分线有哪些性质呢?请同学们与我一同来探究一下吧! 【探究2】 角的平分线的性质 如图14-3-16,OC是∠AOB的平分线,点P1,P2,P3,…在OC上,过点P1,P2,P3,…分别画OA与OB的垂线,垂足分别为D1与E1、D2与E2、D3与E3…….分别比较P1D1与P1E1、P2D2与P2E2、P3D3与P3E3……,你有什么发现? 图14-3-16 教师活动: 组织学生独立操作、思考,在此基础上分组进行讨论,鼓励学生大胆发言,并对自己的看法作出判断. 最后引导学生归纳角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 下面我们来证明这个性质. 已知:如图14-3-17,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证:PD=PE. 图14-3-17 证明:∵OC是∠AOB的平分线, ∴∠AOC=∠BOC. ∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°. 在△OPD和△OPE中, ∴△OPD≌△OPE(AAS).∴PD=PE. 　　1.以问题串的形式,层层设问,逐步解答,使学生理解数学知识的形成和发展过程,体会数学知识之间的相互关系. 2.培养学生的数学抽象能力及概括能力. 3.通过小组合作学习,动手操作探究,获得问题结论,从实践中学习知识. 4.运用三角形全等的有关知识,归纳、证明角的平分线的性质. 5.通过规范化的解题训练,提高学生数学思考与表述的条理性和逻辑性. 活动 二: 探究 与 应用 师生共同概括文字证明题的一般步骤: ①明确命题中的已知和求证; ②根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证; ③经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程. 【应用举例】 例1　已知:平角∠AOB(如图14-3-18). 求作:平角∠AOB的平分线. 图14-3-18 解:如图14-3-19. 图14-3-19 结论:作平角的平分线的方法就是过平角的顶点作这个角的两边所在的直线的垂线. 例2　如图14-3-20,AD是△ABC的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:EB=FC. 图14-3-20 证明:∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°. 在Rt△BDE和Rt△CDF中, ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC. 　　1.教师注意提醒学生:在几何中,如果证明的过程完全一样,只是字母不同,可以用“同理”二字概括,省略详细的证明过程. 2.通过例题,加深对角的平分线的性质的理解,得到一般性结论,熟悉与之相关的常见题型. 【拓展提升】 例3　如图14-3-21,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB∥CD,M为BC边上的一点,且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC. 求证:M为BC的中点. 图14-3-21 证明:如图14-3-22,过点M作MN⊥AD于点N. 图14-3-22 ∵∠B=90°,AB∥CD,∴∠C=90°. 又∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴BM=MN,MN=CM. ∴BM=CM,即M为BC的中点. 　　1.提高学生数学思考与表述的条理性和逻辑性. 2.巩固本节课所学知识及提升综合应用所学知识解决问题的能力. 3.培养学生的归纳概括能力及分析问题、思考问题的探究能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.如图14-3-23,DE⊥AB,DF⊥BG,垂足分别是E,F,DE=DF,∠EDB=60°,则∠EBF=　60　°,BE=　BF　.  图14-3-23 2.如图14-3-24,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是　3　.  图14-3-24 活动 三: 课堂 总结 反思 3.如图14-3-25,在Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AP平分∠BAC,交BC于点P,PD⊥AB,垂足为D,PC=a,AB=b. (1)求△APB的面积; 图14-3-25 (2)求△PDB的周长. 解:(1)∵AP平分∠BAC,∠C=90°,PD⊥AB, ∴PD=PC=a, ∴S△APB=AB·PD=ab. (2)由(1)得PC=PD. 在Rt△PAD和Rt△PAC中, ∴Rt△PAD≌Rt△PAC. ∴AD=AC=BC. ∴C△PDB=PD+PB+DB=PC+PB+DB=BC+DB=AD+DB=AB=b. 　　通过学生对角的平分线知识进行独立练习,自我评价学习效果,及时发现问题、解决知识盲点,培养学生的抽象思维能力和实践能力. 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课由于采用了动手操作、直观模型的观察以及讨论交流等教学方法,从而有效地增强了学生对角以及角的平分线的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因而本节课的教学效果较好,学生对所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的.不足之处:少数学生在尺规作图上还存在问题,需要在今后的教学与作业中进一步地加强巩固和训练. ②[讲授效果反思] 教师教学中注意:学生对定理的图形语言认识不足.角的平分线上的点到角两边的距离是指这个点到角两边的垂线段的长度,而不是过此点与角的平分线垂直(或仅仅相交)的直线与角两边相交所得的线段的长度.学生往往出现如下错误:∵点P在∠AOB的平分线上,∴PD=PE. ③[师生互动反思] 通过师生互动得到结论,教学中教师要重视知识的发生、发展过程. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　回顾反思,找出差距与不足,形成知识及教学体系,更进一步提升教师的教学能力. 第2课时　角的平分线的判定 课题 第2课时　角的平分线的判定 授课人 学 习 目 标 1.掌握角的平分线的判定定理,进一步了解证明几何问题的一般格式与步骤. 2.在探索角的平分线的判定定理的过程中,发展学生合情推理和演绎推理的能力. 3.学习用数学的方法探索新知识,应用新知识解决数学问题和实际问题. 4.通过数学证明的严谨性和逻辑性,培养学生严肃认真的科学态度和一丝不苟的学习品质. 学习 重点 探索并掌握角的平分线的判定定理. 学习 难点 综合运用角的平分线的性质定理和判定定理解决具体问题. 授课 类型 新授课 课时 教具 直尺、圆规、多媒体(PPT与几何画板) 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.角的平分线的性质定理是什么? 2.回忆这个定理的证明过程,说一下文字证明题的一般步骤. 学生独立思考教师提出的问题,并作出回答. 　　复习已学知识和解题步骤,为学习新知识做铺垫. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 在我们已经学过的定理中,有一些题设和结论是可以互换的,比如平行线的性质定理和判定定理,你能说出将角的平分线的性质定理的题设和结论互换得到的命题吗? 你觉得这个新命题正确吗? 　　快速引入正题,节省时间,也减少了不必要的思维负担. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 探索角的平分线的判定定理 对于上面得到的新命题,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举出反例,并画图说明. (1)根据题意画图,标注字母,写出已知. 已知:如图14-3-33,P是∠AOB内部的一点,PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分别为E,F,PE=PF. 图14-3-33 (2)观察图形,由几何直观猜想命题正确,写出求证. 求证:点P在∠AOB的平分线上. (3)分析问题,写出证明过程. 证明:在Rt△POE和Rt△POF中, ∴Rt△POE≌Rt△POF(HL). ∴∠EOP=∠FOP. ∴点P在∠AOB的平分线上. 　　经历角的平分线的判定定理的探索过程,让学生感受知识的产生可以来自数学自身(不一定完全是生活实践).结合推理证明,进一步感受数学知识的系统性和逻辑性. 活动 二: 探究 与 应用 学生活动:以独立思考为主进行自主探索,利用三角形全等的知识进行证明. 教师活动:引导学生从以上几方面思考问题,对所得出的结论进行证明,在推理的过程中注重学生语言的准确性和简洁性,最后归纳得到结论:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 指出:可以用这个定理判定角的平分线,即由两条垂线段相等得到两个角相等. 【探究2】 三角形的内角平分线 动手操作:(1)分别画出下列三角形三个内角的平分线,你发现了什么? 图14-3-34 (2)分别过交点作三角形三边的垂线,用刻度尺量一量每条垂线段的长度,你发现了什么? 结论:三角形的三条角平分线交于一点,并且这点到三边的距离相等. 接下来,我们一起证明这个结论. 已知:如图14-3-35,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P. 求证:(1)点P到三边AB,BC,CA的距离相等; (2)△ABC的三条角平分线交于一点. 图14-3-35 分析:(1)由已知可得点P到边AB,BC的距离相等,点P到边BC,CA的距离相等,由此可得点P到三边的距离相等; (2)要证△ABC的三条角平分线交于一点,只要证点P也在∠A的平分线上. 证明:(1)如图14-3-36,过点P作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥CA,重足分别为D,E,F. 图14-3-36 ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, ∴PD=PE. 同理PE=PF.∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB,BC,CA的距离相等. (2)由(1)得,点P到边AB,CA的距离相等, ∴点P在∠A的平分线上. ∴△ABC的三条角平分线交于一点. 【应用举例】 例1　如图14-3-37,要在S区建立一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,且离公路与铁路的交叉处500米.这个集贸市场应建在何处?(比例尺为1∶20000) 图14-3-37 [答案:集贸市场应建在S区公路与铁路相交所成钝角的平分线上,且距公路与铁路的交叉处2.5 cm(图上距离)处(图略)] 学生活动: 学生小组合作,在独立思考的基础上小组交流,发现若到公路、铁路的距离相等,则集贸市场一定在公路、铁路所在直线形成的夹角的平分线上,于是可以利用尺规作出角平分线,然后根据比例尺画出集贸市场所在地即可. 教师活动: 组织学生思考、讨论、交流,引导学生发现集贸市场所在地应在角平分线上这个结论. 　　1.利用所学的数学知识解决生活中的问题,加强数学与生活的联系,体验数学是描述现实世界的重要手段. 活动 二: 探究 与 应用 例2　如图14-3-38所示,CE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,BF,CE交于点D,且BD=CD.求证:AD平分∠BAC. 图14-3-38 证明:∵CE⊥AB,BF⊥AC, ∴∠BED=∠CFD=90°. 在△BDE和△CDF中, ∴△BDE≌△CDF(AAS). ∴DE=DF. 又∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴AD平分∠BAC. 例3　如图14-3-39,在Rt△ABC中,∠C=90°,AP平分∠BAC,交BC于点P,BD平分∠ABC,交AC于点D,AP,BD交于点O,过点O作OM⊥AC于点M,已知OM=4. (1)求点O到△ABC三边的距离和; (2)若△ABC的周长为32,求△ABC的面积. [答案:(1)12　(2)64] 图14-3-39 图14-3-40 变式　如图14-3-40,在△ABC中,O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等.若∠A=40°,则∠BOC的度数为 (A) A.110°　　　　B.120°　　　　C.130°　　　　D.140° 学生活动:在独立思考的基础上,小组合作完成解答,并进行展示交流. 教师活动:在学生解题的过程中,参与讨论,发现问题;在学生展示交流阶段,强调解题思路表达的准确性、简洁性和规范性. 　　2.解题过程中用到了角的平分线的尺规作图、性质定理和判定定理,具有较强的综合性,既是对本节课所学知识的巩固,又是对上节课所学知识的复习,能很好地体现知识之间的联系,并锻炼学生在应用中对以上知识加以甄别与区分的能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.如图14-3-41,AD⊥DC,AB⊥BC,垂足分别为D,B.若AB=AD,∠BCD=60°,则∠DAC的度数为 (A) A.60°　　　　B.30°　　　　C.120°　　　　　D.90° 图14-3-41 图14-3-42 2.如图14-3-42,在CD上求一点P,使它到边OA,OB的距离相等,则点P是 (C) A.线段CD的中点 B.过点O作CD的垂线所得垂足 C.CD与∠AOB的平分线的交点 D.以上均不对 活动 三: 课堂 总结 反思 3.如图14-3-43,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,连接AO并延长,交BC于点D,OH⊥BC于点H.若∠BAC=60°,OH=5 cm,则∠BAD=　30　°,点O到AB的距离为　5　 cm.  图14-3-43 图14-3-44 4.如图14-3-44,要在河流与公路围成的I区建一个工厂,使工厂的位置A到河流和公路的距离相等,并且到河流与公路交叉点B处的距离为1 cm(指图上的距离),在图中作出点A的位置.(不写作法,保留作图痕迹) [答案:在I区作河流与公路所夹角的平分线,以点B为圆心,1 cm为半径作弧与所作角平分线交于点A,点A即为所求(图略)] 　　通过解答与角的平分线判定定理相关的问题,巩固新知,进行自我评价,发现问题及时弥补,消除知识盲区. 【课堂总结】 (1)角的平分线的判定定理是什么?性质定理是什么?它们有什么联系和区别? (2)通过本节课的学习你还记得哪些关于角的平分线的结论? 三角形的三条角平分线相交于一点. 　　课堂总结,回顾所学知识. 【知识网络】 　　1.框架图式总结,更容易形成知识网络. 2.知识结构图把本小节的知识进行了概括与整合,有利于形成相对完整的知识网络. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 由定理的互逆关系导入新课,让学生认识到数学知识产生途径的多样性.教学过程仿照上一节课的流程设置,且题目也多有相关之处,消除学生对新知识的陌生感.应用举例、变式训练、与当堂训练环环相扣,梯度适当,使学生的思维张弛有度. ②[讲授效果反思] 整个教学流程中,把角的平分线的性质定理与判定定理进行联系和比较,使学生对二者之间的区别与联系有了更清晰的认识.强调解题格式的规范性,使学生能更加科学准确地运用数学语言、数学符号和数学方式进行表达. ③[师生互动反思] 在学生独立思考时,教师给学生充分的时间,遇到困难把问题细化,帮助学生找出关键点.在小组合作时,教师参与小组讨论,及时点拨指导.在整个教学中,学生充分表达自己的观点与主张,进行展示交流,树立自信心,培养合作意识. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　回顾反思,找出差距与不足,形成知识及教学体系,更进一步提升教师教学的能力. 学科网（北京）股份有限公司 $