14.3 角的平分线（第1课时）教学设计2025-2026学年 人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦角的平分线的尺规作法及性质，课堂导入通过平分角的仪器，引导学生用全等三角形（SSS）解释原理，既复习旧知，又为新知探究提供现实模型和思维支架。 资料以问题链驱动探究，从仪器原理抽象作图思路，经“猜想-验证-证明”得出性质，培养几何直观与推理能力（数学思维）。证明性质规范“已知-求证-作图-证明”步骤，强化推理意识，例题结合垂线段距离问题体现应用意识（数学语言）。含思维导图辅助小结，学生易梳理知识，教师操作便捷，提升教学效率。

14.3　角的平分线（第1课时） 教学目标 1．经历用尺规作一个角的平分线的过程，知道作法的合理性． 2．探索并证明角的平分线的性质，发展几何直观和推理能力． 3．能用角的平分线的性质解决与垂线段相等有关的简单问题． 教学重点 探索并证明角的平分线的性质． 教学难点 用尺规作出已知角的平分线，知道作法的合理性． 教学过程 新课导入 【问题】下图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线．你能说明其中的道理吗？ 【师生活动】教师启发学生将实际问题抽象为数学模型，完成学习任务单上的相关任务，并运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理． 【答案】证明：在△ACD和△ACB中， ∴ △ACD≌△ACB（SSS）． ∴ ∠CAD＝∠CAB． ∴ AC平分∠DAB． 【设计意图】让学生运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理，体会数学的应用价值，同时为探究“作一个角的平分线”的方法作好铺垫． 新知探究 【思考】从利用平分角的仪器画角的平分线的过程中，你受到哪些启发？角的平分线上的点具有什么特性？ 【师生活动】教师组织学生分享交流，学生达成共识：角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的，可以尝试看一看角的平分线上的点，与角两边上的点所连线段的数量关系． 【问题1】如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点，我们研究PM与PN的关系． 【师生活动】教师提示学生：研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况．可以先考虑当OM与ON满足什么关系时，PM＝PN． 学生可以发现，在△OPM 和△OPN 中，OP＝OP，∠POM＝∠PON．要使得PM＝PN，只需要证明△OPM≌△OPN，也就需要使得OM＝ON． 【追问】反过来，如图，M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM＝ON，点P在∠AOB的内部，PM＝PN，你能得到什么结论？ 【师生活动】学生发现：连接 OP，OP＝OP，OM＝ON，PM＝PN，满足“边边边”的条件，可以证明△OPM≌△OPN(SSS)，所以∠POM＝∠PON，即点P在∠AOB的平分线上． 【设计意图】利用三角形全等研究角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系，以及满足什么条件的点在角的平分线上，为研究作一个角的平分线作准备． 【问题2】经过问题１的探究，我们已经知道满足什么条件的点在角的平分线上，由此你能想到作一个角的平分线的方法吗？ 【师生活动】教师组织引导学生交流讨论，总结出作一个角的平分线的大体思路： （1）在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点； （2） 在角的内部作出与这两点距离相等的点； （3） 以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了． 师生分别在黑板和学习任务单上画出∠AOB，学生尝试利用直尺和圆规作∠AOB的平分线．教师在黑板上进行操作示范，并与学生共同归纳，得出利用尺规作角的平分线的具体方法． 【作法】如图，已知∠AOB． （1）以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N； （2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C； （3）作射线OC，射线OC即为∠AOB的平分线． 【追问】为什么要用大于MN的长为半径作弧？ 【师生活动】学生结合作图过程进行思考，交流分享后明确：若用小于MN的长为半径，则两弧没有交点．若用等于MN的长为半径，则需要先用尺规确定线段MN的中点，从而确定MN的长，不如用大于MN的长为半径简捷． 【设计意图】引导学生从问题１的探究中获得启发，得出作一个角的平分线的方法，并在实践过程中增强作图技能，体会作法的合理性． 【思考】学习了作一个角的平分线的方法之后，我们再来进一步研究角的平分线上的点与角两边上的点所连线段与角两边的位置关系．借助前面的探究经验，大家想一想，我们可以先研究其中的哪些特殊情况？ 【师生活动】学生明确角的平分线上的点与角两边上的点所连线段与角两边分别相交，因为垂直是相交的特殊情况，所以可以先研究这种情况． 【问题3】如图，OC是∠AOB的平分线，点P1，P2，P3，···在OC上，过点 P1，P2，P3，···分别画OA 与OB的垂线，垂足分别为D1与E1、D2与E2、D3与E3······．分别比较P1D1与P1E1、P2D2与P2E2、P3D3与P3E3······，你有什么发现？ 【师生活动】学生独立思考后发现：P1D1＝P1E1，P2D2＝P2E2，P3D3＝P3E3，···．师生共同猜想出角的平分线具有以下性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等． 【追问1】你能证明这个结论吗？ 【师生活动】教师提示学生首先要分清“已知”和“求证”．已知为“一个点在一个角的平分线上”，要证的结论为“这个点到这个角两边的距离相等”．为了更直观、清楚地表达题意，通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证．教师在黑板上画出图形，师生共同梳理出已知和求证，学生在学习任务单上完成证明过程． 【答案】如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E．求证PD＝PE． 证明：∵ OC是∠AOB的平分线， ∴ ∠AOC＝∠BOC． ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°． 在△OPD和△OPE中， ∴ △OPD≌△OPE（AAS）． ∴ PD＝PE． 【新知】角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等． 【提醒】（1）“距离”指的是点到角的两边的垂线段的长度； （2）使用该性质的前提条件是图中有角平分线和垂直关系． 【追问2】由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？ 【师生活动】师生共同概括证明几何命题的一般步骤： （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出要求证的结论的途径，写出证明过程． 【设计意图】让学生经历猜想、推理、概括等过程，证明角的平分线的性质，体会研究几何问题的基本思路．同时以角的平分线的性质的证明为例，概括证明几何命题的一般步骤，发展学生的归纳概括能力． 例题精讲 【例】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝8 cm，BD＝5 cm，求点D到直线AB的距离． 【师生活动】教师引导学生思考：条件中给出了角的平分线，要求的是角的平分线上的点到角的一边的距离，可以考虑用角的平分线的性质来解决．学生在学习任务单上尝试解答，教师进行讲解． 【答案】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，则点D到直线AB的距离是DE的长． ∵ ∠C＝90°，AD平分∠CAB， ∴ DE＝CD． 又 BC＝8 cm，BD＝5 cm， ∴ DE＝CD＝3 cm， ∴ 点D到直线AB的距离为3 cm． 【设计意图】让学生体会到证明两条线段相等时利用角的平分线的性质比证明两个三角形全等更便捷． 课堂练习 1．如图，在直线MN上求作一点P，使点P在∠AOB的内部，且点P到射线OA和OB的距离相等． 【师生活动】学生在学习任务单上进行作图，教师巡视指导． 【答案】如图，作∠AOB的平分线与MN交于点P，点P即为所求． 【设计意图】考查学生对角的平分线的作法的掌握情况． 2．如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．点F，G分别在OA，OB上，DF＝EG，连接PF，PG．求证PF＝PG． 【师生活动】教师引导学生利用角的平分线的性质来证明线段相等，学生在学习任务单上完成相关证明过程． 【答案】证明：∵ OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD＝PE. ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDF＝∠PEG＝90°． 在Rt△DPF和Rt△EPG中， ∴ Rt△DPF≌Rt△EPG， ∴ PF＝PG． 【设计意图】通过解决与垂线段相等有关的简单问题，强化学生对角的平分线的性质的运用． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1．如何作一个角的平分线？ 2．本节课是通过什么方式探究角的平分线的性质的？ 3．角的平分线的性质有什么作用？在应用这一性质时要注意哪些问题？ 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 完成教材第52～53页习题14.3第1、4、5、6、7题． 学科网（北京）股份有限公司 $