2025-2026学年高三上学期数学期末1月模拟卷（辽宁适用）

( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高三数学上学期期末1月模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：高考范围 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过495克的可能性约为（   ） A． B． C． D． 4．已知A，B是圆上的两动点，当面积最大时，求的值（   ） A．2 B．3 C． D． 5．记等比数列的前n项和为．若，则（   ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，第二象限内的点在椭圆上，且轴，若点满足，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．已知实数，函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若为复数，则下列说法正确的有（    ） A．若，则为实数 B． C．若，则的最大值为 D．若，则在复平面内对应的点在第二象限 10．若实数a，b满足，则（    ）． A． B． C． D． 11．已知正方体为空间两点，且满足，则（   ） A．线段AP长度的最小值为 B．当时，点的轨迹与平面平行 C．当时，点与点不可能重合 D．当时，与所成角的范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设随机变量服从二项分布，随机变量服从二项分布，若，则 ． 13．若函数在上是增函数，则实数a的取值范围是 ． 14．过点的直线l与抛物线交于两点M，N，点M，N处的切线交于点P，则点P到圆的距离的最小值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，，，所对的边分别为，，，且不为直角，，其中是三角形外接圆半径. (1)若，求的大小； (2)求的最小值. 16．某电商平台在用户选购家电时，要求每位用户先从冰箱和洗衣机这两类大家电中选定一类，再从微波炉、烤箱、扫地机器人、空气净化器这四类小家电中任选两类.选购结束后，为了解用户的选购情况，随机抽取了部分用户作为样本，对他们的选购情况统计后得到下表： 微波炉 烤箱 扫地机器人 空气净化器 冰箱类 100 120 200 180 洗衣机类 120 140 60 80 (1)利用上述样本数据填写以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析以上两类大家电对空气净化器的选法是否存在差异. 类别 空气净化器选法 选 不选 合计 冰箱类 洗衣机类 合计 (2)假设该平台所有选购家电的用户中有的用户选择了冰箱类，其余的用户都选择了洗衣机类，且在冰箱类的用户中两个小家电选择的是烤箱和扫地机器人的概率为，而在洗衣机类的用户中两小家电选择的是烤箱和扫地机器人的概率为.若从该平台所有用户中随机抽取100名用户，用表示这100名用户中同时选择了烤箱和扫地机器人的人数，求随机变量的均值. 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．四棱锥中，底面是正方形，为正三角形，，E为的中点． (1)证明：平面． (2)证明：平面平面． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 18．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左右顶点分别为，上顶点为是上异于顶点的两点. (1)求的方程； (2)若在第一象限，的面积是的面积的2倍，求的坐标； (3)记在直线上的投影为，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断过点，，三点的圆是否为定圆？若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由. 19．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求的取值范围； (3)若有两个零点，且，证明：. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高三数学上学期期末1月模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：高考范围 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解绝对值不等式求得集合，再利用交集运算求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以，又， 所以. 故选：C. 2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角正弦公式和诱导公式化简等式，结合角的范围求解. 【详解】原等式可化为，即， 因为，所以，所以， ， . 故选：A. 3．某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过495克的可能性约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布的对称性求值. 【详解】设1包糖果的质量为，则， 所以， 又， 所以. 故选：D 4．已知A，B是圆上的两动点，当面积最大时，求的值（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】求得圆心与半径，求得面积最大时，，进而计算即可求得的值. 【详解】由，得，可得圆心，半径， 由，当最大时，， 此时点到直线的距离为， 设线段的中点为，则. 故选：D. 5．记等比数列的前n项和为．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出等比数列得首项和公比，依据等比数列前项和公式即可得 【详解】设首项为，公比为，则根据题意，所以， 因为，因为，所以， 所以， 故选:D 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，第二象限内的点在椭圆上，且轴，若点满足，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的性质结合已知条件求出焦点及点坐标，进而得出相关向量，利用垂直关系得出数量积为0，构造方程求出的关系，最后利用离心率公式计算求解． 【详解】椭圆左、右焦点，轴，把代入椭圆方程，得， 点位于第二象限内， ，则，故， 又，， ，，即， ，解得， ，故D正确． 故选：D． 7．已知实数，函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，结合二次函数、对数函数单调性及复合函数的单调性列不等式，即可求出范围. 【详解】， 令，则， 因为且在上单调递增，所以， 因为函数在区间上单调递增，且， 所以函数在区间上单调递增， 又函数为开口向下的抛物线，对称轴为， 因此，所以. 故选：D 8．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的数字特征分别构造函数、，利用导数可求得单调性，由和可确定的大小关系. 【详解】令，则， 在上单调递增，， 即，，又，，即； 令，则， 令，则，在上单调递减， ，在上单调递减， ，即，； 综上所述：. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若为复数，则下列说法正确的有（    ） A．若，则为实数 B． C．若，则的最大值为 D．若，则在复平面内对应的点在第二象限 【答案】ACD 【分析】根据共轭复数计算求解判断A，特殊值法计算判断B，应用模长性质计算判断C，应用复数乘方及复数的几何意义运算判断D. 【详解】对于A：设，若，则，即，则为实数，A选项正确； 对于B：若，则，B选项错误； 对于C：因为，则，则的最大值为，C选项正确； 对于D：若，则在复平面内对应的点在第二象限，D选项正确； 故选：ACD. 10．若实数a，b满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】构造，得到在上单调递增，结合零点存在性可得，，，对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】AB选项，由题意得， 令，显然在上单调递增， 且，， 则，故，且，， 所以，，故，A正确，B错误； C选项，，C正确； D选项，，故，D正确； 故选：ACD 11．已知正方体为空间两点，且满足，则（   ） A．线段AP长度的最小值为 B．当时，点的轨迹与平面平行 C．当时，点与点不可能重合 D．当时，与所成角的范围为 【答案】ABD 【分析】先由题意结合共面定理得到点在平面上、在平面上且在平行四边形内（含边界），用等体积法求出三棱锥的高即可判断A；分别取中点为，求出点的轨迹为线段，并求证平面即可判断B；当时由即可得解判断C；先得到点的轨迹为线段，接着由得到BQ与所成角即为与BQ所成角为，设，由余弦定理求，接着令利用导数工具求出即可求解判断D. 【详解】因为， 所以点P在平面上、在平面上且在平行四边形内（含边界），如图， 由图可知线段AP长度的最小值为点A到平面的距离即三棱锥的高，设为h， 则由正方体结构性质得，即， 所以线段长度的最小值为，故A正确； 当时，，分别取中点为，如图， 则且由向量加法法则可知点的轨迹为线段， 又在平面外，平面，所以平面， 所以点的轨迹与平面平行，故B正确； 当时，，由向量加法法则可知点为线段的中点， 当时，，则点为线段的中点， 此时点与点重合，故C错误； 当时，分别取中点为，同理B选项可得点的轨迹为线段， 由正方体结构性质可知，，所以BQ与所成角即为与BQ所成角为， 设，则，又， 所以， 则， 令， 所以函数为上的增函数， 所以，所以， 所以，所以当时，与所成角的范围为. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设随机变量服从二项分布，随机变量服从二项分布，若，则 ． 【答案】 【分析】由随机变量X服从二项分布，及，求出，再由随机变量Y服从二项分布，则，计算可得. 【详解】因为随机变量X服从二项分布， 所以， 解得或（舍去）， 又因为随机变量Y服从二项分布， 所以 ． 故答案为: . 13．若函数在上是增函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】略 14．过点的直线l与抛物线交于两点M，N，点M，N处的切线交于点P，则点P到圆的距离的最小值是 ． 【答案】 【分析】设l为，的横坐标为，l与抛物线方程联立求出．利用导数求出抛物线在点M和N处的切线方程，联立两条切线方程求出P的横坐标和纵坐标，消去参数k得到P的轨迹方程，再利用几何关系即可求解． 【详解】由题可知直线l的斜率存在， 故可设过点的直线的方程为，即． 联立抛物线方程，得：， 设的横坐标为，∵，故由韦达定理得：， 对于函数，其导数，在处切线斜率为， 切线方程为，即． 故抛物线在点处的切线方程为， 在点处的切线方程为． 联立两切线方程：， 解得交点的横坐标为， 代入切线方程得纵坐标为． 因此，点坐标为， 消去参数得P的轨迹方程为，即． 圆的圆心为，半径． 圆心到直线的距离， ∴直线与圆相离， 故P到圆的最小距离为圆心到直线距离减去圆半径：． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，，，所对的边分别为，，，且不为直角，，其中是三角形外接圆半径. (1)若，求的大小； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理和正弦定理即可求出A的大小； （2）运用正弦定理和二倍角的余弦公式化简，再利用基本不等式求解最小值. 【详解】（1）在中，由及余弦定理得， 由正弦定理得， 则， 又因为A不为直角，且，则， 则，所以. （2）由（1）知，，则， 因为A不为直角，所以， 则，得， 因此 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 16．某电商平台在用户选购家电时，要求每位用户先从冰箱和洗衣机这两类大家电中选定一类，再从微波炉、烤箱、扫地机器人、空气净化器这四类小家电中任选两类.选购结束后，为了解用户的选购情况，随机抽取了部分用户作为样本，对他们的选购情况统计后得到下表： 微波炉 烤箱 扫地机器人 空气净化器 冰箱类 100 120 200 180 洗衣机类 120 140 60 80 (1)利用上述样本数据填写以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析以上两类大家电对空气净化器的选法是否存在差异. 类别 空气净化器选法 选 不选 合计 冰箱类 洗衣机类 合计 (2)假设该平台所有选购家电的用户中有的用户选择了冰箱类，其余的用户都选择了洗衣机类，且在冰箱类的用户中两个小家电选择的是烤箱和扫地机器人的概率为，而在洗衣机类的用户中两小家电选择的是烤箱和扫地机器人的概率为.若从该平台所有用户中随机抽取100名用户，用表示这100名用户中同时选择了烤箱和扫地机器人的人数，求随机变量的均值. 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，存在 (2)16 【分析】（1）根据题意完善列联表，根据表中数据求，并与临界值对比分析； （2）根据全概率公式求，可得，再根据二项分布求. 【详解】（1）由题意可得：选择冰箱类的总人数有300，其中选择空气净化器的人数为180，不选择空气净化器的人数为120；选择洗衣机类的总人数有200，其中选择空气净化器的人数为80，不选择空气净化器的人数为120；据此完善列联表 类别 空气净化器选法 选 不选 合计 冰箱类 180 120 300 洗衣机类 80 120 200 合计 260 240 500 零假设：两类大家电对空气净化器的选法没有差异， 可得， 由于，根据小概率值可知假设不成立， 故可以认为两类大家电对空气净化器的选法存在差异，且犯错误的概率不大于. （2）记“选择冰箱类”为事件M，“选择洗衣机类”为事件N，“同时选择烤箱和扫地机器人”为事件C， 则， 故， 由题意可得，则， 故随机变量的均值. 17．四棱锥中，底面是正方形，为正三角形，，E为的中点． (1)证明：平面． (2)证明：平面平面． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用中位线来证明线线平行，即可证线面平行； （2）利用线线垂直去证明线面垂直，再证明线线到线面再到面面垂直即可；‘ （3）利用空间向量法来求面面角的余弦值即可. 【详解】（1） 证明：连接，交于F，连接． 因为E为的中点，F为的中点， 所以为的中位线，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）证明：因为四边形为正方形，所以． 因为，，平面，所以平面． 因为平面，所以． 因为为等边三角形，且E为的中点，所以． 因为，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （3）过点P作，垂足为O，由是等边三角形，可知O为的中点． 又因为平面，平面，所以平面平面， 又因为平面平面，平面PDC，所以平面． 设的中点为Q，连接，则，平面． 以O为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设，则，，，，． 设是平面ACE的法向量，因为，， 所以令，得． 取PC的中点M，连接DM，由中点得，所以， 由等边可知：， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以，又因为平面， 所以平面，即为平面的一个法向量． 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左右顶点分别为，上顶点为是上异于顶点的两点. (1)求的方程； (2)若在第一象限，的面积是的面积的2倍，求的坐标； (3)记在直线上的投影为，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断过点，，三点的圆是否为定圆？若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是,圆的方程为. 【分析】（1）根据长轴的概念，结合离心率的值，求，可得椭圆方程. （2）根据点在椭圆上，结合三角形的面积列式，可求点坐标. （3）分直线的斜率是否存在讨论.当直线斜率存在时，设直线方程为，根据，可得的关系，进而用几何法求过三点的圆即可. 【详解】（1）由题意：. 所以，椭圆的方程为：. （2）设（，），则① 因为②. 将②代入①得：，又，所以. 所以. 即所求点坐标为. （3）如图： 如直线斜率存在，可设直线方程为，代入椭圆方程， 可得， 整理得：. 由. 设，，则，. 又， 所以， . 所以直线的方程为. 所以线段的垂直平分线为. 又线段的垂直平分线为. 由. 所以，点都在以为圆心，点为圆上一点的圆上， 所以圆的方程为：，整理得：. 若直线斜率不存在，设直线方程为，. 设，则， 由. 此时，，三点均在圆上. 综上可知：点都在圆上. 19．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求的取值范围； (3)若有两个零点，且，证明：. 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，再按分类求出函数的单调性. （2）问题化为且，利用导数研究的性质，并结合分类讨论判断不等式恒成立，即可得参数范围； （3）由题设，应用分析法将问题化为证明，令，进一步化为证明，利用导数证明不等式即可. 【详解】（1）函数，，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，不等式恒成立， 令，求导得，令， 求导得，则函数在上单调递增，， 当，时，，则在上单调递增，，符合题意； 当，时，，时， 则，使，当时，，在上单调递减， 当时，，不符合题意， 所以的取值范围. （3）由，得，，且， 则，解得， 要证，需证，即， 需证，令，即，即证， 只需证明，令且，则， 函数在上单调递增，，即， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高三数学上学期期末1月模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A D D D D D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ACD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．. 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【详解】（1）在中，由及余弦定理得， 由正弦定理得， 则， 又因为A不为直角，且，则， 则，所以. （2）由（1）知，，则， 因为A不为直角，所以， 则，得， 因此 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 16．【详解】（1）由题意可得：选择冰箱类的总人数有300，其中选择空气净化器的人数为180，不选择空气净化器的人数为120；选择洗衣机类的总人数有200，其中选择空气净化器的人数为80，不选择空气净化器的人数为120；据此完善列联表 类别 空气净化器选法 选 不选 合计 冰箱类 180 120 300 洗衣机类 80 120 200 合计 260 240 500 零假设：两类大家电对空气净化器的选法没有差异， 可得， 由于，根据小概率值可知假设不成立， 故可以认为两类大家电对空气净化器的选法存在差异，且犯错误的概率不大于. （2）记“选择冰箱类”为事件M，“选择洗衣机类”为事件N，“同时选择烤箱和扫地机器人”为事件C， 则， 故， 由题意可得，则， 故随机变量的均值. 17．【详解】（1） 证明：连接，交于F，连接． 因为E为的中点，F为的中点， 所以为的中位线，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）证明：因为四边形为正方形，所以． 因为，，平面，所以平面． 因为平面，所以． 因为为等边三角形，且E为的中点，所以． 因为，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （3）过点P作，垂足为O，由是等边三角形，可知O为的中点． 又因为平面，平面，所以平面平面， 又因为平面平面，平面PDC，所以平面． 设的中点为Q，连接，则，平面． 以O为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设，则，，，，． 设是平面ACE的法向量，因为，， 所以令，得． 取PC的中点M，连接DM，由中点得，所以， 由等边可知：， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以，又因为平面， 所以平面，即为平面的一个法向量． 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18．【详解】（1）由题意：. 所以，椭圆的方程为：. （2）设（，），则① 因为②. 将②代入①得：，又，所以. 所以. 即所求点坐标为. （3）如图： 如直线斜率存在，可设直线方程为，代入椭圆方程， 可得， 整理得：. 由. 设，，则，. 又， 所以， . 所以直线的方程为. 所以线段的垂直平分线为. 又线段的垂直平分线为. 由. 所以，点都在以为圆心，点为圆上一点的圆上， 所以圆的方程为：，整理得：. 若直线斜率不存在，设直线方程为，. 设，则， 由. 此时，，三点均在圆上. 综上可知：点都在圆上. 19．【详解】（1）函数，，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，不等式恒成立， 令，求导得，令， 求导得，则函数在上单调递增，， 当，时，，则在上单调递增，，符合题意； 当，时，，时， 则，使，当时，，在上单调递减， 当时，，不符合题意， 所以的取值范围. （3）由，得，，且， 则，解得， 要证，需证，即， 需证，令，即，即证， 只需证明，令且，则， 函数在上单调递增，，即， 所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高三数学上学期期末1月模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16． （15分） 类别 空气净化器选法 选 不选 合计 冰箱类 洗衣机类 合计 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高三数学上学期期末1月模拟卷 答题卡 姓 名 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 翼 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 选择题（每小题5分，共40分) 1[AJ[B][C][D] 5[AJ[B][C][D] 2[AB][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[AB][C][D] 7[A[B][C][D] 效阙 4 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 二 选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A]B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A[B][C]D] 三、 填空题（每小题5分，共15分） 12 13. 4 器 数学第1页（共6项) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分) 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.（15分) 空气净化器选法 类别 选 不选 合计 冰箱类 洗衣机类 合计 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) E 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形迈世限定区域的答案无效！ 18.(17分) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 数学第6页（共6页） 2026年高三数学上学期期末1月模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：高考范围 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过495克的可能性约为（   ） A． B． C． D． 4．已知A，B是圆上的两动点，当面积最大时，求的值（   ） A．2 B．3 C． D． 5．记等比数列的前n项和为．若，则（   ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，第二象限内的点在椭圆上，且轴，若点满足，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．已知实数，函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若为复数，则下列说法正确的有（    ） A．若，则为实数 B． C．若，则的最大值为 D．若，则在复平面内对应的点在第二象限 10．若实数a，b满足，则（    ）． A． B． C． D． 11．已知正方体为空间两点，且满足，则（   ） A．线段AP长度的最小值为 B．当时，点的轨迹与平面平行 C．当时，点与点不可能重合 D．当时，与所成角的范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设随机变量服从二项分布，随机变量服从二项分布，若，则 ． 13．若函数在上是增函数，则实数a的取值范围是 ． 14．过点的直线l与抛物线交于两点M，N，点M，N处的切线交于点P，则点P到圆的距离的最小值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，，，所对的边分别为，，，且不为直角，，其中是三角形外接圆半径. (1)若，求的大小； (2)求的最小值. 16．某电商平台在用户选购家电时，要求每位用户先从冰箱和洗衣机这两类大家电中选定一类，再从微波炉、烤箱、扫地机器人、空气净化器这四类小家电中任选两类.选购结束后，为了解用户的选购情况，随机抽取了部分用户作为样本，对他们的选购情况统计后得到下表： 微波炉 烤箱 扫地机器人 空气净化器 冰箱类 100 120 200 180 洗衣机类 120 140 60 80 (1)利用上述样本数据填写以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析以上两类大家电对空气净化器的选法是否存在差异. 类别 空气净化器选法 选 不选 合计 冰箱类 洗衣机类 合计 (2)假设该平台所有选购家电的用户中有的用户选择了冰箱类，其余的用户都选择了洗衣机类，且在冰箱类的用户中两个小家电选择的是烤箱和扫地机器人的概率为，而在洗衣机类的用户中两小家电选择的是烤箱和扫地机器人的概率为.若从该平台所有用户中随机抽取100名用户，用表示这100名用户中同时选择了烤箱和扫地机器人的人数，求随机变量的均值. 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．四棱锥中，底面是正方形，为正三角形，，E为的中点． (1)证明：平面． (2)证明：平面平面． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 18．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左右顶点分别为，上顶点为是上异于顶点的两点. (1)求的方程； (2)若在第一象限，的面积是的面积的2倍，求的坐标； (3)记在直线上的投影为，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断过点，，三点的圆是否为定圆？若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由. 19．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求的取值范围； (3)若有两个零点，且，证明：. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $