第11章 因式分解 章小结课件 2025-2026学年青岛版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦因式分解，系统梳理概念、提公因式法及公式法等核心知识。通过回顾整式乘法引入，以“因式分解与整式乘法的关系”等问题为支架，衔接新旧知识，帮助学生构建知识结构。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过实际问题（如正方形挖小正方形算面积）、拼图验证（如a²+2ab+b²拼图）培养几何直观与空间观念，结合推理判断（如代数式整除问题）发展推理意识。规范的解题步骤与分层练习，助力学生提升运算能力与应用意识，为教师提供系统复习与探究教学的优质素材。

第11章 因式分解 数学 青岛版 七年级下册 章小结 ▶ 知识与结构 11.4 章小结 ▶ 回顾与总结 1. 什么是因式分解? 它与整式乘法有什么关系? 请举例说明。 2. 因式分解的常用方法有哪些? 怎样将一个多项式因式分解? 3. 在本章的学习过程中，用到了哪些数学思想和数学方法? 请举例说明， 11.4 章小结 综合练习 1. 将下列各式因式分解： ▣ 复习巩固 (1) 5m2n－15mn2； (2) －7x2y3＋28x3y2； 解：原式＝5mn(m－3n). 解：原式＝－7x2y2(y－4x). 11.4 章小结 (3) 4x2－y2； (4) －m2＋16； 解：原式＝(2x)2－y2＝(2x＋y)(2x－y). 解：原式＝16－m2＝42－(m)2 ＝4－(m)2 ＝ (4＋m)(4－m). 11.4 章小结 (5) 9x2＋6xy＋y2； (6) a2－a＋。 解：原式＝(3x＋y)2. 解：原式＝(a－)2. 11.4 章小结 2. 将下列各式因式分解： (1) 24－6x2； (2) 3y2－6y＋3； 解：原式＝6(4－x2)＝6(2＋x)(2－x). 解：原式＝3(y2－2y＋1)＝3(y－1)2. 11.4 章小结 (3) 5p2q＋10pqr＋5qr2； (4) 3(x－3)2－12； 解：原式＝5q(p2＋2pr＋r2)＝5q(p＋r)2. 解：原式＝3[(x－3)2－4] ＝3(x－3＋2)(x－3－2) ＝3(x－1)(x－5). 11.4 章小结 (5) (a－1)(a＋7)＋16； (6) m2n＋7n(2m＋7)。 解：原式＝a2＋7a－a－7＋16 ＝a2＋6a＋9 ＝(a＋3)2. 解：原式＝m2n＋14mn＋49n ＝n(m2＋14m＋49) ＝n(m＋7)2. 11.4 章小结 ▣ 拓展延伸 3. 如图，在边长为 a 的正方形钢板上，挖去 4 个边长均为 6 的小正方形。当 a＝9.5，b＝2.25 时，利用因式分解的知识，计算剩余部分的面积。 解：a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b). 11.4 章小结 当 a＝9.5，b＝2.25 时， 原式＝(9.5＋2×2.25)×(9.5－2×2.25) ＝(9.5＋4.5)×(9.5－4.5) ＝14×5 ＝70. 所以剩余部分的面积为 70. 11.4 章小结 4. 将下列各式因式分解： (1) (a＋b)2＋a＋b＋； (2) x2(a－b)＋4(b－a)； 解：原式＝(a＋b＋)2. 解：原式＝ x2(a－b)－4(a－b) ＝ (x2－4)(a－b) ＝ (x＋2)(x－2)(a－b). 11.4 章小结 (3) x2(x－y)2－y2(x－y)2； (4) x4－18x2＋81. 解：原式＝ (x－y)2(x2－y2) ＝ (x－y)2(x＋y)(x－y) ＝ (x－y)3(x＋y). 解：原式＝ (x2－9)2 ＝ (x＋3)2(x－3)2. 11.4 章小结 5. 计算：12－22＋32－42＋52－62＋72－82＋92－102＋112。 解：原式＝(12－22)＋(32－42)＋(52－62)＋(72－82)＋(92－102)＋112 ＝3×(－1)＋7×(－1)＋11×(－1)＋15×(－1)＋19×(－1)＋112 ＝－3－7－11－15－19＋121 ＝－55＋121 ＝66. 11.4 章小结 ▣ 探索创新 6. 判断下列说法是否正确，并说明理由。 (1) 512＋4×511－12×510 能被 165 整除； 解：正确. 理由如下： 原式＝510×(52＋4×5－12) ＝510×33 ＝59×5×33 ＝59×165. 11.4 章小结 (2) 当 n 是整数时，(2n2＋3)2－1 能被 8 整除。 解：正确. 理由如下：原式＝(2n2＋3＋1)(2n2＋3－1) ＝(2n2＋4)(2n2＋2) ＝4(n2＋2)(n2＋1). 因为当 n 是整数时，(n2＋2)(n2＋1)≥2，且(n2＋2)(n＋1)是偶数， 所以当 n 是整数时，(2n2＋3)2－1能被 8 整除. 11.4 章小结 7. 我们可以借助拼图将多项式因式分解。如图，剪出正方形和长方形卡片各若干张备用。 11.4 章小结 (1) 选取三种不同的方形卡片各若干张，把它们拼成一个长方形或正方形，使其面积分别可以用下列多项式表示。画出拼成的长方形或正方形，并将这些多项式因式分解。 ① a2＋2ab； ② a2＋2ab＋b2； ③ a2－2ab＋b2。 解：① a2＋2ab＝a(a＋2b) 11.4 章小结 ② a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 ③ a2－2ab＋b2＝(a－b)2 11.4 章小结 (2) 利用拼图，给出下列多项式因式分解的结果： ① a2－3ab＋2b2； ② 2a2＋5ab＋2b2。 解：① a2－3ab＋2b2＝(a－b)(a－2b) ② 2a2＋5ab＋2b2＝(a＋2b)(2a＋b) 11.4 章小结 $