11.3 公式法课件 2025-2026学年青岛版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“公式法因式分解”，系统讲解平方差公式和完全平方公式的应用，通过“借助乘法公式能否因式分解”的问题导入，衔接提公因式法复习，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，结合几何图形拼图、圆环面积计算等实例，培养学生推理意识与模型意识。通过“一提二套三检”步骤小结，帮助学生形成系统思维，既提升学生运算能力，也为教师提供清晰教学路径，提高课堂效率。

第11章 因式分解 数学 青岛版 七年级下册 11.3 公式法 2 知识回顾 11.3 公式法 借助此前所学的乘法公式能进行因式分解吗? 新课导入 11.3 公式法 多项式 x2－9 和 m2－25n2，它们有什么共同特征? 它们都表示两项的差，且每一项都可以写成平方的形式。 x2－9＝x2－32， m2－25n2＝m2－(5n)2。 新课讲解 11.3 公式法 怎样将上面两个多项式因式分解? 把平方差公式等号两边互换位置，得到 a2－b2＝(a＋b)(a－b)。利用它就可以将上面的式子因式分解。 x2－9 ； m2－25n2 11.3 公式法 x2－9 ； m2－25n2 x2－9＝x2－32＝(x＋3)(x－3)； m2－25n2＝m2－(5n)2＝(m＋5n)(m－5n)。 11.3 公式法 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积，即 a2－b2＝ (a＋b)(a－b)。 11.3 公式法 将下列各式因式分解： 例 1 (1) 4x2－9； (2)16a2－81b2。 解：原式＝(2x)2－32 ＝(2x＋3)(2x－3)。 解：原式＝(4a)2－(9b)2 ＝(4a＋9b)(4a－9b)。 11.3 公式法 将下列各式因式分解： 例 2 (1) x4－y4； (2) 4a3b－ab； 解：原式＝(x2＋y2)(x2－y2)＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y)。 解：原式＝ab(4a2－1)＝ab(2a＋1)(2a－1)。 11.3 公式法 (3) (2a＋b)2－(a＋2b)2。 解：原式＝ [(2a＋b)＋(a＋2b)][(2a＋b)－(a＋2b)] ＝ (3a＋3b)(a－b) ＝ 3(a＋b)(a－b)。 因式分解时，所有的因式要分解到不能再继续分解为止。 11.3 公式法 如图 11.3-1，每个图中先将 n2 (n≥3，n 为正整数) 个边长为 1 的小正方形拼成一个大正方形，再将右上角的 1 个小正方形去掉，每个图形中剩下的小正方形能够重新拼成一个长和宽都不等于 1 的长方形吗? 为什么? 能. 理由：n2－1＝(n＋1)(n－1). 11.3 公式法 1.下列多项式是否可以用平方差公式进行因式分解? 如果可以，写出因式分解的结果。 (1) a2－4b2； (2) －4m2＋n2； (3) 4x2－(－b)2； (4) 9a2＋4b2； (5) x2－； (6) x2＋。 解：可以因式分解的有(1)(2)(3)(5). 11.3 公式法 (1) a2－4b2； (2) －4m2＋n2； (3) 4x2－(－b)2； (5) x2－。 原式＝a2－(2b)2＝(a＋2b)(a－2b). 原式＝n2－4m2＝n2－(2m)2＝(n＋2m)(n－2m). 原式＝(2x)2－b2＝(2x＋b)(2x－b). 原式＝x2－()2＝(x＋)(x－). 11.3 公式法 2. 将下列各式因式分解： (1) 2x2－8； (2) 56a2－14b2； 解：原式＝2(x2－4)＝2(x＋2)(x－2). 解：原式＝14(4a2－b2)＝14(2a＋b)(2a－b). 11.3 公式法 (3) －2x4＋32x2； (4) (2a－b)2－(a＋b)2。 解：原式＝－2x2(x2－16)＝－2x2(x＋4)(x－4). 解：原式＝ [(2a－b)＋(a＋b)][(2a－b)－(a＋b)] ＝ (2a－b＋a＋b)(2a－b－a－b) ＝ 3a(a－2b). 11.3 公式法 3. 手表表盘的外圆直径为 34 mm，内圆直径为 26 mm，在外圆与内圆之间涂有荧光材料。求涂有荧光材料的圆环的面积(π≈3.14)。怎样计算比较简便? 11.3 公式法 解：由题意，得 π • ()2－π • ()2 ＝ π • (172－132) ＝ π • (17＋13)(17－13) ＝ 120π≈376.8 (mm2)， 所以涂有荧光材料的圆环的面积约是 376.8 mm2. 11.3 公式法 利用平方差公式可以进行因式分解，用完全平方公式能进行因式分解吗? 11.3 公式法 观察多项式 x2＋2x＋1和 m2－4mn＋4n2，它们有什么共同特征? 这两个多项式都是三项，都满足 a2＋2ab＋b2 或 a2－2ab＋b2 的形式。 11.3 公式法 怎样将上面两个多项式因式分解? x2＋2x＋1； m2－4mn＋4n2 把 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 或 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 的等号两边互换位置，就可以将多项式因式分解。 11.3 公式法 x2＋2x＋1； m2－4mn＋4n2 运用乘法公式可得 x2＋2x＋1 ＝ x2＋2 • x • 1＋12 ＝ (x＋1)2。 m2－4mn－4n2 ＝ m2－2 • m • 2n＋(2n)2 ＝ (m－2n)2。 11.3 公式法 两数的平方和，加上(减去)这两数乘积的 2 倍，等于这两数和(差)的平方，即 a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2， a2－2ab＋b2＝(a－b)2。 11.3 公式法 形如 a2＋2ab＋b2 和 a2－2ab＋b2 的式子叫作完全平方式。我们可以利用乘法公式对某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法。 11.3 公式法 将下列各式因式分解： 例 3 (1) x2＋10x＋25； (2) 9a2－6ab＋b2。 解：x2＋10x＋25 ＝ x2＋2 • x • 5＋52 ＝ (x＋5)2。 解： 9a2－6ab＋b2 ＝ (3a)2－2 • 3a • b＋b2 ＝ (3a－b)2。 11.3 公式法 将下列各式因式分解： 例 4 (1) 3ax2－6axy＋3ay2； (2) －x2＋4xy－4y2； 解： 3ax2－6axy＋3ay2 ＝ 3a(x2－2xy＋y2) ＝ 3a(x－y)2。 解： －x2＋4xy－4y2 ＝ －(x2－4xy＋4y2) ＝ －(x－2y)2。 11.3 公式法 (3) (2x＋y)2－6(2x＋y)＋9。 解： (2x＋y)2－6(2x＋y)＋9 ＝ (2x＋y)2－2 • (2x＋y) • 3＋32 ＝ [(2x＋y)－3]2 ＝ (2x＋y－3)2。 11.3 公式法 1. 将下列各式因式分解： (1) m2＋m＋； (2) 9x3－18x2＋9x； 解：原式＝m2＋2 • m • ＋()2 ＝(m＋)2 解：原式＝ 9x(x2－2x＋1) ＝ 9x(x－1)2. 11.3 公式法 (3) －4a2＋4a－1； (4) 3a2＋12ab＋12b2。 解：原式＝－(4a2－4a＋1) ＝－(2a－1)2 解：原式＝3(a2＋4ab＋4b2) ＝－3(a＋2b)2. 11.3 公式法 2. 按照完全平方公式，在括号内填入适当的整式： (1) a2－12a＋( )＝( )2； (2) 9b2＋( )＋16＝( )2； (3) ( )2＋4xy＋4＝( )2； (4) (x－y)2＋6(x－y)＋( ) ＝( )2。 36 a－6 24b 3b＋4 xy xy＋2 9 x－y＋3 11.3 公式法 课堂小结 11.3 公式法 习题 11.3 11.3 公式法 1.将下列各式因式分解： ▣ 复习巩固 (1) a2－49； (2) 25x2－36； (3) x2＋8x＋16； (4) y2－10y＋25； (5) 9a2＋6a＋1； (6) 81m2－144mn＋64n2。 解：原式＝(a＋7)(a－7). 解：原式＝(5x＋6)(5x－6). 解：原式＝(x＋4)2. 解：原式＝(y－5)2. 解：原式＝(3a＋1)2. 解：原式＝(9m－8n)2. 11.3 公式法 2.将下列各式因式分解： (1) 3x2－12； (2) a4－16b4； 解：原式＝ 3(x2－4) ＝ 3(x＋2)(x－2). 解：原式＝(a2－4b2)(a2＋4b2) ＝(a＋2b)(a－2b)(a2＋4b2). 11.3 公式法 (3) 16x2＋16x＋4； (4) －a3＋2a2b－ab2。 解：原式＝ 4(4x2＋4x＋1) ＝ 4(2x＋1)2. 解：原式＝ －a(a2－2ab＋b2) ＝ －a(a－b)2. 11.3 公式法 3. 将下列各式因式分解： (1) 4(x－2)2－16； 解：方法一： 原式＝ [2(x－2)]2－42 ＝ (2x－4＋4)(2x－4－4) ＝ 2x(2x－8) ＝ 4x(x－4). 方法二： 原式＝ 4[(x－2)2－4] ＝ 4[(x－2)2－22] ＝ 4(x－2＋2)(x－2－2) ＝ 4x(x－4). 11.3 公式法 (2) (4a－3)2－(3a－4)2； 解：原式＝ [(4a－3)＋(3a－4)][(4a－3)－(3a－4)] ＝ (4a－3＋3a－4)(4a－3－3a＋4) ＝ (7a－7)(a＋1) ＝ 7(a－1)(a＋1). 11.3 公式法 (3) (p＋q)2＋4(p＋q)＋4； (4) 6x2y＋3x3＋3xy2. 解：原式＝(p＋q＋2)2 解：原式＝3x(2xy＋x2＋y2) ＝3x(x＋y)2 11.3 公式法 4.计算： (1) 532－9； (2) 572＋6×57＋9； 解：原式＝532－32 ＝(53＋3)(53－3) ＝56×50 ＝2 800. 解：原式＝572＋2×3×57＋32 ＝(57＋3)2 ＝602 ＝3 600. 11.3 公式法 (3) 1012－202＋1。 解：原式＝1012－2×101×1＋12 ＝(101－1)2 ＝1002 ＝10 000. 11.3 公式法 ▣ 拓展延伸 5. 将下列各式因式分解： (1) x2(x－y)＋y2(y－x)； (2) a5－a3； 解：原式＝x2(x－y)－y2(x－y) ＝(x－y)(x2－y2) ＝(x－y)(x－y)(x＋y) ＝ (x－y)2(x＋y). 解：原式＝ a3(a2－) ＝ a3(a＋)(a－) 11.3 公式法 (3) m2(m－1)－4(1－m)2； (4) (a2＋2a)＋2(a2＋2a)＋1。 解：原式＝m2(m－1)－4(m－1)2 ＝(m－1)[m2－4(m－1)] ＝(m－1)(m2－4m＋4) ＝(m－1)(m－2)2. 解：原式＝(a2＋2a＋1)2 ＝[(a＋1)2]2 ＝(a＋1)4. 11.3 公式法 ▣ 探索创新 6. 将代数式 4x2＋1 加上一个单项式，使它变形为 (a＋b)2 的形式，你能写出哪些符合题意的等式? 解：添加单项式的方法共有 3 种，分两种情况： (1)当 4x2 是平方项时， 添加 4x，得 4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2. 添加－4x，得 4x2－4x＋1＝(2x－1)2. (2)当 4x2 是乘积二倍项时， 添加 4x4，得 4x4＋4x2＋1＝(2x2＋1)2. 11.3 公式法 7. (1) 32－1，52－1，72－1，92－1，···，计算结果都是 4 的倍数吗? 都是 8 的倍数吗? 为什么? 解：计算结果都是 4 的倍数，也都是 8 的倍数. 理由：(2n＋1)2－1 ＝ 4n2＋4n＋1－1 ＝ 4n2＋4n ＝ 4n(n＋1). 11.3 公式法 (2)23－2，33－3，43－4，···，计算结果都是 6 的倍数吗?为什么? 解：计算结果都是 6 的倍数. 理由如下：n3－n＝n(n2－1)＝n(n＋1)(n－1). 当三个连续整数相乘时，积一定是 6 的倍数. 11.3 公式法 $