专题01 数与式综合训练2026年九年级中考数学复习 安徽专用
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内容正文：
专题01 数与式综合训练
目录
1.1 实数的概念与运算（相反数、绝对值、科学记数法）-----------------------------------------1
1.2 整式与因式分解（幂运算、公式应用、因式分解进阶）--------------------------------------3
1.3 分式与二次根式（化简求值、分母不为零陷阱、根式性质）-------------------------------5
1.4 数式规律探究（数字、图形规律归纳）-------------------------------------------------------------7
考情分析：安徽中考必考题，选择第1-2题、填空第11题高频考查，科学记数法近5年必考，因式分解常考十字相乘，规律题多在解答题出现
1.1 实数的概念与运算
一、单选题
1．下列各数是-2025的相反数的是（ ）
A．2025 B．-2025 C． D．
2．的相反数是（ ）
A． B． C． D．2
3．下列化简，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如果数a与互为相反数，那么a是（ ）
A． B．0 C． D．
5．的相反数为（ ）
A．2 B． C． D．
6．的相反数是（ ）
A．2017 B． C． D．
7．如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中表示互为相反数的点是（ ）
A．点A与点D B．点A与点C C．点B与点C D．点B与点D
8．下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．3与 B．与 C．4与 D．与
9．以下四个数中，最小的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列选项记录了我县及周边县区某一周的平均气温，其中平均气温最低的是（ ）
A．赣榆 B．东海 C．灌云 D．灌南
11．大于的整数有( )
A．5个 B．10个 C．无数个 D．11个
12．2，，0，四个数中，最大的是（ ）
A．2 B． C．0 D．
13．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．2
14．在数轴上表示下列各数，其中距离原点最远的是（ ）
A．3 B． C． D．
15．绝对值等于7的有理数为（ ）
A．7 B． C． D．
16．党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
17．近年来，中国铁路快速发展，截至2024年底，全国铁路营业里程已突破16万千米，其中高铁营业里程约4.8万千米．中国国家铁路集团有限公司发布的最新数据显示，在为期40天的2024年铁路春运中，全国铁路累计发送旅客5.1亿人次．将数据5.1亿用科学记数法表示为 （ ）
A． B． C． D．
18．著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”．数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
19．据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
20．根据中国乘用车协会的统计数据，2025年第一季度，我国新能源汽车销量为万辆，其中万用科学记数法表示为（）
A． B． C． D．
21．前几年甲型H1N1流感在墨西哥爆发并在全球蔓延，研究表明甲型H1N1流感球形病毒细胞的直径约为，保留两个有效数字，用科学记数法表示这个数是（ ）
A． B． C． D．
22．个某球形病毒首尾直线相连总长度约为9纳米，单个该病毒直径用科学记数法表示为（ ）
A．纳米 B．纳米 C．纳米 D．纳米
23．已知一个水分子的直径约为米，勿忘我的花粉直径约为米，用科学记数法表示一个水分子的直径是勿忘我花粉直径的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
24．是指大气中直径小于或等于m的颗粒物，数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
25．水是生命之源．已知水分子的直径为0.00000000028米，则0.00000000028用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
1.2 整式与因式分解
一、单选题
1．下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
10．若多项式可分解为，则（ ）
A．8 B． C．4 D．
11．若，，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
12．如果二次三项式在整数范围内可因式分解为，那么m的值为（ ）
A．4 B． C．7 D．
13．分解因式的结果是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
14．因式分解： ．
15．若，，则的值为 ．
16．因式分解： ．
17．已知，则的值是 ．
18．分解因式： ．
19．分解因式： ．
1.3 分式与二次根式
一、单选题
1．若有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式从左到右的变形，是分式化简的是（ ）
A． B． C． D．
4．函数 中自变量x的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．
5．当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（ ）
A． B． C． D．
6．若代数式的值为0，则满足要求的所有x的值为（ ）
A．1 B．0 C．0或 D．0或1
7．不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）
A． B． C． D．
8．若分式的值为0，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
9．如果有意义，那么的取值范围是( )
A． B． C． D．
10．若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
11．若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．在函数中自变量的取值范围在数轴上表示正确的为（ ）
A． B．
C． D．
13．下列运算结果与相等的是（ ）
A． B． C． D．
14．在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
15．要使二次根式有意义，则的取值范围是 ．
16．要使代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
17．☆|新课标开放性试题 若分式的值是0，则x的值是 ．
18．计算： ．
19．化简的结果为 ．
三、解答题
20．已知：，，当时，求值．
21．计算：．
22．先化简，再求值：，其中．
23．计算：；
24．化简：．
25．计算：
26．先化简，再求值：，其中．
27．化简：．
28．计算：．
1.4 数式规律探究
一、解答题
1．（1）观察下列各式：
，则
，则
（2）按照你发现的规律填空：
____________________________________，则____________．
（3）猜想等于多少？
（4）请你用含有自然数的式子写出你发现的规律．
2．观察下列等式：
①；
②；
③；
…
(1)写出④______；
(2)猜想：______；
(3)由以上规律，计算的值．
3．【观察思考】
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
【规律发现】
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第个等式 ；
【规律应用】
（3）应用规律计算：（需写出过程）．
4．如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则：
(1) ， ；
(2)求的值．
5．（1）对于整数x，规定，例如：，求：的值．
（2）先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解．
6．小乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和黑色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题：
(1)图1中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多1个；
图2中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多2个；
图3中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多3个；
……
图n中黑色正方形有：__________，白色正方形有__________个．
(2)若图n中黑色正方形比等边三角形多45个，求图n中白色正方形的个数．
7．如图1，将一个基础图形（正方形）不断平移，使得相邻两个基础图形的顶点与对称中心重合．
观察以上图形得到下表：
图形
图①
图②
图③
图④
…
大正方形数量/个
2
3
4
5
…
小正方形数量/个
1
4
7
10
……
按照以上规律，解答下列问题：
(1)在图⑤中，正方形的总数为_________．
(2)在第n个图形中，正方形的总数为_________．
(3)如图2，将图1中某个图形放在平面直角坐标系中，已知基础图形的交点坐标为，，，位置如图所示，则的坐标为_________．
8．用美的眼光观察世界，用数学的思维思考世界．九（1）班同学到户外从事实践活动，发现一段直的健身道是由三种地砖组成（如图1所示），标记①为方砖，其边长为0.5米；标记②为长砖，其长为1米，宽为0.25米；标记③是花砖．
【观察思考】如图2所示，当花砖只有1块时，方砖有4块，长砖2块；如图3所示，当花砖有2块时，方砖有6块，长砖4块；以此类推．
【总结归纳】（1）若健身道上每增加1块花砖，则长砖增加______块；
（2）若这条健身道一共有n（n为正整数）块花砖，则方砖的块数为______，这条健身道的长度是______米（用含n的代数式表示）．
【规律应用】（3）同学们查阅有关资料知这条健身道长度为233米，请你计算这条健身道用了多少块长砖？
9．问题：用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形？探究：不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊情况入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论．
探究一：
（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
此时，显然能搭成一种等腰三角形．
∴ 当时，．
（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．
∴ 当时，．
（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
若分成1 根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形．
若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
∴ 当时，．
（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形．
若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
∴ 当时，．
综上所述，可得表①．
表①∶
3
4
5
6
1
0
1
1
探究二：
（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒，则不能搭成三角形．
若分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
若分成3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
∴ 当时，．
（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？(仿照上述探究方法，将结果填在表②中)
表②∶
7
8
9
10
2
你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究……
问题解决：用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形？ (设n分别等于4k-1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中)
表③∶
问题应用：用2025根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成 种不同的等腰三角形．
10．材料一：高斯是近代数学奠基者之一，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面均有开创性贡献．在他十岁时，数学老师出了一道算术难题：“计算的值．”高斯思考一会后得出正确的答案，他思考到：可以令①，将这100个数倒过来相加可得②，由①+②得，所以．
（1）计算： ；
材料二：【观察思考】
用菱形积木摆放一个造型，该造型由多层组成，每一层由三行的菱形积木拼成，前3层的摆放情况如图所示．同一层中每一行皆比前一行多2块，且每一层第一行皆比前一层第一行多2块．
【规律发现】
（2）①第10层的积木总块数为 ；
②前n层积木总块数为 ；
【规律应用】
（3）已知小明同学共用了576块菱形积木摆放了一个造型，求出这个造型一共摆放了多少层？
11．【阅读理解】
用的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为的矩形图案．
已知长度为的所有图案如下：
【尝试操作】
在所给方格中（假设图中最小方格的边长为），尝试画出所有用的“矩形瓷砖”拼得的“长度是，但宽度均为”的矩形图案示意图．
【归纳发现】
观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整．
【规律概括】
描述一下你发现的规律： ．
12．《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题．
（规律探索）
(1)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则，如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则____；
同种操作，如图3，_____；
如图4，________；
……若同种地操作n次，则_________．
于是归纳得到：_________．
(2)阅读材料：求的值．
解：设①，
将①×2得：②，
由②-①得：，即．
即
根据上述材料，试求出的表达式，写出推导过程．
13．图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．
(1)将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为 ；
(2)图3中的圆圈有14层，我们自上往下，在每个圆圈中按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ；
(3)图4中的圆圈有14层，我们自上往下，在每个圆圈中按图4的方式填上一串连续的整数，，，，…，求图4中所有圆圈中各数值之和．（写出计算过程）
14．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前4种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子，4个氢原子；第2种如图②有2个碳原子，6个氢原子；第3种如图③有3个碳原子，8个氢原子；
(1)按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________个；第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________个；
(2)按照这一规律，这类物质是否存在某种化合物的分子结构模型中有2031个氢原子？请说明理由．
15．【实例】求值：
解：设①
将等式两边同时乘2，得：②
将②式减去①式，得：，
即
【运用】（1）_______________﹔
【拓展】（2）计算：；
【迁移】（3）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点、；第三次操作：分别取线段和的中点、；连续这样操作次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和的值为多少
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专题01 数与式综合训练
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1.1 实数的概念与运算（相反数、绝对值、科学记数法）-----------------------------------------1
1.2 整式与因式分解（幂运算、公式应用、因式分解进阶）--------------------------------------9
1.3 分式与二次根式（化简求值、分母不为零陷阱、根式性质）-------------------------------17
1.4 数式规律探究（数字、图形规律归纳）-------------------------------------------------------------27
考情分析：安徽中考必考题，选择第1-2题、填空第11题高频考查，科学记数法近5年必考，因式分解常考十字相乘，规律题多在解答题出现
1.1 实数的概念与运算
一、单选题
1．下列各数是的相反数的是（ ）
A．2025 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查相反数的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键；根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数，然后问题可求解．
【详解】解：∵相反数的定义：数a的相反数为，
∴的相反数为2025，
故选：A．
2．的相反数是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，由此即可得解，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键．
【详解】解：的相反数是，
故选：B．
3．下列化简，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了多重符号的化简，去括号时，先把括号前面的系数的绝对值与括号内的每一项都相乘，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
4．如果数a与互为相反数，那么a是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查相反数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．只有符号不同的两个数互为相反数．
【详解】解：∵ 与 互为相反数，
∴a是．
故选：C．
5．的相反数为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值和求一个数的相反数，先计算绝对值，再根据只有符号不同的两个数互为相反数可得答案．
【详解】解：的相反数是，
故选：B．
6．的相反数是（ ）
A．2017 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了绝对值，相反数及负整数指数幂，
先计算绝对值，再求负整数指数幂，再求相反数即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ 相反数为 ．
故选：D．
7．如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中表示互为相反数的点是（ ）
A．点A与点D B．点A与点C C．点B与点C D．点B与点D
【答案】D
【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，相反数等基础知识，由数轴可得四点表示的数，这些数中找出互为相反数的两个数即可．
【详解】解：数轴上A、B、C、D四个点表示的数分别为，而2与互为相反数，
即点B与点D表示的数互为相反数，
故选：D．
8．下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．3与 B．与 C．4与 D．与
【答案】B
【分析】本题考查了相反数的定义，求绝对值．
根据只有符号不同的两个数是互为相反数判断即可．
【详解】A．3与不互为相反数；
B．与互为相反数；
C．4与不互为相反数；
D．与不互为相反数；
故选：B．
9．以下四个数中，最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查比较有理数的大小，化简多重符号，绝对值．先化简各选项，再比较大小即可．
【详解】解：，，，，
，
因此四个选项中最小的数是，
故选D．
10．下列选项记录了我县及周边县区某一周的平均气温，其中平均气温最低的是（ ）
A．赣榆 B．东海 C．灌云 D．灌南
【答案】A
【分析】本题考查了负数的大小比较．
比较负数的大小：绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴平均气温最低的是赣榆，
故选：A．
11．大于的整数有( )
A．5个 B．10个 C．无数个 D．11个
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据正整数和0大于负数，且正整数有无数个即可得到答案．
【详解】解：由于正整数和0都大于负数，而正整数有无数个，
∴大于的整数有无数个，
故选：C．
12．2，，0，四个数中，最大的是（ ）
A．2 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数大小比较的能力，运用有理数大小比较的知识进行求解，熟练掌握正数大于负数，0大于负数且小于正数的大小比较法则是解决此题的关键．
【详解】解：∵，，
∴最大的数是，
故选B．
13．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的性质进行作答即可．
【详解】解：的绝对值是2，
故选：D
14．在数轴上表示下列各数，其中距离原点最远的是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了绝对值的几何意义，实数的大小比较，熟练掌握绝对值的几何意义和实数的大小比较是解题的关键．依题意，选项的每个数值的绝对值最大即为距离原点最远，即可作答．
【详解】解：∵，，，，，
∴绝对值最大的是3，
∴距离原点最远的是3，
故选：A．
15．绝对值等于7的有理数为（ ）
A．7 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：绝对值等于7的有理数是﹒
故选：C
16．党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，对于，将小数点向左移动位得到，因此．
【详解】解：，
用科学记数法表示为，
故选：．
17．近年来，中国铁路快速发展，截至2024年底，全国铁路营业里程已突破16万千米，其中高铁营业里程约4.8万千米．中国国家铁路集团有限公司发布的最新数据显示，在为期40天的2024年铁路春运中，全国铁路累计发送旅客5.1亿人次．将数据5.1亿用科学记数法表示为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
科学记数法要求形式为，其中，n为整数，5.1亿即．
【详解】1亿=，
亿=．
亿用科学记数法表示为．
故选B．
18．著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”．数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
根据科学记数法的表示方式作答即可．
【详解】解：，
故选：B．
19．据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．据此求解即可．
【详解】解：．
故选：D．
20．根据中国乘用车协会的统计数据，2025年第一季度，我国新能源汽车销量为万辆，其中万用科学记数法表示为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．
【详解】解：万
故选：B．
21．前几年甲型H1N1流感在墨西哥爆发并在全球蔓延，研究表明甲型H1N1流感球形病毒细胞的直径约为，保留两个有效数字，用科学记数法表示这个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法的定义和有效数字的保留，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．
先根据有效数字的概念保留两个有效数字为，再确定的指数为， 用科学记数法表示这个数即可．
【详解】解：
保留两个有效数字时，第三位数字，根据“四舍五入”，需要进位，得．
故选：C．
22．个某球形病毒首尾直线相连总长度约为9纳米，单个该病毒直径用科学记数法表示为（ ）
A．纳米 B．纳米 C．纳米 D．纳米
【答案】D
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此求解即可．
【详解】解：由题意得：单个该病毒直径为：纳米，
故选：D．
23．已知一个水分子的直径约为米，勿忘我的花粉直径约为米，用科学记数法表示一个水分子的直径是勿忘我花粉直径的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法，同底数幂的除法运算，根据同底数幂的除法法则以及科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可．
【详解】解：
；
故选：C．
24．是指大气中直径小于或等于m的颗粒物，数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故选B．
25．水是生命之源．已知水分子的直径为0.00000000028米，则0.00000000028用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可．
【详解】解：．
故选：B．
1.2 整式与因式分解
一、单选题
1．下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了负整数指数幂，积的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式，根据负整数指数幂的意义，积的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式等逐项判断即可．
【详解】解：A．，故原计算错误，不符合题意；
B． ，故原计算错误，不符合题意；
C．，故原计算正确，符合题意；
D．，故原计算错误，不符合题意；
故选：C．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方、负整数指数幂，以及合并同类项，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：C
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查幂的运算，合并同类项，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项法则逐项进行判断即可
【详解】解：A、，故本选项不合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不合题意；
D、不是同类项，无法合并，故本选项不合题意．
故选：B．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查整式乘方、分式运算和负整数指数幂等基本运算规则，熟练掌握幂的运算性质、分式加减法则和负整数指数幂的定义是解题关键，根据运算法则逐一验证各选项的正确性．
【详解】解：A、，故 A错误；
B、， 故B正确；
C、，故C错误；
D、，仅当或时成立，一般情况不相等，故D错误．
故选：B．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了去括号，二次根式的减法运算，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握这些知识是解题的关键．运用去括号法则、二次根式的减法运算法则、指数运算法则和完全平方公式．通过逐一验证每个选项的计算是否正确，
【详解】解：A、，A错误．
B、和不是同类二次根式，， B错误．
C、， C正确．
D、， D错误．
故选C
7．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了幂的运算、完全平方公式、合并同类项、平方差公式等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．
根据幂的运算、完全平方公式、合并同类项、平方差公式逐项判断即可．
【详解】解：A．，故 A错误，不符合题意；
B．，故 B正确，符合题意；．
C．，故C错误，不符合题意；
D．，故D错误，不符合题意．
故选B．
8．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查整式的运算，包括完全平方公式、指数运算和分配律，选项A错误，因为完全平方公式展开后缺少中间项；选项B错误，因为不是同类项不能合并；选项C正确，符合指数运算法则；选项D错误，因为分配律应用时符号错误．
【详解】解： A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：C．
9．已知，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查了平方差公式的应用．
利用平方差公式因式分解，并代入已知条件计算．
【详解】解：∵，
∴
．
故选：B．
10．若多项式可分解为，则（ ）
A．8 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了用公式法因式分解、完全平方公式等知识点，掌握因式分解的定义是解题的关键．
由题意可得，即，进而得到．
【详解】解：∵多项式可分解为，
∴，
∴，
∴，．
故选：B．
11．若，，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提取公因式法因式分解是解题的关键．
先将所求式子进行因式分解，再将已知条件代入求值．
【详解】解：∵，，
∴
．
故选：D．
12．如果二次三项式在整数范围内可因式分解为，那么m的值为（ ）
A．4 B． C．7 D．
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解和多项式的乘法．根据题意可将变为的形式，再根据题意进行判断即可．
【详解】解：由题意得，
二次三项式在整数范围内可因式分解为，
，
，
故选：C．
13．分解因式的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可.
【详解】解：.
故选：C
二、填空题
14．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键；解题时先提取公因式，再运用平方差公式进行分解即可．
【详解】解：；
故答案为．
15．若，，则的值为 ．
【答案】9
【分析】此题考查了因式分解的应用，熟记公式结构正确将原式分解因式是解题的关键．
通过因式分解，将原式化为，然后代入已知条件计算．
【详解】
；
，，
所以原式
．
故答案为：9．
16．因式分解： ．
【答案】
【分析】此题考查了因式分解．
观察表达式，发现公因式x，提取公因式后得到平方差形式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式
（应用平方差公式）
故答案为：
17．已知，则的值是 ．
【答案】25
【分析】本题考查了因式分解的应用，把变形为，将代入，整理后再次代入即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：25．
18．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再运用十字相乘法进行因式分解，即可作答．
【详解】解：
，
故答案为：．
19．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题主要考查分解因式，运用分组分解法即可解答．
【详解】解：
．
故答案为：．
1.3 分式与二次根式
一、单选题
1．若有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义，分式有意义．根据有意义得分母不为0，且二次根式的被开方数为非负数，可求得，即可作答．
【详解】解：∵有意义，
∴，且，
∴，
∴，
故选：D
2．若分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可．
【详解】解：由题意，，
∴；
故选D．
3．下列各式从左到右的变形，是分式化简的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式的化简．根据分式的基本性质解答即可．
【详解】解：A、是分式化简，故本选项符合题意；
B、从左到右的变形不一定成立，不是分式化简，故本选项不符合题意；
C、从左到右的变形不一定成立，不是分式化简，故本选项不符合题意；
D、，不是分式化简，故本选项不符合题意；
故选：A
4．函数 中自变量x的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件．
根据被开方数是非负数且分母不等于0列式求解即可．
【详解】解：由题意，得
且，
解得且．
故选A．
5．当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分式的分母不为零，逐一进行判断即可．
【详解】解：当时，，，故、和没有意义，不符合题意，有意义，符合题意；
故选B．
6．若代数式的值为0，则满足要求的所有x的值为（ ）
A．1 B．0 C．0或 D．0或1
【答案】B
【分析】此题考查分式值为零的条件：分子等于零，且分母不等于零，据此列得等式或不等式，求出答案．
【详解】解：∵代数式的值为0，
∴，且，
解得：或，且，
∴，
故选：B．
7．不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为 0 ；（2）分母不为 0 ．这两个条件缺一不可．
分别找到各式为 0 时的值，即可判断．
【详解】解：A、当时，，故不合题意；
B、当时，，故不合题意；
C、当时，，故不合题意；
D、分子是1，则，故符合题意；
故选：D．
8．若分式的值为0，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据且，计算即可．
本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分子为零，且分母不为零是解题的关键．
【详解】解：分式的值为0，
故且，
解得，
故选：A．
9．如果有意义，那么的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据被开方数是非负数，即可求解．
【详解】解：有意义，
，
．
因此，的取值范围是，
故选：B．
10．若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平方根有意义的条件，掌握根号下的式子必须为非负数是解题关键．
逐项判断每一个选项中，根号下的式子是否一定是非负数即可．
【详解】解：选项A：，故一定有意义；
选项B：当时，，故不一定有意义；
选项C：当时，，故不一定有意义；
选项D：，故仅在时有意义，
故选：A．
11．若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了最简二次根式及同类二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．
根据能合并的二次根式是同类二次根式，即化为最简二次根式后被开方数相同，据此列方程求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式与能合并，
∴，
解得：．
故选：C
12．在函数中自变量的取值范围在数轴上表示正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式与分式有意义的条件，在数轴上表示不等式的解集．
根据二次根式的被开方数是非负数，分母不能为零，可得答案．
【详解】解：在函数中，，
∴自变量的取值范围，
在数轴上表示为：
故选：C．
13．下列运算结果与相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、合并同类二次根式、二次根式的乘除运算等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键．
先根据二次根式的性质、合并同类二次根式化简，然后再根据二次根式的乘除法计算C、D选项，然后再判断即可．
【详解】解：；
A． ，符合题意；
B． ，不符合题意；
C． ，不符合题意；
D． ，不符合题意．
故选A．
14．在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求自变量的取值范围，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
根据函数有意义，列出不等式求解．
【详解】解：∵函数有意义，
∴，解得：，
故选：A．
二、填空题
15．要使二次根式有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，
根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴．
故答案为：．
16．要使代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】此题主要考查了二次根式及分母有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
根据二次根式有意义的条件，被开方数非负；根据分式有意义的条件，分母不为零；综合两者求交集．
【详解】要使代数式有意义，需同时满足以下条件：
对于分子，有，即；
对于分母，有，即；
因此，实数的取值范围是且．
故答案为：且．
17．☆|新课标开放性试题 若分式的值是0，则x的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了分式值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子为零且分母不为零是解题的关键．根据分式值为零的条件即可求解．
【详解】解：∵分式的值是0，
∴且，
解得，
∴x的值是1．
故答案为：1．
18．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查同分母分式的加法运算，根据同分母分式的加法运算法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：1．
19．化简的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了同分母分式减法计算．根据同分母分式减法法则计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：2．
三、解答题
20．已知：，，当时，求值．
【答案】
【分析】此题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先化简分式得到最简结果，再把字母的值代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
当时，
所以．
21．计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式运算、零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先进行二次根式化简、乘方运算、零指数幂运算以及化简绝对值，然后相加减即可．
【详解】解：原式
．
22．先化简，再求值：，其中．
【答案】
【分析】本题考查因式分解和分式的化简，通过平方差公式和提取公因式是解题关键．
将原式通过平方差公式，将原式中的分子、分母分解为含公因式的形式，再约去公因式，化为简单形式后代入计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，
原式
．
23．计算：；
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、零指数幂等知识．
利用二次根式的性质化简、求绝对值、零指数幂、二次根式的加法等知识计算即可．
【详解】解：
．
24．化简：．
【答案】
【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据分式的混合运算法则求解即可．
【详解】解：
．
25．计算：
【答案】
【分析】本题考查分式化简．根据分式的性质及混合运算法则化简即可．
【详解】解：，
．
26．先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，涉及知识点：分式的混合运算、完全平方公式、因式分解。解题方法是先对分式约分、通分，将除法转化为乘法后化简，再代入求值；解题关键是正确进行因式分解与分式运算，易错点是通分或符号处理错误。先分解分子分母的因式，通分计算括号内的减法，再将除法转乘法化简，最后代入的值计算．
【详解】解：
，
代入，
原式．
27．化简：．
【答案】
【分析】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
先分解分式的分子和分母，除法化为乘法，再计算分式减法．
【详解】解：
．
28．计算：．
【答案】
【分析】根据分式的性质和运算法则计算即可；本题考查了分式的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
．
1.4 数式规律探究
一、解答题
1．（1）观察下列各式：
，则
，则
（2）按照你发现的规律填空：
____________________________________，则____________．
（3）猜想等于多少？
（4）请你用含有自然数的式子写出你发现的规律．
【答案】（2）；；；；（3）；（4）
【分析】本题考查算术平方根的性质和数字的变化规律．
（2）根据算术平方根的概念进行计算；
（3）根据计算过程和各式的变化规律猜想结果；
（4）根据给出各式的计算过程和结果，总结规律．
【详解】解：（2），即，
故答案为：；；；；
（3）猜想：，
理由：，即；
（4）规律：．
理由：，
即．
2．观察下列等式：
①；
②；
③；
…
(1)写出④______；
(2)猜想：______；
(3)由以上规律，计算的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）观察已知等式找到规律，即可求解；
（2）根据规律直接得出结果即可；
（3）利用（2）中结论及有理数的混合运算进行计算即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：．
（2）解：根据规律可知，，
故答案为： ；
（3）
．
【点睛】题目主要考查算术平方根及有理数规律性运算，根据题意找出相应规律是解题关键．
3．【观察思考】
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
【规律发现】
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第个等式 ；
【规律应用】
（3）应用规律计算：（需写出过程）．
【答案】（1）；（2）；（3），见解析
【分析】本题考查了数字类规律的探索，与实数运算相关的规律题，理解题意，正确得出等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键．
（1）仿照题干即可求解；
（2）仿照题干即可求解；
（3）将原式变形为，再运用结论求解．
【详解】解：（1）∵第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
∴第5个等式：
（2）根据规律可得：；
（3）解：原式
．
4．如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则：
(1) ， ；
(2)求的值．
【答案】(1)2，
(2)
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，数字类的规律探索．
（1）根据图形即可得到，观察图形可知第n幅图中★的个数为；
（2）由（1）得，再找到规律，据此把所求式子裂项求解即可．
【详解】（1）解：第1幅图中★的个数为，
第2幅图中★的个数为，
第3幅图中★的个数为，
，
以此类推，第n幅图中★的个数为；
（2）解：由（1）知，第n幅图中★的个数为，
，
，
，
，
以此类推，可知，
∴
．
5．（1）对于整数x，规定，例如：，求：的值．
（2）先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解．
【答案】（1）；（2）；0．
【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，代数式求值，求不等式组的解集，分式的化简求值．
（1）根据所给新定义计算出若干的值，得到，再求所求的式子的值即可．
（2）先求得不等式组的解集，再把原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：∵，
∴，
，则；
，则；
，则；
…，
；
∴
；
（2）解：解不等式，可得：；
解不等式，可得：，
∴不等式组的解集为，
∵是不等式组的整数解，
∴的值可以取；
．
∵的值可以取；
∴当时，，舍去；
当时，原式．
6．小乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和黑色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题：
(1)图1中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多1个；
图2中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多2个；
图3中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多3个；
……
图n中黑色正方形有：__________，白色正方形有__________个．
(2)若图n中黑色正方形比等边三角形多45个，求图n中白色正方形的个数．
【答案】(1)，
(2)66
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）求出前面几个图形中黑色正方形和白色正方形的个数，进而得到规律求解即可；
（2）根据前面所得规律可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：由题干得，图n的黑色正方形有，白色正方形比黑色正方形多n个
∴图n 的白色正方形有个；
（2）解：图1中，等边三角形的个数为2个；
图2中，等边三角形的个数为3个：
图3 中，等边三角形的个数为4个；
图4中，等边三角形的个数为5个；
……，
以此类推可知，图n 中等边三角形的个数为个，
∵图n 中黑色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，
∴，
解得或（舍去），
当时，，
∴图n 中白色正方形的个数为66个．
7．如图1，将一个基础图形（正方形）不断平移，使得相邻两个基础图形的顶点与对称中心重合．
观察以上图形得到下表：
图形
图①
图②
图③
图④
…
大正方形数量/个
2
3
4
5
…
小正方形数量/个
1
4
7
10
……
按照以上规律，解答下列问题：
(1)在图⑤中，正方形的总数为_________．
(2)在第n个图形中，正方形的总数为_________．
(3)如图2，将图1中某个图形放在平面直角坐标系中，已知基础图形的交点坐标为，，，位置如图所示，则的坐标为_________．
【答案】(1)19
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，图形规律探索，解题的关键是根据已知图形和点的坐标得出一般规律．
（1）根据给出的图形找出一般规律，得出图⑤中，正方形的总数即可；
（2）根据所给出的几个图形中大正方形个数和小正方形的个数规律，得出第n个图形中有个大正方形，个小正方形，共有个正方形；
（3）根据点的坐标为，得出小正方形的对角线长为2，从而得出，，的坐标，总结得出一般规律，从而得出的坐标．
【详解】（1）解：观察图形可知，每增加一个大正方形，则增加3个小正方形，可得第5个图形中有6个大正方形，13个小正方形，共有19个正方形；
（2）解：观察图形可知：第1个图形中有个大正方形，个小正方形，共有3个正方形；
第2个图形中有个大正方形，个小正方形，共有7个正方形；
第3个图形中有个大正方形，个小正方形，共有11个正方形；
……；
第n个图形中有个大正方形，个小正方形，共有个正方形．
（3）解：观察图2，基础图形的交点的坐标为，则小正方形的对角线长为2，
∴的坐标为，
的坐标为，
的坐标为，
……，
以此类推，则的坐标为；
8．用美的眼光观察世界，用数学的思维思考世界．九（1）班同学到户外从事实践活动，发现一段直的健身道是由三种地砖组成（如图1所示），标记①为方砖，其边长为0.5米；标记②为长砖，其长为1米，宽为0.25米；标记③是花砖．
【观察思考】如图2所示，当花砖只有1块时，方砖有4块，长砖2块；如图3所示，当花砖有2块时，方砖有6块，长砖4块；以此类推．
【总结归纳】（1）若健身道上每增加1块花砖，则长砖增加______块；
（2）若这条健身道一共有n（n为正整数）块花砖，则方砖的块数为______，这条健身道的长度是______米（用含n的代数式表示）．
【规律应用】（3）同学们查阅有关资料知这条健身道长度为233米，请你计算这条健身道用了多少块长砖？
【答案】（1）2；（2）；；（3）长砖用了310块
【分析】本题主要考查了图形规律探索，用代数式表示图形规律，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据图形找出规律．
（1）根据已知图形找出规律进行解答即可；
（2）根据图形找出规律，列出代数式即可；
（3）根据健身道的长度列出方程，解方程得出花砖的块数，然后再求出长砖的块数即可．
【详解】解：（1）根据给出的图形可知：若健身道上每增加1块花砖，则长砖增加2块；
（2）∵有1块花砖时，方砖块数为4，有2块花砖时，方砖块数为6，
∴有n块花砖时，方砖块数为，
这条健身道长度为：米．
（3）令，
解得：，
当时，，
即长砖用了310块．
9．问题：用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形？探究：不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊情况入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论．
探究一：
（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
此时，显然能搭成一种等腰三角形．
∴ 当时，．
（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．
∴ 当时，．
（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
若分成1 根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形．
若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
∴ 当时，．
（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形．
若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
∴ 当时，．
综上所述，可得表①．
表①∶
3
4
5
6
1
0
1
1
探究二：
（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒，则不能搭成三角形．
若分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
若分成3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
∴ 当时，．
（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？(仿照上述探究方法，将结果填在表②中)
表②∶
7
8
9
10
2
你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究……
问题解决：用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形？ (设n分别等于4k-1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中)
表③∶
问题应用：用2025根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成 种不同的等腰三角形．
【答案】探究二（2）1，2，2；问题解决：，，，；问题应用：
【分析】探究二（2）仿照探究一中的方法，将木棒分成相等的两部分和另一部分，利用三角形成立的条件进行判断即可；
问题解决：从两个表格中总结出规律填表即可
问题应用：用2025和4的倍数关系，结合问题解决中的规律即可解答．
【详解】解：探究二（2）①用8根相同的木棒搭一个三角形，
即分成2根木棒、3根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形，
此时，能搭成1种等腰三角形，
当时，．
②用9根相同的木棒搭一个三角形，
即分成1根木棒、4根木棒和4根木棒，则能搭成一种等腰三角形，
即分成3根木棒、3根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形，
此时，能搭成2种等腰三角形，
当时，．
③用10根相同的木棒搭一个三角形，
即分成2根木棒、4根木棒和4根木棒，则能搭成一种等腰三角形，
即分成3根木棒、3根木棒和4根木棒，则能搭成一种等腰三角形，
此时，能搭成2种等腰三角形，
当时，．
填表如下：
7
8
9
10
2
1
2
2
问题解决：由规律可知，
用根相同的木棒搭一个三角形，底边可以是1、3、5、……根木棒，能搭成种等腰三角形，
用根相同的木棒搭一个三角形，底边可以是2、4、6、……根木棒，能搭成种等腰三角形，
用根相同的木棒搭一个三角形，底边可以是1、3、5、……根木棒，能搭成种等腰三角形，
用根相同的木棒搭一个三角形，底边可以是2、4、5、……根木棒，能搭成种等腰三角形，
填表如下：
问题应用：，
用2025根相同的木棒搭一个三角形，能搭成506种不同的等腰三角形．
【点睛】本题考查的是基本作图及等腰三角形，解题的关键是掌握等腰三角形的性质及三角形成立的条件．
10．材料一：高斯是近代数学奠基者之一，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面均有开创性贡献．在他十岁时，数学老师出了一道算术难题：“计算的值．”高斯思考一会后得出正确的答案，他思考到：可以令①，将这100个数倒过来相加可得②，由①+②得，所以．
（1）计算： ；
材料二：【观察思考】
用菱形积木摆放一个造型，该造型由多层组成，每一层由三行的菱形积木拼成，前3层的摆放情况如图所示．同一层中每一行皆比前一行多2块，且每一层第一行皆比前一层第一行多2块．
【规律发现】
（2）①第10层的积木总块数为 ；
②前n层积木总块数为 ；
【规律应用】
（3）已知小明同学共用了576块菱形积木摆放了一个造型，求出这个造型一共摆放了多少层？
【答案】（1）250500；（2）①69；②；（3）这个造型一共摆放了12层
【分析】本题考查数字的变化规律，找出数字运算的特点，得出数字的运算规律，利用规律解决问题．
（1）利用连续的偶数相加等于两端的数相加乘数的个数除以2，直接列式分别计算得出答案即可．
（2）①得出第n（n为正整数）层有块，代入计算即可；
②依照（1）的方法求解即可；
（33）根据题意列方程求解即可．
【详解】解：（1）根据题目中的求解过程知，．
故答案为：250500；
（2）①根据题意得：第n（n为正整数）层由（块）菱形积木拼成，
∴第10层的积木总块数为（块）．
②第一层由（块）菱形积木拼成，
第二层由（块）菱形积木拼成，
第三层由（块）菱形积木拼成．
∴．
故答案为：①69；②；
（3）由题意得，，
解得，（舍去），
答：这个造型一共摆放了12层．
11．【阅读理解】
用的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为的矩形图案．
已知长度为的所有图案如下：
【尝试操作】
在所给方格中（假设图中最小方格的边长为），尝试画出所有用的“矩形瓷砖”拼得的“长度是，但宽度均为”的矩形图案示意图．
【归纳发现】
观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整．
【规律概括】
描述一下你发现的规律： ．
【答案】【尝试操作】：见解析；【归纳发现】5，8，13；【规律概括】：从长度30cm的图案开始，所有不同图案的个数是前面两个个数的和
【分析】根据已知条件作图可知40cm时，所有图案个数5个；猜想得到结论．
【详解】解：（1）【尝试操作】长度为40cm可以为：
①，可画出一种；②，可画出一种；
③，可画出3种，分别是20cm的在左侧，右侧和中间．
故如图：
（2）【归纳发现】根据作图可知40cm时，所有图案为5个；50cm时，所有图案个数8个；
60cm时，所有图案个数13个；
故答案为5，8，13；
（3）【规律概括】中的数据寻找规律，可发现：
从长度30cm的图案开始，所有不同图案的个数是前面两个个数的和．
【点睛】本题考查应用与设计作图，规律探究；能够根据要求作出图形，探索规律是解题的关键．
12．《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题．
（规律探索）
(1)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则，如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则____；
同种操作，如图3，_____；
如图4，________；
……若同种地操作n次，则_________．
于是归纳得到：_________．
(2)阅读材料：求的值．
解：设①，
将①×2得：②，
由②-①得：，即．
即
根据上述材料，试求出的表达式，写出推导过程．
【答案】(1)，，，，
(2)，过程见解析
【分析】本题考查了规律探究和乘方的应用，正确理解题意是关键；
（1）根据题意提供的方法找到规律解答即可；
（2）仿照题目中给的方法解答即可.
【详解】（1）解：如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则，
如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则；
同种操作，如图3，；
如图4，；
……，
若同种地操作n次，则．
于是归纳得到：；
故答案为：，，，，；
（2）解：设①，
则②，
，得，
即.
13．图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．
(1)将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为 ；
(2)图3中的圆圈有14层，我们自上往下，在每个圆圈中按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ；
(3)图4中的圆圈有14层，我们自上往下，在每个圆圈中按图4的方式填上一串连续的整数，，，，…，求图4中所有圆圈中各数值之和．（写出计算过程）
【答案】(1)
(2)92
(3)2835
【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形得出是解题的关键．
（1）根据图2中的圆圈总个数是图1中的2倍，且图2中共有n层圆圈，每层个，据此可解决问题．
（2）根据数的排列方式，求出第13层最右边一个数即可解决问题．
（3）根据题意，得出正数，负数的个数即可解决问题．
【详解】（1）解：由题知
图2中有n层圆圈，每层圆圈的个数为个，
所以图2中圆圈的总个数为个．
又因为图2中圆圈的总个数是图1中的2倍，
所以图1中圆圈的总个数为个，
即，
故答案为：；
（2）解：当时
，
即图3中第13层最右边一个数为91，
所以图3中第14层最左边这个圆圈中的数是92，
故答案为：92；
（3）解：当时，
（个），
所以图4中共有105个圆圈．
因为这一串连续的整数为，，，，…，
所以这105个数中有25个负数，1个0，79个正数，
所以图4中所有圆圈中各数值之和为：
．
14．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前4种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子，4个氢原子；第2种如图②有2个碳原子，6个氢原子；第3种如图③有3个碳原子，8个氢原子；
(1)按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________个；第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________个；
(2)按照这一规律，这类物质是否存在某种化合物的分子结构模型中有2031个氢原子？请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)不存在，理由见解析．
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键．
（1）观察前面四幅图可知氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可；
（2）根据（1）所求得到方程，解方程看方程是否有正整数解即可得到结论．
【详解】（1）解：第1种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：
，
第2种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：
，
第3种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：
，
第4种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：
，
，
∴第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为个，
当时，
（个），
∴第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为个，
故答案为：，；
（2）解：不存在，理由如下：
令，
解得：，
∵为正整数，
∴不存在某种化合物的分子结构模型中有2031个氢原子．
15．【实例】求值：
解：设①
将等式两边同时乘2，得：②
将②式减去①式，得：，
即
【运用】（1）_______________﹔
【拓展】（2）计算：；
【迁移】（3）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点、；第三次操作：分别取线段和的中点、；连续这样操作次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和的值为多少
【答案】（1）；（2）；（3） 或
【分析】本题主要考查图形和数字的变化规律，线段的中点的性质，发现图形和数字得变化规律是解题的关键．
（1）仿照阅读材料求解即可；
（2）仿照阅读材料求解即可；
（3）根据线段中点的性质得出，进而仿照阅读材料求解即可．
【详解】解：（1）设①
将等式①的两边同时乘以2得： ②
将②式减去①式，得：，
∴．
故答案为：．
（2）设①
将等式两边同时乘3，得：②
将②式减去①式，得
∴，即
（3）∵，、是线段和的中点，
∴，
同理可得
……
∴
设①
∴②
将①式减去②式，得
∴
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