11.1 因式分解 课件 2025-2026学年青岛版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“因式分解”概念及与整式乘法的互逆关系，通过林场吸收二氧化碳总量的实际问题导入，借助两种表示方法搭建从具体到抽象的学习支架，衔接整式乘法知识。 其亮点是以实际情境（如48²+2×48能否被50整除）培养数学眼光，通过拼图面积模型与符号推理发展数学思维和语言。例题练习分层设计，小结明确判断标准与互逆关系，助力学生抽象能力与推理意识提升，教师可借助实例高效教学。

第11章 因式分解 数学 青岛版 七年级下册 某林场中的森林、草地和湿地每天都能吸收一定量的二氧化碳。如果它们平均每天吸收二氧化碳的量分别为 a，b，c (单位：t)，经过 m 天后，这个林场吸收的二氧化碳总量有多少吨? 有几种表示方法? 这些方法之间有什么关系? 显然，这个林场每天吸收的二氧化碳总量既可以表示为 ma＋mb＋mc，又可以表示为 m(a＋b＋c)。这两种表示方法得到的结果是一样的，即 ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，这个等式从左往右的变形是将多项式 ma＋mb＋mc 化成 m 与 a＋b＋c 的乘积形式。 这种将多项式化成整式的乘积形式的变形是本章要学习的内容。让我们进一步认识整式，为代数式运算及解方程奠定基础。 11.1 因式分解 4 整式的乘法运算是将整式的乘积化成一个多项式。有时我们需要反过来将一个多项式化成整式的乘积形式。 新课导入 11.1 因式分解 “482＋2×48”能被 50 整除吗? 482＋2×48 ＝ 48×(48＋2) ＝ 48×50 所以 482＋2×48 能被 50 整除。 解决这个问题的关键是把算式化成几个因数的乘积形式。 类似地，我们可以将多项式化成整式的乘积形式。 新课讲解 11.1 因式分解 (1)仿照上面的算式，怎样将 a2＋2a 化成整式的乘积形式? a2＋2a 可以化成 a • (a＋2)，其中 a 与 a＋2 是 a2＋2a 的因式。 11.1 因式分解 (2) 联想平方差公式 (a＋b)(a－b)＝a2－b2，怎样将 x2－4 化成整式的乘积形式? x2－4 可以化成 (x＋2) • (x－2)，x＋2 与 x－2 是 x2－4 的因式。 11.1 因式分解 (3) 观察图 11.1-1 所示的拼图过程，写出相应的关系式。 11.1 因式分解 图11.1-1中，左边几个图形的面积和为 a2＋2ab＋b2，右边图形的面积为 (a＋b)2。因为右边图形由左边的几个图形拼接而成，所以a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a＋b 是 a2＋2ab＋b2的因式。 11.1 因式分解 把一个多项式化成几个整式的乘积形式，这种式子变形叫作这个多项式的因式分解(factorization)，也叫作把这个多项式分解因式。 11.1 因式分解 整式乘法和因式分解是方向相反的代数变形， x2－4 (x－2)(x＋2)。 因式分解 整式乘法 11.1 因式分解 例 下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解? 为什么? (1) a2－2ab＋b2＝(a－b)2； (2) x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2； 解：因为右式 (a－b)2 是 a－b 与 a－b 的乘积形式，且左式＝右式，所以这个变形是因式分解。 解：因为右式 (x＋1)2＋2 不是整式的乘积形式，所以这个变形不是因式分解。 11.1 因式分解 (3) x2y－xy2＝xy(x－y)。 解：因为右式 xy(x－y) 是 x，y，x－y 的乘积形式，且左式＝右式，所以这个变形是因式分解。 11.1 因式分解 下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解?为什么? (1) x(x＋1) ＝x2＋x； (2) 2x2y－4xy2＝2xy(x－2y)； 解：不是因式分解. 理由如下：从左到右的变形是整式乘法. 解：是因式分解. 理由如下：从左到右的变形符合因式分解的定义. 11.1 因式分解 (3) 9x2－4y2＝8x2＋(x－2y)(x＋2y)； (4) 4a2－4a＋1＝(2a－1)2。 解：是因式分解. 理由如下：从左到右的变形符合因式分解的定义. 解：不是因式分解. 理由如下：从左到右的变形不符合因式分解的定义. 11.1 因式分解 课堂小结 11.1 因式分解 习题 11.1 11.1 因式分解 1.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解? 为什么? ▣ 复习巩固 (1) x2－2xy＋y2＝x(x－2y)＋y2； (2) ax2－bx＋x＝ax2－x(b－1)； 解：不是因式分解. 理由如下：从左到右的变形不符合因式分解的定义. 解：不是因式分解. 理由如下：从左到右的变形不符合因式分解的定义. 11.1 因式分解 (3) 12ax－24ay＝12a(x－2y)； (4) m2＋4m＋3＝(m＋1)(m＋3)。 解：是因式分解. 理由如下：从左到右的变形符合因式分解的定义. 解：是因式分解. 理由如下：从左到右的变形符合因式分解的定义. 11.1 因式分解 2. 连一连： x2－y2 (x＋3)2 9－25x2 y(x－y) x2＋6x＋9 (3－5x)(3＋5x) xy－y2 (x＋y)(x－y) 11.1 因式分解 ▣ 拓展延伸 3. 判断下列因式分解是否正确： (1) －mn－8n＝－n(m－8)； (2) a2－4a＋3＝(a＋1)(a＋3)； (3) x2－2(a＋b)x＋(a＋b)²＝(x－a－b)2。 不正确. 不正确. 正确. 11.1 因式分解 ▣ 探索创新 4. 小亮购买革果、梨、葡萄三种水果，质量分别是 4a kg，2a kg和 a kg，已知这三种水果每千克的价格分别为x元、y元、z元。 (1) 他购买这三种水果共花了多少元? 解：由题意，得 4ax＋2ay＋az， 所以他购买这三种水果共花了(4ax＋2ay＋az)元. 11.1 因式分解 (2) 用列出的式子计算总价，需要进行多少次加法运算、多少次乘法运算?能否通过对式子进行变形，减少运算次数，得出正确的结果? 解：计算总价时，需要二次加法、三次乘法. 可以对式子进行变形，变形为 a(4x＋2y＋z)，这需要二次加法、一次乘法就能得出正确的结果. 11.1 因式分解 $