10.3 乘法公式课件 2025-2026学年青岛版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“乘法公式”，系统讲解平方差公式与完全平方公式。通过回顾整式乘法，结合正方形花坛改造等实际问题导入，搭建从一般到特殊的学习支架，帮助学生建立新旧知识联系。 其亮点在于融合几何直观与代数推理，如用面积关系解释公式培养几何直观，代数推导过程发展推理意识，实际计算例题（如103×97）提升应用意识。小结梳理公式及应用，贾宪三角拓展数学文化，学生能深化理解，教师可高效教学。

第10章 整式的乘法与除法 数学 青岛版 七年级下册 10.3 乘法公式 2 知识回顾 10.3 乘法公式 对于特殊形式的整式乘法，用乘法公式运算更加简便。 新课导入 10.3 乘法公式 某中学计划对一个边长为 xm 的正方形花坛进行改造(图 10.3-1)。如果改造成长为 (x＋2)m、宽为 (x－2)m 的长方形花坛，改造前后花坛的面积相等吗? 新课讲解 10.3 乘法公式 改造后的面积为 (x＋2)(x－2)＝x2－2x＋2x－22 ＝x2－4。 可见，改造前后花坛的面积不相等。(x＋2)(x－2) 表示 x 与 2 的和乘 x 与 2的差，这是一种特殊形式的整式乘法。 10.3 乘法公式 (1) 计算下列算式： (m＋3)(m－3) ＝_________________； (2x＋1)(2x－1)＝_________________。 m2－9 4x2－1 10.3 乘法公式 (2)观察上面的算式及其运算结果，你有什么发现? 上面的运算都是形如 a＋b 的多项式与形如 a－b 的多项式相乘。 运算结果是两个数的平方差。 10.3 乘法公式 若 a，b 是有理数，利用多项式的乘法计算： (a＋b)(a－b) ＝ a2＋ab－ab－b2 ＝ a2－b2。 由上述计算发现，两个数的和与这两个数的差的积，可以直接写成这两个数平方的差。由此得到简化这类运算的公式。 10.3 乘法公式 平方差公式，两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即 (a＋b)(a－b) ＝ a2－b2。 10.3 乘法公式 当 a，b 均表示正数且 a＞b 时，图10.3-2中的面积关系可以解释平方差公式。 图 10.3-2 10.3 乘法公式 利用平方差公式计算： 例 1 (1) (2x＋5)(2x－5)； (2) (7m－2n)(7m＋n)； 解：(2x＋5)(2x－5)＝(2x)2－52＝4x2－25。 解：(7m－2n)(7m＋n) ＝ (7m)2－(2n)2 ＝ 49m2－4n2。 平方差公式中的 a，b 可以是数，也可以是代数式。 10.3 乘法公式 (3) (3x－)(－3x－)。 解：(3x－)(－3x－) ＝ (－＋3x) (－－3x) ＝ (－)2－(3x)2 ＝ －9x2。 10.3 乘法公式 利用平方差公式计算 103×97。 例 2 解： 103×97 ＝(100＋3)×(100－3) ＝1002－32 ＝ 9 991. 10.3 乘法公式 1. 利用平方差公式计算： (1) (x＋6)(x－6)； (2) (－1＋x)(－1－x)； 解：原式 ＝ x2－62 ＝ x2－36. 解：原式 ＝ (－1)2－x2＝1－x2. 10.3 乘法公式 (3) (a－2b)(2b＋a)； (4) (－4)(－4－)。 解：原式 ＝(a－2b)(a＋2b)＝a2－(2b)2＝a2－4b2. 解：原式 ＝(－4＋)(－4－)＝(－4)2－()2＝16－. 10.3 乘法公式 2. 利用平方差公式计算 202×198。 解： 202×198 ＝ (200＋2)×(200－2) ＝ 2002－22 ＝ 40 000－4 ＝ 39 996. 10.3 乘法公式 类比平方差公式的学习过程，下面我们将研究另一种特殊形式的整式乘法。 10.3 乘法公式 如图10.3-3，某中学计划将一个边长为 x m 的正方形花坛每条边的长度都增加 2m，新花坛的面积是多少? 如果都减少 1m 呢? 10.3 乘法公式 由于新花坛依然呈正方形，因此改造后的花坛面积分别为 (x＋2)2m 和 (x－1)2 m，运用多项式的乘法计算得: (x＋2)2 ＝ (x＋2)(x＋2) ＝ x・x＋x・2＋2・x＋2×2 ＝ x2＋2x＋2x＋4 ＝ x2＋4x＋4； 10.3 乘法公式 (x－1)2 ＝ (x－1)(x－1) ＝ x・x－x・1－1・x＋(－1)×(－1) ＝ x2－x－x＋1 ＝ x2－1x＋1. (x＋2)2 和 (x－1)2 分别表示两个相同多项式的积，这也是一种特殊形式的整式乘法。 10.3 乘法公式 (1) 计算下列算式： (x＋5)2＝___________________________； (2y－1)2＝__________________________。 x2＋10x＋25 4y2－4y＋1 10.3 乘法公式 (2)观察上面的算式及其运算结果，你有什么发现? 上面的运算表示的是两数和(差)的平方。 若 a，b 是有理数，利用多项式的乘法计算： (a＋b)2 ＝ (a＋b)(a＋b) ＝ a2＋ab＋ba＋b2 ＝ a2＋2ab＋b2； 10.3 乘法公式 (a－b)2 ＝ (a－b)(a－b) ＝ a2－ab－ba＋b2 ＝ a2－2ab＋b2； 由上述计算发现，可以直接写出两个数的和或差的平方的运算结果。由此得到简化这类运算的公式。 10.3 乘法公式 完全平方公式，两个数的和(差)的平方，等于这两个数的平方和加上(减去)它们乘积的 2 倍，即 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a－b)2＝a2－2ab＋b2。 10.3 乘法公式 (3)当 a，b 均表示正数时，图 10.3-4 中的面积关系可以解释公式 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2。 10.3 乘法公式 怎样设计图形解释公式 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 ? 10.3 乘法公式 利用完全平方公式计算： 例 3 (1) (x＋3)2； (2) (2m－3n)2； 解： (x＋3)2 ＝x2＋2・x・3＋32 ＝x2＋6x＋9。 解： (2m－3n)2 ＝ (2m)2－2×2m • 3n＋(3n)2 ＝ 4m2－12mn＋9n2。 10.3 乘法公式 (3) (－x－y)2。 解：(－x－y)2 ＝(x＋y)2 ＝(x)2＋2×x • y＋(y)2 ＝ x2＋xy＋y2. 10.3 乘法公式 利用完全平方公式计算 1012。 例 4 解：1012＝ (100＋1)2 ＝ 1002＋2×100×1＋12 ＝ 10 000＋200＋1 ＝ 10 201。 10.3 乘法公式 1. 利用完全平方公式计算： (1) (x＋6)2； (2) (2x－1)2； 解：原式＝x2＋2 • x • 6＋62＝x2＋12x＋36. 解：原式＝(2x)2－2×2x·1＋12＝4x2－4x＋1. 10.3 乘法公式 (3) (3a－2b)2； (4) (－x－y)2。 解：原式＝(3a)2－2×3a • 2b＋(2b)2＝9a2－12ab＋4b2. 解：原式 ＝ (－x)2＋2×(－x) • (－y)＋(－y)2 ＝ x2＋xy＋y2. 10.3 乘法公式 2. 利用完全平方公式计算： (1) 100.12； 解：原式＝ (100＋0.1)2 ＝ 1002＋2×100×0.1＋0.12 ＝ 10 000＋20＋0.01 ＝ 10 020.01. 10.3 乘法公式 (2) 982。 解：原式＝ 1002－2×100×2＋22 ＝ 10 000－400＋4 ＝ 9 604. 10.3 乘法公式 利用乘法公式计算： 例 5 (1)(x－4)(x＋4)－(x－8)(x＋2)； (2) 4(3－x)2＋(1－2x)(2x＋1)。 解：(x－4)(x＋4)－(x－8)(x＋2) ＝ x2－16－ (x2－6x－16) ＝ x2－16－x2＋6x＋16 ＝ 6x。 解：4(3－x)2＋(1－2x)(2x＋1) ＝ 4(9－6x＋x2)＋1－4x2 ＝ 36－24x＋4x2＋1－4x2 ＝ －24x＋37 。 10.3 乘法公式 利用乘法公式计算： 例 6 (1) (a＋b－1)2； (2) (2x＋y－5)(2x＋y＋5)。 解：(a＋b－1)2 ＝ [(a＋b)－1]2 ＝ (a＋b)2－2(a＋b)＋12 ＝ a2＋2ab＋b2－2a－2b＋1。 解：(2x＋y－5)(2x＋y＋5) ＝ [(2x＋y)－5][(2x＋y)＋5] ＝ (2x＋y)2－52 ＝ 4x2＋4xy＋y2 ＝25。 10.3 乘法公式 利用乘法公式计算： (1) x(x－1)－(x－)(x＋)； 解：原式＝ x2－x－(x2－) ＝ x2－x－x2＋ ＝ －x. 10.3 乘法公式 (2) (x＋5)2－(x－2)(x－3)； 解：原式＝x2＋10x＋25－(x2－5x＋6) ＝x2＋10x＋25－x2＋5x－6 ＝15x＋19. 10.3 乘法公式 (3) (x＋2y＋1)(x＋2y－1)； 解：原式＝[(x＋2y)＋1][(x＋2y)－1] ＝ (x＋2y)2－12 ＝ x2＋4xy＋4y2－1. 10.3 乘法公式 (4) (a－b＋c)2。 解：原式＝[(a－b)＋c]2 ＝ (a－b)＋2(a－b) • c＋c2 ＝ a2－2ab＋b2＋2ac－2bc＋c2. 10.3 乘法公式 课堂小结 10.3 乘法公式 习题 10.3 10.3 乘法公式 1. 利用平方差公式计算： ▣ 复习巩固 (1) (2xy＋8)(2xy－8)； (2) (9m－n)(9m＋n)； 解：原式＝(2xy)2－82＝ 4x2y2－64. 解：原式＝(9m)2－n2＝ 81m2－n2. 10.3 乘法公式 (3) (－2a＋5)(5＋2a)； (4) (3a＋b)(3a－b)。 解：原式＝(5－2a)(5＋2a)＝52－(2a)2＝25－4a2. 解：原式＝(3a)2－(b)2＝9a2－b2. 10.3 乘法公式 2. 利用完全平方公式计算： (1) (2m＋3)2； (2) (－3a＋2b)2； 解：原式＝(2m)2＋2×2m • 3＋32＝4m2＋12m＋9. 解：原式＝(－3a)2＋2×(－3a) • 2b＋(2b)2＝9a2－12ab＋4b2. 10.3 乘法公式 (3) (－2p－7q)2； 解：原式＝(2p＋7q)2 ＝ (2p)2＋2×2p • 7q＋(7q)2 ＝ 4p2＋28pq＋49q2. 10.3 乘法公式 (4) (x－y)2。 解：原式＝(x)2－2×x • y＋(y)2 ＝ x2－xy＋y2 10.3 乘法公式 3. 先化简，再求值：(x＋2y)2＋(x＋2y)(x－2y)，其中 x＝，y＝－ 。 解：原式＝ x2＋4xy＋4y2＋x2－4y2＝2x2＋4xy. 当 x＝，y＝－ 时， 原式＝2×()2＋4××(－)＝2×－＝－＝－. 10.3 乘法公式 4. 利用乘法公式计算： (1) 100.2×99.8； (2) 632。 解：原式＝(100＋0.2)×(100－0.2) ＝1002－0.22 ＝10 000－0.04 ＝9 999.96. 解：原式＝(60＋3)2 ＝602＋2×60×3＋32 ＝3 600＋360＋9 ＝3 969. 10.3 乘法公式 5. 计算： (1) (2x－y)2－4(x－y)(x＋2y)； 解：原式＝4x2－4xy＋y2－4(x2＋xy－2y2) ＝4x2－4xy＋y2－4x2－4xy＋8y2 ＝8xy＋9y2. 10.3 乘法公式 (2) 3(2－y)2－4(y＋5)2； (3) (m－2n－1)(m－2n＋1)； 解：原式＝3(4－4y＋y2)＋4(y2＋10y＋25) ＝12－12y＋3y2－4y2－40y－100 ＝－y2－52y－88. 解：原式＝[(m－2n)－1][(m－2n)＋1] ＝(m－2n)2－12 ＝m2－4mn＋4n2－1. 10.3 乘法公式 (4) (2x－3y－z)2。 解：原式＝[(2x－3y)－z]2 ＝(2x－3y)2－2(2x－3y)・z＋z2 ＝4x2－12xy＋9y2－4xz＋6yz＋z2. 10.3 乘法公式 ▣ 拓展延伸 6. 如图，某公园要在一块直径为 (a＋b)m 的圆形空地上，建两个直径分别为 am 与 bm 的圆形花坛，其余部分铺设草坪。求草坪的面积。 10.3 乘法公式 解：根据题意，得 π • ()2－π • ()2－π • ()2 ＝ π • [()2－()2－()2] ＝ π • (－－) ＝ π • ＝πab。 所以草坪的面积为 πab m2. 10.3 乘法公式 7.已知 a2＋b2＝5，ab＝2，求 (a＋b)2 和 (a－b)2 的值。 解：因为 a2＋b2＝5，ab＝2， 所以 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝ 5＋2×2＝9， (a－b)2＝a2－2ab＋b2 ＝5－2×2＝1. 10.3 乘法公式 ▣ 探索创新 8. 观察下列等式： 3＝2＋2＋3， 4＝3＋3＋4， 5＝4＋4＋5， 6＝5＋5＋6， ··· (1) 写出第 5 个等式； 解：72＝6＋62＋7. 10.3 乘法公式 (2) n 为正整数，用含有 n 的等式表示其中的规律。 解：规律：n2＝(n－1)＋(n－1)2＋n. 验证：(n－1)＋(n－1)2＋n ＝n－1＋n2－2n＋1＋n ＝n2，规律正确. 10.3 乘法公式 奇妙的“贾宪三角” “贾宪三角”是一个神奇的“三角形”，由我国北宋数学家贾宪(生卒年不详)首先创造(图10.3-5)。这个三角形有什么奇妙之处呢? 10.3 乘法公式 (1)三角形第 1 行有 1 个数，第 2 行有 2 个数······第 n 行有 n 个数。 (2) 从第一行开始，每行中的数字之和依次为： 20，21，22，22，24，··· 第 n 行中的数字之和是 2n－1。 (3) 每行中的数字呈左右对称，由1开始由小变大，然后由大变小，最后回到 1。 10.3 乘法公式 (4)三角形两腰上的数字都是“1”。除1之外，其余每个数字都是它“双肩”上的两个数字之和，如 2＝1＋1，10＝4＋6，35＝15＋20。 不仅如此，这个三角形第 n＋1 行中的数竟与 (a＋b)n (n 是正整数) 展开式各项的系数完全吻合。 10.3 乘法公式 例如，当 n 为 2，3 时， (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3。 展开式中各项的系数 1，2，1；1，3， 3，1 恰为三角形中第 3 行和第 4 行的数。 类似地， (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4. (a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5。 10.3 乘法公式 通过观察上述四式，我们还可以猜测 (a＋b)n 的展开式有以下特点：展开式的项数为 n＋1，每一项的次数都是 n，各项中 a 的指数由 n 逐项减少到 0，b 的指数由 0 逐项增加到 n。 (a＋b)n 展开式中项数、各项系数和次数的规律，将在高中学习二项式定理时，予以证实。 按照上面所说的规律，写出 (a＋b)7 的展开式。 (a＋b)7 ＝ a7＋7a6b＋21a5b2＋35a4b3＋35a3b4＋21a2b5＋7ab6＋b7. 10.3 乘法公式 $