专题02 简单事件的概率全章复习（期末复习讲义，9知识点+10题型）九年级数学上学期浙教版

该初中数学期末复习讲义通过表格系统梳理了“简单事件的概率”核心考点，将事件分类、概率计算、频率与概率等11个考点与复习目标、考情规律对应呈现，分层构建知识脉络，用易错点提示突出重难点内在联系，形成清晰知识框架。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导创新，如“列表法或树状图法求概率”题型结合电路图、密室通道等生活情境，培养推理意识与应用意识，基础通关练夯实概念，综合拓展练提升建模能力，助力不同层次学生发展，为教师精准教学提供系统支持。

专题02 简单事件的概率（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 事件的分类 能区分确定事件与随机事件，理解事件的三种类型（必然事件、不可能事件、随机事件） 基础考点，常以选择题形式出现，要求考生对事件本质理解清晰 判断事件发生的可能性的大小 能根据条件判断不同事件发生的可能性大小，并进行排序或比较 常与生活情境结合，考查学生的直观判断与逻辑推理能力 列举随机实验的所有可能结果 能完整、有序地列出随机试验的所有可能结果，做到不重不漏 高频考点，常与概率计算结合，考查学生的系统思维与表达能力 判断实验所得结果是否是等可能的 能根据试验设计判断结果是否等可能，为概率计算奠定基础 常作为概率题的前置判断，要求学生具备基本的逻辑分析能力 概率及其意义 能解释概率的意义，会用数值表示事件发生的可能性 基础概念题，常考查对概率本质的理解，易与频率混淆 频率与概率 能理解频率与概率的区别与联系，掌握用频率估计概率的方法 常以实验题或应用题形式出现，考查学生的数据处理与推理能力 列举所有机会均等的结果 能系统列出所有等可能结果，并计算指定事件的概率 中考必考计算题型，常以解答题形式出现，要求计算准确、过程清晰 事件的分类 能区分确定事件与随机事件，理解事件的三种类型（必然事件、不可能事件、随机事件） 基础考点，常以选择题形式出现，要求考生对事件本质理解清晰 判断事件发生的可能性的大小 能根据条件判断不同事件发生的可能性大小，并进行排序或比较 常与生活情境结合，考查学生的直观判断与逻辑推理能力 游戏的公平性 能根据概率计算判断游戏规则是否公平（即各方获胜的概率是否相等），并能修改或设计简单的公平游戏规则 常以解决题形式出现，要求先计算概率，再基于概率相等原则进行判断或设计，考查数学应用意识 概率的应用 能将摸球、抽奖、天气预测等实际问题抽象为概率模型，并用概率知识进行解释、计算或决策 综合应用题，背景多样，常与方程、统计等知识结合，考查建模能力与解决实际问题的能力 列表法和树状图法求概率 能针对两步或两步以上的复杂随机试验，熟练运用列表法或画树状图法，不重不漏地列出所有等可能结果，并准确计算指定事件的概率 中考必考核心技能，几乎每年都在解答题中出现，要求步骤清晰、列举有序、计算准确，是概率部分的得分关键点 知识点一、事件的类型 1、必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 2、不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 3、不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 易错点： （1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①  必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ②  不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0； ③  如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1 知识点二、概率 1.概率 一个事件发生的可能性就叫做该事件的概率，事件发生的概率，记为 2.概率的计算 一般地，如果在一次试验中，有 种可能的结果，并且它们发生的机会都相等，事件 包含其中的 种结果，那么事件 发生的概率 。当 为必然事件时， ；当 为不可能事件时， ． 3.事件发生的机会与概率的关系 事件发生的机会越大，它的概率越接近1:反之事件发生的机会越小，它的概率越接近0. 易错点： 1. 概率大，并不能说明事件一定发生;反之，概率小并不能说明事件一定不发生 2.同一事件，发生的概率和不发生的概率之和为1. 知识点三、用频率估计随机事件发生的机会的大小 在随机事件中，虽然其结果是随机的、无法预测的但随着试验次数的增加，隐含的规律逐渐显现，事件发生的频率会逐渐稳定到某一个数值附近，正因为随机现象发生的频率有这样趋于稳定的特点，所以我们就可以用频率估计随机事件在每次试验时发生的机会的大小 注意:(1)随着试验次数的增加，随机事件发生频率的图象呈现“先波澜起伏，后风平浪静”的趋势， (2)频率是通过试验得到的，可能取多个数值，具有随机性，所以只能近似地反映事件发生机会的大小 易错点： 每一个随机事件发生的频率在很多次试验之后才会稳定下来，所以把仅通过几次试验得到的频率作为某一随机事件发生的机会的稳定值是不恰当的. 知识点四、 概率的应用 几何图形中的概率 设某几何图形的面积为 ，其中事件 发生所在区域的面积为 ，由于对这个几何图形内的每个点，事件发生的机会是相等的，因此我们可以得到事件 发生的概率 ． 易错点： 当某区域内各个区域的面积都相等时，则面积类型可转化为个数类型来进行概率计算 知识点五、 用频率估计概率 1．频率 在相同的条件下，重复 次试验，事件 发生的次数 与试验总次数 的比值，即 称为事件 发生的频率． 2. 用频率估计概率 当试验次数很大时，事件发生的频率具有一定为稳定性，它会在某人数值附近摆动，并且试验次数越多，事件发生的频率越接近这个数值，所以通过大量重复试验可以用频率来估计概率 易错点： 1.试验得出的频率只是概率的估计值 2.对一个随机事件 ，用频率估计的概率不可能小于或等于0，也不可能大于或等于1. 3.概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生 3.频率与概率的关系 区别:频率是试验值或使用时的统计值，与试验人、试验时间、试验地点有关;概率是理论值，与其他外界因素无关 联系:试验次数越多，频率越趋向于概率 知识点六、 画树状图法 1.画树状图法求概率 画树状图法是用树状图的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的次数和方式，并求出概率的方法 2.画树状图法的应用 当一次试验要涉及3 个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法来求事件发生的概率,用树状图列举出的结果看起来一目了然，当事件要经过多个步骤(三步或三步以上)完成时，用画树状图法求事件的概率很有效。 易错点： 1.用画树状图法求事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性必须相等 2.当试验包含两步时，可用画树状图法，也可用其他方法当试验在三步或三步以上时用画树状图法比较方便 知识点七、 列表法 1.列表法 就是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的次数和方式，并求出概率的方法 2.适用条件 当一次试验涉及两个因素，(1)同时进行两种相同的操作;(2)先后进行两次相同的操作，即两步试验，并且可能出现的等可能结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，常采用列表法, 3．具体步骤 （1）选其中的一次操作（或一个条件）为横行，另一次操作（或另一个条件）为坚列，列出表格； （2）运用概率公式 计算概率。 易错点： 1.列表法适用于求两步试验的概率，利用表格的行和列分别表示出两次操作或两个条件， 2.列表法不适用于求三步及三步以上试验的概率 题型一 事件的分类 解｜题｜技｜巧 ☆理解确定事件（必然事件、不可能事件）与随机事件的定义，并能根据具体情境进行判断 ☆必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件（概率为1） ☆不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件（概率为0） ☆随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件（概率在0和1之间） ☆判断时，紧扣“条件”和“结果是否确定”，若结果唯一且确定则为确定事件，否则为随机事件 【典例1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）下列选项中的事件，属于必然事件的是（   ） A．任意掷一枚硬币，正面朝上 B．若、是实数．则 C．两数相乘，积为正数 D．运动员投篮时，连续两次投进篮筐 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件，根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、任意掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故A不符合题意； B、若a、b是实数．则，是必然事件，故B符合题意； C、两数相乘，积为正数，是随机事件，故C不符合题意； D、运动员投篮时，连续两次投进篮筐，是随机事件，故D不符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）赵州桥在中国桥梁史上占有举足轻重的地位，被誉为“天下第一桥”，它的图片出现在浙教版九年级上册数学课本第76页．翻开该课本，恰好翻到第76页，这个事件是（   ） A．必然事件 B．确定事件 C．不可能事件 D．随机事件 【答案】D 【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下，可能发生，可能不发生的事件为随机事件，进行判断即可． 【详解】解：翻开该课本，恰好翻到第76页，这个事件是随机事件， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．抛掷一枚硬币，正面向上 B．有一匹马奔跑的速度是70米/秒 C．射击运动员射击一次，命中10环 D．在标准大气压下，气温为时，冰能熔化为水 【答案】D 【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件、必然事件、不可能事件的特点是解题的关键． 根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、抛掷一枚硬币，正面向上，属于随机事件，故此选项不符合题意； B、有一匹马奔跑的速度是70米/秒，属于随机事件，故此选项不符合题意； C、射击运动员射击一次，命中10环，属于随机事件，故此选项不符合题意； D、在标准大气压下，气温为2℃时，冰能熔化为水，属于必然事件，故此选项符合题意． 故选：D ． 题型二 判断事件发生的可能性大小 解｜题｜技｜巧 ☆可能性大小可以用“一定”、“很可能”、“可能”、“不太可能”、“不可能”等词语描述，也可以通过比较概率数值来量化 ☆列出所有可能的结果，看目标结果占总数比例，比例越大，可能性越大 ☆若涉及数量比较（如口袋中不同颜色球的数量），数量多的被摸到的可能性大 ☆若概率可计算，直接计算概率值进行比较 【典例1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，投掷第5次硬币正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了可能性的大小，掌握可能性等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 根据硬币正面朝上，反面朝上的可能性相等即可解答． 【详解】解：投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上， ∵每一次投掷硬币都是一个独立事件，其结果不受前面投掷结果的影响， ∴投掷第5次硬币正面朝上、反面向上的可能性相同，即投掷第5次硬币正面朝上的概率是． 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在一个箱子里放有1个白球和2个红球，他们除颜色外其余都相同．给出下列说法：①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件；②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件；③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 【答案】A 【分析】本题考查了事件的分类和事件的可能性大小，正确的理解题意是解题的关键．由不可能事件与必然事件的定义即可判断①和②，由事件发生的可能性大小即可判断③． 【详解】解：①箱子中不含黑球，只含红球和白球，故从箱子里摸出一个球是黑球是不可能事件，故①正确； ②从箱子里摸出一个球，有两种可能，有可能是白球，也有可能是红球，则从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件，故②正确； ③在一个箱子里放有1个白球和2个红球，红球的个数多于白球的个数，则从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．故③正确； 综上可知，正确的是①②③． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·浙江温州·期末）下图转盘中红、蓝各占一半．雯雯和周周做“配紫色”游戏，每人转动两次，若指针所在区域是一红一蓝，则配成紫色（落在分界线上重转）．雯雯第一次转出了蓝色，当雯雯第二次转动转盘时，下列说法正确的是（   ）    A．一定转出红色 B．一定转出蓝色 C．转到红色比蓝色的可能性大 D．转出红色和蓝色的可能性一样大 【答案】D 【分析】本题待查了随机事件，熟练掌握事件可能性大小，是解题的关键． 根据转到红蓝的可能性一样大，逐一判断，即得． 【详解】A.可能转出红色，故A选项不正确； B.可能转出蓝色，故B选项不正确； C.转到红色不比蓝色的可能性大，故C选项不正确； D.转出红色和蓝色的可能性一样大，故D选项正确． 故选：D． 题型三 判断概率的大小关系 解｜题｜技｜巧 ☆概率是0到1之间的数，表示事件发生的可能性大小，概率越大，事件越可能发生 ☆对于等可能事件，概率 = 目标结果数 ÷ 所有等可能结果数 ☆比较概率大小时，可先分别计算概率，再比较数值 ☆注意：必然事件概率为1，不可能事件概率为0，随机事件概率在0和1之间 【典例1】（22-23九年级上·浙江杭州·期末）抛一枚均匀的骰子，下列事件中，发生可能性最大的是（　 　） A．点数是奇数 B．点数是3的倍数 C．点数大于5 D．点数小于5 【答案】D 【分析】分别计算各自概率后判断即可． 【详解】A．∵奇数有1，3，5共3个，∴点数是奇数的概率为； B．∵3的倍数的数有3，6，∴点数是3的倍数的概率为； C．∵点数大于5的数有6共1个，∴点数大于5的概率为； D．∵点数小于5的数有1，2，3，4共4个，∴点数小于5的概率为； ∵， ∴发生可能性最大的是点数小于5． 故选：D． 【点睛】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 【变式1】（21-22九年级上·浙江杭州·期末）下列说法正确的是（    ） A．可能性很小的事件不可能发生 B．可能性很大的事件必然发生 C．必然事件发生的概率1 D．不确定事件发生的概率为 【答案】C 【分析】事件的可能性主要看事件的类型，事件的类型决定了可能性及可能性的大小． 【详解】解：A、可能性很小的事件也可能发生，故本选项错误，不符合题意； B、可能性很大的事件不是必然事件，不一定发生，故本选项错误，不符合题意； C、必然事件发生的概率为1，故本选项正确，符合题意； D、不确定事件发生的概率是不确定的，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间． 【变式2】（20-21九年级上·浙江杭州·期末）任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的事件是（　　　） A．朝上一面的点数大于2 B．朝上一面的点数为3 C．朝上一面的点数是2的倍数 D．朝上一面的点数是3的倍数 【答案】A 【分析】分别利用概率公式计算每个选项的概率后比较即可得出答案． 【详解】解：选项A的概率 选项B的概率 选项C的概率 选项D的概率 由 故选：A 【点睛】本题考查概率公式的应用，解题的关键是能准确找出所求情况数与总情况数． 题型四 概率公式计算概率 解｜题｜技｜巧 ☆掌握古典概型的概率公式：P(A) = 事件A包含的等可能结果数 ÷ 所有等可能结果数 ☆确保每个结果发生的可能性相等（等可能） ☆准确计数：用列举法（列表、树状图等）做到不重不漏 ☆若事件A包含多个结果，将这些结果数相加 ☆结果通常用分数、小数或百分数表示 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明随机选择其中一种营养套餐，则他恰好选到A营养套餐的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查概率公式，直接利用概率公式求解． 【详解】解：∵ 总共有4种套餐，小明随机选择一种， ∴ 总可能数为4， ∵ 选到A套餐的有利数为1， ∴ 概率为． 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·浙江·期中）从甲、乙、丙、丁四人中任选一人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查概率公式，从甲、乙、丙、丁四人中任选一人，总可能结果数为4，甲被选中的可能结果数为1，因此概率为． 【详解】解：∵总人数为4， ∴总可能结果数为4， ∵甲被选中只有1种情况， ∴甲被选中的概率是． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明的布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．从中任意摸出1个球是红球的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是概率公式，熟知随机事件的概率 事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数是解题的关键．根据概率公式，事件发生的概率等于事件发生的情况数除以所有可能的情况数． 【详解】解：从中任意摸出1个球共有4种等可能结果，其中是红球的有3种结果， 所以从中任意摸出1个球是红球的概率为， 故答案为：． 题型五 列表法或树状图法求概率 解｜题｜技｜巧 ☆对于两步或两步以上的随机试验，用列表法或树状图法可以系统列出所有等可能结果 ☆列表法：适用于两步试验，且每一步的结果数有限。将第一步结果列于横行，第二步结果列于竖列，表格中间是所有可能结果 ☆树状图法：适用于多步试验。从根部开始，每一步分叉表示该步的所有可能结果，直到最后一步，每条路径表示一个可能结果 ☆列举时注意顺序，确保不重不漏 ☆数出事件A包含的路径数，除以总路径数，即得概率 【典例1】（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了古典概率的基本计算，先分析电路通路条件，再列举出所有等可能结果，找出满足条件的结果，最后计算概率即可． 【详解】解：列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的有：，，，，共4种， ∴小灯泡发光的概率是． 故答案为：． 【典例2】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图是某“密室逃脱俱乐部”的通路俯视图，小明进入入口后，任选一条通道． (1)他进A密室或B密室的可能性哪个大？请说明理由（利用树状图或列表来求解）； (2)求小明从中间通道进入A密室的概率． 【答案】(1)进入密室的可能性较大；理由见解析； (2)从中间通道进入密室的概率为． 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．。 （1）可以采用树状图法求解，一共有6种情况，其中进入密室的有2种可能，进入B密室的有4种可能，所以进入密室的可能性较大； （2）根据（1）中的树形图即可求出小明从中间通道进入密室的概率． 【详解】（1）解：画出树状图得： 由图可知，小明进入密室后一共有6种不同的可能路线， 因为小明是任选一条道路， 所以走各种路线的可能性认为是相等的，而其中进入密室的有2种可能，进入密室的有4种可能， 所以进入密室的可能性较大； （2）由（1）可知小明进入密室的通道分别是中入口和右入口， 因此从中间通道进入密室的概率为． 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片． A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪 (1)取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为________． (2)若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查概率公式求概率，列表法或树状图法求概率； （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表得出共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪，搅匀后从中任意取出一张卡片， ∴取出的卡片图案为“B．蛤蟆精”的概率为； 故答案为：． （2）列表如下： 共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，即、， ∴选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的概率为． 【变式2】（25-26九年级上·月考）某校为了落实“五育并举”的教育举措，课后开设了围棋、航模、书法、阅读、画画五个兴趣小组，学生可以任选一个兴趣小组参加，小明和小阳决定通过抽签的方式选择．抽签规则：将五个兴趣小组的名称分别写在五张完全相同且不透明的卡片正面，并把五张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机抽取一张卡片，记下名称后放回，小阳再随机抽取一张，记下名称． (1)小明选择围棋兴趣小组的概率是 ； (2)围棋、航模、书法的活动教室都在三楼，阅读、画画的活动教室在二楼，请用画树状图或列表法求出小明、小阳选择的兴趣小组不在同一楼层的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是树状图法以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小明、小阳选择的兴趣小组不在同一楼层的结果有12种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵开设了围棋、航模、书法、阅读、画画五个兴趣小组， ∴小明选择围棋兴趣小组的概率是， 故答案为：； （2）解：把围棋、航模、书法、阅读、画画五个兴趣小组分别记为A、B、C、D、E， 画树状图如下： 共有25种等可能的结果，其中小明、小阳选择的兴趣小组不在同一楼层的结果有12种， ∴小明、小阳选择的兴趣小组不在同一楼层的概率为． 【变式3】（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）第十五届全运会开幕式上，吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”以活泼可爱的形象亮相，成为全场焦点，如图，现有三张正面分别印有“喜洋洋”、“乐融融”和“全运会会徽”图案的不透明卡片A、B、C，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片正面向下洗匀． (1)小明从中随机抽取一张，求小明抽中“喜洋洋”卡片的概率； (2)小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张，用画树状图（或列表）的方法，求小明抽出的两张卡片图案不同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：∵小明从中随机抽取一张，有三张卡片， ∴小明抽中“喜洋洋”卡片的概率； （2）解：列表如下： ∴共有9种可能结果，其中小明抽出的两张卡片图案不同的有6种， ∴小明抽出的两张卡片图案不同的概率为． 题型六 已知概率求数量 解｜题｜技｜巧 ☆利用概率公式反推某个结果的数量。设未知数，根据概率等式列方程求解 ☆设未知数量为x ☆根据题意，写出目标结果数和所有可能结果数（用含x的式子表示） ☆根据概率公式建立方程：目标结果数 ÷ 所有可能结果数 = 已知概率 ☆解方程，检验解是否符合实际（如数量为非负整数） 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（   ） A．五位 B．四位 C．三位 D．二位 【答案】B 【分析】本题考查了概率．概率计算基于总可能结果数，每位有10种选择，位密码总可能数为 一次拨对密码的概率为，需满足，即． 【详解】解：∵每个数位上的数都是从0到9的自然数．要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于， 则，， ∴密码位数至少需要4位． 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·月考）不透明的袋子里装有4个红球和n个白球，这些球除颜色外无其他差异，从袋子里取出一个球是白球的概率是，则n的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了概率公式和解分式方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据概率公式列方程计算即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 故答案为：6． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明布袋里共装有3个球，其中1个红球，2个白球．它们的形状大小完全相同，只有颜色不同．从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球． (1)请用树状图或列表的方法，求摸出的2个球都是白球的概率． (2)若往布袋里再放入一些红球，使每一次摸到白球的概率为，则应该再放入______个红球． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了概率的计算，已知概率求数量，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键． （1）根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可； （2）先求出放入红球后，布袋里的球的数量，再减去原来的球的数量即可得出答案． 【详解】（1）解：设1个红球为，2个白球分别为， 列表如下： 由表格可得，共有9种等可能的结果，其中摸出的2个球都是白球的情况有4种， 摸出的2个球都是白球的概率． 答：摸出的2个球都是白球的概率为； （2）解：∵每一次摸到白球的概率为， ∴放入红球后，布袋里的球的数量为（个）， ∴应该再放入红球的数量为（个）， 故答案为：7． 题型七 几何概率 解｜题｜技｜巧 ☆当试验结果可以表示为区域（长度、面积、体积）时，概率用目标区域的度量与总区域的度量之比来计算 ☆确定总区域（如线段长度、平面图形面积）和目标区域 ☆计算总区域的度量和目标区域的度量（注意单位统一） ☆几何概率 = 目标区域的度量 ÷ 总区域的度量 ☆常见题型：转盘问题、投针问题、在图形内随机取点问题 【典例1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，点E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查矩形的判定和性质，概率计算公式，从图中找到题目中所要求的信息．用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比． 将图形分为矩形和矩形两部分，可得三角形是矩形面积的一半，三角形是矩形面积的一半，从而可得飞镖落在阴影部分的概率． 【详解】解：∵分别是矩形的两边上的点，， ∴， ∴四边形和四边形是矩形， ∴， ∴， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，正方形内接于，在这个圆面上随意抛一粒豆子豆子大小忽略不计，若豆子落在正方形内的概率记为，豆子落在图中阴影部分内的概率记为，则 填“>”“<”或“=” 【答案】< 【分析】本题考查了几何的概率，圆与正方形面积的计算，掌握概率等于目标区域面积与总区域面积之比是解题的关键．通过计算正方形的面积和圆的面积，进而求出豆子落在正方形和阴影部分的概率，最后比较这两个概率的大小． 【详解】解：设的半径为，则， ，， ， ， 故答案为：<． 【变式2】（25-26九年级上·浙江宁波·月考）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为了广大人民生活中不可或缺的一部分，如图是一个面积为的正方形二维码，为了估计黑色阴影部分的面积，小明在二维码内随机掷点，经过大量重复试验，统计数据如下表： 掷点次数 10 100 200 400 500 落在黑色阴影部分次数 5 59 121 241 301 则可估计二维码中黑色阴影部分的面积为 （结果精确到0.1） 【答案】3.6 【分析】本题考查了频率估计概率，由，即可求解；理解频率与概率之间的关系，掌握解法是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，，，，， ∴实验概率约为， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，是一个均匀的圆形转盘，阴影部分扇形圆心角为． (1)转动转盘1次，求指针落在阴影部分（边界宽度忽略不计）的概率； (2)转动转盘2次，求两次指针都落在阴影部分（边界宽度忽略不计）的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率公式，列表法或树状图求两步事件概率问题，将非阴影区域分成两等份，保证是等可能事件是解答（2）题的关键． （1）理解题意，运用概率公式列式化简，即可作答． （2）先将非阴影区域分成两等份，然后根据画树状图得出所有等可能的结果与指针都落在阴影区域的情况，再利用概率公式即可求解． 【详解】（1）解：依题意，阴影部分扇形圆心角为 ∴转动转盘1次，求指针落在阴影部分（边界宽度忽略不计）的概率； （2）解：如图，将非阴影区域分成两等份，设三份区域分别为其中C为阴影区域， 依题意，画树状图如下， 由表可知，共有9种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中两次指针都落在阴影区域的有1种， ∴两次指针都落在阴影区域的概率为． 题型八 用频率估计概率 解｜题｜技｜巧 ☆在大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在概率附近，因此可以用频率来估计概率 ☆进行大量重复试验（次数越多，估计越精确），记录事件发生的次数 ◎计算频率：频率 = 事件发生次数 ÷ 总试验次数 ◎用频率作为概率的估计值 ☆注意：频率是试验值，可能有波动；概率是理论值，是固定的 【典例1】（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1，有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，将不规则图案放在边长为2cm的正方形内部．通过计算机随机投放一个点到正方形内部，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据．据此估计点落在不规则图案上的概率约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率，正确理解折线统计图的含义是解题的关键． 根据折线统计图可知，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，根据概率的定义进行解答即可． 【详解】解：根据折线统计图可知，随着实验次数的增加，频率稳定于左右，根据概率的定义，当试验次数足够大时，频率趋近于概率， 因此可估计点落在不规则图案上的概率约为， 故选：C． 【典例2】（25-26九年级上·福建三明·期中）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下表（表中频率精确到0.01）：根据频率的稳定性，则这名运动员“射中9环以上”的概率估计值（结果保留小数点后一位）为（   ） 射击次数 20 40 100 200 400 1000 “射中9环以上”的次数 15 31 83 157 322 801 “射中9环以上”的频率 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据频率估计概率，根据频率稳定性原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在概率附近，观察表中数据，随着射击次数增加，频率逐渐稳定在0.8左右，即可得出答案． 【详解】解：∵射击次数为400和1000时，频率均为，且频率在多次试验中趋于稳定， ∴这名运动员“射中9环以上”的概率估计值为． 故选：C． 【典例3】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）在同样条件下对某种水稻种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数（粒） 1000 2000 3000 4000 5000 发芽频数 953 1896 2856 3804 4750 发芽频率 0.953 0.948 0.952 0.951 0.950 根据频率的稳定性，估计该稻种的发芽概率约为 ．（精确到0.01） 【答案】0.95 【分析】本题考查利用频率估算概率，根据表格数据，利用频率估算概率即可． 【详解】从频数表可知，发芽频率分别为0.953，0.948，0.952，0.951，0.950，这些值稳定在0.95附近，根据频率的稳定性，大量重复试验时频率接近概率，故该稻种的发芽概率约为0.95． 故答案为：0.95． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1，有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟实验，将不规则图案放在边长为的正方形内部．通过计算机随机投放一个点到正方形内部，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据． 由此可估计不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据正方形的性质求面积，由频率估计概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 用随机点估计不规则图形面积的方法，基于比例关系求解． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·北京·期中）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C．从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D．同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，概率计算公式，用树状图法计算概率，掌握相关知识是解决问题的关键．大量反复试验下频率稳定值即概率．先由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，所以估计该事件发生的概率为，再分别计算四个选项中事件发生的概率即可求解． 【详解】解：由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，所以估计该事件发生的概率为， A、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，故不符合题意； B、掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2的概率为，故不符合题意； C、从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃的概率为，故符合题意； D、同时掷两枚质地均匀的硬币， 共有四种等可能性的结果，其中一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有两种，则一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率为，故不符合题意． 故选：C． 【变式3】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图是小华用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，若再次抛掷一枚图钉，则可以估计“钉尖向上”的概率是 ．（精确到0.001） 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率．当试验次数足够大，频率趋于稳定，此时可以频率来表示概率．用频率估计概率作答即可． 【详解】解：由题意知，估计“钉尖向上”的概率是， 故答案为：． 题型九 游戏的公平性 解｜题｜技｜巧 ☆游戏是否公平，取决于各参与方获胜的概率是否相等。若概率相等，则公平；否则不公平 ☆计算游戏中各参与方获胜的概率 ☆比较概率：若概率相等，则游戏公平；若不等，则不公平 ☆若要求修改规则使游戏公平，可调整规则使各方获胜概率相等（例如，增加或减少某种卡片数量） 【典例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在一个不透明的小口布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 【答案】(1)图见解析，，，，，，，，，，，， (2)公平，理由见解析 【分析】本题考查列表或画树状图法求概率，概率的计算． （1）画树状图列出所有等可能的结果，根据x，y对应的值写出坐标即可； （2）根据概率公式计算出小明、小红获胜的概率，即可求解． 【详解】（1）解：画树状图为：    共12种等可能的结果， 点M可能的坐标为：，，，，，，，，，，，． （2）解：点M的坐标为，，，，，时，x、y若满足， 小明胜的概率为：，小红胜的概率为：， 这个游戏公平． 【变式1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）有4张形状、大小相同的纸牌，它们分别标有数字1、2、3、4，把它们背面朝上，记下数字，然后放回 (1)用列表或画树状图的方法计算两次摸出的纸牌上数字之和为6的概率； (2)甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜，则乙胜．这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)公平，见解析． 【分析】（1）列表表示两次摸到纸牌上数字之和为6的所有情况，再根据概率公式计算即可得到答案； （2）分别计算纸牌上数字之和为奇数和偶数的概率，进行比较即可得到游戏是否公平，即可作答． 此题考查列表法或列树状图的方法求事件的概率，正确理解题中的事件是放回或是不放回事件是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，列表如下 和 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 共有16种等可能的情况，其中两次摸到纸牌上数字之和为6的等可能的情况有三种， ∴（和为6）； （2）解：游戏公平，理由如下： 由（1）得两次摸到纸牌上数字之和为奇数的等可能的情况有8种，两次摸到纸牌上数字之和为偶数的等可能的情况有8种， ∴（和为奇数），（和为偶数）， ∴游戏公平． 【变式2】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）游戏者用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．让两个转盘分别自由转动一次． (1)求两次数字之和为4的概率； (2)若两次数字之积大于2，则游戏者获胜，请求出游戏者获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是树状图法求概率，注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中两次数字之和为4的结果有2种，再由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中两次数字之积大于2的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中两次数字之和为4的结果有2种， 两次数字之和为4的概率为； （2）解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中两次数字之积大于2的结果有3种， 游戏者获胜的概率为． 题型十 概率的应用 解｜题｜技｜巧 ☆将现实生活中的问题转化为概率模型，用概率知识进行预测、决策或评估 ☆仔细阅读问题，抽象出随机试验、事件和目标 ☆确定概率模型（古典概型、几何概型等），计算相关概率 ☆根据概率结果对实际问题进行解释或提出建议（如选择哪种方案更合理） 【典例1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）某条笔直的路上有12盏路灯，为了节约用电，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭，则不同的关灯方案种数为 ． 【答案】126 【分析】此题考查了排列组合的实际应用，理解题意，转化思路是解题的关键． 根据题意转化为有盏路灯，将4盏路灯放到8盏路灯之间，得到共有9个位置，进而求解即可． 【详解】解：∵路上有12盏路灯，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭， ∴可以理解为有盏路灯，将4盏路灯放到8盏路灯之间 ∴共有9个位置 ∴（盏）． ∴不同的关灯方案种数为126盏． 故答案为：126． 【典例2】（19-20九年级上·浙江台州·期末）某水果公司以2．2元/千克的成本价购进苹果．公司想知道苹果的损坏率，从所有苹果中随机抽取若干进行统计，部分数据如下： 苹果损坏的频率 0.106 0.097 0.102 0.098 0.099 0.101 估计这批苹果损坏的概率为 精确到0.1），据此，若公司希望这批苹果能获得利润23000元，则销售时（去掉损坏的苹果）售价应至少定为 元/千克． 【答案】 0.1 5 【分析】根据利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.1左右，由此可估计苹果的损坏概率为0.1；根据概率计算出完好苹果的质量为10000×0.9=9000千克，设每千克苹果的销售价为x元，然后根据“售价=进价+利润”列方程解答． 【详解】解：根据表中的损坏的频率，当实验次数的增多时，苹果损坏的频率越来越稳定在0.1左右， 所以苹果的损坏概率为0.1． 根据估计的概率可以知道，在10000千克苹果中完好苹果的质量为10000×0.9=9000千克． 设每千克苹果的销售价为x元，则应有9000x=2.2×10000+23000， 解得x=5． 答：出售苹果时每千克大约定价为5元可获利润23000元． 故答案为：0.1，5． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．得到售价的等量关系是解决（2）的关键． 【变式1】从，，，，，这个数中任意选一个数作为的值，则使关于的方程的解是负数，且关于的一次函数的图象不经过第一象限的概率为 ． 【答案】． 【分析】先求出分式方程的解，再根据解为负数求出此时m的取值范围，再根据一次函数图像不经过第一象限求出m的取值范围，最终确定m可以选取的数值，最后计算概率． 【详解】解分式方程得： 方程的解为负数， 且， 解得：且， 一次函数图象不经过第一象限， ， 且， 在，，，，，这个数中符合且的有，这个数， 使分式方程的解为负数且一次函数图象不经过第一象限的概率为 故答案为：． 【点睛】本题考查概率公式，分式方程的解，一次函数图象与系数的关系等知识点，综合性较强。注意求分式方程的解时分母不能为零． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）某密码锁由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的两个不同数字组成． (1)共有多少种可能密码？ (2)小明随机输入一次，解锁成功的概率是多少？ (3)若他尝试随机输入100次仍未成功，是否说明这把锁的密码根本不存在？说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不是．理由见解析 【分析】本题主要考查了概率的计算，正确理解题意求出概率是解题的关键． (1) 根据每个数位上的数字的可能取值计算出所有可能出现的结果； (2)用输入一次除以所有可能出现的结果数即可； (3)用概率解释． 【详解】（1）解：这密码锁由两个不同数字组成，每个数位上的数字的可能性分别是10种、9种， 密码的可能性有：（种）； （2）； （3）不是． 理由：每次尝试解锁是独立的随机事件，且成功概率较小，只有，随机尝试100次仍未成功在概率上是可能的，他可能多次尝试了相同的错误密码，未覆盖到正确的密码． 【变式3】（2023·浙江宁波·模拟预测）为鼓励学生积极加入中因共青团组织，某学校团委在八、九年级各抽取50名学生开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分．竞赛成绩如图所示： 平均数 众数 中位数 方差 八年级 8 7 九年级 8 8 (1)请根据图表中的信息，回答下列问题． ①表中的______，______，______； ②现要给成绩突出的年级颁奖，如果从方差的角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？ (2)若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，请通过计算说明哪个年级的获奖率高？ 【答案】(1)①8；8；；②给九年级颁奖，分析见解析 (2)九年级的获奖率高，计算过程见解析 【分析】本题主要考查了中位数、众数、方差以及加权平均数，掌握各个概念和计算方法是解题的关键． （1）①根据中位数、众数和方差的定义即可解答；②根据两个年级众数和方差解答即可； （2）先根据概率列式计算，然后再比较即可解答． 【详解】（1）解：①九年级竞赛成绩中8分出现的次数最多，故众数分； 八年级竞赛成绩中第25、26位的分数都是8分，故中位数分； 九年级竞赛成绩的方差为： ， 故； 故答案为：8；8；； ②如果从方差角度看，八年级的方差为，九年级的方差为，又因为两个年级的平均数相同，九年级的成绩的波动小，所以应该给九年级颁奖， 故如果方差角度来分析，应该给九年级颁奖； （2）解：八年级的获奖率为：， 九年级的获奖率为：， ， 九年级的获奖率高． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）下列事件中，属于不可能事件的是（   ） A．任意选择某一电视频道，它正播放动画片 B．任意掷一枚硬币，正面朝上 C．射击运动员射击一次，命中10环 D．在只装有红球的袋子里摸出一个黑球 【答案】D 【分析】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件的定义，正确掌握相关定义是解题关键． 根据不可能事件的定义（在一定条件下一定不会发生的事件），分析各选项是否可能发生． 【详解】解：不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件． A选项：任意选择电视频道可能播放动画片，是随机事件； B选项：任意掷一枚硬币可能正面朝上，是随机事件； C选项：射击运动员射击一次可能命中10环，是随机事件； D选项：只装有红球的袋子不可能摸出黑球，是不可能事件． 故选：D． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，现从袋子中先后摸出两个球（不放回），则两个球颜色不同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用画树状图与列表的方法求解随机事件的概率，根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小． 【详解】解：画树状图如图： 共有20种等可能的结果，而摸到的2个球颜色不相同的情况有12种，所以其概率为． 故选：C． 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）为组建学校秋季田径运动会开幕式彩旗队，九（1）班决定从符合身高条件的3名男生和2名女生中随机抽调两名学生进入彩旗队．则恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用列表法求概率，解题的关键是通过列表列出所有抽取两名学生的可能情况，再找出恰好抽到一男一女的情况数，进而计算概率； 先给学生编号，用列表法枚举所有抽取情况，统计总情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算． 【详解】解：将3名男生记为A、B、名女生记为D、E，列出所有抽取两名学生的所有情况： A B C D E A —— B      —— C           —— D                —— E                     —— 共(种)情况； 其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有：共(种)； 则概率为． 故选：B． 4．（25-26九年级上·浙江温州·期中）某袋子中有黑球8个，白球若干个，这些球除颜色外其余都相同，若摸到白球的概率为0.2，则袋中白球的个数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了概率的计算公式，根据概率公式构建方程求解即可． 【详解】解：设袋中白球的个数为x，则总球数为，根据题意得方程： ， 解得： 故袋中白球的个数是2， 故答案为：2． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答问题： 试验总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000 投中的次数 61 93 165 246 753 996 1503 投中的频率 根据表中的数据，估计这位同学投篮一次，投中的概率为 保留一位小数 【答案】 【分析】本题考查用频率估计概率，熟练掌握利用频率估算概率是解题的关键；随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在某个常数附近，这个常数即为概率的估计值，然后问题可求解． 【详解】解：由表中数据可知，当试验次数较小时，投中频率波动较大；但随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.50附近（如1500次时频率为0.502，2000次时为0.498，3000次时为0.501）； 因此，估计投中的概率为0.5（保留一位小数）； 故答案为：0.5． 6．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则二次函数与x轴有两个不同交点的概率为 ． 【答案】 【分析】二次函数与轴有两个不同交点的条件是判别式大于零，即，从1、2、3、4中随机选取两个不同的数作为和，考虑顺序，总共有12种可能结果，找出满足条件的有序对，计算概率即可． 本题主要考查了简单概率的计算，二次函数与轴的交点问题，熟练掌握“二次函数与轴有两个不同交点的条件是判别式大于零”是解题的关键． 【详解】解：由于选取顺序不同，和的有序对共有、、、、、、、、、、、共12种； 二次函数与轴有两个不同交点的条件是判别式， 即， 解得， 满足的有序对有、、、共4种， 则二次函数与轴有两个不同交点的概率为； 故答案为：． 7．（25-26九年级上·浙江金华·期中）哥德巴赫猜想提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．数学兴趣小组准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7． (1)小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为． (2)小组成员从中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法求出这2张卡片上的数字之和是偶数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了随机事件的概率，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，利用列表法或树状图法列出所有等可能的结果是解题的关键． （1）利用概率公式计算概率即可； （2）根据题意画出树状图，列出所有等可能的结果及所求的结果，然后利用概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：解：根据题意：小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为， 故答案为：； （2）解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中和是偶数的结果共有6种， ∴这2张卡片上的数字之和是偶数的概率为． 8．（25-26九年级上·浙江·月考）某校音乐兴趣小组组建了一支舞蹈队，现需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一名男生和一名女生．（温馨提示：用、、、分别表示甲、乙两班推荐的名学生） (1)请用列举的方法写出所有可能出现的结果； (2)若要求选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取．请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率． 【答案】(1)（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，） (2) 【分析】本题考查概率的计算，掌握列举法、树状图和列表法是解题关键． （1）从名学生中选取人，用列举法列出所有可能的组合结果； （2）先通过列表法列出“甲班选人、乙班选人”的所有等可能结果，再统计其中“一男一女”的结果数，最后用“符合条件的结果数总结果数”计算概率． 【详解】（1）解：根据题意，从名学生、，、中选取人，所有可能的结果有： （，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）． （2）解：列表法表示所有可能出现的结果如下： 共有种等可能的情况，其中恰好选中“一男一女”的情况有种， 故恰好选中“一男一女”的概率为． 答：． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）将分别标有“金”、“明”、“中”、“学”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查画树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画树状图法或列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的结果有2种， ∴两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的概率是． 故选：B． 2．（2025九年级上·浙江·专题练习）从四个数中随机选取两个不同的数，分别记为，则关于的一元二次方程有一正一负两个实数解的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，概率，由题意可得，从中随机选取两个不同的数作为和，所有可能的有序组合共有种，由方程的解一正一负可得，又由可知时，方程始终有一正一负两个实数解，再求出满足条件的情况即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：从中随机选取两个不同的数作为和，所有可能的有序组合共有种， 当方程的解一正一负时，， ∴， ∵， ∴时，，方程始终有一正一负两个实数解， ∴或， 当时，可取，有种； 当时，可取，有种； ∴ 满足条件的情况共种， ∴一正一负两个实数解的概率为， 故选：． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）从长度为3，5，7，m（其中m为整数）的四条线段中任取三条，使它们首尾顺次相接能组成三角形的概率为，则m的值应为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了概率公式和三角形三边关系，根据三角形三边关系正确列出不等式是解题的关键． 根据题意可得满足条件任取三条能组成三角形的情况只有种，再根据三角形三边关系进行逐一判断即可． 【详解】解：∵四条线段任取三条所有的情况为4种， ∴当能组成三角形的概率为时， ∴满足条件任取三条能组成三角形的情况为种， ∴有①；②；③；④， ∵， ∴能组成三角形，①能组成三角形； A、当时，对于②有， ∴②能组成三角形， 对于③，， ∴③不能组成三角形， 对于④，， ∴④能组成三角形， ∵满足条件任取三条能组成三角形的情况只有种， ∴A选项符合题意； B、当时，对于②有， ∴②能组成三角形， 对于③，， ∴③能组成三角形， 对于④，， ∴④能组成三角形， ∴B选项不符合题意； C、当时，对于②有， ∴②能组成三角形， 对于③，， ∴③能组成三角形， 对于④，， ∴④能组成三角形， ∴C选项不符合题意； D、当时，对于②有， ∴②能组成三角形， 对于③，， ∴③能组成三角形， 对于④，， ∴④能组成三角形， ∴D选项不符合题意． 故选：A． 4．（浙江杭州·二模）一张圆桌旁有四个座位，先坐在如图所示的座位上，，，三人随机坐到其他三个座位上，则与不相邻而坐的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率，正确列举出所有情况是解题的关键． 先列举出所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：由于A的位置已经确定，B、C、D随机而坐的情况共有6种（如图所示）：6种情况出现的可能性相同．其中A与B不相邻而坐的情况共有2种，所以所求概率是： ． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，3，5的卡片在甲手中，标有数字2，4，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙出的卡片数字大的概率是 ． 【答案】 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲出的卡片数字比乙的卡片数字大的结果数有3种， ∴甲出的卡片数字比乙大的概率是． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·自主招生）有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，则至少有两名同学拿对了书包的概率是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查列举法求概率，理解题意，得出所有的情况数及符合条件的情况数是解题关键． 根据题意列出所有的情况数及符合题意的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：设4名同学分别为A、B、C、D，书包依次对应a、b、c、d，随机拿书包的总情况数为：， ， ， ，共有24种， 恰好两名拿对：共有6种情况， 不存在恰好有三名同学拿对书包的情况， 恰好有四名同学拿对书包的情况有1种， ∴符合条件的情况数为种， 概率为， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·浙江·期末）现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，石家庄某兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整），请根据图中信息，解答下列问题： 步数 频数 频率 8 15 12 3 (1)写出的值并补全频数分布直方图； (2)本市约有36200名教师，用调查的样本数据估计日行步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？ (3)若在50名被调查的教师中，选取日行步数超过16000步（包含16000步的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率． 【答案】(1)，，，图见解析 (2)估计日行步数超过12000步（包含12000步）的教师有10860名 (3) 【分析】本题考查了频率分布直方图，用到的知识点是频率频数总数，用样本估计整体让整体样本的百分比，读懂统计表，运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题是本题的关键． （1）根据频率频数总数可得答案，画出小长方形补全频数分布图即可； （2）用样本中超过12000步（包含12000步）的频率之和乘以总人数可得答案； （3）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得． 【详解】（1）解：，，， 补全频数分布直方图如下： ； （2）解：； 答：估计日行步数超过12000步（包含12000步）的教师有10860名． （3）解：设的3名教师分别为、、，的2名教师分别为、，画树状图如下： 由树状图可知，被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率为：． 8．（25-26九年级上·浙江·月考）第八届养正教育集团学科文化节即将举行，特设立了抽奖环节．设有四张除正面图案不同外，其余都相同的卡片，正面印有“诚、毅、勤、朴”图案．卡片背面朝上洗匀，放置在桌面上． (1)若小正同学随机翻开一张，求抽到“诚”图案的概率． (2)这四张卡片分别对应价值为40元，35元，30元，25元的4件奖品，若小景同学连续抽取两张卡片（不放回），请通过列表或树状图分析两次抽取奖品总值不低于65元的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率的基本计算方法，解决本题的关键是通过列举所有可能的情况来求解概率． （1）直接计算单一事件的概率即可． （2）列出所有可能的抽取组合，然后找出符合条件的组合，再计算概率． 【详解】（1）解：总共有4张卡片，分别是“诚”、“毅”、“勤”、“朴”． 抽到“诚”图案的情况只有1种， 因此，抽到“诚”图案的概率为：． （2）解：四张卡片标上对应的价值：“诚”40元，“毅”35元，“勤”30元，“朴”25元． 用列表法来分析所有可能的抽取组合（不放回抽取）： 第一次抽取 第二次抽取 总值（元） 诚 (40) 毅 (35) 75 诚 (40) 勤 (30) 70 诚 (40) 朴 (25) 65 毅 (35) 诚 (40) 75 毅 (35) 勤 (30) 65 毅 (35) 朴 (25) 60 勤 (30) 诚 (40) 70 勤 (30) 毅 (35) 65 勤 (30) 朴 (25) 55 朴 (25) 诚 (40) 65 朴 (25) 毅 (35) 60 朴 (25) 勤 (30) 55 总共有12种可能的抽取组合． 找出总值不低于65元的组合：（诚，毅）、（诚，勤）、（诚，朴）、（毅，诚）、（毅，勤）、（勤，诚）、（勤，毅）、（朴，诚），共8种． 因此，两次抽取奖品总值不低于65元的概率为：． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）从长度为3、5、7、8的四条线段中任意选三条组成三角形，其中能组成含有角的三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从4条线段中任选3条，共4种组合，但只有3种能组成三角形，对于每种三角形，利用三角函数和勾股定理验证是否可能含有角，最后用能组成含有角的三角形的情况数量除以4即可； 【详解】解：∵从4条线段中任选3条，有4种组合：；；；， 其中中，不能组成三角形， ∴能组成三角形的有3种：、、， 对于，过点作的垂线交于点， ∵， ∴只有，则， ∴， ∴， 与矛盾， ∴不能组成含有角的三角形； 对于，过点作的垂线交于点， ∵， ∴只有，则， ∴， ∴， ∴能组成含有角的三角形； 对于，过点作的垂线交于点， ∵， ∴只有，则， ∴， ∴， ∴能组成含有角的三角形； ∴能组成含有角的三角形有2种， ∴所求概率为； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、三角函数、勾股定理、概率等知识，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 2．（2024九年级·全国·竞赛）有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，现将这枚骰子先后抛掷两次，记下抛掷后朝上的面上的点数，第一次记下的点数为，第二次记下的点数为，则关于的二元一次方程组只有非负解的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程，列举法求概率．熟练掌握加减消元法解二元一次方程，列举法求概率是解题的关键． 解，可得，当时，方程组无解；当时，，，由题意知，，，当时，，，解得，，，， 则当时，；当时，；当时，；当时，，，解得，，，，当时，；然后求概率即可． 【详解】解：， 得，， 当时，方程组无解； 当时，， 将代入①得，， ∵二元一次方程组只有非负解， ∴，， 当时，，， 解得，，，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，，， 解得，，，， 当时，； 综上，共有种等可能的结果，其中只有非负解有种等可能的结果， ∴只有非负解的概率为， 故选：D． 3．（2023·浙江·模拟预测）现有三个正方体形的公正骰子，每个骰子的六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6．投掷这三个骰子，则其中两个骰子的点数之和恰好等于余下的一个骰子的点数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得总的可能情形，根据题意得出有9种可能，按照不同方式可得共有45种符合题意的情形，进而根据概率公式，即可求解． 【详解】解：根据树状图法可得第一个数字有6种情形，第二个数字可以选6个数字，第三个数字也可以选6个数字，故总可能结果有种可能 依题意，，，共有9种可能，每种有6种排列方式， 其中，，每种可能有3种不同排列 ；和， 共9种可能； 的排列有6种可能，同理....，6种可能 则符合题意的共有种， ∴其中两个骰子的点数之和恰好等于余下的一个骰子的点数的概率是， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，根据题意找出符合题意的可能数是解题的关键． 4．（2025·浙江宁波·模拟预测）一个人在直角坐标系上从走到，每次他可以往上走一个单位长度或往右走一个单位长度且它的横坐标和纵坐标的绝对值至少有一个大于等于二，则这个人有 种走法． 【答案】74 【分析】本题考查了列表法求事件的种数， 问题核心：从走到，每次只能往右或往上走 格，且不能经过 “禁区”（横坐标，0，1且纵坐标，0，1的点，这些点横、纵坐标绝对值都小于 2）． 解题方法：用 “标数法”—— 每个点的走法数 = 从左边过来的走法数 + 从下边过来的走法数（因只能右 / 上走）． 【详解】点的坐标 解：基础标数： （1）起点标 “1”（只有 1 种到起点的方法）； （2）（）和（）只能单向走，全标 “”． 逐点计算（重点标关键位置）： x\y 0 1 2 3 3 1 7 13 19 25 37 2 1 6 6 6 6 12 37 1 1 5 （禁区） （禁区） （禁区） 6 25 0 1 4 （禁区） （禁区） （禁区） 6 19 1 3 （禁区） （禁区） （禁区） 6 13 1 2 3 4 5 6 7 起点 1 1 1 1 1 1 结果：终点的走法数为 74． 故填：74． 5．（19-20九年级上·浙江·周测）金华创建文明城市，推行垃圾分类．小区里有可回收、不可回收、有害垃圾和厨余垃圾四种垃圾箱．一天小林把家里分好类的四袋垃圾拿去投放，他不小心放错了其中的三个垃圾袋，则小林将四个垃圾袋中的三个垃圾袋投放错误的概率是 ． 【答案】 【分析】画树状图（用A、B、C、D表示可回收的、不可回收的和有害垃圾、厨余垃圾投放位置，用a、b、c、d表示装有可回收的、不可回收的和有害垃圾、厨余垃圾的袋子）展示所有24种等可能的结果，再找出把三个袋子都放错位置的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图（用A、B、C、D表示可回收的、不可回收的和有害垃圾、厨余垃圾投放位置，用a、b、c、d表示装有可回收的、不可回收的和有害垃圾、厨余垃圾的袋子）；    共有24种等可能的结果，其中把三个袋子都放错位置的结果数为8种， 所以把三个袋子都放错位置的概率为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 6．（22-23九年级上·浙江温州·月考）（1）把长为的线段任意分成3条线段，求这3条线段能够构成一个三角形的3条边的概率． （2）据统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．为了保护环境，缓解汽车拥堵，该市拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；且从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的．假设每年新增汽车数量相同，请估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆，并求出求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率． 【答案】（1）；（2）该市每年新增汽车数量最多不能超过20万辆；2008年底至2010年底该市拥有量的年平均增长率为 【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可； （2）设2008年底至2010年底该市拥有量的年平均增长率为x，设从2011年初起每年新增汽车数量为y万辆，然后根据题意列出一元二次方程和一元一次不等式方程并求解即可． 【详解】解：（1）设其中两条线段的长为，则第3条线段的长为，于是的取值范围是： ① 要使3条线段构成一个三角形的3条边，其充要条件是其中任意一条线段的长度小于其余两条线段的长度之和．这等价于每条线段的长度都小于，即 ② 将视为坐标系的坐标，， 而满足条件②的点在以为顶点的内， 故所求概率为 答：3条线段能构成一个三角形的三边的概率为； （2）设2008年底至2010年底该市拥有量的年平均增长率为x， 根据题意得， 解得（不合题意，舍去）， 设从2011年初起每年新增汽车数量为y万辆， 根据题意得， 解得． 答：该市每年新增汽车数量最多不能超过20万辆；2008年底至2010年底该市拥有量的年平均增长率为． 【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用、三角形三边关系和概率计算方法，解决本题的关键是掌握数形结合的思想． 7．（2021·福建·中考真题）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例． 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题： （1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率； （2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率． 【答案】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜，；（2）不是，田忌获胜的所有对阵是，，，，，， 【分析】（1）通过理解题意分析得出结论，通过列举法求出获胜的概率； （2）通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率． 【详解】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜． 此时，比赛的所有可能对阵为： ，， ，，共四种． 其中田忌获胜的对阵有 ，，共两种， 故此时田忌获胜的概率为． （2）不是． 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是． 综上所述，田忌获胜的所有对阵是 ，，， ，，． 齐王的出马顺序为时，比赛的所有可能对阵是 ，，， ，，， 共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵， 所以，此时田忌获胜的概率． 【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查推理能力、应用意识，考查统计与概率思想；通过列举所有对阵情况，求得概率是解题的关键． 8．（2020九年级下·浙江温州·学业考试）九年级（1）班学生在完成课题学习“体质健康测试中的数据分析”后，利用课外活动时间积极参加体育锻炼，每位同学从篮球、跳绳、立定跳远、长跑、铅球中选一项进行训练，训练后都进行了测试．现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图．请你根据上面提供的信息回答下列问题： （1）该班共有学生______人，训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是_______． （2）老师决定从选择铅球训练的名男生和名女生中任选两名学生先进行测试，请用列表或画树形图的方法求恰好选中两名男生的概率． 项目选择人数情况统计图 训练后篮球定时定点投篮测试进球数统计图 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）总人数用篮球的总人数除以其所占的百分比即可求得总人数，由加权平均数的公式，即可求出答案； （2）列树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可． 【详解】解：（1）该班共有学生（2+5+7+4+1+1）÷50%=40人； 训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是： ， 故答案为：40，5； （2）三名男生分别用A1，A2，A3表示，一名女生用B表示．根据题意，可画树形图如下： 由上图可知，共有12种等可能的结果，选中两名学生恰好是两名男生（记为事件M）的结果有6种， ∴P（M）=． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验；注意概率=所求情况数与总情况数之比． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 简单事件的概率（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 事件的分类 能区分确定事件与随机事件，理解事件的三种类型（必然事件、不可能事件、随机事件） 基础考点，常以选择题形式出现，要求考生对事件本质理解清晰 判断事件发生的可能性的大小 能根据条件判断不同事件发生的可能性大小，并进行排序或比较 常与生活情境结合，考查学生的直观判断与逻辑推理能力 列举随机实验的所有可能结果 能完整、有序地列出随机试验的所有可能结果，做到不重不漏 高频考点，常与概率计算结合，考查学生的系统思维与表达能力 判断实验所得结果是否是等可能的 能根据试验设计判断结果是否等可能，为概率计算奠定基础 常作为概率题的前置判断，要求学生具备基本的逻辑分析能力 概率及其意义 能解释概率的意义，会用数值表示事件发生的可能性 基础概念题，常考查对概率本质的理解，易与频率混淆 频率与概率 能理解频率与概率的区别与联系，掌握用频率估计概率的方法 常以实验题或应用题形式出现，考查学生的数据处理与推理能力 列举所有机会均等的结果 能系统列出所有等可能结果，并计算指定事件的概率 中考必考计算题型，常以解答题形式出现，要求计算准确、过程清晰 事件的分类 能区分确定事件与随机事件，理解事件的三种类型（必然事件、不可能事件、随机事件） 基础考点，常以选择题形式出现，要求考生对事件本质理解清晰 判断事件发生的可能性的大小 能根据条件判断不同事件发生的可能性大小，并进行排序或比较 常与生活情境结合，考查学生的直观判断与逻辑推理能力 游戏的公平性 能根据概率计算判断游戏规则是否公平（即各方获胜的概率是否相等），并能修改或设计简单的公平游戏规则 常以解决题形式出现，要求先计算概率，再基于概率相等原则进行判断或设计，考查数学应用意识 概率的应用 能将摸球、抽奖、天气预测等实际问题抽象为概率模型，并用概率知识进行解释、计算或决策 综合应用题，背景多样，常与方程、统计等知识结合，考查建模能力与解决实际问题的能力 列表法和树状图法求概率 能针对两步或两步以上的复杂随机试验，熟练运用列表法或画树状图法，不重不漏地列出所有等可能结果，并准确计算指定事件的概率 中考必考核心技能，几乎每年都在解答题中出现，要求步骤清晰、列举有序、计算准确，是概率部分的得分关键点 知识点一、事件的类型 1、必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 2、不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 3、不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 易错点： （1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①  必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ②  不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0； ③  如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1 知识点二、概率 1.概率 一个事件发生的可能性就叫做该事件的概率，事件发生的概率，记为 2.概率的计算 一般地，如果在一次试验中，有 种可能的结果，并且它们发生的机会都相等，事件 包含其中的 种结果，那么事件 发生的概率 。当 为必然事件时， ；当 为不可能事件时， ． 3.事件发生的机会与概率的关系 事件发生的机会越大，它的概率越接近1:反之事件发生的机会越小，它的概率越接近0. 易错点： 1. 概率大，并不能说明事件一定发生;反之，概率小并不能说明事件一定不发生 2.同一事件，发生的概率和不发生的概率之和为1. 知识点三、用频率估计随机事件发生的机会的大小 在随机事件中，虽然其结果是随机的、无法预测的但随着试验次数的增加，隐含的规律逐渐显现，事件发生的频率会逐渐稳定到某一个数值附近，正因为随机现象发生的频率有这样趋于稳定的特点，所以我们就可以用频率估计随机事件在每次试验时发生的机会的大小 注意:(1)随着试验次数的增加，随机事件发生频率的图象呈现“先波澜起伏，后风平浪静”的趋势， (2)频率是通过试验得到的，可能取多个数值，具有随机性，所以只能近似地反映事件发生机会的大小 易错点： 每一个随机事件发生的频率在很多次试验之后才会稳定下来，所以把仅通过几次试验得到的频率作为某一随机事件发生的机会的稳定值是不恰当的. 知识点四、 概率的应用 几何图形中的概率 设某几何图形的面积为 ，其中事件 发生所在区域的面积为 ，由于对这个几何图形内的每个点，事件发生的机会是相等的，因此我们可以得到事件 发生的概率 ． 易错点： 当某区域内各个区域的面积都相等时，则面积类型可转化为个数类型来进行概率计算 知识点五、 用频率估计概率 1．频率 在相同的条件下，重复 次试验，事件 发生的次数 与试验总次数 的比值，即 称为事件 发生的频率． 2. 用频率估计概率 当试验次数很大时，事件发生的频率具有一定为稳定性，它会在某人数值附近摆动，并且试验次数越多，事件发生的频率越接近这个数值，所以通过大量重复试验可以用频率来估计概率 易错点： 1.试验得出的频率只是概率的估计值 2.对一个随机事件 ，用频率估计的概率不可能小于或等于0，也不可能大于或等于1. 3.概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生 3.频率与概率的关系 区别:频率是试验值或使用时的统计值，与试验人、试验时间、试验地点有关;概率是理论值，与其他外界因素无关 联系:试验次数越多，频率越趋向于概率 知识点六、 画树状图法 1.画树状图法求概率 画树状图法是用树状图的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的次数和方式，并求出概率的方法 2.画树状图法的应用 当一次试验要涉及3 个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法来求事件发生的概率,用树状图列举出的结果看起来一目了然，当事件要经过多个步骤(三步或三步以上)完成时，用画树状图法求事件的概率很有效。 易错点： 1.用画树状图法求事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性必须相等 2.当试验包含两步时，可用画树状图法，也可用其他方法当试验在三步或三步以上时用画树状图法比较方便 知识点七、 列表法 1.列表法 就是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的次数和方式，并求出概率的方法 2.适用条件 当一次试验涉及两个因素，(1)同时进行两种相同的操作;(2)先后进行两次相同的操作，即两步试验，并且可能出现的等可能结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，常采用列表法, 3．具体步骤 （1）选其中的一次操作（或一个条件）为横行，另一次操作（或另一个条件）为坚列，列出表格； （2）运用概率公式 计算概率。 易错点： 1.列表法适用于求两步试验的概率，利用表格的行和列分别表示出两次操作或两个条件， 2.列表法不适用于求三步及三步以上试验的概率 题型一 事件的分类 解｜题｜技｜巧 ☆理解确定事件（必然事件、不可能事件）与随机事件的定义，并能根据具体情境进行判断 ☆必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件（概率为1） ☆不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件（概率为0） ☆随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件（概率在0和1之间） ☆判断时，紧扣“条件”和“结果是否确定”，若结果唯一且确定则为确定事件，否则为随机事件 【典例1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）下列选项中的事件，属于必然事件的是（   ） A．任意掷一枚硬币，正面朝上 B．若、是实数．则 C．两数相乘，积为正数 D．运动员投篮时，连续两次投进篮筐 【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）赵州桥在中国桥梁史上占有举足轻重的地位，被誉为“天下第一桥”，它的图片出现在浙教版九年级上册数学课本第76页．翻开该课本，恰好翻到第76页，这个事件是（   ） A．必然事件 B．确定事件 C．不可能事件 D．随机事件 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．抛掷一枚硬币，正面向上 B．有一匹马奔跑的速度是70米/秒 C．射击运动员射击一次，命中10环 D．在标准大气压下，气温为时，冰能熔化为水 题型二 判断事件发生的可能性大小 解｜题｜技｜巧 ☆可能性大小可以用“一定”、“很可能”、“可能”、“不太可能”、“不可能”等词语描述，也可以通过比较概率数值来量化 ☆列出所有可能的结果，看目标结果占总数比例，比例越大，可能性越大 ☆若涉及数量比较（如口袋中不同颜色球的数量），数量多的被摸到的可能性大 ☆若概率可计算，直接计算概率值进行比较 【典例1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，投掷第5次硬币正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在一个箱子里放有1个白球和2个红球，他们除颜色外其余都相同．给出下列说法：①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件；②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件；③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 【变式2】（24-25九年级上·浙江温州·期末）下图转盘中红、蓝各占一半．雯雯和周周做“配紫色”游戏，每人转动两次，若指针所在区域是一红一蓝，则配成紫色（落在分界线上重转）．雯雯第一次转出了蓝色，当雯雯第二次转动转盘时，下列说法正确的是（   ）    A．一定转出红色 B．一定转出蓝色 C．转到红色比蓝色的可能性大 D．转出红色和蓝色的可能性一样大 题型三 判断概率的大小关系 解｜题｜技｜巧 ☆概率是0到1之间的数，表示事件发生的可能性大小，概率越大，事件越可能发生 ☆对于等可能事件，概率 = 目标结果数 ÷ 所有等可能结果数 ☆比较概率大小时，可先分别计算概率，再比较数值 ☆注意：必然事件概率为1，不可能事件概率为0，随机事件概率在0和1之间 【典例1】（22-23九年级上·浙江杭州·期末）抛一枚均匀的骰子，下列事件中，发生可能性最大的是（　 　） A．点数是奇数 B．点数是3的倍数 C．点数大于5 D．点数小于5 【变式1】（21-22九年级上·浙江杭州·期末）下列说法正确的是（    ） A．可能性很小的事件不可能发生 B．可能性很大的事件必然发生 C．必然事件发生的概率1 D．不确定事件发生的概率为 【变式2】（20-21九年级上·浙江杭州·期末）任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的事件是（　　　） A．朝上一面的点数大于2 B．朝上一面的点数为3 C．朝上一面的点数是2的倍数 D．朝上一面的点数是3的倍数 题型四 概率公式计算概率 解｜题｜技｜巧 ☆掌握古典概型的概率公式：P(A) = 事件A包含的等可能结果数 ÷ 所有等可能结果数 ☆确保每个结果发生的可能性相等（等可能） ☆准确计数：用列举法（列表、树状图等）做到不重不漏 ☆若事件A包含多个结果，将这些结果数相加 ☆结果通常用分数、小数或百分数表示 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明随机选择其中一种营养套餐，则他恰好选到A营养套餐的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江·期中）从甲、乙、丙、丁四人中任选一人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明的布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．从中任意摸出1个球是红球的概率为 ． 题型五 列表法或树状图法求概率 解｜题｜技｜巧 ☆对于两步或两步以上的随机试验，用列表法或树状图法可以系统列出所有等可能结果 ☆列表法：适用于两步试验，且每一步的结果数有限。将第一步结果列于横行，第二步结果列于竖列，表格中间是所有可能结果 ☆树状图法：适用于多步试验。从根部开始，每一步分叉表示该步的所有可能结果，直到最后一步，每条路径表示一个可能结果 ☆列举时注意顺序，确保不重不漏 ☆数出事件A包含的路径数，除以总路径数，即得概率 【典例1】（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为 ． 【典例2】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图是某“密室逃脱俱乐部”的通路俯视图，小明进入入口后，任选一条通道． (1)他进A密室或B密室的可能性哪个大？请说明理由（利用树状图或列表来求解）； (2)求小明从中间通道进入A密室的概率． 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片． A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪 (1)取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为________． (2)若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率． 【变式2】（25-26九年级上·月考）某校为了落实“五育并举”的教育举措，课后开设了围棋、航模、书法、阅读、画画五个兴趣小组，学生可以任选一个兴趣小组参加，小明和小阳决定通过抽签的方式选择．抽签规则：将五个兴趣小组的名称分别写在五张完全相同且不透明的卡片正面，并把五张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机抽取一张卡片，记下名称后放回，小阳再随机抽取一张，记下名称． (1)小明选择围棋兴趣小组的概率是 ； (2)围棋、航模、书法的活动教室都在三楼，阅读、画画的活动教室在二楼，请用画树状图或列表法求出小明、小阳选择的兴趣小组不在同一楼层的概率． 【变式3】（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）第十五届全运会开幕式上，吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”以活泼可爱的形象亮相，成为全场焦点，如图，现有三张正面分别印有“喜洋洋”、“乐融融”和“全运会会徽”图案的不透明卡片A、B、C，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片正面向下洗匀． (1)小明从中随机抽取一张，求小明抽中“喜洋洋”卡片的概率； (2)小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张，用画树状图（或列表）的方法，求小明抽出的两张卡片图案不同的概率． 题型六 已知概率求数量 解｜题｜技｜巧 ☆利用概率公式反推某个结果的数量。设未知数，根据概率等式列方程求解 ☆设未知数量为x ☆根据题意，写出目标结果数和所有可能结果数（用含x的式子表示） ☆根据概率公式建立方程：目标结果数 ÷ 所有可能结果数 = 已知概率 ☆解方程，检验解是否符合实际（如数量为非负整数） 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（   ） A．五位 B．四位 C．三位 D．二位 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·月考）不透明的袋子里装有4个红球和n个白球，这些球除颜色外无其他差异，从袋子里取出一个球是白球的概率是，则n的值为 ． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明布袋里共装有3个球，其中1个红球，2个白球．它们的形状大小完全相同，只有颜色不同．从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球． (1)请用树状图或列表的方法，求摸出的2个球都是白球的概率． (2)若往布袋里再放入一些红球，使每一次摸到白球的概率为，则应该再放入______个红球． 题型七 几何概率 解｜题｜技｜巧 ☆当试验结果可以表示为区域（长度、面积、体积）时，概率用目标区域的度量与总区域的度量之比来计算 ☆确定总区域（如线段长度、平面图形面积）和目标区域 ☆计算总区域的度量和目标区域的度量（注意单位统一） ☆几何概率 = 目标区域的度量 ÷ 总区域的度量 ☆常见题型：转盘问题、投针问题、在图形内随机取点问题 【典例1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，点E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，正方形内接于，在这个圆面上随意抛一粒豆子豆子大小忽略不计，若豆子落在正方形内的概率记为，豆子落在图中阴影部分内的概率记为，则 填“>”“<”或“=” 【变式2】（25-26九年级上·浙江宁波·月考）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为了广大人民生活中不可或缺的一部分，如图是一个面积为的正方形二维码，为了估计黑色阴影部分的面积，小明在二维码内随机掷点，经过大量重复试验，统计数据如下表： 掷点次数 10 100 200 400 500 落在黑色阴影部分次数 5 59 121 241 301 则可估计二维码中黑色阴影部分的面积为 （结果精确到0.1） 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，是一个均匀的圆形转盘，阴影部分扇形圆心角为． (1)转动转盘1次，求指针落在阴影部分（边界宽度忽略不计）的概率； (2)转动转盘2次，求两次指针都落在阴影部分（边界宽度忽略不计）的概率． 题型八 用频率估计概率 解｜题｜技｜巧 ☆在大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在概率附近，因此可以用频率来估计概率 ☆进行大量重复试验（次数越多，估计越精确），记录事件发生的次数 ◎计算频率：频率 = 事件发生次数 ÷ 总试验次数 ◎用频率作为概率的估计值 ☆注意：频率是试验值，可能有波动；概率是理论值，是固定的 【典例1】（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1，有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，将不规则图案放在边长为2cm的正方形内部．通过计算机随机投放一个点到正方形内部，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据．据此估计点落在不规则图案上的概率约为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26九年级上·福建三明·期中）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下表（表中频率精确到0.01）：根据频率的稳定性，则这名运动员“射中9环以上”的概率估计值（结果保留小数点后一位）为（   ） 射击次数 20 40 100 200 400 1000 “射中9环以上”的次数 15 31 83 157 322 801 “射中9环以上”的频率 A． B． C． D． 【典例3】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）在同样条件下对某种水稻种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数（粒） 1000 2000 3000 4000 5000 发芽频数 953 1896 2856 3804 4750 发芽频率 0.953 0.948 0.952 0.951 0.950 根据频率的稳定性，估计该稻种的发芽概率约为 ．（精确到0.01） 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1，有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟实验，将不规则图案放在边长为的正方形内部．通过计算机随机投放一个点到正方形内部，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据． 由此可估计不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·北京·期中）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C．从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D．同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上 【变式3】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图是小华用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，若再次抛掷一枚图钉，则可以估计“钉尖向上”的概率是 ．（精确到0.001） 题型九 游戏的公平性 解｜题｜技｜巧 ☆游戏是否公平，取决于各参与方获胜的概率是否相等。若概率相等，则公平；否则不公平 ☆计算游戏中各参与方获胜的概率 ☆比较概率：若概率相等，则游戏公平；若不等，则不公平 ☆若要求修改规则使游戏公平，可调整规则使各方获胜概率相等（例如，增加或减少某种卡片数量） 【典例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在一个不透明的小口布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）有4张形状、大小相同的纸牌，它们分别标有数字1、2、3、4，把它们背面朝上，记下数字，然后放回 (1)用列表或画树状图的方法计算两次摸出的纸牌上数字之和为6的概率； (2)甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜，则乙胜．这个游戏公平吗？请说明理由． 【变式2】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）游戏者用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．让两个转盘分别自由转动一次． (1)求两次数字之和为4的概率； (2)若两次数字之积大于2，则游戏者获胜，请求出游戏者获胜的概率． 题型十 概率的应用 解｜题｜技｜巧 ☆将现实生活中的问题转化为概率模型，用概率知识进行预测、决策或评估 ☆仔细阅读问题，抽象出随机试验、事件和目标 ☆确定概率模型（古典概型、几何概型等），计算相关概率 ☆根据概率结果对实际问题进行解释或提出建议（如选择哪种方案更合理） 【典例1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）某条笔直的路上有12盏路灯，为了节约用电，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭，则不同的关灯方案种数为 ． 【典例2】（19-20九年级上·浙江台州·期末）某水果公司以2．2元/千克的成本价购进苹果．公司想知道苹果的损坏率，从所有苹果中随机抽取若干进行统计，部分数据如下： 苹果损坏的频率 0.106 0.097 0.102 0.098 0.099 0.101 估计这批苹果损坏的概率为 精确到0.1），据此，若公司希望这批苹果能获得利润23000元，则销售时（去掉损坏的苹果）售价应至少定为 元/千克． 【变式1】从，，，，，这个数中任意选一个数作为的值，则使关于的方程的解是负数，且关于的一次函数的图象不经过第一象限的概率为 ． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）某密码锁由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的两个不同数字组成． (1)共有多少种可能密码？ (2)小明随机输入一次，解锁成功的概率是多少？ (3)若他尝试随机输入100次仍未成功，是否说明这把锁的密码根本不存在？说明理由． 【变式3】（2023·浙江宁波·模拟预测）为鼓励学生积极加入中因共青团组织，某学校团委在八、九年级各抽取50名学生开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分．竞赛成绩如图所示： 平均数 众数 中位数 方差 八年级 8 7 九年级 8 8 (1)请根据图表中的信息，回答下列问题． ①表中的______，______，______； ②现要给成绩突出的年级颁奖，如果从方差的角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？ (2)若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，请通过计算说明哪个年级的获奖率高？ 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）下列事件中，属于不可能事件的是（   ） A．任意选择某一电视频道，它正播放动画片 B．任意掷一枚硬币，正面朝上 C．射击运动员射击一次，命中10环 D．在只装有红球的袋子里摸出一个黑球 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，现从袋子中先后摸出两个球（不放回），则两个球颜色不同的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）为组建学校秋季田径运动会开幕式彩旗队，九（1）班决定从符合身高条件的3名男生和2名女生中随机抽调两名学生进入彩旗队．则恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江温州·期中）某袋子中有黑球8个，白球若干个，这些球除颜色外其余都相同，若摸到白球的概率为0.2，则袋中白球的个数是 ． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答问题： 试验总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000 投中的次数 61 93 165 246 753 996 1503 投中的频率 根据表中的数据，估计这位同学投篮一次，投中的概率为 保留一位小数 6．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则二次函数与x轴有两个不同交点的概率为 ． 7．（25-26九年级上·浙江金华·期中）哥德巴赫猜想提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．数学兴趣小组准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7． (1)小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为． (2)小组成员从中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法求出这2张卡片上的数字之和是偶数的概率． 8．（25-26九年级上·浙江·月考）某校音乐兴趣小组组建了一支舞蹈队，现需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一名男生和一名女生．（温馨提示：用、、、分别表示甲、乙两班推荐的名学生） (1)请用列举的方法写出所有可能出现的结果； (2)若要求选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取．请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）将分别标有“金”、“明”、“中”、“学”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2025九年级上·浙江·专题练习）从四个数中随机选取两个不同的数，分别记为，则关于的一元二次方程有一正一负两个实数解的概率为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）从长度为3，5，7，m（其中m为整数）的四条线段中任取三条，使它们首尾顺次相接能组成三角形的概率为，则m的值应为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（浙江杭州·二模）一张圆桌旁有四个座位，先坐在如图所示的座位上，，，三人随机坐到其他三个座位上，则与不相邻而坐的概率为 ． 5．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，3，5的卡片在甲手中，标有数字2，4，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙出的卡片数字大的概率是 ． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·自主招生）有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，则至少有两名同学拿对了书包的概率是 ． 7．（25-26九年级上·浙江·期末）现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，石家庄某兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整），请根据图中信息，解答下列问题： 步数 频数 频率 8 15 12 3 (1)写出的值并补全频数分布直方图； (2)本市约有36200名教师，用调查的样本数据估计日行步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？ (3)若在50名被调查的教师中，选取日行步数超过16000步（包含16000步的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率． 8．（25-26九年级上·浙江·月考）第八届养正教育集团学科文化节即将举行，特设立了抽奖环节．设有四张除正面图案不同外，其余都相同的卡片，正面印有“诚、毅、勤、朴”图案．卡片背面朝上洗匀，放置在桌面上． (1)若小正同学随机翻开一张，求抽到“诚”图案的概率． (2)这四张卡片分别对应价值为40元，35元，30元，25元的4件奖品，若小景同学连续抽取两张卡片（不放回），请通过列表或树状图分析两次抽取奖品总值不低于65元的概率． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）从长度为3、5、7、8的四条线段中任意选三条组成三角形，其中能组成含有角的三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级·全国·竞赛）有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，现将这枚骰子先后抛掷两次，记下抛掷后朝上的面上的点数，第一次记下的点数为，第二次记下的点数为，则关于的二元一次方程组只有非负解的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江·模拟预测）现有三个正方体形的公正骰子，每个骰子的六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6．投掷这三个骰子，则其中两个骰子的点数之和恰好等于余下的一个骰子的点数的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江宁波·模拟预测）一个人在直角坐标系上从走到，每次他可以往上走一个单位长度或往右走一个单位长度且它的横坐标和纵坐标的绝对值至少有一个大于等于二，则这个人有 种走法． 5．（19-20九年级上·浙江·周测）金华创建文明城市，推行垃圾分类．小区里有可回收、不可回收、有害垃圾和厨余垃圾四种垃圾箱．一天小林把家里分好类的四袋垃圾拿去投放，他不小心放错了其中的三个垃圾袋，则小林将四个垃圾袋中的三个垃圾袋投放错误的概率是 ． 6．（22-23九年级上·浙江温州·月考）（1）把长为的线段任意分成3条线段，求这3条线段能够构成一个三角形的3条边的概率． （2）据统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．为了保护环境，缓解汽车拥堵，该市拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；且从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的．假设每年新增汽车数量相同，请估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆，并求出求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率． 7．（2021·福建·中考真题）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例． 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题： （1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率； （2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率． 8．（2020九年级下·浙江温州·学业考试）九年级（1）班学生在完成课题学习“体质健康测试中的数据分析”后，利用课外活动时间积极参加体育锻炼，每位同学从篮球、跳绳、立定跳远、长跑、铅球中选一项进行训练，训练后都进行了测试．现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图．请你根据上面提供的信息回答下列问题： （1）该班共有学生______人，训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是_______． （2）老师决定从选择铅球训练的名男生和名女生中任选两名学生先进行测试，请用列表或画树形图的方法求恰好选中两名男生的概率． 项目选择人数情况统计图 训练后篮球定时定点投篮测试进球数统计图 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $