第2章 简单事件的概率（知识清单）数学浙教版九年级上册

第2章 简单事件的概率 1.事件的可能性 （1）必然事件：一定条件下 的事件叫做必然事件 （2）不可能事件：一定条件下 的事件叫做不可能事件 （3）随机事件：一定条件下可能 、也可能 的事件叫做不确定事件，也叫随机事件 2.确定随机事件发生的可能结果的常用方法：①列表；②画树状图。列表或者画树状图可以帮助我们分析问题，避免重复和遗漏，既直观又条理分明 3.事件可能性大小的比较： （1）全部结果范围内，事件包含结果种数 的，可能性越大； （2）确定大小的长度/面积/体积范围内，事件包含长度/面积/体积越多的，可能性越大。 4.概率：事件发生的可能性大小称为事件的概率 5.概率一般用P表示，事件A发生的概率记为P（A）； （1）P（必然事件）= ；P（不可能事件）= ； ＜P（随机事件）＜ ； （2）概率公式： n：事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥时，结果总数记为n； m：事件A包含其中的结果数（） 6.在相同条件下，当重复实验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近，此时，可以用一个事件发射个的 来估计这一事件发生的概率 7.机会均等问题，就是要让所有参与游戏的成员都能够有相同的 获得胜利，这需要他们在事件中能够获胜的结果的种数相同； 8.实际问题中的概率问题，既要知道事件一共有多少种结果，也需要知道事件A发生有多少种结果，所以，列表或树状图可以更好的分析出这两个数据。 9.在学习过统计方面的知识后，有时候我们需要通过图表分析数据，然后通过统计结果来获得计算概率需要的数据。 一、事件的可能性 1.辨析生活中的事件属于何种事件 错误：对生活实际缺乏常规经验，或将可能性较大的随机事件认定为必然事件。 注意：要注意“太阳东升西落”这样的常识，生活中必然确定的常识如物理现象都是必然事件；天气预报、预测、经验一般都是随机事件。也要注意，概率再大，如果不是一定发生也是随机事件；概率再小，如果有可能发生，那也是随机事件。 例1 判断下列事件的类型． ①飞来横祸；②瓮中捉鳖；③海底捞月；④一箭双雕；⑤缘木求鱼；⑥鸡蛋里挑骨头． 2.辨析数学问题中的事件属于何种事件 错误：不熟悉数学定义、定理和性质，从而对描述数学问题的事件无法辨析可能性 注意：在数学问题中，常见的定义、定理和性质都是必然事件，比如三角形内角和为180°，比如二次函数有且只有一条对称轴；有些数学问题则需要通过不同情况的讨论才能知道结果，比如等腰三角形底角大于顶角，正数加负数等于零这些都是随机事件。 例2 （24-25七年级下·湖南衡阳·期末）下列语句所描述的事件： ①任意画一个多边形，其外角和为； ②经过任意两点画一条直线； ③任意画一个三角形，其两边之和小于第三边； ④任意一个平行四边形对角线相等； 其中是随机事件的是 （填序号）． 3.列表法确定事件结果的种数 错误：列表时出现两个常见错误：①首行首列的所有情况有缺漏；②表格左上到右下的整一斜格不能根据实际情况判断是否计为结果数。 注意：列表时，要先明确每行所有可能性和每列的所有可能性；其次要注意表格中每格的数据是否都有意义。具体分情况如下： （1）对于一个事件由两个独立的结果组合而成的，每行和每列分别列清所有结果即可，且从左上到右下整一斜格的数据是有意义的，比如掷两个骰子、两枚硬币，或者比如有放回的摸取黑布袋中的小球。 图①：表示掷两枚骰子所有36种点数的结果 图②：表示掷两枚硬币所有4种点数的结果 图③：表示在有2红1白三个小球的黑布袋中有放回的摸取一个小球，摸两次的所有9种结果 （2）对于一个事件有相互联系的两个结果组合而成大的，每行每列除了列清所有结果以外，要注意从左上到右下整一斜格的数据无有意义的，比如（1）中的③情况中，如果是不放回的摸取，则阴影部分的三种情况是不存在的，因此只有6种结果。 例3 下面是两堆共五张印有数字的卡片，背面则是相同的白色背景。第一堆有2张，第二堆有三张，如下图所示。将卡片翻过去，背面朝上，在每堆中分别随机取出一张，请列表表示出所有可能性，并回答： 第一堆 2 5 4 6 1 第二堆 （1）这两张上面的数字中有奇数的结果有多少种？ （2）这两张上面的数字的和是偶数的结果有多少种？ （3）这两张上面的数字的乘积大于10的结果有多少种？ 4.树状图法确定事件结果的种数 错误：每一树状图“枝杈”上可能有哪些结果不能一一列举。 注意：在作树状图时，要注意按照层级去列，第一层所有结果列出后，继续列第一层下每种结果的第二层的可能情况，按顺序列出不能缺漏。尤其注意，类似小球摸取时的放回与不放回有区别，不能混淆。 例4 在不透明的布袋中放入白色，灰色和黑色小球各1个，他们只有颜色不同。那么： （1）如果任意摸取其中两个小球，一共有多少种不同的结果？ （2）如果任意摸取一个小球后放回，再摸取一个小球，两次摸到的小球颜色不相同的结果有多少种？请用树状图解决问题。 5.比较事件可能性的大小 错误：不同事件形式不能通过不同方式比较大小。在统计所有可能的结果时列表错误或树状图错误，在比较几何概型的问题时不知道可以通过比较几何图形的大小实现。 注意：熟悉均等事件和几何概型分别在比较事件可能性的大小时的区别。掌握前面列出的列表法和树状图法的注意事项；掌握几何概型通过计算几何图形的大小，代替事件可能性的种数； 例5 （24-25六年级下·上海宝山·期末）以下四个事件中，摸球一次，摸到红球的可能性从小到大的排列顺序是 .（这些球除颜色外都相同） ① 8个白球，2个红球，3个黑球；② 3个蓝球，9个白球，1个红球 ③ 6个白球，4个蓝球，3个红球；④ 2个黑球，4个红球，7个白球 例6 （23-24八年级下·江苏泰州·期末）“年中狂欢购，回馈不停歇，惊喜连连，等你来拿！”6月18日上午，某商家在万达广场举行有奖销售活动，抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，若只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题： (1)得到以下奖品的可能性最小的是______； A．平板    B．手机    C．球拍    D．水壶 (2)请你设计下面翻奖牌反面剩余的奖品，奖品包含“手机”、“球拍”、“水壶”，使得抽到“水壶”的可能性抽到“球拍”的可能性抽到“手机”的可能性． 二、事件的概率 1.用公式计算的概率问题——均等事件 错误：用公式计算概率时，统计错m或n的值。 注意：要列出所有可能的结果种数n和所有符合事件A可能的结果种数m，再用公式计算概率。越是复杂的问题，越是要借助于列表或树状图将所有情况列出，不要只用枚举法确定结果种数。 例7 （2025·重庆·模拟预测）如图，已知开关已损坏无法闭合，现随机闭合3个开关，，中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是 ． 例8 （24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）在一个不透明的袋子中装有红、黄、白球分别为3、4、5个，这些球除颜色外完全相同，从袋中任取一个球，则取到的不是黄球的概率是 ． 2.用公式计算的概率问题——几何事件 错误：用公式计算几何相关的概率问题时，计算错表示事件A的m的值。 注意：在用公式计算几何相关的概率问题时，m可能表示一段线段中的长度，也可能是一定面积范围内事件A所占的面积，也可能是空间内事件A所占的体积。 例9 （2025·山东青岛·三模）如图，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形内，装饰图中的三角形顶点，分别在边，上，三角形的边在边上，若在矩形区域内随机取点，则这个点落在空白部分的概率 ． 3.用公式计算的概率问题——数学问题 错误：对初中阶段所有学习的数学问题掌握不扎实。 注意：概率问题中还会涉及到以往学习的其他数学问题，要注意复习各类数学知识，以下是可能的举例： （1）数的辨析，掌握有理数、实数、平方根和立方根、二次根式等概念；比如在10个数中抽到有理数的概率； （2）代数的辨析，掌握整式、分式、单项式和多项式等概念，比如在8个整式中抽到单项式的概率； （3）方程与不等式的解的辨析，掌握不同方程或不等式求解方法，比如考查5个答案中，抽到已知方程的正确解的概率。 函数的辨析，掌握点与函数图象的关系，掌握不同函数的性质等，比如在6个点中抽到在已知二次函数图象上的点的概率； （4）几何图形的性质，掌握不同几何图形的定理和性质，比如在不同几何图形中抽到中心对称图形的概率； （5）其他。 例10 （2025·浙江·一模）有根木棒，长度分别为，，，，，从中任取根木棒首尾相接，能组成三角形的概率为 ． 例11 （2025·四川成都·三模）已知是不等式的正整数解，则分式方程有整数解的概率为 ． 4.频率和概率概念的辨析 错误：将频率和概率混为一谈。比如认为频率就是概率。 注意：频率不是概率，概率是事件本身的性质，不会随着每次试验产生变化；频率是试验结果的统计量，同一个场景里，每次试验结果的频率都会有所不同。 例12 （24-25九年级上·福建·期中）农科院某研究所在相同条件下做某种农作物的发芽率试验，结果如下表所示： 种子个数 200 500 700 800 900 1000 发芽种子个数 187 435 624 718 814 901 种子发芽率 0.935 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901 下面有四个判断，其中合理的是（    ） A．试验种子的个数最少的那次试验得到的种子发芽的频率一定是种子发芽的概率 B．试验种子的个数最多的那次试验得到的种子发芽的频率一定是种子发芽的概率 C．种子发芽的概率为 D．随着参加试验的种子数量增加，种子发芽的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9 5.概率公式的变形应用 错误：只会通过m和n求解P(A)，不会通过P(A)和n求解m，或者通过P(A)和m求解n。 注意：由概率公式可以推导出： （1），也就是说，当已知某一事件A的概率和所有结果种数n时，可以求出事件A可能的结果种数m； （2），也就是说，当已知某一事件A的概率和该事件可能的结果种数m，可以据此求出所有结果种数n。 例13 （24-25九年级上·全国·期末）在一个不透明的布袋中装有个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 例14 （24-25七年级下·四川成都·期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球4个，黑球比白球多4个，从盒子随机摸出一个球是白球的概率是． (1)求盒子中白球的个数； (2)能否通过只改变盒子中红球的数量，使得任意摸出一个球是白球的概率为，若能，请问如何调整红球数量；若不能，请说明理由． 三、概率的实际应用 1.实际问题中的概率问题 错误：在解决概率问题时，常见的错误发生在： （1）分析题目已知条件，确定所求事件的范围； （2）列表或列树状图时有缺漏，导致求m和n时出错； （3）计算或化简时出错，或答题时出错。 注意：统计出m和n要避免缺漏，要正确使用概率公式。 例15 （24-25七年级下·山东青岛·期末）端午节某商场举办了“幸运抽奖”活动，抽奖箱里共有14个小球，其中有8个红球、4个白球和2个绿球，它们除颜色外其余都相同，小颖和小亮参与了这个活动． (1)从中任意摸出一球，若摸到红球，则小颖获得奖励；若摸到白球，小亮获得奖励，这个活动对双方公平吗？请说明你的理由； (2)现在要从箱中取出若干个红球，再放入相同数量的白球，使得这个活动对双方公平，则要取出多少个红球？ 例16 （24-25七年级下·河南平顶山·期末）某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 例17 （2025·甘肃甘南·中考真题）某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： (1)共调查了______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为______； (2)请补全条形统计图； (3)若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 1．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）某日天气预报信息显示：明天最高气温，最低气温，降水概率为．根据此信息，下列说法中，你最认可的是（   ） A．明天一定下雨 B．明天不可能下雨 C．明天下雨的可能性较小 D．明天下雨的可能性较大 2．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）口袋里有10个球，这些球除颜色外其他的完全相同，其中白球有3个，红球有7个，从中任意摸出一个球，下列说法中不正确的是（   ）． A．可能摸到白球，也可能摸到红球 B．一定摸到红球 C．摸到红球的可能性大 D．摸到白球的可能性小 3．（2025·广东深圳·三模）深大城际（轨道交通号线）是大湾区城际铁路网的重要组成部分，起于深圳机场，终至惠州大亚湾．全线站，其中深圳段站，惠州大亚湾段站，小深同学随机选择其中个站点参观，则该站点恰好属于深圳段的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（ ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·全国·期末）有四张形状、大小，质地完全相同的卡片，每张卡片的正面写有一个算式，将四张卡片置于暗箱摇匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的算式都正确的概率是（    ） ①；②；③；④． A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）下面四个试验中，试验结果概率最小的是（   ） A．如图1，在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果，绘制了折线统计图，估计出了钉尖朝上的概率 B．如图2，这是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率 C．小明、小红、小刚3位同学合影留念，3人随机站成一排，小明、小刚两人恰好相邻的概率 D．有7张卡片，分别标有数字1，2，3，4，6，8，9，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张，抽出标有的数字“大于6”的卡片的概率 7．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上． ①守株待兔； ②水中捞月； ③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上； ④任意画一个三角形，其内角和为180°； ⑤若，则； ⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数． （1）其中是必然事件的有 ； （2）其中是随机事件的有 ； （3）其中是确定事件的有 ． 8．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）在一个不透明的盒子中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则这个盒子中大约有 个白球． 9．（24-25七年级上·北京丰台·阶段练习）一枚硬币连掷 3 次，只有一次出现正面的概率是 ． 10．（2025·湖北·模拟预测）如图，两个带指针的转盘A，B分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是2，5，9，转盘B上的数字分别是3，6，8（两个转盘除表面数字不同之外，其他完全相同）．小美拨动A转盘上的指针，小丽拨动B转盘上的指针，使之旋转，指针停止后所指数字较大的一方获胜（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次），则 （填“小美”或“小丽”）获胜的可能性大． 11．（24-25七年级上·云南临沧·阶段练习）从标有数字，，，的张卡片中，任意抽取张；设事件为“取到的倍数”，事件为“取到的倍数”，事件为“取到比大的数”事件为“取到整数”． (1)发生可能性最大的事件是______，发生可能性最小的事件是______； (2)把事件、、、按照发生可能性的大小在数轴上用字母、、、标注出来． 12．（24-25七年级下·内蒙古包头·阶段练习）如图，现有一个转盘被平均分成6等份，分别标有2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，求： (1)转动转盘，转出的数字大于3的概率； (2)小圆和小梦一起做游戏，现有两张分别写有3和4的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．小圆说：“若这三条线段能构成等腰三角形，则我赢”小梦说：“若这三条线段构成的三角形的周长小于10，则我赢”，请问这个游戏规则对双方公平吗？试通过计算说明理由． 13．（24-25六年级下·上海·期中）为弘扬中华传统文化，崇明区某学校为配合“人人会瀛州古调”教学活动，开设了民族器乐选修课程．学生参加选修课的情况见如下统计图（图1、图2）．请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：（请在空格处填入相应答案） (1)共有 名学生参加了选修课程学习； (2)扇形统计图（图2）中，“琵琶”部分所对应的圆心角为 度； (3)如果从选择“古筝”选项的学生中，随机抽取12名学生参加一次区“古筝”比赛，那么学生被选中的可能性大小是 ． 14．（24-25九年级上·全国·期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 73 117 152 370 604 751 摸到白球的频率 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近___________；随机摸出一个球，摸到白球的概率是___________，摸到黑球的概率是___________；（保留两位小数） (2)试估算，口袋中黑球的个数是________，白球的个数是___________； (3)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌均匀，再任意摸出一个球，请用树状图的方法求两次摸到的球的颜色正好相同的概率． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 简单事件的概率 1.事件的可能性 （1）必然事件：一定条件下 必然会发生 的事件叫做必然事件 （2）不可能事件：一定条件下 必然不会发生 的事件叫做不可能事件 （3）随机事件：一定条件下可能 发生 、也可能 不发生 的事件叫做不确定事件，也叫随机事件 2.确定随机事件发生的可能结果的常用方法：①列表；②画树状图。列表或者画树状图可以帮助我们分析问题，避免重复和遗漏，既直观又条理分明 3.事件可能性大小的比较： （1）全部结果范围内，事件包含结果种数 越多 的，可能性越大； （2）确定大小的长度/面积/体积范围内，事件包含长度/面积/体积越多的，可能性越大。 4.概率：事件发生的可能性大小称为事件的概率 5.概率一般用P表示，事件A发生的概率记为P（A）； （1）P（必然事件）= 1 ；P（不可能事件）= 0 ； 0 ＜P（随机事件）＜ 1 ； （2）概率公式： n：事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥时，结果总数记为n； m：事件A包含其中的结果数（） 6.在相同条件下，当重复实验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近，此时，可以用一个事件发射个的 频率 来估计这一事件发生的概率 7.机会均等问题，就是要让所有参与游戏的成员都能够有相同的 概率 获得胜利，这需要他们在事件中能够获胜的结果的种数相同； 8.实际问题中的概率问题，既要知道事件一共有多少种结果，也需要知道事件A发生有多少种结果，所以，列表或树状图可以更好的分析出这两个数据。 9.在学习过统计方面的知识后，有时候我们需要通过图表分析数据，然后通过统计结果来获得计算概率需要的数据。 一、事件的可能性 1.辨析生活中的事件属于何种事件 错误：对生活实际缺乏常规经验，或将可能性较大的随机事件认定为必然事件。 注意：要注意“太阳东升西落”这样的常识，生活中必然确定的常识如物理现象都是必然事件；天气预报、预测、经验一般都是随机事件。也要注意，概率再大，如果不是一定发生也是随机事件；概率再小，如果有可能发生，那也是随机事件。 例1 判断下列事件的类型． ①飞来横祸；②瓮中捉鳖；③海底捞月；④一箭双雕；⑤缘木求鱼；⑥鸡蛋里挑骨头． 【答案】必然事件：②；不可能事件：③⑤⑥；随机事件：①④ 【分析】本题考查了随机事件的概念，明确题中各成语的意思以及随机事件的概念是解题的关键． 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案． 【详解】解：①飞来横祸，是随机事件； ②瓮中捉鳖，是必然事件； ③海底捞月，是不可能事件； ④一箭双雕，是随机事件； ⑤缘木求鱼，是不可能事件； ⑥鸡蛋里挑骨头，是不可能事件． 2.辨析数学问题中的事件属于何种事件 错误：不熟悉数学定义、定理和性质，从而对描述数学问题的事件无法辨析可能性 注意：在数学问题中，常见的定义、定理和性质都是必然事件，比如三角形内角和为180°，比如二次函数有且只有一条对称轴；有些数学问题则需要通过不同情况的讨论才能知道结果，比如等腰三角形底角大于顶角，正数加负数等于零这些都是随机事件。 例2 （24-25七年级下·湖南衡阳·期末）下列语句所描述的事件： ①任意画一个多边形，其外角和为； ②经过任意两点画一条直线； ③任意画一个三角形，其两边之和小于第三边； ④任意一个平行四边形对角线相等； 其中是随机事件的是 （填序号）． 【答案】④ 【分析】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：任意画一个多边形，其外角和为，是必然事件； 经过任意两点画一条直线，是必然事件； 任意画一个三角形，其两边之和小于第三边，是不可能事件； 任意一个平行四边形对角线相等，不一定。只有矩形（以及正方形）这类特殊的平行四边形对角线相等，所以④是随机事件； 故答案为：． 3.列表法确定事件结果的种数 错误：列表时出现两个常见错误：①首行首列的所有情况有缺漏；②表格左上到右下的整一斜格不能根据实际情况判断是否计为结果数。 注意：列表时，要先明确每行所有可能性和每列的所有可能性；其次要注意表格中每格的数据是否都有意义。具体分情况如下： （1）对于一个事件由两个独立的结果组合而成的，每行和每列分别列清所有结果即可，且从左上到右下整一斜格的数据是有意义的，比如掷两个骰子、两枚硬币，或者比如有放回的摸取黑布袋中的小球。 图①：表示掷两枚骰子所有36种点数的结果 图②：表示掷两枚硬币所有4种点数的结果 图③：表示在有2红1白三个小球的黑布袋中有放回的摸取一个小球，摸两次的所有9种结果 （2）对于一个事件有相互联系的两个结果组合而成大的，每行每列除了列清所有结果以外，要注意从左上到右下整一斜格的数据无有意义的，比如（1）中的③情况中，如果是不放回的摸取，则阴影部分的三种情况是不存在的，因此只有6种结果。 例3 下面是两堆共五张印有数字的卡片，背面则是相同的白色背景。第一堆有2张，第二堆有三张，如下图所示。将卡片翻过去，背面朝上，在每堆中分别随机取出一张，请列表表示出所有可能性，并回答： 第一堆 2 5 4 6 1 第二堆 （1）这两张上面的数字中有奇数的结果有多少种？ （2）这两张上面的数字的和是偶数的结果有多少种？ （3）这两张上面的数字的乘积大于10的结果有多少种？ 【答案】（1）4种 （2）3种 （3）3种 【分析】本题主要考查了通过列表来列出所有可能的结果，并根据不同的事件找到符合要求的结果的种数．在列表时注意，首行首列必须标清楚第一堆和第二堆所有的数字，再在表格中用（x，y）表示出每个结果。 【详解】解：所有可能的结果列表如下：（用（x，y）表示第一堆的数为x，第二堆的数为y） 1 4 6 2 （2,1） （2,4） （2,6） 5 （5,1） （5,4） （5,6） （1）有奇数的结果共有4种，分别是（2,1）、（5,1）、（5,4）、（5,6）. （2）和是偶数的结果有3种，分别是（2,4）、（2,6）、（5,1）. （3）数字的乘积大于10的结果有3种，分别是（2,6）、（5,4）、（5,6）. 4.树状图法确定事件结果的种数 错误：每一树状图“枝杈”上可能有哪些结果不能一一列举。 注意：在作树状图时，要注意按照层级去列，第一层所有结果列出后，继续列第一层下每种结果的第二层的可能情况，按顺序列出不能缺漏。尤其注意，类似小球摸取时的放回与不放回有区别，不能混淆。 例4 在不透明的布袋中放入白色，灰色和黑色小球各1个，他们只有颜色不同。那么： （1）如果任意摸取其中两个小球，一共有多少种不同的结果？ （2）如果任意摸取一个小球后放回，再摸取一个小球，两次摸到的小球颜色不相同的结果有多少种？请用树状图解决问题。 【答案】（1）3种 （2）6种 【分析】本题主要考查了求事件的结果种数，第（1）中只要枚举即可，第（2）小题可以通过树状图求解，因为是有放回的摸取，因此第二次摸取时和第一次一样，都分别有3种可能。 【详解】（1）一共有3种，分别是：一白一灰、一白一黑和一灰一黑3种情况。 （2）所有可能的结果列树状图结果如下： 白色 灰色 白色 黑色 灰色 灰色 白色 黑色 黑色 灰色 白色 黑色 √ √ √ √ √ √ 由树状图可知，两次摸到的小球颜色不相同的结果有6种。 5.比较事件可能性的大小 错误：不同事件形式不能通过不同方式比较大小。在统计所有可能的结果时列表错误或树状图错误，在比较几何概型的问题时不知道可以通过比较几何图形的大小实现。 注意：熟悉均等事件和几何概型分别在比较事件可能性的大小时的区别。掌握前面列出的列表法和树状图法的注意事项；掌握几何概型通过计算几何图形的大小，代替事件可能性的种数； 例5 （24-25六年级下·上海宝山·期末）以下四个事件中，摸球一次，摸到红球的可能性从小到大的排列顺序是 .（这些球除颜色外都相同） ① 8个白球，2个红球，3个黑球；② 3个蓝球，9个白球，1个红球 ③ 6个白球，4个蓝球，3个红球；④ 2个黑球，4个红球，7个白球 【答案】②①③ ④ 【分析】本题考查了事件的可能性，在所有球中红球占的比例越高，摸到红球的可能性越大，由此可解． 【详解】解：①一共13个球，其中2个红球，摸到红球的可能性为； ②一共13个球，其中1个红球，摸到红球的可能性为； ③一共13个球，其中3个红球，摸到红球的可能性为； ④一共13个球，其中4个红球，摸到红球的可能性为； ， 因此摸到红球的可能性从小到大的排列顺序是②①③④， 故答案为：②①③④． 例6 （23-24八年级下·江苏泰州·期末）“年中狂欢购，回馈不停歇，惊喜连连，等你来拿！”6月18日上午，某商家在万达广场举行有奖销售活动，抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，若只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题： (1)得到以下奖品的可能性最小的是______； A．平板    B．手机    C．球拍    D．水壶 (2)请你设计下面翻奖牌反面剩余的奖品，奖品包含“手机”、“球拍”、“水壶”，使得抽到“水壶”的可能性抽到“球拍”的可能性抽到“手机”的可能性． 【答案】(1)B (2)见解析（答案不唯一） 【分析】本题主要考查可能性大小的判断，解题的关键是理解概率的计算公式． （1）分别求出获得手机，平板，水壶，和球拍的可能性大小，然后进行解答即可； （2）根据可能性的大小，保证“水壶”有3张，“球拍”有2张，“手机”有1张即可． 【详解】（1）解：由题意可知一共有9个数，其中对应“手机”的有1个，则抽到“手机”奖品的可能性是：；对应“平板”、水壶和球拍的数字有2个，则抽到“平板”、水壶和球拍的可能性均为， ∴得到“手机”的可能性最小， 故选：B． （2）解：∵抽到“水壶”的可能性抽到“球拍”的可能性抽到“手机”的可能性 ∴设计六张牌中有3张对应水壶，2张对应球拍，1张对应手机，如图所示： 如图所示， 二、事件的概率 1.用公式计算的概率问题——均等事件 错误：用公式计算概率时，统计错m或n的值。 注意：要列出所有可能的结果种数n和所有符合事件A可能的结果种数m，再用公式计算概率。越是复杂的问题，越是要借助于列表或树状图将所有情况列出，不要只用枚举法确定结果种数。 例7 （2025·重庆·模拟预测）如图，已知开关已损坏无法闭合，现随机闭合3个开关，，中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率．根据题意列举出所有等可能的结果是解题的关键． 由题意知，随机闭合3个开关，，中的两个开关，共有（，）（， ），（，）三种等可能的结果，其中能够使小灯泡L发光的共有（，）（， ），两种等可能的结果，然后求概率即可． 【详解】解：由题意知，随机闭合3个开关，，中的两个开关， 共有（，）（， ），（，）三种等可能的结果， 其中能够使小灯泡L发光的共有（，）（， ），两种等可能的结果， ∴使小灯泡L发光的概率是． 故答案为：． 例8 （24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）在一个不透明的袋子中装有红、黄、白球分别为3、4、5个，这些球除颜色外完全相同，从袋中任取一个球，则取到的不是黄球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式求概率；首先求出球的总量；然后根据概率公式，用红、白球的数量除以球的总量，求出取到的不是黄球的概率是多少即可． 【详解】解：取到的不是黄球的概率是， 故答案为：． 2.用公式计算的概率问题——几何事件 错误：用公式计算几何相关的概率问题时，计算错表示事件A的m的值。 注意：在用公式计算几何相关的概率问题时，m可能表示一段线段中的长度，也可能是一定面积范围内事件A所占的面积，也可能是空间内事件A所占的体积。 例9 （2025·山东青岛·三模）如图，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形内，装饰图中的三角形顶点，分别在边，上，三角形的边在边上，若在矩形区域内随机取点，则这个点落在空白部分的概率 ． 【答案】 【分析】设七巧板的边长为，根据正方形的性质、矩形的性质分别表示出，，进一步求出落在空白部分的概率． 本题考查了几何概率，矩形的性质，七巧板，关键是熟悉七巧板的特征，表示出，的长． 【详解】解：设七巧板的边长为，则，， ∴矩形区域的面积， ∴空白部分的面积， ∴这个点落在空白部分的概率为． 故答案为：． 3.用公式计算的概率问题——数学问题 错误：对初中阶段所有学习的数学问题掌握不扎实。 注意：概率问题中还会涉及到以往学习的其他数学问题，要注意复习各类数学知识，以下是可能的举例： （1）数的辨析，掌握有理数、实数、平方根和立方根、二次根式等概念；比如在10个数中抽到有理数的概率； （2）代数的辨析，掌握整式、分式、单项式和多项式等概念，比如在8个整式中抽到单项式的概率； （3）方程与不等式的解的辨析，掌握不同方程或不等式求解方法，比如考查5个答案中，抽到已知方程的正确解的概率。 函数的辨析，掌握点与函数图象的关系，掌握不同函数的性质等，比如在6个点中抽到在已知二次函数图象上的点的概率； （4）几何图形的性质，掌握不同几何图形的定理和性质，比如在不同几何图形中抽到中心对称图形的概率； （5）其他。 例10 （2025·浙江·一模）有根木棒，长度分别为，，，，，从中任取根木棒首尾相接，能组成三角形的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率的计算和三角形三边关系的应用．解题的关键是先找出所有可能的组合，再根据三角形三边关系筛选出能组成三角形的组合，最后计算概率． 先列出从5根木棒中任取3根的所有组合；再根据“三角形任意两边之和大于第三边”判断哪些组合能组成三角形；最后用能组成三角形的组合数除以总组合数得到概率． 【详解】解：从5根木棒中任取3根，所有可能的组合有： 、、、、、、、、、，共种． 根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，能组成三角形的组合有： 、、、、，共5种． 则能组成三角形的概率为． 故答案为： 例11 （2025·四川成都·三模）已知是不等式的正整数解，则分式方程有整数解的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，一元一次不等式组的整数解，解分式方程等知识，解不等式组得，所以正整数的值为4、5、6、7，解分式方程得，再分别求出的值即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：解不等式组得：， ∴正整数的值为4、5、6、7， 解分式方程得：， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴分式方程有整数解的概率为， 故答案为： 4.频率和概率概念的辨析 错误：将频率和概率混为一谈。比如认为频率就是概率。 注意：频率不是概率，概率是事件本身的性质，不会随着每次试验产生变化；频率是试验结果的统计量，同一个场景里，每次试验结果的频率都会有所不同。 例12 （24-25九年级上·福建·期中）农科院某研究所在相同条件下做某种农作物的发芽率试验，结果如下表所示： 种子个数 200 500 700 800 900 1000 发芽种子个数 187 435 624 718 814 901 种子发芽率 0.935 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901 下面有四个判断，其中合理的是（    ） A．试验种子的个数最少的那次试验得到的种子发芽的频率一定是种子发芽的概率 B．试验种子的个数最多的那次试验得到的种子发芽的频率一定是种子发芽的概率 C．种子发芽的概率为 D．随着参加试验的种子数量增加，种子发芽的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定的位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：根据大量试验得到的发芽率即为概率，故说法正确的是D选项， 故选：D． 5.概率公式的变形应用 错误：只会通过m和n求解P(A)，不会通过P(A)和n求解m，或者通过P(A)和m求解n。 注意：由概率公式可以推导出： （1），也就是说，当已知某一事件A的概率和所有结果种数n时，可以求出事件A可能的结果种数m； （2），也就是说，当已知某一事件A的概率和该事件可能的结果种数m，可以据此求出所有结果种数n。 例13 （24-25九年级上·全国·期末）在一个不透明的布袋中装有个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查利用频率估计概率． 利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：设袋子中黄球有个， 根据题意，得：， 解得：， 即布袋中黄球可能有个． 故选D． 例14 （24-25七年级下·四川成都·期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球4个，黑球比白球多4个，从盒子随机摸出一个球是白球的概率是． (1)求盒子中白球的个数； (2)能否通过只改变盒子中红球的数量，使得任意摸出一个球是白球的概率为，若能，请问如何调整红球数量；若不能，请说明理由． 【答案】(1)盒子中白球的个数为4； (2)盒子还要增加4个红球． 【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是根据概率公式列出相应的方程． （1）设白球的个数为x，根据“随机摸出一个球是白球的概率是”，求出x的值，从而得出答案； （2）设增加红球的个数为y，根据“任意摸出一个球是白球的概率为”，列出关于y的方程，解之即可得出答案． 【详解】（1）解：设白球的个数为x， 由题可得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， ∴盒子中白球的个数为4； （2）解：设增加红球的个数为y， 由题可得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， ∴盒子还要增加4个红球． 三、概率的实际应用 1.实际问题中的概率问题 错误：在解决概率问题时，常见的错误发生在： （1）分析题目已知条件，确定所求事件的范围； （2）列表或列树状图时有缺漏，导致求m和n时出错； （3）计算或化简时出错，或答题时出错。 注意：统计出m和n要避免缺漏，要正确使用概率公式。 例15 （24-25七年级下·山东青岛·期末）端午节某商场举办了“幸运抽奖”活动，抽奖箱里共有14个小球，其中有8个红球、4个白球和2个绿球，它们除颜色外其余都相同，小颖和小亮参与了这个活动． (1)从中任意摸出一球，若摸到红球，则小颖获得奖励；若摸到白球，小亮获得奖励，这个活动对双方公平吗？请说明你的理由； (2)现在要从箱中取出若干个红球，再放入相同数量的白球，使得这个活动对双方公平，则要取出多少个红球？ 【答案】(1)活动对双方不公平，理由见解析； (2)取出2个红球． 【分析】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （1）利用概率公式分别求出小颍和小亮获得奖励的概率，进而得出答案； （2）设取出了x个红球，直接利用当红球与白球个数相等时，小颍和小亮获得奖励的概率相等，则活动公平，列出方程，求出答案即可． 【详解】（1）解：（1）不公平． 由题意可得：小颍获得奖励的概率为，小亮获得奖励的概率为； ∵， ∴活动对双方不公平； （2）解：设取出了x个红球，当红球与白球个数相等时，活动公平，则： ， ∴． 答：取出2个红球． 例16 （24-25七年级下·河南平顶山·期末）某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 【答案】(1)、 (2)， (3) 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据频率和频数的关系求得a和b的值即可； （2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可； （3）利用概率公式分别求得、、的值后比较大小即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：、； （2）解：若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是； 故答案为：，； （3）解：，，， ． 例17 （2025·甘肃甘南·中考真题）某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： (1)共调查了______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为______； (2)请补全条形统计图； (3)若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 【答案】(1)50， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，从统计图中获取数量和数量之间的关系，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的关键． （1）由B的人数除以所占百分比得出共调查的学生人数，再由乘以A的占比即可求解圆心角即可解决问题； （2）求出D、C的人数，即可解决问题； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：共调查的学生人数为：（名）， ∴图2中A所对应的圆心角度数为：， 故答案为：50，； （2）解：D的人数为：（人） ∴C的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种， ∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为． 1．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）某日天气预报信息显示：明天最高气温，最低气温，降水概率为．根据此信息，下列说法中，你最认可的是（   ） A．明天一定下雨 B．明天不可能下雨 C．明天下雨的可能性较小 D．明天下雨的可能性较大 【答案】D 【分析】本题主要考查概率的意义，根据降水的概率所提供的数字进行判断是解答本题关键． 根据题意，明天是否下雨和最高温度、最低温度无关，根据降水概率为进行分析，明天下雨的可能性较大． 【详解】解：降水概率为，那么明天下雨的可能性较大． 故选：D． 2．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）口袋里有10个球，这些球除颜色外其他的完全相同，其中白球有3个，红球有7个，从中任意摸出一个球，下列说法中不正确的是（   ）． A．可能摸到白球，也可能摸到红球 B．一定摸到红球 C．摸到红球的可能性大 D．摸到白球的可能性小 【答案】B 【分析】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握可能性大小的概念．根据可能性的大小的概念求解即可． 【详解】解：从装有白球有3个，红球有7个的口袋中，任意摸出一个球，两种颜色的球均有可能，是红球的可能性大于白球的可能性，故B错误，符合题意． 故选：B． 3．（2025·广东深圳·三模）深大城际（轨道交通号线）是大湾区城际铁路网的重要组成部分，起于深圳机场，终至惠州大亚湾．全线站，其中深圳段站，惠州大亚湾段站，小深同学随机选择其中个站点参观，则该站点恰好属于深圳段的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．直接由概率公式求解即可； 【详解】解：小深同学随机选择其中个站点参观共有种等可能的结果，其中该站点恰好属于深圳段的有种结果， 所以该站点恰好属于深圳段的概率为， 故选：D． 4．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是几何概率，熟练掌握概率的计算是解题的关键． 根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分的面积为个面积相等的三角形，根据概率公式可知，指针落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积除以正八边形的面积，据此计算即可． 【详解】解：根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形， 其中阴影部分的面积为个面积相等的三角形， 指针落在阴影部分的概率是． 故选：C． 5．（24-25九年级上·全国·期末）有四张形状、大小，质地完全相同的卡片，每张卡片的正面写有一个算式，将四张卡片置于暗箱摇匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的算式都正确的概率是（    ） ①；②；③；④． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率的计算．熟练使用列举法或树状图法列出所有可能情况是解题的关键． 先判断每个算式是否正确，然后通过列举法找出四张卡片种随机抽取两张的所有可能情况，再找出两张卡片算式都正确的情况，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：算式①中，并非，该算式错误； 算式②中正确； 算式③中不能合并同类项，该算式错误； 算式④正确； 抽取两张卡片的所有情况有：①②、①③、①④、②③、②④、③④共6种， 其中抽取的两张卡片上的算式都正确的情况有：②④，共1种， 所以抽取的两张卡片上的算式都正确的概率是， 故选C． 6．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）下面四个试验中，试验结果概率最小的是（   ） A．如图1，在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果，绘制了折线统计图，估计出了钉尖朝上的概率 B．如图2，这是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率 C．小明、小红、小刚3位同学合影留念，3人随机站成一排，小明、小刚两人恰好相邻的概率 D．有7张卡片，分别标有数字1，2，3，4，6，8，9，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张，抽出标有的数字“大于6”的卡片的概率 【答案】D 【分析】本题考查概率的计算，根据概率的求解方法分别求出各概率的大小，即可判断． 【详解】A. 如图1，在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果绘制了下面的折线统计图，估计出的钉尖朝上的概率大概为0.4； B. 如图2，是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率为 ； C. 记小明、小红、小刚3位同学分别为A，B，C，3人随机站成一排，所有等可能的结果有，，，，，，共6种，其中小明、小刚两人恰好相邻的结果有，，，，共4种，∴小明、小刚两人恰好相邻的概率为； D. 有7张卡片，分别标有数字1，2，3，4，6，8，9，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张，抽出标有数字“大于6”的卡片的概率 ． 故选：D． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上． ①守株待兔； ②水中捞月； ③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上； ④任意画一个三角形，其内角和为180°； ⑤若，则； ⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数． （1）其中是必然事件的有 ； （2）其中是随机事件的有 ； （3）其中是确定事件的有 ． 【答案】 ④⑥ ①③⑤ ②④⑥ 【分析】本题主要考查了事件的分类， 根据随机事件，确定事件的定义解答即可. 【详解】解：①守株待兔是随机事件；②水中捞月是不可能事件，属于确定事件；③连续抛同一枚硬币2次都是正面朝上，这个事件是随机事件；④任意画一个三角形，其内角和为是必然事件，属于确定事件；⑤若，则或，所以是随机事件；⑥从1,3,5中任选一个数，这个数是奇数属于必然事件，属于确定事件； 必然事件的有：④⑥； 随机事件的有：①③⑤； 确定事件的有：②④⑥. 故答案为：④⑥；①③⑤；②④⑥. 8．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）在一个不透明的盒子中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则这个盒子中大约有 个白球． 【答案】12 【分析】此题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，首先根据红球的个数和摸到红球的频率求出球的总个数，然后减去红球的个数即可得到白球的个数． 【详解】解：∵有3个红球，摸到红球的频率稳定在0.2左右， ∴这个盒子中大约有个球， ∴（个）， ∴这个盒子中大约有12个白球． 故答案为：12． 9．（24-25七年级上·北京丰台·阶段练习）一枚硬币连掷 3 次，只有一次出现正面的概率是 ． 【答案】 【分析】列树状图计算即可． 本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，画图如下： 一共有8种等可能结果，其中只有一次出现正面的可能性有3种， 故只有一次出现正面的概率是， 故答案为：． 10．（2025·湖北·模拟预测）如图，两个带指针的转盘A，B分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是2，5，9，转盘B上的数字分别是3，6，8（两个转盘除表面数字不同之外，其他完全相同）．小美拨动A转盘上的指针，小丽拨动B转盘上的指针，使之旋转，指针停止后所指数字较大的一方获胜（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次），则 （填“小美”或“小丽”）获胜的可能性大． 【答案】小丽 【分析】考查了判断游戏公平性．解题关键抓住判断游戏公平性要先计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 先用列表法求得各自获胜的概率，再进行比较进行判断即可． 【详解】解：列表得： 2 5 9 3 2，3 5，3 9，3 6 2，6 5，6 9，6 8 2，8 5，8 9，8 共有 9 种可能，其中小美获胜的次数为，小丽获胜的次数为5， ∴， ∴， ∴小丽的获胜可能性较大． 故答案为：小丽． 11．（24-25七年级上·云南临沧·阶段练习）从标有数字，，，的张卡片中，任意抽取张；设事件为“取到的倍数”，事件为“取到的倍数”，事件为“取到比大的数”事件为“取到整数”． (1)发生可能性最大的事件是______，发生可能性最小的事件是______； (2)把事件、、、按照发生可能性的大小在数轴上用字母、、、标注出来． 【答案】(1)D， (2)见解析 【分析】本题主要考查可能性大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性概率的计算方法． （1）根据可能性大小的概念得出四个事件的可能性大小，从而得出答案； （2）根据所求数据表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：事件“取到的倍数”的可能性大小为， 事件“取到的倍数”的可能性大小为， 事件“取到比大的数”的可能性大小为， 事件“取到整数”的可能性大小为， 所以发生可能性最大的事件是，发生可能性最小的事件是， 故答案为：、； （2）如图： 12．（24-25七年级下·内蒙古包头·阶段练习）如图，现有一个转盘被平均分成6等份，分别标有2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，求： (1)转动转盘，转出的数字大于3的概率； (2)小圆和小梦一起做游戏，现有两张分别写有3和4的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．小圆说：“若这三条线段能构成等腰三角形，则我赢”小梦说：“若这三条线段构成的三角形的周长小于10，则我赢”，请问这个游戏规则对双方公平吗？试通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏规则对双方不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了游戏公平性的判断、三角形的三边关系、等腰三角形的判定、概率公式等知识点，掌握判断游戏公平性的方法是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）分别求出这三条线段能构成等腰三角形的概率和三条线段构成的三角形的周长小于10的概率，再进行比较即可解答． 【详解】（1）解：∵转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，大于3的结果有4种， ∴转出的数字大于3的概率为． （2）解：这个游戏规则对双方不公平；理由如下： ∵转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能构成等腰三角形的结果有2种， ∴能构成等腰三角形的概率为； ∵构成的三角形的周长小于10的结果有1种， ∴构成的三角形的周长小于10的概率为； ∵， ∴小圆赢的概率小梦赢的概率， ∴这个游戏规则对双方不公平． 13．（24-25六年级下·上海·期中）为弘扬中华传统文化，崇明区某学校为配合“人人会瀛州古调”教学活动，开设了民族器乐选修课程．学生参加选修课的情况见如下统计图（图1、图2）．请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：（请在空格处填入相应答案） (1)共有 名学生参加了选修课程学习； (2)扇形统计图（图2）中，“琵琶”部分所对应的圆心角为 度； (3)如果从选择“古筝”选项的学生中，随机抽取12名学生参加一次区“古筝”比赛，那么学生被选中的可能性大小是 ． 【答案】(1)200 (2)72 (3) 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及事件发生的可能性大小，正确理解题意、从统计图中得出有效的信息是解题的关键． （1）用条形统计图中选修二胡的人数除以扇形统计图中的占比即可求解； （2）先计算选修古筝的人数，进而可得选修琵琶的人数，再计算圆心角即可； （3）用12除以选修古筝的人数即可求解． 【详解】（1）解：； 所以共有200名学生参加了选修课程学习； 故答案为：200； （2）解：选项古筝的人数为， 所以选修琵琶的人数为人， 所以扇形统计图（图2）中，“琵琶”部分所对应的圆心角为度； 故答案为：72； （3）解：如果从选择“古筝”选项的学生中，随机抽取12名学生参加一次区“古筝”比赛，那么学生被选中的可能性大小是； 故答案为：． 14．（24-25九年级上·全国·期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 73 117 152 370 604 751 摸到白球的频率 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近___________；随机摸出一个球，摸到白球的概率是___________，摸到黑球的概率是___________；（保留两位小数） (2)试估算，口袋中黑球的个数是________，白球的个数是___________； (3)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌均匀，再任意摸出一个球，请用树状图的方法求两次摸到的球的颜色正好相同的概率． 【答案】(1)，， (2)1，3 (3) 【分析】（1）本题考查了由频率估计概率，随着n的增大，频率逐渐稳定在，即得到摸到白球的概率，从而得到摸到黑球的概率． （2）本题考查了概率的相关计算，根据概率乘以总数即可解题． （3）本题考查了用树状图求概率，根据题意画出树状图，得到两次摸到的球的颜色正好相同的情况数再除以总的情况数，即可解题． 【详解】（1）解：由题意知，摸到白球的频率逐渐接近：， 则摸到白球的概率可看作：， 摸到黑球的概率：． 故答案为：，，； （2）解：由（1）可知摸到白球的概率为，摸到黑球的概率为，而小球总数为4， 所以口袋中黑球的个数：， 口袋中白球的个数：． 故答案为：1，3； （3）解：画树状图如下， 共有16种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色正好相同的有10种情况， 两次摸到的球的颜色正好相同的概率为． 27 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$