10.1 幂的运算 课件 2025-2026学年青岛版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“幂的运算”核心内容，涵盖同底数幂乘除、积的乘方、幂的乘方及零指数、负整数指数幂运算，通过国画装裱面积、超级计算机运算次数等现实情境导入，引导学生从具体问题抽象出运算性质，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以真实情境（如木星卫星质量比、原子半径）培养数学眼光，通过乘方意义推导公式发展推理意识，用科学记数法表示微观量强化数学语言表达。采用问题驱动教学，帮助学生建立知识逻辑，教师可高效组织探究活动，提升学生运算能力与应用意识。

第10章 整式的乘法与除法 数学 青岛版 七年级下册 中国画，简称国画，是我国传统的绘画形式。创作时，作画者用毛笔蘸水、墨、彩在纸或绢上绘画。为使国画更美观、易保存，人们通常会把它们装裱起来，以供收藏和观赏。下图是我国著名画家徐悲鸿的国画作品《群奔》装裱后的效果这种横长竖短的长方形裱画样式叫作“横披”。 《群奔》( 徐悲鸿纪念馆藏) 如下图，这幅横披的画心宽为a，长为b，装裱后画心左右各增加c，上下各增加d。怎样表示整幅横披的面积? 有几种表示方法?不同的表示方法之间有什么关系? 10.1 幂的运算 4 幂方便了“大数”的表示。为了解决“大数”的运算问题，我们从同底数幂的乘法开始研究。 新课导入 10.1 幂的运算 某超级计算机持续运算速度约为 9.3×1016 次/s，它工作 104 s大约可进行多少次运算? 它工作 104 s运算的次数约为 9.3×1016×104。 新课讲解 10.1 幂的运算 (1) 如何计算 1016×104? 根据乘方的意义，得 1016×104＝ (10×10×···×10)×(10×10×10×10) ＝10×10×···×10 ＝1020. 16个10 20个10 10.1 幂的运算 (2)计算下列各式，结果写成幂的形式。 34×33＝____________________； a2·a6＝____________________； ()m·()n＝_________________(m，n为正整数)。 37 a8 ()m＋n 10.1 幂的运算 (3) 当 m，n 为正整数时，如何计算 am·an? am·an＝( a · a · … · a ) · ( a · a · … · a ) m个a n个a ＝( a · a · … · a ) (m＋n)个a ＝am＋n。 10.1 幂的运算 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 am.an ＝am＋n (m，n为正整数)。 10.1 幂的运算 根据这一运算性质，可以得出该超级计算机工作 10s 的运算次数约为 9.3×1016×104 ＝ 9.3×1020。 10.1 幂的运算 计算： 例 1 (1) x3·x5； (2) ()m·()2＋m； (3) b2m＋1·b2m－1； (4) a·a2·a3。 解：x3·x5＝x3＋5＝x8。 解： ()m·()2＋m＝()m＋2＋m ＝()2m＋2。 解：b2m＋1·b2m－1＝b2m＋1＋2m－1＝ b4m。 解： a·a2·a3＝ a1＋2·a3＝ a1＋2＋3＝a6。 10.1 幂的运算 怎样计算 am·an·ap? 10.1 幂的运算 1. 计算： (1) a2·a5； (2) 2n·2n＋1； (3) xm·xm＋1； (4) a2m·a3m－2·am＋2。 解：(1) a2 • a5＝a2＋5＝a7. (2) 2n • 2n＋1＝2n＋n＋1＝22n＋1. (3) xm • xm＋1＝xm＋m＋1＝x2m＋1. (4) a2m • a3m－2 • am＋2＝a2m＋3m－2＋m＋2 ＝a6m. 10.1 幂的运算 2.已知光在真空中的速度大约是 3×108 m/s，1光年是光在真空中 1 年 (按3.2×107s计算) 内所走过的距离。“中国天眼”在2022 年探测到一个尺度大约为 200 万光年的原子气体结构，这个原子气体结构的尺度约为多少米? 解：3×108×3.2×107×2000 000＝1.92×1022 (m). 所以，这个原子气体结构的尺度约为 1.92×1022 m. 10.1 幂的运算 由乘方的意义，我们可以发现同底数幂相乘，底数不变，指数相加。积的乘方有什么性质? 10.1 幂的运算 太阳、地球都可以近似地看作球体，它们的半径之比约为 109:1。设地球的半径为 r，求太阳的体积。 10.1 幂的运算 地球的半径为 r，所以太阳的半径为 109r。所以地球的体积为πr3，太阳的体积为π(109r)3。 在上面的算式中，(109r)3，表示两数积的乘方。 10.1 幂的运算 (1) 如何计算 (109r)3 呢? 根据乘方的意义、乘法交换律和结合律，得 (109r)3＝ 109r·109r·109r ＝ (109×109×109)·(r·r·r) ＝ 1093r3。 10.1 幂的运算 (2) 计算下列各式： (3b)2＝__________________； (bc)3＝__________________。 9b2 b3c3 10.1 幂的运算 (3) 如何计算 (ab)m? (ab)m ＝ (ab)·(ab)· …· (ab) ＝ (a · a · … · a) · ( b · b・…・b) ＝ ambm 。 m个ab m个a m个b 10.1 幂的运算 积的乘方等于各因数乘方的积，即 (ab)m ＝ambm (m为正整数)。 10.1 幂的运算 计算： 例 2 (1) (3x)3； (2) (－a)4； (3) (5mn)2； (4) (－2ab)3。 解：(3x)3＝33x3＝27x3。 解： (－a)4＝(－)4·a4＝a4。 解：(5mn)2＝52·(mn)2＝52·m2·n2＝25m2n2。 解：(－2ab)3＝(－2)3·(ab)3＝(－2)3·a3·b3＝－8a3b3。 10.1 幂的运算 怎样计算 (abc)m ? 10.1 幂的运算 1. 计算： (1) (m)3； (2) (－4b)3； (3) (7ab)2； (4) －(xy)4。 解：(1) (m)3＝()3 • m3＝m3. (2) (－4b)3＝(－4)3 • b3＝－64b3. (3) (7ab)2＝72 • a2 • b2＝49a2b2. (4) －(xy)4＝－x4y4. 10.1 幂的运算 2. 计算： (1) 8×0.1252； (2) 420×(－)21。 解：(1) 82×0.1252＝(8×0.125)2＝12＝1. (2) 420×(－)21＝420×(－)20×(－) ＝[4×(－)]20×(－) ＝(－1)20×(－) ＝1×(－) ＝－. 10.1 幂的运算 由乘方的意义，我们可以发现积的乘方等于各因数乘方的积。当因数相等时，积的乘方有什么性质? 10.1 幂的运算 地球可以近似地看作球体，半径约为 6.37×103 km，它的体积约为多少(结果精确到1010km3) ? 根据球的体积公式，地球的体积约为 ×3.14×(6.37×103)3 km3。 10.1 幂的运算 (1) 如何计算 (6.37×103)3 ? 根据积的乘方可知 (6.37×103)3＝6.37×(103)3，其中 (103)3 是幂的乘方运算。根据乘方的意义和同底数幂的乘法，得 (103)3＝103×103×103＝103＋3＋3＝109。 由此可以求出地球的体积约为 1.08×1012 km3。 10.1 幂的运算 (2) 计算下列各式，结果写成幂的形式： (24)2＝_____________； (a3)3＝_____________； (am)4＝____________。 28 a9 a4m 10.1 幂的运算 (3) 观察上面的算式以及运算结果，你能发现什么规律? 当 m，n 为正整数时， (am)n ＝ am · am · … · am ＝a m＋m＋···＋m ＝amn。 n个am n个m 10.1 幂的运算 幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 (am)n＝amn (m，n为正整数)。 10.1 幂的运算 计算： 例 3 (1) (a2)3； (2) (am)2； (3) －(b4)2。 解：(1) (a2)3＝a2×3＝a6。 (2) (am)=a2m。 (3) －(b4)2＝－b4×2＝－b8。 10.1 幂的运算 计算： 例 4 (1) (－3x4)2； (2) (2a2b)3。 解：(1) (－3x4)2＝(－3)2·(x4)2＝9x8。 (2) (2a2b)3＝23·(a2)3・b3＝8a6b3。 10.1 幂的运算 1.计算： (1) (34)n； (2)(－2ab2)3； (3) (2.5×103)2。 解：(1) (34)n＝ 34×n＝34n. (2) (－2ab2)3＝(－2)3 • a3 • (b2)3＝－8a3b6. (3) (2.5×103)2＝2.52×(103)2＝6.25×106. 10.1 幂的运算 2.下列各式的计算结果是否正确? 若不正确，应怎样改正？ (1) (x3)2＝x9； (2) (x3)3＝x6； (3) (ab2)4＝ab8。 解：(1)不正确. (x3)2＝x3×2＝x6. (2)不正确. (x3)3＝x3×3＝x9. (3)不正确. (ab2)4＝a4 • (b2)4＝a4b8. 10.1 幂的运算 我们学习了同底数幂的乘法的性质，同底数幂的除法有什么性质? 10.1 幂的运算 木星有 92 颗卫星，其中木卫四的质量约为 1023kg。火星有 2颗卫星，其中火卫一的质量约为 1016kg。木卫四的质量约为火卫一的质量的多少倍? 10.1 幂的运算 1023÷1016＝? 这是同底数幂的除法，可以根据乘方的意义计算。 10.1 幂的运算 根据乘方的意义，得 1023÷1016 ＝ 23个10 16个10 ＝1023－16 ＝107。 所以木卫四的质量约为火卫一的质量的 107 倍。 10.1 幂的运算 (1) 计算下列各式： ()6÷()2＝____________； (－3)5÷(－3)3＝______________； (－3)m÷(－3)n＝_____________(m，n为正整数，且 m＞n)。 9 (－3)m－n 10.1 幂的运算 (2) 对于不为零的有理数 a，如何计算 am÷an (m，n 为正整数，且 m＞n)? am÷an＝ ＝ a • a • ··· • a ＝ am－n。 m个a n个a 也可以由除法是乘法的逆运算得到运算结果。由同底数幂乘法的运算性质可知 am－n • an＝am，所以 am÷an＝am－n。 10.1 幂的运算 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 am÷an＝am－n (a≠0，m，n为正整数，且 m＞n)。 10.1 幂的运算 计算： 例 5 (1) x6÷x3； (2) ()8÷()6； (3) (－ab)5÷(－ab)2； (4) a2m＋3÷a2。 解：(1) x6÷x3＝x6－3＝x3。 (2) ()8÷()6＝()8－6＝()2＝。 (3) (－ab)5÷(－ab)2＝(－ab)5－2 ＝(－ab)3＝－a3b3。 (4) a2m＋3÷a2＝a2m＋3－2＝a2m＋1。 10.1 幂的运算 1.计算： (1) ()6÷()3； (2) (－m)5÷(－m)2； (3) am÷am－2； (4) (xy)6÷(xy)3。 解：(1) ()6÷()3＝()6－3＝()3＝. (2) (－m)5÷(－m)2 ＝(－m)5－2＝(－m)3＝－m3. (3) am÷am－2＝am－(m－2)＝am－m＋2＝a2. (4) (xy)6÷(xy)3＝(xy)6－3＝(xy)3＝x3y3. 10.1 幂的运算 2.下列各式的计算结果是否正确? 若不正确，应怎样改正? (1) m6÷m2＝m3； (2) (－a)3÷(－a)＝－a2； (3) am＋1÷am－1＝a2； (4) a2m÷am＝a2。 解：(1)不正确. m6÷m2＝m6－2＝m4. (2)不正确. (－a)3÷(－a)＝(－a)3－1＝(－a)2＝a2. (3)正确. (4)不正确. a2m÷am＝a2m－m＝am. 10.1 幂的运算 对于同底数幂的除法，当 m＞n 时，am÷an=am－n。当 m＜n或 m＝n 时，我们又该怎样表示 am÷an 的运算结果呢? 10.1 幂的运算 计算 102÷102，102÷104 和 103÷106，你能发现什么规律? 10.1 幂的运算 由分数的意义和分数的性质，可进行约分得到 102÷102 ＝ ＝1； 102÷104 ＝ ＝ ＝ ； 103÷106 ＝ ＝ ＝ 。 10.1 幂的运算 这些式子都是同底数幂的除法运算，那么 102÷102＝102－2＝100； 102÷104＝102－4＝10－2； 103÷106＝103－6＝10－3。 于是有：100＝1；10－2＝；10－3＝。 10.1 幂的运算 任何不等于零的数的 0 次幂都等于1，即 a0＝1 (a≠0)。 不等于零的数的 －p (p是正整数) 次幂等于这个数的 p 次幂的倒数，即 a－p＝ (a≠0，p为正整数)。 10.1 幂的运算 计算： 例 6 (1) (－3)0； (2) 4－1； (3) (－5)－2。 解：(1) (－3)0＝1。 (2) 4－1＝。 (3) (－5)－2＝＝。 10.1 幂的运算 计算： (1) 60； (2) 10－4； (3) (－3)－3； (4) ()－4。 解：(1) 60＝1. (2) 10－4＝＝. (3) (－3)－3＝＝＝－. (4) ()－4＝ ＝81. 10.1 幂的运算 引入零指数和负整数指数后，指数的范围从正整数扩充至整数，正整数指数幂的运算性质能否推广到整数指数幂? 10.1 幂的运算 (1) 如何计算 25×2－2 和 20÷2－2? 我发现，可以用整数指数幂的意义计算。 25×2－2＝25×＝＝23＝8； 20÷2－2＝1÷＝4。 10.1 幂的运算 我用同底数幂的乘法与除法的性质计算。 25×2－2＝25＋(－2)＝23＝8； 20÷2－2＝20－(－2)＝22＝4。 由此可见，同底数幂的乘法和除法的运算性质对整数指数幂仍适用。 10.1 幂的运算 (2) 幂的乘方和积的乘方的运算性质在整数范围内是否适用? 10.1 幂的运算 引入零指数和负整数指数后，原有的幂的运算性质中指数的范围可以推广到整数，即 am • an＝am＋n (m，n为整数)； am÷an＝ am－n (m，n为整数)； (am)n＝ amn (m，n 为整数)； (ab)m＝ambm (m 为整数)。 10.1 幂的运算 计算： 例 7 (1) ()4×()－2； (2) 5－1÷5－3； (3) (3×10－3)2。 解：(1) ()4×()－2＝()4＋(－2)＝()2＝。 (2) 5－1÷5－3＝5－1－(－3)＝52＝25。 (3) (3×10－3)2＝3×(10－3)2＝9×10－6。 10.1 幂的运算 计算： 例 8 (1) x5÷x－2； (2) (－a2b)÷(－a2b)－2。 解：(1) x5÷x－2 ＝x5－(－2) ＝ x7。 (2) (－a2b)÷(－a2b)－2＝(－a2b)1－(－2) ＝(－a2b)3＝－(a2)3b3＝－ a6b3。 10.1 幂的运算 1. 计算： (1) 2－2×2－3； (2) 33×3－2÷38； (3) x2 • x3÷x8； (4) (a－5)－2÷a－6。 解：(1) 2－2×2－3＝2－2＋(－3)＝2－5＝＝. (2) 33×3－2÷38＝33＋(－2)－8＝3－7＝. (3) x2・x3÷x8＝x2＋3－8＝x－3＝. (4) (a－5)－2÷a－6＝a10÷a－6＝a10－(－6) ＝a16. 10.1 幂的运算 2.计算：(a＋1)3(a＋1)－1÷(a＋1)－2。 解：(a＋1)3(a＋1)－1÷(a＋1)－2 ＝ (a＋1)3＋(－1)－(－2) ＝ (a＋1)4. 10.1 幂的运算 我们曾用科学记数法表示绝对值较大的数，那么能否用科学记数法表示绝对值较小的数呢? 10.1 幂的运算 (1)下面的数是否可以用科学记数法表示? 某原子的半径约为一百亿分之一米； ＝1×10－10； 10.1 幂的运算 世界上最轻的昆虫的质量约为 0.000 005 g； 红细胞的平均直径约为 0.000 007 2 m。 0.00 005＝＝5×10－6； 0.000 007 2 ＝＝7.2×10－6。 10.1 幂的运算 (2)用10的负整数指数幂表示 0.000···01 这样的小数有什么规律? 0.000···01＝10－n。 n个0 10.1 幂的运算 绝对值小于1的非零数可以记作 a×10－n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 是正整数。 10.1 幂的运算 微米(μm)是一种长度计量单位，1μm 的长度是1mm 的千分之一纳米(nm)是更小的长度计量单位，1nm为1μm的千分之一。已知某种球菌的直径约为 0.5μm，某种病毒的直径约为22nm，用科学记数法表示它们的直径，分别约为多少米? 例 9 解：因为 1μm＝ 10－6m，1nm＝10－9 m， 0.5×10－6＝5×10－7(m)，22×10－9＝2.2×10－8(m)， 所以，这种球菌的直径约为 5×10－7m，这种病毒的直径约为 2.2×10－8 m。 10.1 幂的运算 1. 用科学记数法表示下列各数： (1) 0.000 04； (2) －0.034； (3) 0.000 000 45； (4) 0.003 009。 解：(1) 0.000 04＝4×10－5. (2) － 0.034＝3.4×10－2. (3) 0.000 000 45＝4.5×10－7. (4) 0.003 009＝3.009×10－3. 10.1 幂的运算 2. 用小数表示下列各数： (1) 2.1×10－5； (2) －5×10－7。 解：(1) 2.1×10－5＝0.000 021. (2) －5×10－7＝－0.000 0005. 10.1 幂的运算 课堂小结 10.1 幂的运算 习题 10.1 10.1 幂的运算 1.计算： ▣ 复习巩固 (1) ()2×()3； (2) 3m×32m－1； (3) (－a)3·(－a)4； (4) t m＋2· t m＋1. 解：(1) ()2×()3＝()2＋3＝()5＝. (2) 3m • 32m－1＝3m＋2m－1＝33m－1. (3) (－a)3 • (－a)4＝(－a)3＋4＝(－a)7＝－a7. (4) tm＋2 • tm＋1＝tm＋2＋m＋1＝t2m＋3. 10.1 幂的运算 2.计算： (1) x8·x8·x8； (2) an＋1·an·a； (3) (t2)4； (4) (－a4)3。 解：(1) x8 • x8 • x8＝x8＋8＋8＝x24. (2) an＋1 • an • a ＝ an＋1＋n＋1＝a2n＋2. (3) (t2)4＝ t2×4 ＝ t8. (4) (－a4)3＝－a4×3＝－a12. 10.1 幂的运算 3.计算： (1) (－2x)4； (3) (3xyz)2。 解：(1)(－2x)4＝(－2)4 • x4＝16x4 . (2) (3xyz)2＝32・x2y2z2 ＝9x2y2z2. 10.1 幂的运算 4.计算： (1) (xy)3·x2； (2) (7ab2)m； (3) (－3x2)3－[(2x)2]3。 解：(1) (xy)3 • x2 ＝x3 • y3 • x2 ＝x5y3. (2) (7ab2)m ＝ 7m • am • (b2)m＝ 7mamb2m. (3) (－3x2)3－[(2x)2]3＝(－3)3・(x2)3－(2x)6 ＝－27x6－64x6＝－91x6. 10.1 幂的运算 5. 一个正方体的棱长为 2×103 cm，它的体积是多少? 解：(2×103)3＝2×(103)3＝8×109 (cm3). 所以，它的体积是 8×109 cm3. 10.1 幂的运算 6. 计算： (1) 0.16－0.13； (2) (－3)7÷(－3)4； (3) ()7÷(－)3； (4) (a－b)5÷(a－b)2； (5) (xy)5÷(xy)3； (6) (m2)5÷(m3)2。 解：(1) 0.16÷0.13＝0.16－3＝0.13＝0.001. (2) (－3)7÷(－3)4＝(－3)7－4＝(－3)3＝－27. (3) ()7÷(－)3＝－()7－3＝－()4＝－. (4) (a－b)5÷(a－b)2＝ (a－b)5－2＝(a－b)3. (5) (xy)5÷(xy)3＝(xy)5－3＝(xy)2＝x2y2. (6) (m2)5÷(m3)2＝m10÷m6＝m4. 10.1 幂的运算 7. 计算： (1) 50＋4－2； (2) 32＋()－3。 解：(1) 50＋4－2＝1＋＝1＋＝. (2) 32＋()－3＝9＋＝9＋＝9＋27＝36. 10.1 幂的运算 8. 计算： (1) 3－2×33； (2) (2－5)2； (3) a3÷a－5； (4) (x－1y－2)－1； (5) b－3・b8÷b2； (6) m3·m5÷(m－2·m9)。 解：(1) 3－2×33＝3－2＋3＝31＝3. (2) (2－5)2＝2－5×2＝2－10＝. (3) a3÷a－5＝a3－(－5)＝a8. (4) (x－1y－2)－1＝(x－1)－1・(y－2)－1＝xy2. (5) b－3・b8÷b2＝b－3＋8－2＝b3. (6) m3 • m5÷(m－2 • m9)＝m8÷ m7＝m8－7＝m. 10.1 幂的运算 9. 碳纤维的直径为 0.000 005 m，一个碳纤维机器人的质量为 0.000 106 kg。用科学记数法表示 0.000 005 和 0.000 106。 解：0.000 005＝5×10－6. 0.000 106＝1.06×10－4. 10.1 幂的运算 10. 水由水分子构成，1g 水中约有 3.34×1022 个水分子，请估算1kg 水中有多少个水分子(结果用科学记数法表示)。 解：3.34×1022×1 000＝3.34×1022×103＝3.34×1025(个). 所以，1kg 水中约有 3.34×1025 个水分子. 10.1 幂的运算 11. 将下列各数写成小数的形式： (1) 3.67×10－5； (2) －2.8×10－6 . 解：(1) 3.67×10－5＝0.000 036 7. (2) －2.8×10－6＝ －0.000 002 8. 10.1 幂的运算 12. 计算： (1) (－2)30×(0.5)30； (2) 2n×(x)n。 解：(1) (－2)30×(0.5)30＝(－2×0.5)30＝(－1)30＝1. (2) 2n×(x)n＝(2×x)n＝xn. 10.1 幂的运算 ▣ 拓展延伸 13. 已知 2x＝3，2y＝5，求 2x＋y 的值。 解：因为 2x＝3，2y＝5， 所以 2x＋y＝ 2x • 2y ＝ 3×5＝15. 10.1 幂的运算 14. 已知 xn＝2，求 (3xn)2－4(x3)n 的值。 解：因为 xn＝2， 所以 (3xn)2－4(x3)n =9(xn)2－4(xn)3 ＝9×22－4×23 ＝9×4－4×8 ＝36－32＝4. 10.1 幂的运算 15.一张数码照片的文件大小是 211 KB，存储量为 32GB (1GB＝220KB) 的 U 盘能存储多少张这样的数码照片? 解：32×220÷211－25×220÷211＝25＋20－11＝214＝16 384 (张). 所以，存储量为 32 GB 的 U 盘能存储 16 384 张这样的数码照片. 10.1 幂的运算 16. 我们都知道水滴石穿的道理，若水滴不断滴在一块石头的同一位置上，经过 40年，石头上形成了一个深为 4.8×10－2 m的小坑，请问小坑的深度平均每月增加多少米 (结果用科学记数法表示)? 解：(4.8×10－2)÷(40×12) ＝(4.8×10－2)÷(4.8×102)＝10－4 (m). 所以，小坑的深度平均每月增加 10－4 m. 10.1 幂的运算 ▣ 探索创新 17. 将 x9 写成 xm·xn 的形式。如果 m，n 均为正整数，可以写出多少种? 解：x9＝x • x8，x9＝x2 • x7， x9＝x3 • x6，x9＝x4 • x5， x9＝x5 • x4，x9＝x6 • x3， x9＝x7 • x2，x9＝x8 • x， 所以，一共可以写出 8 种结果. 10.1 幂的运算 18. 规定：a☆b＝10a×10b，如 2☆3＝102×103＝105。 (1) 求 12☆3 和 4☆8 的值； 解：12☆3＝1012×103＝1012＋3＝1015， 4☆8＝104×108＝104＋8＝1012. 10.1 幂的运算 (2) (a＋b)☆c 与 a☆(b＋c) 相等吗? 说明理由。 解：相等. 理由如下：(a＋b)☆c ＝ 10a＋b。10c＝10a＋b＋c ， a☆(b＋c)＝10a • 10b＋c＝10a＋b＋c， 所以，(a＋b)☆c 与 a☆(b＋c) 相等. 10.1 幂的运算 $