精品解析：福建省莆田市荔城区莆田第九中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025－2026学年莆田九中第二次月考数学试卷 满分：150分　考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 2. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：C． 3. 把方程配方后的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把常数项-5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方． 【详解】把方程x2 -2x-5=0的常数项移到等号的右边，得到x 2 -2x=5，  方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2 -2x+1=5+1，  配方得（x-1）2 =6．   故选C． 【点睛】本题考查了配方法解一元一次方程．配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 4. 如图，为的直径，点在上．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用三角形内角和定理求出的度数，再利用圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5. 将抛物线向右平移3个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，先确定抛物线的顶点坐标是坐标原点，然后根据点向右平移，横坐标加，向下平移纵坐标减，求出平移后的抛物线的顶点坐标，再根据平移变换不改变图形的形状，利用顶点式形式写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，向右平移3个单位，再向下平移1个单位， ∴平移后的顶点坐标为， ∴平移后的抛物线解析式为． 故选：A． 6. 分）在△ABC中，若，则∠C的度数是【 】 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】D 【解析】 【详解】∵，∴sinA=，cosB=． ∴∠A=30°，∠B=60°．∴∠C=180°﹣30°﹣60°=90°．故选D． 7. 如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的意义，三角形按逆时针方向旋转，可得，又有，，根据图形可得，；代入数据可得答案． 【详解】解：根据旋转的意义，三角形按逆时针方向旋转， 即， 又∵，， ∴， 则． 故选：C． 【点睛】图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变． 8. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可． 【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件， ∴可列方程为：， 故选：A． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般． 9. 如图，点D，E分别在边上，下列条件中能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，两个角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，不能判定，故A不符合题意； ∵， ∴，由此不能判断，故B不符合题意； ∵， ∴，由此不能判断，故C不符合题意； ∵， ∴， 再结合，能判定，故D符合题意； 故选：D． 10. 若抛物线y=ax2+bx+c如图所示，下列四个结论： ①abc＜0；②b﹣2a＜0；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＞0． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴左侧， ∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确； ∵﹣1＜﹣＜0，a＜0，∴2a＜b，所以②错误； ∵x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以③正确； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴b2﹣4ac＞0，所以④正确． 故选C． 考点：二次函数图象与系数的关系． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每题4分，共24分） 11. “日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，如图记录的日出美景中，太阳与海天边隙线可看成圆与直线，它们的位置关系是________． 【答案】相离 【解析】 【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系，根据直线和圆的位置关系，即可解答． 【详解】解：由题可知，太阳与海天边隙线可看成的圆和直线没有公共点，所以太阳和海天边隙线看成的直线位置关系是相离． 故答案为：相离． 12. 点关于原点的对称点为点B，则点B的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求关于原点对称的点的坐标．根据关于原点对称点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，即可得解． 【详解】解：关于原点的对称点的坐标为； 故答案为：． 13. 如图，在中，，分别是，边上的点，若，则的面积与的面积的比是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由且即可证得，然后利用相似三角形的性质即可得出，于是得解． 【详解】解：，且， ， ， 即：的面积与的面积的比是， 故答案为：． 14. 已知方程有一个根是，则代数的值为_____． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．由方程有一个根是，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：方程有一个根是， ， ， ． 故答案为：2024． 15. 如图，为上两点，于点，且，则的长是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，先根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：5． 16. 如图，中，，，点D为上一点，将线段绕点P逆时针旋转得到，连接，过D作于E，连接 ，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对角互补的四边形共圆，证得P，C，B，D四点共圆，点E在此圆上，即上，根据同弧所对的圆心角相等证得，从而得出，以为斜边作等腰直角三角形，延长交于点F，证四边形在上，连接，则E为与的交点（取得最小值），问题得解． 【详解】解：连接， 中，，， ， 线段绕点P逆时针旋转得到， ， ，即， ， ， ， ，即， 在四边形中，， ∴P，D，B，C四点共圆，如图为， 连接，则为的直径， ， ∴点E在上， 连接，则， ， 以为斜边作等腰直角三角形，如图所示，， ，即：， ， 延长交于点F，则， ，， 点在以点为圆心的圆上， 连接，则点E为与的交点（取得最小值）， 在中，， 的最小值＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转，四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定性质，构造辅助线是解题的关键． 三、解答题（共86分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键； 移项后利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得； 【详解】解：， ， ， ． 18. 如图，在中，D为边上一点，，求证：．． 【答案】 证明：在中，为边上一点，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 求出两组对应边的比例，利用两边对应成比例且其夹角相等的判定方法证明相似． 【详解】略 19. 已知关于的一元二次方程有实数根，若该方程有两个实数根，分别为对和，当时，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；利用根与系数的关系，用k表示出x1+x2和x1•x2的值，由条件可得到关于k的方程，则可求得k的值． 【详解】∵和是方程的两个根， ∴，. ∵， ∴， 解得：， 经检验，是分式方程的解 又∵当时，>0，此时方程有两个实数根， ∴当时， 【点睛】本题有要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． 20. 如图，是的直径，是的弦，点是外一点，．求证：是的切线． 【答案】 证明：连接，如图所示： 是的直径， ， ， ， ， ， ， 即， 是的切线； 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定、圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理、切线的判定． 连接，由圆周角定理得出，得出，再由，得出，证出，即可得出结论； 【详解】略 21. 已知，如图，为上点，为的直径． (1)尺规作图：过点作直线，交于点，交于点；(保留作图痕迹，不写作法) (2)连接，若，求的长. 【答案】 （1）直线CD如图所示： （2） 【解析】 【分析】(1)利于基本作图，过点C作AB的垂线得到弦CD； (2)利用垂径定理结合勾股定理可求得的半径，再在Rt中，利用勾股定理即可求解. 【详解】(1)略． 连接， 设的半径为，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 在Rt中，2， ∴. 【点睛】本题考查了考查了作图-复杂作图，圆的有关知识，勾股定理，灵活运用勾股定理求出半径的长是正确解决本题的关键． 22. 超速行驶是引发交通事故的主要原因.上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到永丰路的距离为100米的点P处.这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4秒，，. （1）求A、B之间的路程； （2）请判断此车是否超过了永丰路每小时54千米的限制速度？（参考数据：） 【答案】（1）A、B之间的路程为73米；（2）此车超过了永丰路的限制速度. 【解析】 【分析】（1）首先根据题意，得出，，然后根据，，可得出OB和OA，即可得出AB的距离； （2）由（1）中结论，可求出此车的速度，即可判定超过该路的限制速度. 【详解】（1）根据题意，得 ， ∵， ∴， ∴ 故A、B之间的路程为73米； （2）根据题意，得 4秒=小时，73米=0.073千米 此车的行驶速度为 千米/小时 千米/小时＞54千米/小时 故此车超过了限制速度. 【点睛】此题主要考查直角三角形与实际问题的综合应用，熟练掌握，即可解题. 23. 如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，，连接FE． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=， ∴∠ABF=， 在△ABF与△ADE中，， ∴△ABF≌△ADE（SAS）， ∴AF=AE； （2）8 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=，求得∠ABF=，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到∠BAF=∠DAE，得到△AEF是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质得到AE=2DE=4，于是得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，△ABF≌△ADE， ∴∠BAF=∠DAE， ∴∠BAF+∠BAE=∠DAE+∠BAE=， ∴∠FAE=， ∴△AEF是等腰直角三角形， 在Rt△ADE中，∠D=，∠DAE=，DE=2， ∴AE=2DE=4， ∴△AEF的面积=． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证得△ABF≌△ADE是解题的关键． 24. 如图1，抛物线与轴交于（点在点左侧），与轴相交于．且，抛物线的顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）点为直线下方抛物线上一动点，连接交于，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，平行线分线段成比例定理，二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）令，求出，，根据，求出，即可得出答案； （2）先求出直线解析式为，分别过A，D作轴的垂线分别交于F，G点，设，则，求出，根据平行线分线段成比例定理得出：，根据，得出当时，有最大值为4，即可得出答案； 【小问1详解】 解：令，则， ， 解得：，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：由得： ，， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为， 分别过A，D作轴的垂线分别交于F，G点， 则，， 设，则， ， ∵， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为4． ∴的最大值为． 25. 将绕点 B顺时针旋转，点A的对应点为D，点C的对应点为E． （1）当点A，C，D三点共线时，如图1，连接，求证：． （2）在（1）的条件下，如图1，若，， ，求的值． （3）当旋转角为，如图2，延长交于M，延长到N，使，连接交于F．试探究线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：根据旋转可知：， ∴，，，， ∴， 即， ∵， ∴； （2） （3） ．理由如下： 将线段绕点B逆时针旋转得到线段． ∵是由绕点B顺时针旋转得到，且点F在上， ∴点H在对应线段上，，， ∴，且， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据两边对应成比例，且夹角相等，证明三角形相似即可； （2）过C作于Q，根据， 得出，根据， 得出，证明， 得出，根据，得出， 即可得出结论； （3）将线段绕点B逆时针旋转得到线段，证明，得出，，证明是等边三角形，得出，证明，得出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过C作于Q， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵。 ∴， ∴而， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年莆田九中第二次月考数学试卷 满分：150分　考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 把方程配方后的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为的直径，点在上．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 将抛物线向右平移3个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 分）在△ABC中，若，则∠C的度数是【 】 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 7. 如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点D，E分别在边上，下列条件中能判定的是（ ） A. B. C. D. 10. 若抛物线y=ax2+bx+c如图所示，下列四个结论： ①abc＜0；②b﹣2a＜0；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＞0． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每题4分，共24分） 11. “日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，如图记录的日出美景中，太阳与海天边隙线可看成圆与直线，它们的位置关系是________． 12. 点关于原点的对称点为点B，则点B的坐标为_________． 13. 如图，在中，，分别是，边上的点，若，则的面积与的面积的比是_____． 14. 已知方程有一个根是，则代数的值为_____． 15. 如图，为上两点，于点，且，则的长是_____． 16. 如图，中，，，点D为上一点，将线段绕点P逆时针旋转得到，连接，过D作于E，连接 ，则的最小值为________． 三、解答题（共86分） 17. 解方程：． 18. 如图，在中，D为边上一点，，求证：．． 19. 已知关于的一元二次方程有实数根，若该方程有两个实数根，分别为对和，当时，求的值． 20. 如图，是的直径，是的弦，点是外一点，．求证：是的切线． 21. 已知，如图，为上点，为的直径． (1)尺规作图：过点作直线，交于点，交于点；(保留作图痕迹，不写作法) (2)连接，若，求的长. 22. 超速行驶是引发交通事故的主要原因.上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到永丰路的距离为100米的点P处.这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4秒，，. （1）求A、B之间的路程； （2）请判断此车是否超过了永丰路每小时54千米的限制速度？（参考数据：） 23. 如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，，连接FE． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 24. 如图1，抛物线与轴交于（点在点左侧），与轴相交于．且，抛物线的顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）点为直线下方抛物线上一动点，连接交于，求的最大值． 25. 将绕点 B顺时针旋转，点A的对应点为D，点C的对应点为E． （1）当点A，C，D三点共线时，如图1，连接，求证：． （2）在（1）的条件下，如图1，若，， ，求的值． （3）当旋转角为，如图2，延长交于M，延长到N，使，连接交于F．试探究线段，，的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $