精品解析：安徽省六安市轻工中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期九年级第三次素养评估 数学试题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图是中心对称图形，故本选项符合题意； D、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 抛物线的顶点坐标是（　 ） A. （2，1） B. （-2，1） C. （2，-1） D. （-2，-1） 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式可直接得到顶点坐标． 【详解】∵， ∴抛物线的顶点坐标为（-2，1）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式的顶点坐标为（，）是解题的关键． 3. 计算的结果是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．直接根据进行求解即可． 【详解】解：． 故选：A． 4. 若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由题意得，据此逐项判断即可求解，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵，， ∴该图象也过点， 故选：． 5. 如图，已知与是位似图形，点O是位似中心，若是的中点，则与的周长比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握位似图形的性质． 根据线段中点的性质得出，根据位似图形的性质得出，然后得出对应线段成比例，即可求解． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵与是位似图形，点O是位似中心， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴与周长比为， 故选：A． 6. 如图，在中，，，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了余弦函数的定义，熟练掌握余弦函数的定义是解题的关键．根据余弦函数的应以即可解答．在直角三角形中，余弦为邻边比斜边． 【详解】在中： 故选：B 7. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键． 根据得到，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形， 先根据勾股定理逆定理说明，再根据可得答案. 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意可知， ∴， ∴ 在中，. 故选：D. 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（　　） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D， ∴△ACD∽△ABC， ∴AC：AB=AD：AC， ∵AC=3，AB=6，∴AD=．故选A． 考点：相似三角形的判定与性质． 10. 已知矩形，等腰直角斜边．如图1，先将矩形边放在的斜边上，点与点重合，然后向右平移（如图2），直至点与点重合时停止（如图3）．设平移距离为，矩形与重合部分的面积为，那么关于的函数图象大致为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，二次函数的图象与性质，分，两种情况分别求面积即可． 【详解】解：当时，如图，此时在线段上，与交于，与交于， ∵等腰直角，矩形， ∴， ∴，， ∴矩形与重合部分的面积为； 当时，如图，此时在线段外，与交于，与交于， 同理可得，， ∴矩形与重合部分的面积为； 综上，故选A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．先根据算术平方根的定义计算，再进行减法计算即可． 【详解】解：． 故答案为∶2． 12. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查把给出的等式改写成比例式的方法，在改写时，要注意：相乘的两个数要作内项就都作内项，要作外项就都作外项．根据比例的性质，把所给的等式，改写成一个外项是x，一个内项是y的比例，则和x相乘的数2就作为比例的另一个外项，和y相乘的数5就作为比例的另一个内项，据此写出结果即可． 【详解】解：因为，所以． 故答案为：． 13. 如图，已知线段的长为2，点C是的黄金分割点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点的概念，由黄金分割点的定义，知是较长线段，再由黄金分割的公式计算即可． 【详解】解：∵线段，点C是线段的黄金分割点， ∴， 故答案为：． 14. 如图，点E是矩形的边上的一点，将沿直线折叠得到，且点F恰好落在边上．请完成下列探究： （1）若，则_______°； （2）若，则的值是______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，含角的直角三角形的性质和锐角三角函数的综合应用，熟练掌握折叠的性质和锐角三角函数是解题的关键， （1）利用折叠的性质可得，在中，根据，利用锐角三角函数，从而得到，即可推出； （2）由于四边形是矩形，可得，，再由折叠性质可得，设，则，在中，由勾股定理可得：，根据题意可得，可得，分别进行计算即可得到的值． 【详解】（1）解∵四边形是矩形 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠得到， ∴， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形 ∴，， ∵折叠得到， ∴， ∵， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵ ∴，即， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数的有关计算，先计算出乘方及特殊角的三角函数，再相加即可． 【详解】解： ． 16. 在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）画出关于y轴对称的； （2）以点O为旋转中心，将绕点O顺时针旋转得到，画出． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查作图—轴对称、旋转变换，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可． 【小问1详解】 解：即为所求作； 【小问2详解】 解：即所求作． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中，，，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦等于邻边除以斜边代入求出，再结合勾股定理即可得到答案； （2）根据正弦等于对边除以斜边代入求解解即可得到答案； 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：∵在中，，，， ∴； 【点睛】本题考查正弦，余弦，解题的关键是熟练掌握：余弦等于邻边除以斜边，正弦等于对边除以斜边． 18. 掷实心球是某市初中毕业升学体育考试选考项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点5m处． （1）求关于的函数表达式； （2）根据某市2023年初中毕业升学体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于12.4m时，即可得满分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 【答案】（1） （2）该男生在此项考试中不能得满分 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键． （1）由图2可知，顶点坐标为，设二次函数表达式为，由此即可求解； （2）令（1）中抛物线的解析式，且，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设关于的函数表达式为， 把代入解析式得：， 解得：， 关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：该男生在此项考试中不能得满分， 理由：令，则， 解得：，（舍去）， ， 该男生在此项考试中不能得满分． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数及一次函数的解析式； （2）点是轴上一个动点，连接，若，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，利用交点和二次函数性质求不等式范围． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据，求出时的n的值，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于，两点， ， 解得：， ， 将，代入， 则， 解得：， ∴一次函数的解析式； 【小问2详解】 解：， ， ∴当时， 则， 解得：， 若，则． 20. 某超市准备购进A、B两种品牌的书包共100个，已知两种书包的进价如下表所示，设购进A种书包x个且所购进的两种书包能全部卖出，获得的总利润为y元． 品牌 购买个数（个） 进价（元/个） 售价（元/个） 获利（元） A x 50 60 B 40 55 （1）将表格的信息填写完整； （2）如果购进两种书包总费用不超过4500元且购进B种书包的数量不大于A种书包的3倍，那么超市如何进货才能获利最大？并求出最大利润． 【答案】（1）100－x；10x；15（100－x） （2）当购进A种书包25个，B种书包75个时，超市可以获得最大利润；最大利润是1375元． 【解析】 【分析】（1）设购进A种书包x个，根据超市准备购进A、B两种品牌的书包共100个，可知购进B种书包（100-x）个，再根据利润等于每个书包的利润×个数，计算即可求解； （2）设购进A种书包x个，则购进B种书包（100-x）个，根据总利润y=A种书包的利润+B种书包的利润，列出函数关系式，再根据购进两种书包的总费用不超过4500元且购进B种书包的数量不大于A种书包的3倍，列出不等式组求出其解，根据一次函数的性质得出答案即可． 【小问1详解】 填表如下： 品牌 购买个数（个） 进价（元/个） 售价（元/个） 获利（元） A x 50 60 10x B 100-x 40 55 15（100-x） 故答案为100-x；10x；15（100-x）； 【小问2详解】 y=10x+15（100-x）=-5x+1500， 即y关于x的函数表达式为y=-5x+1500； 由题意可得 ， 解得25≤x≤50， ∵y=-5x+1500，-5＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x=25时，y有最大值，最大值为：-5×25+1500=1375（元）． 即当购进A种书包25个，B种书包75个时，超市可以获得最大利润；最大利润是1375元． 【点睛】本题考查了一次函数的实际运用，根据利润=售价-进价来确定一次函数的解析式，列一元一次不等式组解实际问题，在解答时求出一次函数的解析式是关键． 21. 如图，某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点在同一条直线上．其中，米． （1）求无人机的飞行高度；（结果保留根号） （2）求河流的宽度．（结果保留根号） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（）由题意得，，，即得，，再解直角即可求解； （）如图，过点作于，则米，米，，解直角可得，即得，进而根据即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∴，， ∴， ∴米； 【小问2详解】 解：如图，过点作于，则米，米，， 在中，， ∴， ∴米， ∴米， ∴米． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在平行四边形中，为边上一点，连接为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，根据题意得到，根据相似三角形的判定定理证明； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可． 【小问1详解】 解：证明：四边形是平行四边形， ，． ，， ， ； 【小问2详解】 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 23. 定义：在平面直角坐标系中一点，点的纵坐标与其横坐标的差（）称为点的“影差”．例如：点的“影差”为：． （1）二次函数当时“影差”值为0． ①求、的值． ②求此时该二次函数点“影差”最大值． ③求该二次函数点“影差”大于5时的的取值范围． （2）若二次函数的“影差”最小值为，点与点分别是此二次函数的图象与轴和轴的交点，且点与点的“影差”相等，求的值． 【答案】（1）①；②；③ （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数与不等式，熟知二次函数相关的性质是解题的关键． （1）①根据题意可得经过，把代入二次函数即可解答； ②根据“影差”的定义得到新的二次函数解析式，利用二次函数的性质即可解答； ②根据题意列出不等式，结合二次函数的图象解不等式即可； （2）由点与点的“影差”相等，可得，代入二次函数可得，根据二次函数的“影差”最小值为，即可求得． 【小问1详解】 解：①根据题意可得经过， 把代入二次函数可得， ， 解得， 所以； ②二次函数的解析式为， 则该二次函数点“影差”为， 当时，该二次函数点“影差”有最大值为； ③根据题意可得， 即， 令，当时， ， 解得， 与轴的交点坐标为， ， 结合二次函数的图象，可得的解集为， 即二次函数点“影差”大于5时，； 【小问2详解】 解：令，可得， ， 点与点的“影差”相等， ， ， 把代入，可得 ， ， ，即， 二次函数， 二次函数的“影差”最小值为， 的最小值为， 则可得， 解得， 故的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期九年级第三次素养评估 数学试题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（　 ） A. （2，1） B. （-2，1） C. （2，-1） D. （-2，-1） 3. 计算的结果是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 4. 若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，已知与是位似图形，点O是位似中心，若是的中点，则与的周长比是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，，则（　　） A B. C. D. 7. 如图，，，，，则长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（　　） A. B. C. D. 3 10. 已知矩形，等腰直角斜边．如图1，先将矩形边放在的斜边上，点与点重合，然后向右平移（如图2），直至点与点重合时停止（如图3）．设平移距离为，矩形与重合部分的面积为，那么关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：_______． 12. 如果，那么______． 13. 如图，已知线段的长为2，点C是的黄金分割点，则______． 14. 如图，点E是矩形的边上的一点，将沿直线折叠得到，且点F恰好落在边上．请完成下列探究： （1）若，则_______°； （2）若，则值是______． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）画出关于y轴对称的； （2）以点O为旋转中心，将绕点O顺时针旋转得到，画出． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中，，，． （1）求的长； （2）求的值． 18. 掷实心球是某市初中毕业升学体育考试选考项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点5m处． （1）求关于函数表达式； （2）根据某市2023年初中毕业升学体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于12.4m时，即可得满分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数及一次函数的解析式； （2）点是轴上一个动点，连接，若，直接写出的取值范围． 20. 某超市准备购进A、B两种品牌的书包共100个，已知两种书包的进价如下表所示，设购进A种书包x个且所购进的两种书包能全部卖出，获得的总利润为y元． 品牌 购买个数（个） 进价（元/个） 售价（元/个） 获利（元） A x 50 60 B 40 55 （1）将表格的信息填写完整； （2）如果购进两种书包总费用不超过4500元且购进B种书包的数量不大于A种书包的3倍，那么超市如何进货才能获利最大？并求出最大利润． 21. 如图，某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点在同一条直线上．其中，米． （1）求无人机的飞行高度；（结果保留根号） （2）求河流宽度．（结果保留根号） 七、（本题满分12分） 22. 如图，在平行四边形中，为边上一点，连接为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 定义：在平面直角坐标系中一点，点的纵坐标与其横坐标的差（）称为点的“影差”．例如：点的“影差”为：． （1）二次函数当时“影差”值为0． ①求、的值． ②求此时该二次函数点“影差”最大值． ③求该二次函数点“影差”大于5时的的取值范围． （2）若二次函数的“影差”最小值为，点与点分别是此二次函数的图象与轴和轴的交点，且点与点的“影差”相等，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $