12.4 定理 课件 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

该初中数学课件围绕三角形内角和定理及推论、多边形内角和与外角和定理、反证法展开，课堂导入从小学“撕角”实验切入，衔接旧知，通过作辅助线引导证明，构建从直观操作到逻辑推理的学习支架，帮助学生理解定理推导脉络。 其亮点在于注重数学思维与探究，通过三角形内角和的多种辅助线证法、多边形外角和的操场行走与平移验证实验，培养推理能力与创新意识，反证法步骤结合举反例训练逻辑表达。学生能提升数学推理与表达能力，教师可利用分层练习和系统小结高效开展教学。

定义 命题 证明 12 .4 12 定 理 12.4 定 理 知识回顾 12.4 定 理 1.会证明三角形的内角和定理及其推论，能应用定理或推论进行相关证明或计算. 2.掌握多边形的内角和与外角和公式，并能运用其解决计算问题. 3.掌握反证法的定义，能用反证法进行相关证明. 学习目标 12.4 定 理 在小学里，我们已经知道“三角形的内角和等于180°”，当时是用 “撕角”的办法来说明的. 下面，我们来证明这个命题: 新课导入 12.4 定 理 4 证明：作边BC的延长线CD，过点C作CE∥AB(图12-5). 12.4 定 理 经过证明之后，就可以把这个命题叫作三角形内角和定理： 你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗? 解： 12.4 定 理 解： 一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理(theorem). 定理可以作为证明后续命题的依据. 12.4 定 理 证明：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 已知：如图12-6，∠ACD是△ABC的一个外角，∠A, ∠B 是 与它不相邻的两个内角. 求证：∠ACD =∠A+∠B. 证明：∵∠ACD+∠ACB=180°(平角的定义), ∠A+∠B+∠ACB =180°(三角形内角和定理), ∴∠ACD =180°－∠ACB, ∠A+∠B =180°－∠ACB (等式的性质). ∴∠ACD =∠A+∠B (等量代换). 典例精析 12.4 定 理 由例1，我们根据三角形内角和定理推出了一个新结论. 像这样，由一个定理直接推出的重要结论，一般叫作这个定理的推论. 它和定理一样，也可以作为后续证明的依据. 12.4 定 理 1.已知：如图，AC，BD相交于点O. 求证：∠A+∠B =∠C+∠D. 证明：在△AOB中，∠A＋∠B＋∠AOB=180°(三角形内角和定理)， ∴∠A+∠B=180°－∠AOB. 同理∠C+∠D =180°－∠COD. ∠AOB=∠COD(对顶角相等). ∠A+∠B=∠C+∠D. 当堂练习 12.4 定 理 2.写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，判断真假并 给出证明. 解：逆命题：两个锐角互余的三角形是直角三角形.逆命题是真命题. 已知：如图，△ABC中，∠A＋∠B=90°. 求证： △ABC是直角三角形. 证明： ∵∠A＋∠B＋∠C=180°三角形内角和定理)，∠A＋∠B=90°(已知)， ∴∠C=180°－90°=90°. ∴△ABC是直角三角形. 12.4 定 理 11 12.4 定 理 图12-7是一个任意的四边形ABCD. 在四边形内部任取一点P，连接点P与4个顶点就得到了4个三角形. 这4个三角形的内角和减去以P为顶点的周角就是四边形的内角和，即 四边形ABCD的内角和=180°×4－360° =180°× (4－2)=360°. 对任意的五边形，同样可得： 五边形的内角和=180°×5－360°=180°×(5－2)=540°. 12.4 定 理 对于n边形的内角和，你有什么猜想? n边形的内角和为(n－2)·180°. 一般地，可以得到多边形内角和定理： 12.4 定 理 多边形有内角，也有外角，如图12-8，延长CD，得到射线CF，∠EDF 是五边形ABCDE的一个外角. 顺次延长多边形的各边：AB，BC，CD，...，在每个顶点处得到一个外角，这些外角的和叫作这个多边形的外角和. 12.4 定 理 如图12-9, △ABC的3个内角及3个对应外角共形成3个平角，因为三角形的内角和为180°, 所以三角形的外角和是 180°×3－180°，即360°. 12.4 定 理 如图12-10, 四边形ABCD的4个内角及4个对应外角共形成4个平角，因为四边形的内角和为360°, 所以四边形的外角和是180°×4－360°, 即360°. 12.4 定 理 我们可以把上面的结果推广到一般的n边形，得到: 多边形的外角和=180°·n－多边形的内角和 =180°·n－180°·(n－2) =180°×2=360°. 这样就得到了多边形外角和定理: 12.4 定 理 1.求证：如果一个n边形的所有内角都相等，那么其内角为 . 证明：∵n边形的内角和为(n－2)·180°=180°×n－360°， ∴当n边形的所有内角都相等时，其内角为 . 2.多边形中小于120°的内角最多有几个? 解：多边形中小于120°的内角最多有5个。 当堂练习 12.4 定 理 通过实验验证多边形外角和定理 多边形外角和定理告诉我们，多边形的外角和与边数无关. 可以通过下面的实验来验证这一结论. 在操场上画出一个任意的多边形，比如图中的六边形ABCDEF，然后从边AB上的一点S出发，沿着A→B方向，到达点B后再转向B→C方向，转过的角度恰好等于多边形的一个外角. 想一想，这样走完一圈回到点S后，一共转过了多少度? 12.4 定 理 也可以用平行线的性质来验证多边形外角和定理. 将多边形的边向内部平移. 在平移过程中，虽然多边形的大小发生变化，但外角的大小都不变. 当各边都平移到同一点时，所有的外角正好拼成一个周角，即360°. 12.4 定 理 要证明一个命题，一般需要从命题的条件出发，一步一步地推出命题的结论. 有时候，我们也可以反过来考虑. 12.4 定 理 假设△ABC中不止一个钝角，那么可能有两个钝角或三个钝角. 当有两个钝角时，不妨设∠A，∠B均为钝角，即∠A>90°, ∠B>90°, 则∠A+∠B>180°, 所以∠A+∠B+∠C>180°, 这与 ∠A+∠B+∠C=180°矛盾. 同理，当有三个钝角时，也与∠A+∠B+∠C=180°矛盾. 所以假设不正确. 于是△ABC中最多只能有一个钝角. 像上面这样，我们通过否定命题的结论，发现了矛盾，从而反过来肯定命题结论成立的证明方法叫作反证法. 12.4 定 理 证明： 典例精析 12.4 定 理 这样，我们就证明了平行线的性质定理： 用反证法证明一个命题的步骤一般为： 1.先假设命题的结论不成立. 2.从这个假设出发，经过若干步推理，得出矛盾. 3.由矛盾判定假设不正确，从而肯定原来命题的结论成立. 12.4 定 理 在说明一个命题是假命题时，常用“举反例”的方法. 举反例的关键是找到一个符合命题条件，但不符合命题结论的例子. 解： 典例精析 12.4 定 理 1.用反证法证明：已知a, b, c是三条不同的直线, 如果a∥b，a与c 相交，那么b与c相交. 证明：假设b与c不相交，那么b∥c. ∵a∥b，∴a∥c. 这与“a与c相交”矛盾. ∴假设不成立，b与c相交. 当堂练习 12.4 定 理 2.举反例说明下列命题是假命题: (1)如果 | a | = | b |，那么a = b； (2)任何数的平方都大于0； (3)两个锐角的和是钝角； (4)如果一点到线段两端的距离相等，那么这个点是这条线段的中点. 解：(1)反例：a=2, b=－2，| a | = | b |, 但 a≠b. (2)反例：0的平方等于0. (3)反例：∠α=10°,∠β=20°,∠α＋∠β=30°, 但30°角是锐角. (4)反例：如图所示，AC=BC，但点C不是线段AB的中点. 12.4 定 理 课堂小结 12.4 定 理 谢谢观看 12.4 定 理 $