专题02 方程（组）与不等式（组）2026年九年级中考数学复习
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内容正文：
专题2 方程（组）与不等式（组）
目录
2.1 一次方程（组）解法与应用-----------------------------------------------------------------------1
2.2 一元二次方程（解法、根的判别式、韦达定理）-----------------------------------------20
2.3 分式方程（解法、验根专项训练）-------------------------------------------------------------31
2.4 不等式（组）解法与解集表示（数轴应用、参数问题）-------------------------------41
考情分析：中考核心模块，一元二次方程根的判别式、韦达定理高频考，分式方程必考查根，不等式组解集数轴表示常考，实际应用多在解答题中出现
2.1 一次方程（组）解法与应用
1．复习课上，老师展示了两道解方程的题目，如表所示：
习题1
习题2
…………第一步
…第二步
…………．第三步
……………．第四步
整理，得……………第一步
∵，…………第二步
，…第三步
∴方程有两个不相等的实数根，
即第四步
(1)分别写出习题1和习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的；
(2)从以上两道习题中任选一题，写出解答过程．
【答案】(1)习题1从第一步开始出现错误；习题2从第二步开始出现错误；
(2)见解析．
【分析】此题考查了解一元一次方程和解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤和方法是关键．
（1）根据解方程的步骤进行判断即可；
（2）按照正确的步骤和方法解方程即可．
【详解】（1）解：习题1去分母时常数项没有乘以分母的最小公倍数，即从第一步开始出现错误；习题2常数项判断错误，即从第二步开始出现错误；
（2）
…………第一步
…第二步
…………．第三步
……………．第四步
整理，得……………第一步
∵，…………第二步
，…第三步
∴方程有两个不相等的实数根，
则
即第四步．
2．综合实践课上，同学们玩“接力游戏”，由每组学生合作解一元一次方程．如图，老师将题目交给甲同学，他完成一步解答后交给乙同学，依次进行，最后由戊同学完成求解．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．
(1)写出这个“接力游戏”中过程出错的同学；
(2)请你写出正确的求解过程．
【答案】(1)甲，乙，戊
(2)见解析
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，是解题的关键．
（1）利用解一元一次方程的基本步骤，逐一判断即可解答；
（2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可．
【详解】（1）解：甲同学在去分母时，右侧没有乘以6；乙同学去括号，括号内的符号没有变号；戊同学最后将未知数系数化为1时，方程右边没有除以，而是除以；
故这个“接力游戏”中计算错误的同学有：甲，乙，戊；
（2）解：正确的解答过程如下：
，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
3．解方程：．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次方程，按照去分母，去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【详解】解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
4．（1）解方程：；
（2）先化简，再求值：，其中x是满足范围内的整数．
【答案】（1）；（2），当时，原式；当时，原式．
【分析】本题考查了解一元一次方程以及分式的化简求值．
（1）根据解一元一次方程的步骤求解即可；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：（1），
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并，得，
系数化为1，得；
（2）
，
要使分式有意义，且，，
∴x不能为3，，0，
∵x是满足范围内的整数，
∴x取1，2，
当时，原式；当时，原式．
5．解方程： ．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键．
利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
解得：，
∴原方程的解为：．
6．某生产线共有名工人，每名工人每天可生产个电压表或个电流表，套物理电学实验器材包中要配有个电压表和个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？
【答案】应分配名工人生产电压表．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应分配名工人生产电压表，则分配名工人生产电流表，依题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设应分配名工人生产电压表，则分配名工人生产电流表，
依题意得，
解得，
答：应分配名工人生产电压表．
7．初一年级某班为学科节游园会准备制作一批益智玩具作为奖品，并为每一个玩具配备两个手绘学科节图标．如果该班有28名学生参与制作奖品，每人每天平均能组装玩具24个，或绘制图标16个．那么应分配多少名学生组装玩具，多少名学生绘制图标，才能使当天组装的玩具和绘制的图标刚好配套？
【答案】应分配7名学生组装玩具，21名学生绘制图标，才能使当天组装的玩具和图标刚好配套
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设应分配x名学生组装玩具，则分配名学生绘制图标，根据绘制图标的总数量是组装玩具总数量的2倍，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设应分配x名学生组装玩具，则分配名学生绘制图标，根据题意得：
，
解得：，
人
答：应分配7名学生组装玩具，21名学生绘制图标，才能使当天组装的玩具和绘制的图标刚好配套．
8．喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务．
(1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数；
(2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数．
【答案】(1)甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个；
(2)乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个．
【分析】（1）设甲车间增加工人前每天加工个，则增加工人后每天加工个，根据题意列出方程解得即可；
（2）设乙车间改进技术前每天加工个，根据题意列出分式方程解得即可．
【详解】（1）解：设甲车间增加工人人数前每天加工熊猫玩偶的个数为个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个，
由题意，得，
解得，
，
答：甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个；
（2）解：设乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个 ，
由题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个．
【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程，弄清题意列出相应方程是解题的关键．
9．中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展，提高了人们的生活水平．某市招标建设一段长为14千米的无桥梁高速公路路基，现有A，B两家公司竞标了这项工程，已知A公司每天能修建路基0.5千米，B公司每天能修建路基1千米，若由A，B两家公司合作完成任务，且B公司的工作时间比A公司工作时间的2倍多4天，则A公司的工作时间为多少天？
【答案】公司的工作时间为4天
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设公司的工作时间为天，则公司的工作时间为天，利用工作总量工作效率工作时间，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设公司的工作时间为天，则公司的工作时间为天，
根据题意得：，
解得：．
答：公司的工作时间为4天．
10．由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份比一月份售价每台降价500元．如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元．
(1)一月份甲型号手机每台售价为多少元？
(2)为了提高利润，该店计划三月份加入乙型号手机销售，已知甲型号每台进价为3500元，乙型号每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？
(3)若三月份甲型号手机售价与二月份一样，乙型号手机售价比甲型号手机三月份的售价贵800元，在（2）的前提下哪种方案获利最大？
【答案】(1)4500元
(2)5种
(3)购进甲型号手机8台，乙型号手机12台
【分析】本题主要考查分式方程及一元一次不等式组的应用，根据题意找准关系是解题的关键．
（1）设一月份甲型号手机每台售价为x元，则二月份甲型手机的每台售价为元，根据题意建立方程就可以求出其值；
（2）设购甲型手机y台，则购乙型手机台，根据题意建立不等式组，求出其解就可以得出结论；
（3）求出每台的利润，根据不同的购买方案，求出表示出相应的利润，再比较即可．
【详解】（1）解：设一月份甲型号手机每台售价为x元，则二月份甲型手机的每台售价为元，
根据题意，得，
解得：，
经检验，是原方程的根，
故原方程的根是．
故一月份甲型号手机每台售价为4500元；
（2）解：设购甲型手机y台，则购乙型手机台，
由题意得：，
解得，
∵y为整数，
∴y=8，9，10，11，12，
∴乙型手机的台数为：12，11，10，9，8，
∴有五种购货方案：
一、甲型手机8台，乙型手机12台；
二、甲型手机9台，乙型手机11台；
三、甲型手机10台，乙型手机10台；
四、甲型手机11台，乙型手机9台；
五、甲型手机12台，乙型手机8台；
（3）解：由（1）甲型手机二月份每台售价为4000元，则乙型手机每台售价为4800元，
故甲型手机每台盈利500元，乙型手机每台盈利800元，
则方案一盈利：（元）；
方案二盈利：（元）；
方案三盈利：（元）；
方案四盈利：（元）；
方案五盈利：（元）；
因为，
所以购进甲型手机8台，乙型手机12台获利最大．
11．年，为加力支持消费者购买绿色智能家电，增添绿色消费新动力，北京市商务局发布了《北京市加力支持家电以旧换新补贴实施细则》，补贴期间，对在京个人消费者购买一级和二级能效(水效)的冰箱(含冰柜)、洗衣机(含洗烘一体机)、电视、空调、电脑(含学习机)、热水器(含壁挂炉)、家用灶具(含集成灶)、吸油烟机等类家电产品予以以旧换新补贴．补贴标准：一级能效(水效)的家电产品，按照产品销售价格的给予补贴；二级能效(水效)的家电产品，按照产品销售价格的给予补贴，每位消费者每类产品可补贴件，每件补贴不超过元．
已知在补贴期间，一位顾客购买了一台一级能效的电脑和一台二级能效的洗衣机，共花费元，比补贴前便宜了元，若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜多少元？
【答案】若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜元．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该顾客购买的电脑补贴前售价为元，则他购买的洗衣机补贴前的售价为元，根据题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设该顾客购买的电脑补贴前售价为元，则他购买的洗衣机补贴前的售价为元，
根据题意得，
解得：，
∴（元），
答：若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜元．
12．某学校六年级开展了一次班级间的篮球比赛，规定每场比赛需分出胜负，胜1场积2分，负1场积1分．六年级共有13个班级，第一轮比赛中，每两个班级相互之间仅比赛一场，六（1）班在完成第一轮所有比赛后，总积分为19分，问六（1）班第一轮胜了多少场？
【答案】7场
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．设六（1）班胜了x场，则负了场．根据题意，列出方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设六（1）班胜了x场，则负了场，
根据题意得：，
解得：，
答：六（1）班第一轮胜了7场．
13．小红爸爸计划购买，两种品牌共袋糯米制作粽子．已知用元购买A品牌的袋数与用元购买品牌的袋数相同，且品牌每袋的价格比品牌每袋的价格贵元．
(1)求，两种品牌每袋糯米的价格：
(2)小红爸爸计划购买品牌的袋数不超过品牌袋数的一半，则怎样购买才能花费最少，最少为多少元？
(3)小红去商家柜台了解到，若整箱（袋/箱）购买任意一种品牌的糯米，每箱可优惠元．小红猜想购买品牌整箱，购买品牌整箱，会比（2）中的方案更省钱，请通过计算说明小红的猜想是否正确．
【答案】(1)品牌每袋糯米的价格为元，品牌每袋糯米的价格是元．
(2)购买品牌糯米袋，购买品牌糯米袋，花费最少，最少为元．
(3)小红的猜想正确，计算说明过程见解析．
【分析】本题考查一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握分式方程、一元一次不等式的解法及一次函数的增减性．
（1）设品牌每袋糯米的价格为元，则品牌每袋糯米的价格元，根据题意列关于的分式方程并求解即可；
（2）根据题意列一元一次不等式，并求其解集，设花费元，写出关于的函数关系式，根据一次函数的增减性和的取值范围，确定当取何值时，值最小，求出最小值即可；
（3）根据题意，计算不同方案所需要的费用，比较大小即可．
【详解】（1）解：设品牌每袋糯米的价格为元，则品牌每袋糯米的价格是元，
根据题意，得，
解得，，
经检验，是所列分式方程的根，
（元）
答：品牌每袋糯米的价格为元，品牌每袋糯米的价格是元．
（2）解：设购买品牌糯米袋，则购买品牌糯米袋，
根据题意，得，
解得，，
设花费元，则，
∵，
∴随的增大而增大，
∵，且为非负整数，
∴当时，最小，
此时，（元），（袋），
答：购买品牌糯米袋，购买品牌糯米袋，花费最少，最少为元．
（3）解：购买品牌糯米整箱，购买品牌整箱，需要花费（元），
∵，
∴购买品牌整箱，购买品牌整箱，会比（2）中的方案更省钱，
答：小红的猜想正确．
14．在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下，人们骑电动车、摩托车佩戴头盔的安全意识不断提高某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售于是商店老板联系了批发商，他们之间的对话如下：
你好请问你那里的安全头盔批发价是多少？
我有三种型号的安全头盔，批发价分别是型元个；型元个；型元个如果你买的多的话还有下面的优惠方案：
①一次性累计购买个及以上九五折优惠
②一次性累计购买个及以上九折优惠
(1)若该商店计划一次性购进型安全头盔个和型安全头盔个，共需多少钱？
(2)若该商店计划用元一次性购进两种不同型号的安全头盔个，请你研究一下该商店的进货方案有哪几种？
【答案】(1)共需要元
(2)该商店的进货方案有种，方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔；方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔．
【分析】本题考查了有理数混合运算的运用，一元一次方程的应用；能找出等量关系式，列出方程求解是解题的关键．
（1）根据题意列出算式得，即可求解；
（2）购进，两种不同型号的安全头盔，购进，两种不同型号的安全头盔，购进，两种不同型号的安全头盔，分别用一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：
元．
答：共需要元；
（2）解：当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔，
根据题意得：，
解得：，
个；
当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔，
根据题意得：，
解得：，
个；
当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔，
根据题意得：，
解得：(不符合题意，舍去)．
该商店的进货方案有种，
方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔；
方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔．
15．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为、点的坐标为、点的坐标为、…，过点、、、…、分别作x轴垂线，交直线于点、、、…，覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为….
【参考公式：连续x个正整数和的计算公式：】
(1)由题意可知：、；、；、；则 、 ；
(2) ；
(3)的值是否会等于2025？若能，请求出n的值，若不能，请说明理由.
【答案】(1)15；8
(2)
(3)的值不能等于．理由见解析
【分析】本题考查归纳推理的应用，坐标的变化规律，根据条件寻找规律是解决本题的关键．
(1)根据点的变化规律得到，，由此进行解答；
(2)根据变化规律计算出和的值，再进行解答即可；
(3)根据规律计算出n的值，即可得知结果．
【详解】（1）解：∵，，，，，，
……
∴根据规律发现,，
∴，，
故答案为：15；8．
（2）解：∵，，
，
故答案为：．
（3）解：不能，理由如下：
∵，
，
∵n不是整数，
∴的值不会等于．
16．一个三位数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位数为“半和数”．例如，因为，所以是半和数．
(1)已知是半和数，若，，求c的值；
(2)嘉嘉认为任意一个半和数都能被整除．你同意嘉嘉的看法吗？说明理由．
【答案】(1)
(2)同意；理由见解析
【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，提取公因式法分解因式，解题的关键是理解定义，并列出代数式．
（1）先根据定义得出，再将，代入求出的值；
（2）先根据定义得出，再将用式子表示出来，将代入后证明结论成立．
【详解】（1）解：∵是“半和数”，∴．∵，，∴．∴；
（2）同意．
设是一个“半和数”，则．
∴．
∵，整数，∴为整数．
∴任意一个“半和数”都能被整除．
17．如图，O为数轴原点，点M，N在数轴上，点M在原点O左侧，点N在原点O右侧，且，．蚂蚁P从点N出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，同时蚂蚁Q从点M出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴运动．设点P，Q的运动时间t（秒）．
(1)点M表示的数为 ；点N表示的数为 ；
(2)用含t的代数式表示经过t秒时点P表示的数；
(3)若蚂蚁Q沿数轴向右运动，当两只蚂蚁之间的距离为6时，求t的值；
(4)蚂蚁Q沿数轴向左运动，若无论t取何值，（m为常数）的值始终固定不变，求m的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
(4)
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，代数式表示，一元一次方程的应用，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
（1）根据数轴上两点之间的距离求解，即可解题；
（2）根据点P的运动情况，结合数轴上两点之间的距离求解，即可解题；
（3）用t表示出点P、Q两点运动过程中表示的数，然后根据“两只蚂蚁之间的距离为6”分情况列方程求解，即可解题；
（4）用m、t表示出，然后根据值始终固定不变可求出m的值．
【详解】（1）解：O为数轴原点，点M在原点O左侧，点N在原点O右侧，，．
点M表示的数为，点N表示的数为，
故答案为：，．
（2）解：经过t秒时点P表示的数为；
（3）解：蚂蚁Q沿数轴向右运动，经过t秒时点Q表示的数为，
两只蚂蚁之间的距离为6，
或，
解得或；
（4）解：蚂蚁Q沿数轴向左运动，经过t秒时点Q表示的数为，
，
经过t秒时，
无论t取何值，（m为常数）的值始终固定不变，
中，
解得．
18．如图1，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为24，边长为4．
(1)数轴上点A表示的数为 ．
(2)将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积记为．
①当恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为 ．
②设点的移动距离．
．当时， ；
．为线段的中点，点在线段上，且；当点，所表示的数互为相反数时，求的值．
【答案】(1)6；
(2)①3或9；
②．；．．
【分析】本题考查矩形的性质，数轴上点的特点；能够将数轴上的点与矩形的边长之间的关系联系起来是解题的关键．
（1）由矩形的面积即可表示点；
（2）①分两种情况讨论：长方形向左平移和向右平移；
②．；
．由点、所表示的数互为相反数，判断出正方形向左平移，点表示的数是，点表示的数是，根据已知关系能够得到；
【详解】（1）解：长方形的面积为24，边长为4．
，
点表示6；
故答案为：6；
（2）①当恰好等于原长方形面积的一半时，
当向左移动时，
，
移动后的表示3；
当向右移动时，
，
移动后表示9，
故答案为：3或9；
②．，
，
，
故答案为：；
．点、所表示的数互为相反数，
正方形向左平移，
，是的中点，
点表示的数是，
点表示的数是，
，
，
，
，
．
19．月日是植树节，许多家庭积极参与植树活动，为建设美丽中国，共同谱写人与自然和谐共生的中国式现代化新篇章．在一次家庭植树活动中，甲组家庭植树的棵数比乙组家庭多，乙组家庭植树的棵数比甲组家庭的一半多棵，求甲、乙两组家庭共植树多少棵．
【答案】甲、乙两组家庭共植树棵．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设乙组家庭植树棵，则甲组家庭植树棵，根据题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设乙组家庭植树棵，则甲组家庭植树棵，
根据题意得：，
解得．
∴．
答：甲、乙两组家庭共植树棵．
20．综合与实践
【背景】近年来，涟水以高质量发展为首要任务，实现经济迅猛腾飞，成为江苏省最年轻、淮安市唯一的全国百强县.涟水更是风光与美食交织的宝藏之地，让游客流“涟”忘返.住在涟水的小美想给亲朋好友寄送当地特产．
【素材1】她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如下表：
计费单位
收费标准
江浙沪地区
江西省
首重
续重
收费说明：
每件快递按送达地分别计算运费；
运费计算方式：首重价格续重续重运费．首重均为千克，超过千克即要续重，续重以千克为计重单位（不足千克按千克计算）．
【素材2】
电子存单
电子存单
托寄物：捆蹄、萝卜干
目的地：江苏常州
计量重量：千克
件数：
总费用：元
托寄物：鸡糕、捆蹄
目的地：江西南昌
计量重量：千克
件数：
总费用：元
【问题解决】
(1)求、的值；
(2)小美给在上海的哥哥寄出了千克的涟水特产，她需要支付多少元快递费？
(3)小美给在江西的外婆寄特产花了元快递费，求这份特产重量的取值范围．
【答案】(1)；
(2)元；
(3)这份特产重量的取值范围为大于千克且不超过千克．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解决本题的关键是列方程组求出首重需要的费用和续重需要的费用．
根据快递单上的收费，列出二元一次方程组求解即可；
根据小美邮寄的特产的重量和快递公司的收费标准计算即可；
设这份特产的重量是，小美在江西邮寄的特产，根据江西的收费标准列出一元一次方程，解方程求出，即这份特产最多重，因为不足的按收费，可知这份特产的重量为大于8千克且不超过9千克．
【详解】（1）解：根据题意可得：
，
解得：，
答：的值为，的值为；
（2）解：元，
答：小美需要支付元快递费；
（3）解：设这份特产重量按计费，
小美在江西，
首重需要付费元，续重需要付费元，
根据题意可得：，
解得：，
这份特产重量的取值范围是大于8千克且不超过9千克，
答：这份特产重量的取值范围为大于8千克且不超过9千克．
2.2 一元二次方程
1．解方程
(1)（配方法）；
(2)（公式法）
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）将常数项移至等号的右边，然后配方解方程即可；
（2）一元二次方程的求根公式为，代入计算即可．
【详解】（1）解：
，
（2）解：
，．
2．解方程：
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用公式法解一元二次方程是解题的关键．
先将方程化成一般式，然后运用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
，
，
所以，
所以．
3．解方程：．
【答案】，
【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键．
利用公式法解方程即可．
【详解】解：，
，
，则方程有两个不相等的实数根，
，
∴，．
4．解方程：．
【答案】，
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或,
解得：，．
5．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)当时，直接写出该方程的根．
【答案】(1)见解析；
(2),．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
（1）计算该一元二次方程根的判别式，并结合完全平方公式进行整理，即可解题；
（2）将代入一元二次方程进行整理，再结合因式分解法解整理后的一元二次方程即可．
【详解】（1）证明：由题知，
，
该方程总有两个实数根；
（2）解：当时，关于x的一元二次方程为，
整理得，
则或，
解得，．
6．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若是方程的两个不相等的实数根，且满足，求k的值．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
（1）求出判别式的符号，即可得出结论；
（2）根据根与系数之间的关系，得到，结合，得到关于的方程进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴；
∴ 无论取何值，方程总有两个不等实根；
（2）解：由题意，，，
∴，
∴，
∴，
．
7．关于x的一元二次方程．
(1)判断方程根的情况，并说明理由；
(2)若方程有一个根不小于3，求k的取值范围．
【答案】(1)方程总有两个实数根，理由见解析
(2)
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和性质．结合二次函数的单调性，求解参数的取值范围是解题关键
（1）计算判别式，据此判断方程实数根个数；
（2）先求出方程的根，再结合“根不小于3”的条件，确定参数的范围．
【详解】（1）解：，
方程总有两个实数根．
（2）解：，
，，
方程有一个根不小于3，
，
．
答：k的取值范围为．
8．对于m，只有一个实数值x满足，求所有满足条件的的值．
【答案】或1或2
【分析】本题主要考查了分式方程的解法、一元二次方程根的判别式，准确分析计算是解题的关键．
先将分式方程去分母化成整式方程，通过二次方程的判别式判断根的个数，再根据分式有意义的条件进行判断即可．
【详解】原方程是分式方程，
且，
两边同时乘以得：，
，
方程只有一个实数解，
若原分式方程有解，
，
解得：，
，
解得：，符合题意；
若原分式方程有增根，则或，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
综上所述：的值为或1或2．
9．在一个不透明的口袋中，装有标号共计6个小球（除标号不同外完全相同），摇匀后绫波零开始了实验：
(1)从中随机抽取一个球记作，则关于m的一元二次方程有解的概率是多少？
(2)现在绫波零抽取两次，将第一次抽取的数记为x，不放回继续抽取第二个小球，将抽取的数记作y，则平面直角坐标系中坐标在第一象限的概率是多少？（用列表或画树状图的方法表示）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了概率公式，一元二次方程的判别式，一元二次方程的定义，列表法或画树状图求概率，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先整理得，再结合当，即方程有解，进行逐个分析计算，即可作答．
（2）先理解题意，再进行列表，得出一共有种等可能的结果，坐标在第一象限的结果有种，运用概率公式进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵是一元二次方程，
∴，
则，
当时，则，方程无解，
当时，则，方程无解，
当时，则，方程有解，
当时，则，方程有解，
当时，则，方程有解，
则一共有6个小球，有解的情况有3个小球，
∴有解的概率是，
（2）解：列表如图所示：
0
1
2
0
1
2
∴一共有种等可能的结果，坐标在第一象限的结果有种，
∴平面直角坐标系中坐标在第一象限的概率是．
10．（1）解一元二次方程：；
（2）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
①求k的取值范围；
②若，求k的值．
【答案】（1），；（2）①；②
【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程判别式的意义及根与系数的关系；
（1）方程整理后，利用公式法求解即可；
（2）①由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可知，据此进行计算即可；②利用根与系数的关系得出，求出k并舍去不合题意的值即可．
【详解】解：（1）移项整理得：，
，
∴，
解得：，；
（2）①∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
整理得：，
解得：；
②∵方程的两个根分别为，，
∴，
∴，
解得：或，
又∵，
∴．
11．已知
(1)化简P；
(2)若m、n是方程的两个实数根，求P的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的混合运算，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）先计算括号内分式减法，再将除法化为乘法计算，直至化为最简分式；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，，再代入（1）中化简的结果，即可求值．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵m、n是方程的两个实数根，
∴，，
∴．
12．已知关于的一元二次方程．
(1)请问该方程是否存在两个相等的实数根？请说明理由；
(2)若该方程的两个实数根为和，且满足，求的值．
【答案】(1)该方程不存在两个相等的实数根，见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系．
（1）直接根据一元二次方程根的判别式判断即可；
（2）由根与系数的关系可知，求出，由根与系数的关系得到，进而可知的值．
【详解】（1）解：由题可知
该方程不存在两个相等的实数根；
（2）由根与系数的关系可知
又
13．已知关于的一元二次方程有两个实数根和．
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系：
（1）用根的判别式即可得到取值范围；
（2）由根与系数的关系得到的值，代入求出的值，留下符合的数即可．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根和，
，
解得：．
（2）解：由根与系数的关系得：，
，
，
将代入得，
解得：或，
，
．
14．已知关于x的一元二次方程．
(1)判断方程根的情况，并说明理由；
(2)若方程的一个根为6，求m的值和方程的另一个根．
【答案】(1)方程有两个不相等的实数根，理由见解析
(2)
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，根据判断的正负，进而确定根的情况．
（2）将已知根代入方程求出的值，再利用韦达定理（一元二次方程两根之和与系数的关系）求出另一个根 ．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式和韦达定理的应用，熟练掌握根的判别式判断根的情况以及韦达定理求根与系数关系是解题的关键．
【详解】（1）解：对于一元二次方程，其中，，．
根的判别式，
则 ．
，
，
，即 ．
当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，
原方程有两个不相等的实数根．
（2）解：是方程的一个根，
把代入方程得 ，
即，
，
解得 ．
设方程的另一个根为，
在方程中，，，
已知一个根是，则 ，
．
15．定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．
(1)若是“邻根方程”，求的值．
(2)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)或
(2)，见解析
【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解“邻根方程”的定义是解此题的关键．
（1）先解方程得出或，再由“邻根方程”的定义得出或，求解即可；
（2）设的两根分别是，则，，，再由“邻根方程”的定义得出，求出，即可得解．
【详解】（1）解：解方程可得或，
由题意知，或，
解得或；
（2）解：设的两根分别是，
则，，，
因为（，均为常数）为“邻根方程”，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以，满足的数量关系是．
2.3 分式方程
1．解方程：．
【答案】无解
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键，去分母，将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验即可．
【详解】解：，
方程两边同乘以得：
解得：，
经检验，是分式方程的增根，
原方程无解．
2．解方程：．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程．
根据解分式方程的方法，先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可．
【详解】解：，
方程两边同时乘以，得，
解得：，
检验：当时，，
∴分式方程的解为．
3．解分式方程：
【答案】
【分析】本题主要考查分式方程的解法，解题的关键是确定最简公分母，将分式方程化为整式方程．在方程两边同乘最简公分母，转化为整式方程，解整式方程，最后验根：确保解不会使原方程的分母为零即可．
【详解】解：
方程两边乘得，，
去括号得，，
移项得，，
系数化为得，，
检验：将代入，
原方程的解为．
4．解方程：；
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程求解方法和解题步骤是解题的关键．通过去分母转化为整式方程，即可求解．
【详解】解：，
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，
∴原方程的解为．
5．解方程：
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握相关运算法则和计算方法是解题的关键．
先把方程两边同时乘以，把分式方程转化成整式方程，去括号、整理即可求出的值，最后检验即可．
【详解】解：方程两边乘，得
，
整理得
，
解得，
检验：当时，，
所以，原分式方程的解为．
6．解方程：．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解此题的关键．先去分母，再解整式方程，最后检验即可得解．
【详解】解：
去分母得：
解得．
检验：当时，，
原方程的解为．
7．已知关于x的方程的解是，求关于y的不等式的解集．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，把代入已知的分式方程，可以求得的值；然后解关于的不等式即可．
【详解】解：根据题意可得：把代入，
∴
解得，
∴，
解得．
∴不等式的解集．
8．已知关于x的分式方程．
(1)当时，求方程的解．
(2)若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)且
【分析】（1）将代入分式方程，解分式方程即可求解；
（2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可．
【详解】（1）当时，
，
，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，
故方程的解为：；
（2），
，
去分母得：，
解得：，
由分式方程有解且解为非负数，且，
即：且，
即：且
【点睛】此题主要考查了分式方程及不等式的解法，掌握解分式方程的方法并及时进行检验是解题关键．
9．已知关于的分式方程．
(1)若这个方程的解是负数，求的取值范围；
(2)若这个方程无解，则______．（直接写出答案）
【答案】(1)且；
(2)3，10，．
【分析】（1）将分式方程化为整式方程，求得，由题意可得，且求解即可；
（2）将分式方程化为整式方程，求得，由题意可得或，求解即可．
【详解】（1）解：
化为整式方程可得：，
即，
由方程的解是负数可得，
则，且
解得且；
（2）解：由（1）可得方程可化为，
当时，，方程化为，无解，符合题意；
当时，，，
由题意可得：这个方程无解，则或
即或，
解得或，
综上可得：或或，
故答案为：3，10，．
【点睛】此题考查了分式方程的求解，涉及了分式方程增根的情况，解题的关键是熟练掌握分式的方程的有关知识．
10．已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下：
解：方程两边同乘，得，第一步
整理，得第二步
当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步
你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正．
【答案】第三步错误，见解析
【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母，再计算得到，分式方程无解有两种情况，第一种情况，第二种情况，则此时原方程有增根，据此求解即可．
【详解】解：
方程两边同乘，得，第一步，
整理，得，第二步，
当，即时，此时满足原方程无解，
当时，，
∵原方程无解，
∴原方程有增根，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或，
∴第三步出现错误．
11．已知关于x的分式方程
(1)当时，解这个分式方程；
(2)若方程有增根，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解分式方程，分式方程有增根的条件；
（1）按步骤：去分母，解方程，检验，进行解答，即可求解；
（2）化成整式方程，求出含有的解，由方程有增根得，即可求解；
掌握解分式方程的步骤及分式方程有增根的条件，并能将求出的值进一步检验是解题的关键．
【详解】（1）解：方程两边同时乘以得
，
解得，
检验：当时，
，
是原分式方程的解．
（2）解：去分母得
，
，
方程有增根，
，
，
∴，
解得或，
当时，
，
整理得：，矛盾；
舍去，
．
12．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：．
(1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
(2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程； ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
（1）“？”当成5，解分式方程即可，
（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将代入即可解答．
【详解】（1）解：依题意，
方程两边同时乘以得
解得
经检验，是原分式方程的解；
（2）解：设？为，
方程两边同时乘以得
∵是原分式方程的增根，
∴把代入上面的等式得
∴，原分式方程中“？”代表的数是．
13．设a，b为实数，关于的方程无实数根，求代数式8a+4b+|8a+4b-5|的值．
【答案】5
【分析】先将分式方程通分去分母化成整式方程，再根据方程无实数解得出关于含a、b的整式的取值范围，再据此作答即可求解．
【详解】将化简得：，
∵原分式方程无实数根，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了将分式方程化为一元二次方程以及根据一元二次方程根的情况得到方程判别式的符号以此来求解代数式值的知识，注重整体代入是解答本题的关键．
14．已知关于x的分式方程无解．
(1)求a的值；
(2)先化简，后求值：．
【答案】(1)a=-1
(2)-a-2；－1
【分析】（1）先求出分式方程的解，再根据关于x的分式方程无解，即可求得a的值；
（2）先算括号内的减法，然后计算括号外的除法，即可将题目中的式子化简，然后将（1）中的a的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】（1）由方程得：
，
，
∵此分式方程无解，
∴此分式方程有增根，
∴即；
（2）原式＝，
＝，
＝，
∵由（1），
∴原式＝．
【点睛】本题考查分式的化简求值、分式方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出a的值．
15．若关于x的方程有增根，试求k的值.
【答案】1
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x−3＝0，所以增根是x＝3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．
【详解】方程两边都乘（x−3），得
k＋2（x−3）＝4−x，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x−3＝0，即增根为x＝3，
把x＝3代入整式方程，得k＝1．
【点睛】此题考查了分式的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
16．若关于的方程无解，求的值.
【答案】
【详解】分析：该分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．
详解：去分母得：x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），
去括号得：x2-ax-3x+3=x2-x，
移项合并得：（a+2）x=3．
（1）把x=0代入（a+2）x=3，
∴a无解；
把x=1代入（a+2）x=3，
解得a=1；
（2）（a+2）x=3，
当a+2=0时，0×x=3，x无解
即a=-2时，整式方程无解．
综上所述，当a=1或a=-2时，原方程无解．
故答案为a=1或a=-2．
点睛：分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．
2.4 不等式（组）解法与解集表示
1．解不等式：
【答案】
【分析】本题考查了求不等式的解集，根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可．
【详解】解：，
，
，
．
2．解不等式组，并将其解集表示在如图所示的数轴上．
【答案】，见解析
【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，正确求得不等式组的解集是解答的关键．
先分别求解各个不等式的解集，求出公共部分得到不等式组的解集，并在数轴上表示解集即可．
【详解】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组的解集为，
不等式组的解集在数轴上表示如图：
3．解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】，在数轴上表示见解析
【分析】本题考查解一元一次不等式组，涉及一元一次不等式的解法、用数轴表示不等式组解集的方法，熟练掌握一元一次不等式的解法及数轴表示是解决问题的关键；先分别解出不等式组的两个不等式，再根据不等式组解集的求法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”求出解集，在数轴上表示即可得到答案．
【详解】解：，
解不等式①得
；
解不等式②得
；
故原不等式组的解集为．
在数轴上表示出不等式组的解集，如图所示：
．
4．解不等式：，并把解集在数轴上表示出来；
【答案】，数轴见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算得出不等式的解集为，再把在数轴上表示出来，即可作答．
【详解】解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
化系数为1得：；
数轴上表示如图：
5．解不等式：，并在数轴上表示出其解集．
【答案】，数轴见解析
【分析】本题考查解一元一次不等式，用数轴表示不等式的解集，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出不等式的解集即可．
【详解】解：，
，
，
，
∴不等式的解集为，
在数轴上表示出解集，如图所示：
6．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．
⑴. 发现问题：代数式的最小值是多少？
⑵. 探究问题：如图，点分别表示的是 ，．
∵的几何意义是线段与的长度之和
∴当点在线段上时，;当点点在点的左侧或点的右侧时
∴的最小值是3．
⑶.解决问题：
①.的最小值是 ；
②.利用上述思想方法解不等式：
③.当为何值时，代数式的最小值是2．
【答案】①6；②或；③或
【分析】(3)①根据绝对值的几何意义可知，变成数轴上的点到-2的距离和到4的距离之和的最小值；
②根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可；
③根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可．
【详解】解：(3)①设A表示的数为4，B表示的数为-2，P表示的数为x，
∴表示数轴上的点P到4的距离，用线段PA表示，
表示数轴上的点P到-2的距离，用线段PB表示，
∴的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时取得最小值为AB，
且线段AB的长度为6，
∴的最小值为6.
故答案为：6.
②设A表示-3，B表示1，P表示x，
∴线段AB的长度为4，则，
的几何意义表示为PA+PB，
∴不等式的几何意义是PA+PB＞AB，
∴P不能在线段AB上，应该在A的左侧或者B的右侧，
即不等式的解集为或．
故答案为：或．
③设A表示-a，B表示3，P表示x，
则线段AB的长度为，
的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时PA+PB取得最小值，
∴
∴或，
即或；
故答案为：或.
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，数轴，绝对值，以及数学常识，掌握绝对值的几何意义，学会分类讨论是解决本题的关键．
7．解不等式，并写出此不等式的非负整数解．
【答案】，非负整数解为：，，．
【分析】根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，进而求出其非负整数解即可．
本题考查求一元一次不等式的非负整数解，正确计算不等式的解集是解题的关键．
【详解】解：去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，，
非负整数解为：，，．
8．对于三个实数a，b，c，用表示这两个数的平方差，用表示这三个数中最大的数．例如：，，．
请结合上述材料，解决下列问题：
(1) ____， _______；
(2)若 ，则负整数a的值是______．
【答案】(1)，4
(2)
【分析】本题考查了新定义，运用完全平方公式计算，解一元一次不等式，求不等式的整数解等知识，理解新定义是解题的关键．
（1）由新定义即可求解；
（2）首先得，则得不等式，解不等式，即可求得负整数a的值．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：，4；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
满足条件的负整数为，
故答案为：．
9．解关于x的不等式组，并把解集表示在所给数轴上．
【答案】，数轴见解析
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
先求出两个不等式的解集，再求其解集的公共部分，并把解集表示在数轴上即可．
【详解】解：
解不等式，得：，
解不等式，得：，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
则不等式组的解集为
10．已知关于x的不等式组．
(1)在“□”内填入数字1，求不等式①的解集，并将解集在图中的数轴上表示出来；
(2)甲：“当在“□”中填入的数字大于时，该不等式组无解．”请判断甲的说法是否正确，并说明理由．
【答案】(1)，见解析
(2)甲的说法不正确，理由见解析
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据不等式组的解集情况求参数，在数轴上表示不等式得解集，熟知解一元一次不等式和解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
（1）按照去括号，移项，合并同类项的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出该不等式得解集即可；
（2）设“□”中的数字为m，分别求出不等式组中两个不等式得解集，再求出不等式组无解时m的取值范围即可得到结论．
【详解】（1）解：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
数轴表示如下所示：
（2）解：甲的说法不正确，理由如下：
设“□”中的数字为m，
解不等式①得，
解不等式②得：，
当原不等式组无解时，则，
∴，
∴“当在“□”中填入的数字小于等于时，该不等式组无解，
∴甲的说法不正确；
11．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”．
(1)请判断是否是不等式组的“相依方程”，并说明理由；
(2)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有且只有2个整数解，求m的取值范围；
(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，求k的取值范围．
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）先求一元一次方程的解为，再求不等式组的解集为，根据定义即可判断；
（2）先求一元一次方程的解为，根据不等式组有两个整数解，可得，解得，再由方程是不等式组的“相依方程”，可得，最后求出；
（3）先求一元一次方程的解为，不等式组的解集分情况讨论：①时，，根据题意可得，，此情况下k的取值为；②当时，，根据题意可得，，此情况下k的取值为；③当时，无解，不合题意，综上所述即可得出答案．
【详解】（1）解：不是不等式组的“相依方程”，理由如下：
，
，
解得，
，
由①得：，
解得，，
由②得：，
，
，
，
，
∴，
∵不在的范围内，
∴不是不等式组的“相依方程”；
（2）解：，
，
，
，
，
解不等式组：，
由①得，
由②得，
∴不等式组的解集是，
∵不等式组有两个整数解，
∴，
解得，
∵方程是不等式组的“相依方程”，
∴，
解得，
∴；
（3）解：，
解得，
，
由①得，
由②得，
①当时，，
∴，
∵方程是关于x的不等式组的“相依方程”，
∴，
解得或；
∴此情况下k的取值为，
②当时，，
此时，即或，
不等式组的解集为，
∴，
解得或，
∴此情况下k的取值为，
③当时，无解，不合题意，
综上所述：或．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，弄懂定义，分类讨论是解题的关键．
12．已知关于x，y的方程组．
(1)若该方程组的解满足，求m的值；
(2)若不等式组的解集满足，求m的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值．
【答案】(1)
(2)
(3)5、6、7
【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，熟练掌握计算方法是解此题的关键．
（1）由加减消元法解二元一次方程组得出，结合题意得出，计算即可得解；
（2）利用加减消元法得出，根据，得出，解不等式组即可得出答案；
（3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解．
【详解】（1）解：，
由得：，
∴，
∵该方程组的解满足，
∴，
∴；
（2）解：，
由得：，
∵方程组的解集满足，
∴，
解得：；
（3）解：∵
∴，
∵不等式的解为，
∴，
解得：，
由（2）可得，
∴，
∴的整数值为5或6或7．
13．规定，例如，．
(1)__________；
(2)解不等式组；
(3)若关于x的不等式组恰好有三个整数解，则a的取值范围为__________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解的定义，正确得出不等式组是解题关键．
（1）根据、以及的定义即可得；
（2）根据的定义可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得；
（3）先根据的定义可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组可得，再根据不等式组恰好有三个整数解可得，由此即可得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为．
（3）解：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵这个不等式组有解，
这个不等式组的解集为，
又∵关于的不等式组恰好有三个整数解，
，
解得：，
∴的取值范围为．
故答案为：．
14．解不等式组：，并写出所有整数解．
解：解不等式①得____________，
解不等式②得____________，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集：
所以，原不等式组的解集为______，
所以，原不等式组的整数解为______．
【答案】，，，3和4；图见解析
【分析】本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，准确的计算是解决本题的关键．
先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来，然后写出整数解即可．
【详解】解：①
解得；
②
解得，
∴原不等式组的解集为，
∴原不等式组的整数解为3，4，
故答案为：，，，3和4．
不等式组的解集表示数轴如下，
15．解不等式组：，并求出它所有的整数解的和．
【答案】不等式组的解集为，它所有的整数解的和为．
【分析】本题主要考查求一元一次不等式组的整数解，解此题的关键在于熟练掌握求解一元一次不等式组的一般步骤．先分别求出每个不等式的解，再求不等式组的解集，在解集中找出整数解，最后求和即可．
【详解】解：解不等式组：，
解不等式①得 ，
解不等式②得，
不等式组的解集为：，
它所有的整数解为：，
它所有的整数解的和为：．
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专题2 方程（组）与不等式（组）
目录
2.1 一次方程（组）解法与应用-----------------------------------------------------------------------1
2.2 一元二次方程（解法、根的判别式、韦达定理）-----------------------------------------6
2.3 分式方程（解法、验根专项训练）-------------------------------------------------------------8
2.4 不等式（组）解法与解集表示（数轴应用、参数问题）-------------------------------10
考情分析：中考核心模块，一元二次方程根的判别式、韦达定理高频考，分式方程必考查根，不等式组解集数轴表示常考，实际应用多在解答题中出现
2.1 一次方程（组）解法与应用
1．复习课上，老师展示了两道解方程的题目，如表所示：
习题1
习题2
…………第一步
…第二步
…………．第三步
……………．第四步
整理，得……………第一步
∵，…………第二步
，…第三步
∴方程有两个不相等的实数根，
即第四步
(1)分别写出习题1和习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的；
(2)从以上两道习题中任选一题，写出解答过程．
2．综合实践课上，同学们玩“接力游戏”，由每组学生合作解一元一次方程．如图，老师将题目交给甲同学，他完成一步解答后交给乙同学，依次进行，最后由戊同学完成求解．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．
(1)写出这个“接力游戏”中过程出错的同学；
(2)请你写出正确的求解过程．
3．解方程：．
4．（1）解方程：；
（2）先化简，再求值：，其中x是满足范围内的整数．
5．解方程： ．
6．某生产线共有名工人，每名工人每天可生产个电压表或个电流表，套物理电学实验器材包中要配有个电压表和个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？
7．初一年级某班为学科节游园会准备制作一批益智玩具作为奖品，并为每一个玩具配备两个手绘学科节图标．如果该班有28名学生参与制作奖品，每人每天平均能组装玩具24个，或绘制图标16个．那么应分配多少名学生组装玩具，多少名学生绘制图标，才能使当天组装的玩具和绘制的图标刚好配套？
8．喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务．
(1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数；
(2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数．
9．中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展，提高了人们的生活水平．某市招标建设一段长为14千米的无桥梁高速公路路基，现有A，B两家公司竞标了这项工程，已知A公司每天能修建路基0.5千米，B公司每天能修建路基1千米，若由A，B两家公司合作完成任务，且B公司的工作时间比A公司工作时间的2倍多4天，则A公司的工作时间为多少天？
10．由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份比一月份售价每台降价500元．如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元．
(1)一月份甲型号手机每台售价为多少元？
(2)为了提高利润，该店计划三月份加入乙型号手机销售，已知甲型号每台进价为3500元，乙型号每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？
(3)若三月份甲型号手机售价与二月份一样，乙型号手机售价比甲型号手机三月份的售价贵800元，在（2）的前提下哪种方案获利最大？
11．年，为加力支持消费者购买绿色智能家电，增添绿色消费新动力，北京市商务局发布了《北京市加力支持家电以旧换新补贴实施细则》，补贴期间，对在京个人消费者购买一级和二级能效(水效)的冰箱(含冰柜)、洗衣机(含洗烘一体机)、电视、空调、电脑(含学习机)、热水器(含壁挂炉)、家用灶具(含集成灶)、吸油烟机等类家电产品予以以旧换新补贴．补贴标准：一级能效(水效)的家电产品，按照产品销售价格的给予补贴；二级能效(水效)的家电产品，按照产品销售价格的给予补贴，每位消费者每类产品可补贴件，每件补贴不超过元．
已知在补贴期间，一位顾客购买了一台一级能效的电脑和一台二级能效的洗衣机，共花费元，比补贴前便宜了元，若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜多少元？
12．某学校六年级开展了一次班级间的篮球比赛，规定每场比赛需分出胜负，胜1场积2分，负1场积1分．六年级共有13个班级，第一轮比赛中，每两个班级相互之间仅比赛一场，六（1）班在完成第一轮所有比赛后，总积分为19分，问六（1）班第一轮胜了多少场？
13．小红爸爸计划购买，两种品牌共袋糯米制作粽子．已知用元购买A品牌的袋数与用元购买品牌的袋数相同，且品牌每袋的价格比品牌每袋的价格贵元．
(1)求，两种品牌每袋糯米的价格：
(2)小红爸爸计划购买品牌的袋数不超过品牌袋数的一半，则怎样购买才能花费最少，最少为多少元？
(3)小红去商家柜台了解到，若整箱（袋/箱）购买任意一种品牌的糯米，每箱可优惠元．小红猜想购买品牌整箱，购买品牌整箱，会比（2）中的方案更省钱，请通过计算说明小红的猜想是否正确．
14．在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下，人们骑电动车、摩托车佩戴头盔的安全意识不断提高某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售于是商店老板联系了批发商，他们之间的对话如下：
你好请问你那里的安全头盔批发价是多少？
我有三种型号的安全头盔，批发价分别是型元个；型元个；型元个如果你买的多的话还有下面的优惠方案：
①一次性累计购买个及以上九五折优惠
②一次性累计购买个及以上九折优惠
(1)若该商店计划一次性购进型安全头盔个和型安全头盔个，共需多少钱？
(2)若该商店计划用元一次性购进两种不同型号的安全头盔个，请你研究一下该商店的进货方案有哪几种？
15．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为、点的坐标为、点的坐标为、…，过点、、、…、分别作x轴垂线，交直线于点、、、…，覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为….
【参考公式：连续x个正整数和的计算公式：】
(1)由题意可知：、；、；、；则 、 ；
(2) ；
(3)的值是否会等于2025？若能，请求出n的值，若不能，请说明理由.
16．一个三位数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位数为“半和数”．例如，因为，所以是半和数．
(1)已知是半和数，若，，求c的值；
(2)嘉嘉认为任意一个半和数都能被整除．你同意嘉嘉的看法吗？说明理由．
17．如图，O为数轴原点，点M，N在数轴上，点M在原点O左侧，点N在原点O右侧，且，．蚂蚁P从点N出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，同时蚂蚁Q从点M出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴运动．设点P，Q的运动时间t（秒）．
(1)点M表示的数为 ；点N表示的数为 ；
(2)用含t的代数式表示经过t秒时点P表示的数；
(3)若蚂蚁Q沿数轴向右运动，当两只蚂蚁之间的距离为6时，求t的值；
(4)蚂蚁Q沿数轴向左运动，若无论t取何值，（m为常数）的值始终固定不变，求m的值．
18．如图1，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为24，边长为4．
(1)数轴上点A表示的数为 ．
(2)将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积记为．
①当恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为 ．
②设点的移动距离．
．当时， ；
．为线段的中点，点在线段上，且；当点，所表示的数互为相反数时，求的值．
19．月日是植树节，许多家庭积极参与植树活动，为建设美丽中国，共同谱写人与自然和谐共生的中国式现代化新篇章．在一次家庭植树活动中，甲组家庭植树的棵数比乙组家庭多，乙组家庭植树的棵数比甲组家庭的一半多棵，求甲、乙两组家庭共植树多少棵．
20．综合与实践
【背景】近年来，涟水以高质量发展为首要任务，实现经济迅猛腾飞，成为江苏省最年轻、淮安市唯一的全国百强县.涟水更是风光与美食交织的宝藏之地，让游客流“涟”忘返.住在涟水的小美想给亲朋好友寄送当地特产．
【素材1】她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如下表：
计费单位
收费标准
江浙沪地区
江西省
首重
续重
收费说明：
每件快递按送达地分别计算运费；
运费计算方式：首重价格续重续重运费．首重均为千克，超过千克即要续重，续重以千克为计重单位（不足千克按千克计算）．
【素材2】
电子存单
电子存单
托寄物：捆蹄、萝卜干
目的地：江苏常州
计量重量：千克
件数：
总费用：元
托寄物：鸡糕、捆蹄
目的地：江西南昌
计量重量：千克
件数：
总费用：元
【问题解决】
(1)求、的值；
(2)小美给在上海的哥哥寄出了千克的涟水特产，她需要支付多少元快递费？
(3)小美给在江西的外婆寄特产花了元快递费，求这份特产重量的取值范围．
2.2 一元二次方程
1．解方程
(1)（配方法）；
(2)（公式法）
2．解方程：
3．解方程：．
4．解方程：．
5．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)当时，直接写出该方程的根．
6．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若是方程的两个不相等的实数根，且满足，求k的值．
7．关于x的一元二次方程．
(1)判断方程根的情况，并说明理由；
(2)若方程有一个根不小于3，求k的取值范围．
8．对于m，只有一个实数值x满足，求所有满足条件的的值．
9．在一个不透明的口袋中，装有标号共计6个小球（除标号不同外完全相同），摇匀后绫波零开始了实验：
(1)从中随机抽取一个球记作，则关于m的一元二次方程有解的概率是多少？
(2)现在绫波零抽取两次，将第一次抽取的数记为x，不放回继续抽取第二个小球，将抽取的数记作y，则平面直角坐标系中坐标在第一象限的概率是多少？（用列表或画树状图的方法表示）
10．（1）解一元二次方程：；
（2）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
①求k的取值范围；
②若，求k的值．
11．已知
(1)化简P；
(2)若m、n是方程的两个实数根，求P的值．
12．已知关于的一元二次方程．
(1)请问该方程是否存在两个相等的实数根？请说明理由；
(2)若该方程的两个实数根为和，且满足，求的值．
13．已知关于的一元二次方程有两个实数根和．
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，求的值．
14．已知关于x的一元二次方程．
(1)判断方程根的情况，并说明理由；
(2)若方程的一个根为6，求m的值和方程的另一个根．
15．定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．
(1)若是“邻根方程”，求的值．
(2)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由．
2.3 分式方程
1．解方程：．
2．解方程：．
3．解分式方程：
4．解方程：；
5．解方程：
6．解方程：．
7．已知关于x的方程的解是，求关于y的不等式的解集．
8．已知关于x的分式方程．
(1)当时，求方程的解．
(2)若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围．
9．已知关于的分式方程．
(1)若这个方程的解是负数，求的取值范围；
(2)若这个方程无解，则______．（直接写出答案）
10．已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下：
解：方程两边同乘，得，第一步
整理，得第二步
当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步
你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正．
11．已知关于x的分式方程
(1)当时，解这个分式方程；
(2)若方程有增根，求m的值．
12．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：．
(1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
(2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
13．设a，b为实数，关于的方程无实数根，求代数式8a+4b+|8a+4b-5|的值．
14．已知关于x的分式方程无解．
(1)求a的值；
(2)先化简，后求值：．
15．若关于x的方程有增根，试求k的值.
16．若关于的方程无解，求的值.
2.4 不等式（组）解法与解集表示
1．解不等式：
2．解不等式组，并将其解集表示在如图所示的数轴上．
3．解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
4．解不等式：，并把解集在数轴上表示出来；
5．解不等式：，并在数轴上表示出其解集．
6．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．
⑴. 发现问题：代数式的最小值是多少？
⑵. 探究问题：如图，点分别表示的是 ，．
∵的几何意义是线段与的长度之和
∴当点在线段上时，;当点点在点的左侧或点的右侧时
∴的最小值是3．
⑶.解决问题：
①.的最小值是 ；
②.利用上述思想方法解不等式：
③.当为何值时，代数式的最小值是2．
7．解不等式，并写出此不等式的非负整数解．
8．对于三个实数a，b，c，用表示这两个数的平方差，用表示这三个数中最大的数．例如：，，．
请结合上述材料，解决下列问题：
(1) ____， _______；
(2)若 ，则负整数a的值是______．
9．解关于x的不等式组，并把解集表示在所给数轴上．
10．已知关于x的不等式组．
(1)在“□”内填入数字1，求不等式①的解集，并将解集在图中的数轴上表示出来；
(2)甲：“当在“□”中填入的数字大于时，该不等式组无解．”请判断甲的说法是否正确，并说明理由．
11．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”．
(1)请判断是否是不等式组的“相依方程”，并说明理由；
(2)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有且只有2个整数解，求m的取值范围；
(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，求k的取值范围．
12．已知关于x，y的方程组．
(1)若该方程组的解满足，求m的值；
(2)若不等式组的解集满足，求m的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值．
13．规定，例如，．
(1)__________；
(2)解不等式组；
(3)若关于x的不等式组恰好有三个整数解，则a的取值范围为__________．
14．解不等式组：，并写出所有整数解．
解：解不等式①得____________，
解不等式②得____________，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集：
所以，原不等式组的解集为______，
所以，原不等式组的整数解为______．
15．解不等式组：，并求出它所有的整数解的和．
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