第9章 二元一次方程组 章小结课件 2025-2026学年青岛版数学七年级下册

该初中数学课件系统梳理了二元一次方程组的概念、解法及应用，通过知识结构流程图呈现“实际问题→方程组→求解→解释”的逻辑链，结合概念辨析问题构建完整知识网络。 其亮点在于分层设计练习，从基础方程组求解到实际问题建模，如进出口总额、游轮票价等题培养模型意识，解题步骤示范强化运算能力与推理意识，助力学生巩固知识，教师精准复习。

第9章 二元一次方程组 数学 青岛版 七年级下册 章小结 ▶ 知识与结构 9.5 章小结 ▶ 回顾与总结 1. 什么是二元一次方程? 什么是二元一次方程的解? 它的解有多少组? 2. 什么是二元一次方程组? 什么是二元一次方程组的解? 它的解有多少组? 3. 解二元一次方程组的基本思路是什么? 常用方法有哪些? 这些方法的主要步骤分别是什么? 9.5 章小结 4. 同一元一次方程一样，多元一次方程组也是一种重要的数学模型，运用多元一次方程组解决实际问题的过程是什么? 5. 通过学习一元一次方程和二元一次方程组，你有什么体会?你认为研究方程的思路是什么? 9.5 章小结 综合练习 1. 解下列方程组： ▣ 复习巩固 5x＝y＋5， (1) x＝y－3； 2u－3v＝－10， (3) 6u＋2v＝－8； x＋y＝－5， (2) 3x－5y＝9； 4x－3y＝31， (4) 5x＋7y＝28。 9.5 章小结 5x＝y＋5， (1) x＝y－3； ① ② 解：方法一(代入法)： 将②代入①，得 5(y－3)＝y＋5， 解得 y＝5. 将 y＝5 代入②，得 x＝2. 所以原方程组的解是 x＝2， y＝5. 9.5 章小结 5x＝y＋5， (1) x＝y－3； ① ② 方法二(加减法)： 原方程组化为 ③－④，得 4x＝8，解得 x＝2. 将 x＝2 代入④，得 2－y＝－3， 解得 y＝5. 所以原方程组的解是 x＝2， y＝5. 5x－y＝5，③ x－y＝－3. ④ 9.5 章小结 x＋y＝－5， (2) 3x－5y＝9； ① ② 解：方法一(代入法)： 由①，得 x＝－5－y. ③， 将③代入②，得 3(－5－y)－5y＝9， 解得 y＝－3. 将 y＝－3 代入③，得 x＝－5－(－3)＝－2. 所以原方程组的解是 x＝－2， y＝－3. 9.5 章小结 x＋y＝－5， (2) 3x－5y＝9； ① ② 方法二(加减法)： ①×3，得 3x＋3y＝－15. ④ ②－④，得 －8x＝24，解得 y＝－3. 将 y＝－3 代入①，得 x－3＝－5， 解得 x＝－2. 所以原方程组的解是 x＝－2， y＝－3. 9.5 章小结 2u－3v＝－10， (3) 6u＋2v＝－8； ① ② 解：方法一(代入法)： 由①，得，u＝. ③ 将③代入②，得 3(3v－10)＋2v＝－8， 解得 v＝2. 将 v＝2 代入③，得 u＝－2. 所以原方程组的解是 u＝－2， v＝2. 9.5 章小结 2u－3v＝－10， (3) 6u＋2v＝－8； ① ② 方法二(加减法)： ②－①×③，得 11v＝2， 解得 v＝2. 将 v＝2 代入①，得2u－6＝－10， 解得 u＝－2. 所以原方程组的解是 u＝－2， v＝2. 9.5 章小结 4x－3y＝31， (4) 5x＋7y＝28。 ① ② 解：方法一(代入法)：由①，得，x＝. ③ 将③代入②，得 ＋7y＝28， 整理，得 155＋15y＋28y＝112， 解得 y＝－1. 将 y＝－1代入②，得 5x－7＝28， 解得 x＝7. 所以原方程组的解是 x＝7， y＝－1. 9.5 章小结 4x－3y＝31， (4) 5x＋7y＝28。 ① ② 方法二(加减法)： ①×7＋②×3，得 43x＝301， 解得 x＝7. 将 x＝7 代入①，得 28－3y＝31， 解得 y＝－1. 所以原方程组的解是 x＝7， y＝－1. 9.5 章小结 2. 解下列方程组： 3(x－1)＝y＋5， (1) 5(x－2)＋(3－y)＝－1； ＋＝， (2) －＝； x＋y＝1， (3) y＋z＝6， z＋x＝3； 3x＋y＋2z＝1， (4) 2x＋3y－z＝9， x＋y＋z＝6。 9.5 章小结 3(x－1)＝y＋5， (1) 5(x－2)＋(3－y)＝－1； 解：可化为 3x－y＝8，① 5x－y＝6. ② ②－①，得 2x＝－2，解得 x＝－1. 将 x＝－1 代入①，得 －3－y＝8，解得 y＝－11. 所以原方程组的解是 x＝－1， y＝－11. 9.5 章小结 解：可化为 2x－3y＝4， ① 5x－2y＝65. ② ＋＝， (2) －＝； ②×2－①×5，得 11y＝110，解得 y＝10. 将 y＝10 代入①，得 2x－3×10＝4，解得 x＝17. 所以原方程组的解是 x＝17， y＝10. 9.5 章小结 x＋y＝1， (3) y＋z＝6， z＋x＝3； ① ② ③ 解：方法一(代入法)：由①，得 x＝1－y. ④ 由②，得 z＝6－y. ⑤ 将④⑤代入③，得 6－y＋1－y＝3， 解得 y＝2. 将 y＝2 分别代入④⑤，解得 x＝－1，z＝4. 所以原方程组的解 x＝－1， y＝2， z＝4. 9.5 章小结 x＋y＝1， (3) y＋z＝6， z＋x＝3； ① ② ③ 方法二(加减法)： ②－①，得 z－x＝5.⑥ ③＋⑥，得 2z＝8，解得 z＝4. 将 z＝4 分别代入②③， 解得 y＝2，x＝－1. 所以原方程组的解 x＝－1， y＝2， z＝4. 9.5 章小结 3x＋y＋2z＝1， (4) 2x＋3y－z＝9， x＋y＋z＝6。 ① ② ③ 解：由①－③，得 2x＋z＝4. ④ ①×3－②，得 7x＋7z＝21. ⑤ ④×7－⑤，得 7x＝7， 解得 x＝1. 将 x＝1 代入⑤，得 7＋7z＝21， 解得 z＝2. 9.5 章小结 3x＋y＋2z＝1， (4) 2x＋3y－z＝9， x＋y＋z＝6。 ① ② ③ 将 x＝1，z＝2 代入③，得 1＋y＋2＝6， 解得 y＝3. 所以原方程组的解 x＝－1， y＝2， z＝4. 9.5 章小结 3. 已知关于x，y的二元一次方程组 的解是 求a，b 的值。 2x－ay＝5， bx＋6y＝－1 x＝1， y＝－1 解：将 x＝1，y＝－1 代入方程组 得 解得 2x－ay＝5， bx＋6y＝－1， 2＋a＝5， b－6＝－1， a＝3， b＝5. 9.5 章小结 4. 某地区前年进出口总额为 520亿元，去年进出口总额比前年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%。 注：进出口总额＝进口额＋出口额。 (1) 设前年进口额为 x 亿元，出口额为 y 亿元，用含 x，y 的代数式填表： 1.25 x 1.3 y 1.25x＋1.3y 9.5 章小结 (2) 已知去年的进出口总额比前年增加 140 亿元，求去年的进口额和出口额。 解：根据题意，得 解方程组，得 因为 1.25x＝1.25×320＝400 (亿元) x＋y＝520， 1.25x＋1.3y＝520＋140， x＝320， y＝200. 9.5 章小结 5. 某双层游轮的票价是：上层票每张 320元，下层票每张 180元。已知游轮上共有游客350人，而且上层票的总票款比下层票的总票款多 37 000元。这艘游轮上下两层的游客人数分别是多少? 解：设这艘游轮上下两层的游客人数分别是 x 人、y 人. 解方程组，得 所以，这艘游轮上下两层的游客人数分别是200人、150 人. x＋y＝350， 320x－180y＝37 000， x＝200， y＝150. 9.5 章小结 6.《九章算术》记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何。大意为：若干人共同买一个物品。如果每人付8元，那么多3元；如果每人付7元，那么差4元。问有多少人共同买这件物品，这件物品的价格是多少元。 解：设共有 x 人，物品的价格是 y 元. 根据题意，得 解方程组，得 所以，共有7人，物品的价格是 53 元. 8x－3＝y， 7x＋4＝y， x＝7， y＝53. 9.5 章小结 7. 甲、乙、丙三个数的和是 35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的等于丙数的。求这三个数。 解：设甲数为 x，乙数为 y，丙数为 z . 根据题意，得 解方程组，得 所以，甲、乙、丙三个数分别为 10，15，10. x＋y＋z＝35， 2x－y＝5， y＝z， x＝10， y＝15， z＝10. 9.5 章小结 ▣ 拓展延伸 8. 已知关于 x，y 的二元一次方程组 的一个解为 求 m，n 的值。 (m＋1)x－(n－3)y＝11， mx＋(n＋2)y＝7 x＝1， y＝－2， 解：将 x＝1，y＝－2 代入 得 解得 (m＋1)x－(n－3)y＝11， mx＋(n＋2)y＝7， m＋2n＝16， m－2n＝11， m＝， n＝. 9.5 章小结 9. 已知关于 x，y 的二元一次方程组 的解满足方程 x－2y＋1＝0，求 m 的值。 x＋2y＝5m， 6x－y＝4m 解：解关于 x，y 的方程组 得 x＋2y＝5m， 6x－y＝4m x＝m， y＝2m. 把 x＝m，y＝2m 代入方程 x－2y＋1＝0，得 m－4m＋1＝0， 解得 m＝. 9.5 章小结 10. A，B，C三种型号的电脑，每台售价分别为6000元、4000元、2500元。学校计划投入 100 500 元经费用于购买其中两种型号的电脑，共计36台。你能设计出哪些不同的购买方案? 解：设购买 A 型电脑 x 台、B 型电脑 y 台、C 型电脑 z 台. 分三种情况考虑： (1) 购进A型电脑和B型电脑. (2) 购进A型电脑和C型电脑. (3) 购进B型电脑和C型电脑. 9.5 章小结 (1) 购进 A 型电脑和 B 型电脑. 根据题意，得 6 000x＋4 000y＝100 500， x＋y＝36， 解得 x＝－21.75， y＝57.75， 不符合题意，舍去. 9.5 章小结 (2) 购进A型电脑和C型电脑. 根据题意，得 6 000x＋2 500z＝100 500， x＋z＝36， 解得 x＝3， y＝33. 9.5 章小结 (3) 购进 B 型电脑和 C 型电脑. 根据题意，得 4 000x＋2 500z＝100 500， y＋z＝36， 解得 x＝7， y＝29. 所以有两种购买方案供该校选择： 方案一：购进 A 型电脑3台和 C 型电脑33台. 方案二：购进 B 型电脑7台和 C 型电脑29台. 9.5 章小结 11. 甲、乙两个数的平均数为－1，乙、丙两个数的平均数是 5，甲、丙两个数的平均数是 2。甲、乙、丙三个数分别是多少? 解：设甲、乙、丙三个数分别是 x，y，z. 根据题意， 得 解方程组，得 所以，甲、乙、丙三个数分别是 －4，2，8. ＝－1， ＝5， ＝2； x＝－4， y＝2， z＝8. 9.5 章小结 ▣ 探索创新 12. 我国古代的“洛书”(图①)记载了世界上最古老的数学游戏—幻方(图②)。根据图②中各数字的关系，总结幻方需要满足的条件，并利用本章所学的知识将图③的幻方填写完整。 9.5 章小结 解：幻方需要满足的条件：每一行、每一列及每条对角线上的三个数字之和都相等. 填写略 9.5 章小结 13. 某班举办个人投篮比赛，有1人未进球，有2人各进1球，有7人各进2球，小亮和一些同学各进4球，有2人各进5球，没有人进5球以上。小莹和一些同学各进3球，已知进3球或3球以上的同学平均每人进3.5球，进4球或4球以下的同学平均每人进2.5球。求进3球的人数和进4球的人数。 解：设有 x 人各进 3 球，有 y 人各进 4 球. 9.5 章小结 根据题意，得 3x＋4y＋10＝3.5(x＋y＋2)， 16＋3x＋4y＝2.5(10＋x＋y)， 解方程组，得 x＝9， y＝3. 所以，有 9 人各进 3 球，有 3 人各进 4 球. 9.5 章小结 $