精品解析：辽宁省锦州市三校联考2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试卷

辽宁省锦州市三校联考2024-2025学年高二上学期期末质量检测 数学试卷 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 园艺部门打算为一个社区休闲广场的中心花坛（如图）布置花卉，要求同一区域摆放同一种花卉，相邻的两块区域（有公共边）摆放不同种类的花卉．现有4种不同种类的花卉可供选择，则不同布置方案有（ ） A. 144种 B. 120种 C. 96种 D. 72种 【答案】C 【解析】 【分析】按照的顺序分步考虑可能性，再相乘即可. 【详解】先考虑A区有4种可供选择，再考虑B区有3种，D区有2种，E区有2种，C区有2种， 由分步乘法计数原理得共有种. 故选：C. 2. 已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直关系得到直线的斜率，进而得到倾斜角． 【详解】由题意，直线的斜率为1， 因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为-1. 结合斜率与倾斜角的关系，得直线的倾斜角为. 故选：C 3. 已知事件A，B相互独立，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件的概率关系和相互独立事件的概率公式计算即可. 【详解】因为事件是相互独立事件，所以与相互独立， 所以， 则. 故选：C. 4. 已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（ ） A. 10 B. 2 C. 2或10 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】因为双曲线， 所以，故，即， 由双曲线的定义知，， 所以或， 当时，,不合题意，舍去. 故. 故选：A 5. 在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､丙､丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出“甲､乙､丙､丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法”和“每个地区至少安排1名专家的安排方法”的种数，再由古典概型的计算公式求解即可. 【详解】甲､乙､丙､丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法共有：种； 每个地区至少安排1名专家的安排方法有：种； 由古典概型的计算公式，每个地区至少安排1名专家的概率为：. 故选：B. 6. 已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（ ）． A. B. C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】判断两圆相交，求出两圆的公共弦方程，根据圆的弦长的几何求法，即可求得答案. 【详解】由题意知圆，即圆， 圆心为，半径， 圆，即圆， 圆心为，半径， 则，即两圆相交， 将圆和圆的方程相减， 可得直线的方程为， 则到直线的距离为， 故弦的长为， 故选：A 7. 已知椭圆的上焦点为，右顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于点M，可得点M为的中点，设.根据点为的重心，列方程可求得点的坐标.由点差法可得.将代入整理得，再结合即可求解. 【详解】延长交于点M，所以点M为的中点，设. 因为，点为的重心， 所以即，所以. 因为点在椭圆上， 所以，两式相减得，即， 整理得. 因为，所以，即， 所以，解得或. 又因为，所以，，所以. 故选：D. 8. 棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用求得点坐标间的相互关系，写出面积的表达式，利用二次函数的对称轴，求得面积的最小值. 【详解】以分别为轴建立空间直角坐标系， 依题意有， ，由于， 故，解得. 根据正方体的性质可知，，故为直角三角形， 而，故， 的面积为， 当时，面积取得最小值为， 故选:A. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，.每小题有多个选项符合题意，全选对得满分，漏选得部分分，错选不选不得分） 9. 已知二项式，则其展开式中（ ） A. 的系数为15 B. 各项系数之和为1 C. 二项式系数最大项是第3项 D. 系数最大项是第3项或第5项 【答案】AD 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式计算后可判断ACD的正误，利用赋值法可求各项系数之和，故可判断B的正误. 【详解】的展开式的通项为， 对于A，取，则，故的系数为，故A正确； 对于B，因为， 令，则各项系数之和为，故B错误； 对于C，二项式展开后共有7项，所以二项式系数最大项是第4项，故C错误； D，由展开式的通项可得展开式中各项的系数依次为：， 故系数最大项是第3项或第5项，D正确； 故选：AD. 10. 在棱长为1的正方体中，O为上底面的中心，则（ ） A. 平面 B. C. 直线与的距离为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量法判断线面平行、线线垂直判断A，B，运用异面直线向量距离公式求解判断C，根据向量法求解线面角判断D. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 所以，即， 又因为平面，所以平面，故A正确； ，平面的法向量， 设直线BC与平面所成角为， 则， 所以直线BC与平面所成角的正弦值为，故D正确； ，， 则， 所以不成立，故B错误； 因为，设，， 则，令，则， 又因为，所以直线与的距离为，故C正确. 故选：ACD 11. 如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值（），则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线经过点，其方程为 C. 曲线围成的图形面积小于 D. 存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点） 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据已知条件求出曲线方程，再运用曲线的对称性、放缩解决曲线所围图形面积以及整点的概念，分别分析每个选项. 【详解】对于A，先求曲线方程，设曲线上一点（）， 由已知，即. 若点在曲线上，则也满足曲线方程， 所以曲线关于直线对称，A选项正确. 对于B，将代入曲线方程，得，即，，此时方程为，B选项错误. 对于C，，则， 所以C在以圆心为O，半径为的圆内，结合图形知道，C选项正确. 对于D，由于，所以， 由曲线的对称性可知，要使曲线上有5个整点， 则曲线在第一象限内有两个整点，当整点为时，， 此时整点都在曲线上，其有3个整点，不满足题意; 当整点为时，，此时整点均在曲线上， 且均不在曲线上，其有5个整点，满足题意，D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题关键是找准图形的信息，求出曲线方程，后运用性质，如对称性，整点，面积借助放缩成半圆即可求解. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，以下结论，正确结论的序号为______ ①展开式中奇数项的二项式系数和为256 ②展开式中第6项的系数最大 ③展开式中存在常数项 ④展开式中含项的系数为45 【答案】②③④ 【解析】 【分析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知，由展开式的各项系数之和为1024可得，则二项式为，易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同，利用二项式系数的对称性判断①②；根据通项判断③④即可. 【详解】对①，由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知， 又展开式的各项系数之和为1024，即当时，，又，所以， 所以二项式为， 则二项式系数和为，则奇数项的二项式系数和为，故①错误； 对②，由可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大， 即第6项的二项式系数最大，因为与的系数均为1， 则该二项式展开式的二项式系数与系数相同，所以第6项的系数最大，故②正确； 对③，若展开式中存在常数项，由通项可得，解得，故③正确； 对④，由通项可得，解得，所以系数为，故④正确. 故答案为：②③④. 13. 已知四面体，，为边长为的等边三角形，若顶点在平面的投影是的垂心，则四面体的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】由是的垂心，可证明，，进一步证明，进一步证明在平面的射影是的中心，所以三棱锥是正三棱锥，其体积可求. 【详解】解： 作平面，垂足为，是的垂心， 连结交于，连结交于，则， 因为，所以，所以是边的中点，是边的垂直平分线， 所以， 平面，平面， 所以，， 平面，平面， 所以平面，平面，所以 平面，所以平面平面， 在平面内作，垂足为，平面平面， 所以平面，平面，所以 连结交于 平面，平面， 所以平面，平面，所以， 平面，平面，， 所以平面， 平面，所以， 由等边三角形的高线、中线、角平分线合一， 所以是的中心，所以三棱锥是正三棱锥， 所以， ，， ， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及三棱锥的体积的计算，其中解答中熟记三棱锥的几何结构特征，利用体积公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，中档题. 14. 已知两点，，动点M满足，抛物线的焦点为F，动点N在C上，则的最小值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】设，由已知求得点M的轨迹方程，数形结合可求得的最小值. 【详解】因为点M满足， 设，则， 两边平方整理得， 即点M的轨迹为圆心，半径为2的圆， 的最小值是M到准线的最短距离， 因为N可以选择在抛物线上，使得N到M的距离加上N到准线的距离最小， 圆心到准线的距离是， 圆的半径是2，所以M 到准线的最短距离是， 因此，的最小值是 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问： （1）如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？ （2）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？ 【答案】（1）60；（2）91 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别计算“从5名男生中选出2人”和“从4名女生中选出2人”的选法数目，由分步计数原理计算可得答案； （2）用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“甲乙都没有入选”的选法数目，即可得答案； 【详解】解：（1）根据题意，从5名男生中选出2人，有种选法， 从4名女生中选出2人，有种选法， 则4人中男生和女生各选2人的选法有种； （2）先在9人中任选4人，有种选法， 其中甲乙都没有入选，即从其他7人中任选4人的选法有种， 则甲与女生中的乙至少要有1人在内的选法有种； 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于中档题. 16. 已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． （1）求圆的标准方程； （2）已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）需要先求出圆心坐标和半径.可通过设圆心坐标，利用圆上点到圆心距离等于半径列方程求解. （2）判断两圆的位置关系，求出两圆的公切线，结合图形，得到满足条件的切线斜率. 【小问1详解】 设圆的圆心坐标为，半径为. 因为圆过点和，根据圆的标准方程. 对于点有，即 ①. 对于点有，即 ②. 将②代入①可得：. 展开得. 移项化简得，即，解得. 把代入②得. 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 如图所示，两圆外离，公切线有四条，由于第二象限内的点在圆上显然满足题意的是.下面求公切线斜率.显然斜率存在，设切线. 圆心到切线（即）的距离（∗）， 圆心到切线（即）的距离（∗∗）， 两个式子比，得到由 .化简得到， 则或者.即或者. 当时，代入方程（∗），得到，两边平方整理得，解得或. 当时，代入方程（∗），同样得到，解得. 由于且由图知道，因此，. 故满足题意的的斜率为. 17. 如图，在三棱锥中，是边长2的等边三角形， . （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取AB中点O，连接PO，CO，根据等边及等腰三角形的性质，可证，，根据勾股定理，可求得PO，CO的长，根据AC的长，结合勾股定理，可证，根据线面垂直的判定定理，可证平面，根据面面垂直的判定定理，即可得证. （2）如图建系，求得各点坐标和各个所需向量坐标，可求得平面的法向量，根据点到平面距离的向量求法，代入数据，即可得答案. （3）求出平面PBC的法向量，根据二面角的向量求法，可求得二面角的余弦值，根据同角三角函数的关系，即可得答案. 【小问1详解】 证明：取AB中点O，连接PO，CO，如图所示， 因为是边长为2 的等边三角形，O为AB中点， 所以，且， 因为，O为AB中点， 所以，且， 因为，所以，所以， 因为，平面， 所以平面， 所以平面，所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）得两两垂直，则以O为原点，所在直线为x，y，z轴建系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，即， 所以点到平面的距离 【小问3详解】 设平面PBC的法向量， 所以，即， 令，则，即， 由（2）得平面的法向量， 所以， 所以，即二面角的正弦值 18. 个考签中有个难签，人参加抽签（不放回），甲先，乙次之，丙最后.求： （1）甲抽到难签的概率； （2）在甲抽到难签后，乙抽到难签的概率； （3）甲、乙两人有人抽到难签的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求出甲抽到难签的概率； （2）甲抽到难签后，还剩个考签中有个难签，结合古典概型的概率可求出所求事件的概率； （3）利用独立事件的概率公式计算出事件“甲、乙都没抽到难签”的概率，结合对立事件的概率公式可求出所求事件的概率. 【小问1详解】 依题意，个考签中有个难签，所以甲抽到难签的概率是. 【小问2详解】 甲抽到难签后，还剩个考签中有个难签，乙抽到难签的概率为. 【小问3详解】 “甲、乙两人有人抽到难签”的对立事件为“甲、乙都没抽到难签”， 甲、乙都没抽到难签的概率为， 所以甲、乙两人有人抽到难签的概率为. 19. “曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼•闵可夫斯基提出来的．在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，如图，对于一个具有正南､正北､正东和正西方向规则布局的城镇街道，从一点到另一点的距离等于在南北方向上行进的距离加上在东西方向上行进的距离，这种距离即“曼哈顿距离”，也叫“出租车距离”．对于平面直角坐标系中的点和，两点间的“曼哈顿距离”． （1）如图，若为坐标原点，两点坐标分别为和，求； （2）若点满足，试在图中画出点的轨迹，并求该轨迹所围成图形的面积； （3）已知函数是图象上一个动点，求的最值，并求出此时点的坐标． 【答案】（1）5；5；4； （2）答案见解析； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题中的定义直接计算可得； （2）由题中定义得轨迹方程，进而可得面积值； （3）设，得转化为二次函数的在闭区间上的最值. 【小问1详解】 因两点坐标分别为和，根据， 得，，. 【小问2详解】 设，由，得. 当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以其轨迹是一个以为顶点的正方形. 正方形的边长为，其面积为.如图： 【小问3详解】 因M点在的图象上，设， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增，当时，， 当时，，当时，. 所以当时，，当时，. 故的最小值为，此时，的最大值为，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省锦州市三校联考2024-2025学年高二上学期期末质量检测 数学试卷 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 园艺部门打算为一个社区休闲广场的中心花坛（如图）布置花卉，要求同一区域摆放同一种花卉，相邻的两块区域（有公共边）摆放不同种类的花卉．现有4种不同种类的花卉可供选择，则不同布置方案有（ ） A. 144种 B. 120种 C. 96种 D. 72种 2. 已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 已知事件A，B相互独立，且，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（ ） A. 10 B. 2 C. 2或10 D. 14 5. 在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､丙､丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（ ）． A. B. C. 4 D. 2 7. 已知椭圆的上焦点为，右顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ） A. 或 B. C. D. 8. 棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，.每小题有多个选项符合题意，全选对得满分，漏选得部分分，错选不选不得分） 9. 已知二项式，则其展开式中（ ） A. 的系数为15 B. 各项系数之和为1 C. 二项式系数最大项是第3项 D. 系数最大项是第3项或第5项 10. 在棱长为1的正方体中，O为上底面的中心，则（ ） A. 平面 B. C. 直线与的距离为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 11. 如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值（），则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线经过点，其方程为 C. 曲线围成的图形面积小于 D. 存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，以下结论，正确结论的序号为______ ①展开式中奇数项的二项式系数和为256 ②展开式中第6项的系数最大 ③展开式中存在常数项 ④展开式中含项的系数为45 13. 已知四面体，，为边长为的等边三角形，若顶点在平面的投影是的垂心，则四面体的体积为________. 14. 已知两点，，动点M满足，抛物线的焦点为F，动点N在C上，则的最小值为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问： （1）如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？ （2）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？ 16. 已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． （1）求圆的标准方程； （2）已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率． 17. 如图，在三棱锥中，是边长2的等边三角形， . （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的正弦值. 18. 个考签中有个难签，人参加抽签（不放回），甲先，乙次之，丙最后.求： （1）甲抽到难签的概率； （2）在甲抽到难签后，乙抽到难签的概率； （3）甲、乙两人有人抽到难签的概率. 19. “曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼•闵可夫斯基提出来的．在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，如图，对于一个具有正南､正北､正东和正西方向规则布局的城镇街道，从一点到另一点的距离等于在南北方向上行进的距离加上在东西方向上行进的距离，这种距离即“曼哈顿距离”，也叫“出租车距离”．对于平面直角坐标系中的点和，两点间的“曼哈顿距离”． （1）如图，若为坐标原点，两点坐标分别为和，求； （2）若点满足，试在图中画出点的轨迹，并求该轨迹所围成图形的面积； （3）已知函数是图象上一个动点，求的最值，并求出此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $