精品解析：天津市滨海高新技术产业开发区第一学校、北京师范大学天津生态城附属学校2025-2026学年高三上学期第四次联考数学试题

天津市滨海新区北师大生态城､高新区第一学校2025-2026学年度高三年级上学期第四次联考 数 学 试 卷 注意事项： 1、本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2、答I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上，只交答题卡，试卷学生带走，以备讲评. 第I卷（选择题，满分60分） 一、选择题:（本题共9小题，每小题只有一个选项符合要求，每题5分，共45分） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数（其中为自然对数的底数）的图象大致形状是（    ） A. B. C. D. 4. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 树人中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为，，，，，，，，，，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 6. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线上一点到焦点的距离为3，准线为l，若l与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线C的离心率为（ ） A. 3 B. C. D. 8. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无味、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示．若此正八面体的棱长为，则下列说法正确的是（ ） A. 正八面体的体积为 B. 正八面体的表面积为 C. 正八面体的外接球体积为 D. 正八面体的内切球表面积为 9. 记为中的较大值，则关于函数有如下四个命题： ①的最小正周期为； ②的图象关于直线对称； ③的值域为； ④在区间上单调递增. 其中真命题的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 II卷（非选择题，满分105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 已知为虚数单位，复数满足，则_________． 11. 在 的展开式中，的系数为_______. 12. 若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为__． 13. 设是数列的前项和，且，，则__________． 14. 红、黄、蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色．已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色．现有等量的红、黄、蓝彩色颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料进行等量调配，则甲调配出绿色的概率为________；在甲调配出绿色的情况下，乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料，进行等量调配，则乙调配出紫色的概率为________． 15. 在菱形ABCD中，，，E，F分别为线段BC，CD上的点，，，点M在线段EF上，且满足，则x=___________；若点N为线段BD上一动点，则的取值范围为___________. 三、解答题：(本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤). 16. 在中，角所对的边分别为.满足. （1）求角的大小； （2）若的面积为. ①求的值； ②求的值. 17. 如图，在三棱锥中，平面，点在棱上，且为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点满足直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 18. 已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列， （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 19. 已知椭圆：的离心率为，且椭圆上动点到右焦点最小距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）点，是曲线上的两点，是坐标原点，，求面积的最大值. 20. 已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市滨海新区北师大生态城､高新区第一学校2025-2026学年度高三年级上学期第四次联考 数 学 试 卷 注意事项： 1、本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2、答I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上，只交答题卡，试卷学生带走，以备讲评. 第I卷（选择题，满分60分） 一、选择题:（本题共9小题，每小题只有一个选项符合要求，每题5分，共45分） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由补集和交集运算求解. 【详解】因为，所以. 故选：C 2. 已知且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确选项. 【详解】“”时，若，则，不能得到“”. “”时，若，则，不能得到“”. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 3. 函数（其中为自然对数的底数）的图象大致形状是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得函数为奇函数，图象关于原点对称，结合时，，即可得到答案. 【详解】由函数，可得的定义域为， 又由， 所以为奇函数，图象关于原点对称，可排除A、C； 当时，可得，，所以， 则，所以， 即当时，，所以选项B符合题意. 故选：B. 4. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数和对数函数的性质可得出，，，即可得出答案. 【详解】，，， 所以. 故选：A. 5. 树人中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为，，，，，，，，，，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】先依据题意列等量关系式求出，再依据百分位数的定义以及求解步骤直接求解即可得解. 【详解】由题可得极差是，该组数据的中位数是极差的， 列出等式，解得， 因为， 故该组数据的第40百分位数为从小到大第4个数据和第5个数据的平均值，即， 所以该组数据的第40百分位数是. 故选：A. 6. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，将指数式化成对数式，再借助换底公式及对数运算法则计算即得. 【详解】因为，于是得，， 又因为，则有，即，因此，，而，解得， 所以. 故选：D 7. 已知抛物线上一点到焦点的距离为3，准线为l，若l与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线C的离心率为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由已知结合抛物线的定义求出，从而可得抛物线的准线方程，则可求出准线l与两条渐近线的交点分别为，然后由题意可得，进而可求出双曲线的离心率 【详解】依题意，抛物线准线， 由抛物线定义知，解得，则准线， 双曲线C的两条渐近线为，于是得准线l与两条渐近线的交点分别为，原点为O， 则面积， 双曲线C的半焦距为c，离心率为e，则有，解得． 故选：C 8. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无味、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示．若此正八面体的棱长为，则下列说法正确的是（ ） A. 正八面体的体积为 B. 正八面体的表面积为 C. 正八面体的外接球体积为 D. 正八面体的内切球表面积为 【答案】D 【解析】 【分析】把正八面体补形为正方体，求得正方体的棱长为，利用正八面体和正方体的关系即可求解. 【详解】 把正八面体补形为如图所示正方体，因为正八面体棱长为，则正方体的棱长为 选项A，正八面体的体积，设四棱锥的高为， 则，所以，A错误； 选项B，正八面体的表面积为八个面面积和，故，B错误； 选项C，正八面体的外接球半径为正方体棱长的一半，故， 所以外接球体积，C错误； 选项D，设内切球半径为，则根据正八面体体积相等，， 所以所以内切球表面积为.D正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：补形法是解决正多面体的体积表面积外接球内切球问题的常用方法，本题把正多面体补形为正方体，找到正多面体和正方体的关系，利用正方体和正多面体的棱长的关系，即可解决所求正多面体的体积表面积外接球和内切球问题. 9. 记为中的较大值，则关于函数有如下四个命题： ①的最小正周期为； ②的图象关于直线对称； ③的值域为； ④在区间上单调递增. 其中真命题的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，画出函数的图象，利用图象判断各个命题. 【详解】设，， 则， 函数的图象如下所示： 对于①，由图知，函数的最小正周期为，①正确； 对于②，由图知，为函数的对称轴，②正确； 对于③，，由图知，函数的值域为，③错误； 对于④，由图知，函数在区间上单调递减，④错误. 所以真命题的个数为2个. 故选：B II卷（非选择题，满分105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 已知为虚数单位，复数满足，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数相等，应用复数的除法求复数z即可. 【详解】由题设，. 故答案为：. 11. 在 的展开式中，的系数为_______. 【答案】 【解析】 【详解】展开式的通项为，由得，所以，所以该项系数为. 考点：二项式定理及二项展开式的通项. 12. 若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为__． 【答案】 【解析】 【分析】 由已知设圆方程为，代入，能求出圆的方程，再代入点到直线的距离公式即可． 【详解】由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为，则半径为，． 即圆的方程为，再把点代入，得或1， ∴圆的方程为或，对应圆心为或； 由点线距离公式，圆心到直线的距离或； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题． 13. 设是数列的前项和，且，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】原式为，整理为： ，即，即数列是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以 ，即 . 【点睛】这类型题使用的公式是 ，一般条件是 ，若是消 ，就需当 时构造 ，两式相减 ，再变形求解；若是消 ，就需在原式将 变形为： ，再利用递推求解通项公式. 14. 红、黄、蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色．已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色．现有等量的红、黄、蓝彩色颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料进行等量调配，则甲调配出绿色的概率为________；在甲调配出绿色的情况下，乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料，进行等量调配，则乙调配出紫色的概率为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式和条件概率，即可求出所求概率. 【详解】设A=“甲调配出绿色”，B=“乙调配出紫色”， 因为等量的黄色加蓝色调配出绿色，且等量的红、黄色、蓝彩色颜料各两瓶共6瓶， 所以， 因为甲调配出绿色时已经用掉1瓶黄色颜料和1瓶蓝色颜料， 则颜料剩余红色2瓶，黄色1瓶，蓝色1瓶共4瓶， 因为等量的红色加蓝色调配出紫色，所以. 故答案为：， 15. 在菱形ABCD中，，，E，F分别为线段BC，CD上的点，，，点M在线段EF上，且满足，则x=___________；若点N为线段BD上一动点，则的取值范围为___________. 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】根据菱形的性质，建立以为x轴，为y轴的直角坐标系，利用向量的坐标表示形式分别表示出，根据它们的关系求得x的值及M的坐标； 设，表示出的函数关系，根据二次函数的性质求得取值范围. 【详解】根据菱形的性质，建立以为x轴，为y轴的直角坐标系，如图所示： 则，，，，， 由题知，，且，设， 则，由， 则，解得，， 设，，， 则， 则 故答案为：；. 三、解答题：(本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤). 16. 在中，角所对的边分别为.满足. （1）求角的大小； （2）若的面积为. ①求的值； ②求的值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角求解. （2）①利用余弦定理及三角形面积公式列出方程组求解；②利用余弦定理、二倍角及和角的正弦公式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 而，则，又， 所以. 【小问2详解】 ①在中，， 由（1）及余弦定理得，即， 又，即，而， 所以. ②由余弦定理得 而，则， ， . 17. 如图，在三棱锥中，平面，点在棱上，且为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点满足直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：以为原点，以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 则 方法一： . . 平面 平面. （证明中两组均可） 方法二：设是平面的一个法向量 取，得. ，即， 平面. （2） （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）以为原点，以所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法证明线面垂直； （2）用空间向量法求二面角； （3）假设点存在，设，由求线面角的空间向量法求得值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设为平面的一个法向量， ，令，则， . 由（1）可知是平面的一个法向量.（用均可） 设平面与平面的夹角为 平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 假设存在点满足题意，设， 设直线与平面所成角为，则 解得. 又，得，所以的值为. 所以存在点满足题意且． 18. 已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列， （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项，建立方程，求出等差数列的公差为，进而求出数列的通项公式； （2）根据（1）求出，根据错位相减求出，根据题意可知，再根据为偶数和奇数两种情况求解，根据数列的单调性，即可得到结果. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为，且，，成等比数列， 则，即，又，解得， 所以; 【小问2详解】 解：因为， 设， ①， ②， ①-②：， ，. 则，得， 当为偶数时，，又单调递增，当时，最小， 即，即； 当为奇数时,，又单调递减，当时，最大， 即，即； 所以. 19. 已知椭圆：的离心率为，且椭圆上动点到右焦点最小距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）点，是曲线上的两点，是坐标原点，，求面积的最大值. 【答案】（1）；（2）最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出的方程组，从而求解； （2）设出直线的方程，根据弦长公式找出一个的关系式；然后求原点到直线的距离，把求面积的最大值转化为求原点到直线距离的最大值. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）①当斜率不存在时，即直线轴，不妨设，则， ； ②当直线斜率存在时，设直线方程为， 由，得， 则， 设，，则，， 所以， ， 即. 记原点到直线的距离为， 则 . (当，即时取等，验证满足题意) 所以， 又因为，所以取最大值为. 注：求的最大值还可以这样处理，设，则(当，即时取等). 20. 已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有． 【答案】（Ⅰ）（i）；（ii）函数g(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)；的极小值为，无极大值； （Ⅱ）证明：由，得. 对任意的，且，令，则 . ① 令. 当x>1时，， 由此可得在单调递增，所以当t>1时，，即. 因为，，， 所以 . ② 由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即， 故 ③ 由①②③可得. 所以，当时，任意的，且，有. 【解析】 【分析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可； (ii)首先求得的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可； （Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令，将原问题转化为与有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论. 【详解】(Ⅰ) (i) 当k=6时，，.可得，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. (ii) 依题意，. 从而可得， 整理可得：， 令，解得. 当x变化时，的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)； g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值. （Ⅱ）略 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $