9.2 解二元一次方程组课件 2025-2026学年青岛版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦二元一次方程组的解法，系统讲解代入消元法和加减消元法。课堂导入通过章引言问题中一元一次方程与二元一次方程组的关联切入，知识回顾先复习二元一次方程（组）的定义和解，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是以“消元”为主线，通过“思考与交流”引导学生自主总结解法思路，培养数学思维中的推理意识和运算能力。例题涵盖基础运算与实际应用（如3D打印机打印零件问题），体现数学语言的模型意识和应用意识，课堂小结对比两种方法关键步骤帮助结构化知识。学生能掌握消元技能并学会用数学解决实际问题，教师可直接利用系统例题和分层练习提升教学效率。

第9章 二元一次方程组 数学 青岛版 七年级下册 9.2 解二元一次方程组 2 知识回顾 9.2 解二元一次方程组 在解决章引言中的问题时，列出了一元一次方程 x＋(x－21) ＋3＝30 和二元一次方程组 它们之间有什么关系? x＋y＋3＝30， x－y＝21， 新课导入 9.2 解二元一次方程组 方程 x－y＝21 可以整理为 y＝x－21。 因为两个方程中两个相同的字母表示同一个数，所以把方程 x＋y＋3＝30 中的 y 用 x－21 等量代换，得到一元一次方程 x＋(x－21)＋3＝30。 新课讲解 9.2 解二元一次方程组 这样就把一个二元一次方程组转化为一元一次方程了。 9.2 解二元一次方程组 解这个一元一次方程，得 x＝24。 x＋(x－21)＋3＝30 再将 x＝24 代入 y＝x－21，或者原方程组中任意一个方程，都以解得 y＝3。因此，原二元一次方程组的解是 x＝24， y＝3。 9.2 解二元一次方程组 以上解二元一次方程组的基本思路是什么? 消去二元一次方程组中的一个未知数，转化为一元一次方程，先求出一个未知数，再求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一求解的方法称为消元法。 9.2 解二元一次方程组 将二元一次方程组中一个方程的某一个未知数，用含有另一个未知数的代数式表示出来，然后将它代入另一个方程中，从而消去一个未知数，就可以将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，这种解方程组的方法叫作代入消元法。 9.2 解二元一次方程组 用代入消元法解方程组 例 1 3x＋y＝10， ① x－2y＝1。 ② 解：由 ①，得 y＝10－3x。 ③ 将 ③ 代入 ② ，得 x－2(10－3x)＝1。 解得 x＝3。 9.2 解二元一次方程组 将 x＝3 代入③，得 y＝1。 所以原方程组的解是 x＝24， y＝3。 9.2 解二元一次方程组 代入消元法解二元一次方程组的过程如下： 9.2 解二元一次方程组 1. 已知二元一次方程 x－5y＝3。 (1)用关于 x 的代数式表示 y； (2)用关于 y 的代数式表示 x。 解：y＝. 解：x＝3＋5y. 9.2 解二元一次方程组 2.用代入消元法解下列方程组： 4x＝y＋9， (1) y＝3x； x＋2y＝8， (2) 3x－y＝3。 9.2 解二元一次方程组 4x＝y＋9， (1) y＝3x； ① ② 解：将②代入①，得 4x＝3x＋9，解得 x＝9. 将 x＝9代入②，得 y＝27. 所以原方程组的解是 x＝9， y＝27. 9.2 解二元一次方程组 x＋2y＝8， (2) 3x－y＝3。 ① ② 解：方法一：由①，得 x＝8－2y. ③ 将③代入②，得 3(8－2y)－y＝3， 解得 y＝3. 将 y＝3 代入③，得 x＝2. 所以原方程组的解是 x＝2， y＝3. 9.2 解二元一次方程组 x＋2y＝8， (2) 3x－y＝3。 ① ② 方法二：由②，得 y＝3x－3. ③ 将③代入①，得 x＋2(3x－3)＝8， 解得 x＝2. 将 x＝2 代入③，得 y＝3. 所以原方程组的解是 x＝2， y＝3. 9.2 解二元一次方程组 除了代入消元法外，还有其他方法解二元一次方程组吗? 9.2 解二元一次方程组 观察二元一次方程组 x＋y＋3＝30， ① x－y＝21。 ② 9.2 解二元一次方程组 这个方程组的两个方程中，y 的系数有什么关系? 能否利用这种关系解方程组呢? y 的系数互为相反数。 x＋y＋3＝30， ① x－y＝21。 ② 9.2 解二元一次方程组 x＋y＋3＝30， ① x－y＝21。 ② 将方程①②的两边分别相加，得 (x＋y＋3)＋(x＋y) ＝30＋21， 即 2x＋3＝51。 解得 x＝24。 9.2 解二元一次方程组 x＋y＋3＝30， ① x－y＝21。 ② 将 x＝24 代入方程①，得 24＋y＋3＝30。 解得 y＝3。 所以原方程组的解是 x＝24， y＝3。 9.2 解二元一次方程组 如何求方程组 的解? 2x＋y＝5， 2x＋3y＝9 两个方程含 x 的项的系数相同，我们可以通过两式相减消去未知数 x，实现消元。 9.2 解二元一次方程组 当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个二元一次方程相加或相减消去一个未知数，就可以将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，这种解方程组的方法叫作加减消元法。 9.2 解二元一次方程组 方程组中有多个未知数时，可用消元法减少未知数的个数，将方程组转化为只含有一个未知数的方程。 9.2 解二元一次方程组 例 2 用加减消元法解方程组 5x＋2y＝－9， 3x－4y＝－8。 解：①×2，得 10x＋4y＝－18。 ②＋③，得 13x＝－26 解得 x＝－2。 9.2 解二元一次方程组 将 x＝－2 代入方程 ①，得 －10＋2y＝－9。 解得 y＝。 所以原方程组的解是 x＝－2， y＝。 9.2 解二元一次方程组 加减消元法解二元一次方程组的过程如下： 9.2 解二元一次方程组 1. 用加减消元法解下列方程组： 2x－3y＝4， (1) 5y－3x＝1； 2x＋3y＝－1， (2) x－2y＝－3。 9.2 解二元一次方程组 2x－3y＝4， (1) 5y－3x＝1； ① ② 解：②－①，得 3x＝－3，解得 x＝－1. 将 x＝－1代入①，得 2×(－1)－3y＝4， 解得 y＝－2. 所以原方程组的解是 x＝－1， y＝－2. 9.2 解二元一次方程组 解：②×4，得 2x－8y＝－12. ③ ①－③，得 11y＝11，解得 y＝1. 将 y＝1 代入①，得 2x＋3＝－1， 解得 x＝－2. 所以原方程组的解是 x＝－2， y＝1. 2x＋3y＝－1， (2) x－2y＝－3。 ① ② 9.2 解二元一次方程组 2. 现有甲、乙两种 3D 打印机，甲工作 2h，乙工作 3h，共打印 38 个零件。已知甲比乙每小时多打印 4 个零件，两种打印机每小时各打印多少个零件? 解：设甲种打印机每小时打印 x 个零件，乙种打印机每小时打印 y 个零件. 9.2 解二元一次方程组 根据题意，得 x＝y＋4， 2x＋3y＝38. 解方程组，得 x＝10， y＝6. 所以，甲种打印机每小时打印 10 个零件，乙种打印机每小时打印 6 个零件. 9.2 解二元一次方程组 代入消元法和加减消元法都是解二元一次方程组的一般方法。通过消去个未知数使二元一次方程组转化为一元一次方程。解二元一次方程组时，要根据方程组的特点选择合适的方法。 9.2 解二元一次方程组 解方程组 例 3 x＋2y＝4， ① 2x－3y＝15。 ② 解：由①，得 x＝4－2y。 ③ 将③代入②，得 2(4－2y)－3y＝15。 解得 y＝－1。 9.2 解二元一次方程组 将 y＝－1 代入③，得 x＝6。 所以原方程组的解是 x＝6， y＝－1。 9.2 解二元一次方程组 解方程组 例 4 3x－4y＝7， ① 5x＋6y＝18。 ② 解：①×3，得 9x－12y＝21。③ ②×2，得 10x＋12y＝36。④ ③＋④，得 19x＝57。 解得 x＝3。 9.2 解二元一次方程组 将 x＝3 代入②，得 15＋6y＝18。 解得 y＝。 所以原方程组的解是 x＝3， y＝。 9.2 解二元一次方程组 3x－4y＝7， ① 5x＋6y＝18。 ② 还有其他解法吗? 试一试。 9.2 解二元一次方程组 1. 解下列方程组： ＋＝5， (1) 3x－2y＝－6； 3(x－1)＝y＋5， (2) 5(y－1)＝3(x＋5)； 2x＋3y＝9， (3) 5x－4y＝－12； x＋y＝300， (4) 5%x＋53%y＝300×25%。 9.2 解二元一次方程组 ＋＝5， (1) 3x－2y＝－6； 解：①×6，得 3x＋2y＝30. ③ ②＋③，得 6x＝24，解得 x＝4. 将 x＝4 代入③，得 12＋2y＝30， 解得 y＝9. 所以原方程组的解是 x＝4， y＝9. ① ② 9.2 解二元一次方程组 ①－②，得 4y＝28，解得 y＝7. 将 y＝7 代入①，得 3x－7＝8，解得 x＝5. 所以原方程组的解是 x＝5， y＝7. 3(x－1)＝y＋5， (2) 5(y－1)＝3(x＋5)； 3x－y＝8， 解：可转化为 3x－5y＝－20. ① ② 9.2 解二元一次方程组 2x＋3y＝9， (3) 5x－4y＝－12； ① ② 解：①×4，得 8x＋12y＝36. ③ ②×3，得 15x－12y＝－36. ④ ③＋④，得 23x＝0，解得 x＝0. 将 x＝0 代入①，得 3y＝9， 解得 y＝3. 所以原方程组的解是 x＝0， y＝3. 9.2 解二元一次方程组 x＋y＝300， (4) 5%x＋53%y＝300×25%。 x＋y＝300， 解：可转化为 0.05x＋0.53y＝75. ① ② ①×0.05，得 0.05x＋0.05y＝15. ③ ②－③，得 0.48y＝60，解得 y＝125. 将 y＝125 代入①，得 x＋125＝300，解得 x＝175. 所以原方程组的解是 x＝175， y＝125. 9.2 解二元一次方程组 课堂小结 9.2 解二元一次方程组 习题 9.2 9.2 解二元一次方程组 1. 用代入消元法解下列方程组： ▣ 复习巩固 m＝2n＋3， (1) 4m＋5n＝－1； 3x＋4y＝18， (2) x＋y＝4。 9.2 解二元一次方程组 m＝2n＋3， (1) 4m＋5n＝－1； ① ② 解：将①代入②，得 4(2n＋3)＋5n＝－1， 解得 n＝－1. 将 n＝－1 代入①，得 m＝2×(－1)＋3＝1. 所以原方程组的解是 m＝1， n＝－1. 9.2 解二元一次方程组 3x＋4y＝18， (2) x＋y＝4。 ① ② 解：由②，得 y＝4－x. ③ 将③代入①，得 3x＋4(4－x)＝18， 解得 x＝2. 将 x＝2 代入③，得 y＝4－×2＝3. 所以原方程组的解是 x＝2， y＝3. 9.2 解二元一次方程组 2. 用加减消元法解下列方程组： 3u＋2v＝9， (1) 3u－5v＝2； 9x＋2y＝15， (2) 3x＋4y＝10。 9.2 解二元一次方程组 3u＋2v＝9， (1) 3u－5v＝2； ① ② 解：①－②，得 7v＝7，解得 v＝1. 将 v＝1 代入①，得 3u＋2×1＝9， 解得 u＝. 所以原方程组的解是 u＝， v＝1. 9.2 解二元一次方程组 9x＋2y＝15， (2) 3x＋4y＝10。 ① ② 解：①×2－②，得 15x＝20， 解得 x＝. 将 x＝ 代入①，得 9×＋2y＝15， 解得 y＝. 所以原方程组的解是 x＝， y＝. 9.2 解二元一次方程组 3. 解下列方程组： y－1＝3(x－2)， (1) y＋4＝2(x＋1)； ＋＝， (2) 5(x－9)＝6(y－2)。 9.2 解二元一次方程组 y－1＝3(x－2)， (1) y＋4＝2(x＋1)； y－3x＝－5， 解：可转化为 y－2x＝－2. ① ② ①－②，得 －x＝－3，解得 x＝3. 将 x＝3 代入①，得 y－3×3＝－5，解得 y＝4. 所以原方程组的解是 x＝3， y＝4. 9.2 解二元一次方程组 ＋＝， (2) 5(x－9)＝6(y－2)。 3x＋4y＝16， 解：可转化为 5x－6y＝33. ① ② ①×3＋②×2，得 19x＝114，解得 x＝6. 将 x＝6 代入②，得 5×6－6y＝33，解得 y＝－. 所以原方程组的解是 x＝6， y＝－. 9.2 解二元一次方程组 ▣ 拓展延伸 4. 如图，点 O 在直线 AB 上，OC 为射线，∠1 比 ∠2 的 3 倍还多 20°。求 ∠1，∠2 的度数。 解：方法一：根据题意，得 ∠1＋∠2＝180°， ∠1＝3∠2＋20°. ① ② 9.2 解二元一次方程组 将②代入①，得 3∠2＋20°＋∠2＝180°， 解得∠2＝40°. 将 ∠2＝40°代入②，得∠1＝140°. 所以原方程组的解是 所以 ∠1，∠2 的度数分别为 140°，40°. ∠1＝140°， ∠2＝40°， 9.2 解二元一次方程组 方法二：设 ∠1，∠2 的度数分别为 x，y. 由题意，得 解得 所以，∠1，∠2 的度数分别为 140°，40°. x＋y＝180°， x－3y＝20°， x＝140°， y＝40°. 9.2 解二元一次方程组 5. 一艘船在河道上航行，顺水航行 45 km，用时 3 h；逆水航行 65 km，用时 5 h。该船在静水中的速度与该河的水流速度分别是多少? 解：设船在静水中的速度为 x km/h，水流速度为 y km/h. 根据题意，得 解得 所以，船在静水中的速度为 14 km/h，水流速度为 1 km/h. 3(x＋y)＝45°， 5(x－y)＝65°， x＝14， y＝1. 9.2 解二元一次方程组 6.如图，在一台“数值转换机”上，依次输入数x，y后，会输出一个新数 3(x＋2y)－2。若依次输入数 2a，3b，输出的新数是 28；若依次输入数 a，2b，输出的新数是 16。求 a 与 b 的值。 解：根据题意，得 解得 3(2a＋2×3b)－2＝28， 3(a＋2×2b)－2＝16， a＝2， b＝1. 9.2 解二元一次方程组 ▣ 探索创新 7.如果关于m，n的二元一次方程组 的解是 3m－an＝16， 2m－bn＝15 m＝7， n＝1， 那么关于 x，y 的二元一次方程组 的 解是什么? 3(x＋y)－a(x－y)＝16， 2(x＋y)－b(x－y)＝15 解：将 m＝7，n＝1 代入方程组 3m－an＝16， 2m－bn＝15， 9.2 解二元一次方程组 得 解得 将 代入所求方程组，整理，得 21－a＝16， 14－b＝15， a＝5， b＝－1. a＝5， b＝－1. －x＋4y＝8，① 3x＋y＝15. ② ①×3＋②，得 13y＝39，解得 y＝3. 将 y＝3 代入，得 －x＋4×3＝8，解得 x＝4. 所以原方程组的解是 x＝4， y＝3. 9.2 解二元一次方程组 $