8.2 平行线及其判定 课件 2025-2026学年青岛版数学七年级下册

该初中数学课件围绕“平行线及其判定”，系统讲解平行线概念、画法、基本事实及判定方法，通过生活实例导入，衔接相交线知识，以转动直线观察位置关系等活动搭建学习支架，引导学生逐步构建知识体系。 其亮点在于以“数学眼光”观察生活实例，“数学思维”推导判定定理，如通过画平行线发现同位角相等，结合台球运动等实例培养推理意识。采用动手操作与问题驱动教学，课堂小结梳理知识，助力学生提升几何直观与应用能力，也为教师提供丰富教学资源，提高教学效率。

第8章 相交线与平行线 数学 青岛版 七年级下册 8.2 平行线及其判定 2 知识回顾 8.2 平行线及其判定 在同一平面内的两条直线的位置关系除了相交还有平行。生活中还有哪些平行线的例子呢? 如何判定两条直线平行? 新课导入 8.2 平行线及其判定 如图8.2-1①，画两条相交的直线 AB，CD。直线 AB 绕点 A 转动的过程中，直线 AB 与 CD 有几种位置关系? 图 8.2-1 新课讲解 8.2 平行线及其判定 C A B D 8.2 平行线及其判定 C A B D 8.2 平行线及其判定 图 8.2-1 直线 AB 与 CD 的位置关系存在两种情况：直线 AB 与 CD 相交 (图 8.2-1①)，直线 AB 与 CD 不相交 (图8.2-1②)。 8.2 平行线及其判定 当直线 AB 与 CD 不相交时，它们没有公共点，也就是直线 AB 与 CD 平行，记作“AB∥ CD”，读作“AB 平行于 CD”。 8.2 平行线及其判定 (1) 如图8.2-2，已知直线 a 和直线外一点 P，利用三角板和直尺，经过点 P 怎样画出直线 a 的平行线? 图 8.2-2 8.2 平行线及其判定 按照图 8.2-3 所示的步骤，可画出经过点 P，且平行于直线 a 的直线 b。 图 8. 2-3 8.2 平行线及其判定 P a 8.2 平行线及其判定 P a b 8.2 平行线及其判定 (2) 经过点 P 可以画出几条平行于 a 的直线? 经过点 P 只能画出一条平行于 a 的直线。 8.2 平行线及其判定 平行线基本事实 Ⅰ 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 8.2 平行线及其判定 如图8.2-4，a ∥ b，如果在直线 a，b 外取一点 Q，过点 Q 画直线 c，使得 c ∥ a，那么直线 b 与 c 有什么位置关系? 如果 b//a，c//a，那么b//c。 由此得到：平行于同一条直线的两条直线平行。 8.2 平行线及其判定 1. 在如图所示的点阵图中，经过点 P 分别画出线段 a，b，c 的平行线。 8.2 平行线及其判定 2. 过点 P 画 PC ∥ OA，交 OB 于点 C。过点 P 画 PD ∥ OB，交 OA 于点 D。 C D 8.2 平行线及其判定 可以用平行线的定义判定两条直线是否平行，但从定义出发很难直接说明两条直线没有公共点。还有其他判定两条直线平行的方法吗? 8.2 平行线及其判定 用直尺和三角板，按照图8.2-5所示的方法，经过直线 a 外一点 P 画出 a 的平行线 b。观察画图过程，能发现 a∥ b 的条件吗? 图 8.2-5 8.2 平行线及其判定 由画图过程可以看出，经过点 P 画直线 a 的平行线时，三角板沿直尺平移，保证了∠1＝∠2。这说明只要 ∠1＝∠2，就可以得到 a ∥ b。 8.2 平行线及其判定 如图8.2-6，两条直线 AB，CD 被第三条直线 l 所截，形成不同的角。观察 ∠1与 ∠2，它们有怎样的位置关系? 8.2 平行线及其判定 ∠1 与∠2 都在直线 AB，CD 的同侧，并且都在直线 l 的同旁，具有这种位置关系的一对角叫作同位角。 图8.2-6中，∠3与∠4，∠5与∠6，∠7与∠8也是同位角。 8.2 平行线及其判定 平行线基本事实 Ⅱ 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简单说成：同位角相等，两直线平行。 8.2 平行线及其判定 如图8.2-7，PC⊥AB，垂足为点 P，QD⊥AB，垂足为点 Q。PC 与 QD 平行吗? 为什么? 例 1 解：PC ∥ QD。 理由如下：因为 PC⊥AB，QD⊥AB， 所以根据垂线的定义，得∠BPC＝90°，∠BQD＝90°。 所以 ∠BPC＝∠BQD。 根据同位角相等，两直线平行，得 PC ∥ QD。 8.2 平行线及其判定 1. 找出图中的同位角。 解：∠1 与 ∠4 是同位角. 8.2 平行线及其判定 2. 如图，将木条 a，b 分别与木条 c 钉在一起。已知 ∠1＝44°，∠2＝75°，固定木条 b，c，将木条 a 按顺时针方向最少转动多少度，才能使 a 与 b 平行? 为什么? 解：将木条 a 按顺时针方向最少转动 31°，才能使 a 与 b 平行。 8.2 平行线及其判定 理由如下： 如图，过点 O 作 OA // b ， 所以 ∠AOC＝∠1＝44°时，OA // b. 所以要使木条 a 与 b 平行， 木条需顺时针转动的最小度数为 75°－44°＝31°. O A 8.2 平行线及其判定 3. 如图，∠AMB＝∠ANC，MD，NE 分别是 ∠AMB，∠ANC的平分线。图中有哪些平行线? 为什么? 解：MB // NC，MD // NE. 8.2 平行线及其判定 理由如下： 因为∠AMB＝∠ANC， 根据同位角相等，两直线平行，得 MB ∥ NC. 因为 MD，NE 分别是∠AMB，∠ANC 的平分线， 8.2 平行线及其判定 所以 ∠AMD＝∠AMB， ∠ANE＝∠ANC. 因为 ∠AMB＝∠ANC， 所以 ∠AMD＝∠ANE. 根据同位角相等，两直线平行，得 MD ∥ NE. 8.2 平行线及其判定 两条直线被第三条直线所截，除了形成同位角外，还有其他位置关系的角吗? 这些角满足什么关系时，才能判定两条直线平行? 8.2 平行线及其判定 如图8.2-8，直线 AB，CD 被第三条直线 l 所截 ∠1 与 ∠2 有怎样的位置关系? ∠1 与 ∠3 呢? 8.2 平行线及其判定 ∠1与∠2都在直线 AB，CD 之间，并且分别在直线 l 的两旁，具有这种位置关系的一对角叫作内错角。 除∠1与∠2外，图中还有其他的内错角吗? 8.2 平行线及其判定 ∠1与∠3都在直线 AB，CD 之间，并且都在直线 l 的同旁，具有这种位置关系的一对角叫作同旁内角。 除∠1与∠3外，图中还有其他的同旁内角吗? 8.2 平行线及其判定 我们知道，同位角相等，两直线平行。内错角或同旁内角满足什么关系时，两条直线平行? 8.2 平行线及其判定 (1) 如图 8.2-9，如果 ∠1＝∠2，那么 a ∥ b 吗? 为什么? 因为∠1＝∠2， ∠2＝∠3， 所以∠1＝∠3。 所以 a ∥ b。 8.2 平行线及其判定 (2) 如图8.2-10，如果 ∠1 与 ∠2 互补，那么 a ∥ b 吗? 因为∠1＋∠2＝180°， ∠2＋∠3＝180°， 所以∠1＝∠3。 所以 a ∥ b。 8.2 平行线及其判定 平行线判定定理 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 简单说成：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。 8.2 平行线及其判定 例 2 如图8.2-11，点 E，F 分别是线段 AB，DC 上的点，点 G 在 BC 的延长线上。 (1) 如果 ∠D＝∠DCG，可以判定哪两条直线平行? 解：因为∠D＝∠DCG， 所以根据内错角相等，两直线平行，得 AD // BC。 8.2 平行线及其判定 (2) 如果 ∠D＋∠DFE＝180°，可以判定哪两条直线平行? 解：因为∠D＋∠DFE＝180°， 所以根据同旁内角互补，两直线平行，得 AD // EF。 8.2 平行线及其判定 (3) 如果 ∠B＝∠DCG，可以判定哪两条直线平行? 解：因为∠B＝∠DCG， 所以根据同位角相等，两直线平行，得 DC // AB。 8.2 平行线及其判定 1. 如图， ∠2＝60°，当 ∠1＝_______°时，a ∥ b，理由是______________________________. 120 旁内角互补，两直线平行 8.2 平行线及其判定 2. 如图，在墙面上安装一条需拐两次弯的管道。若第一个弯道处 ∠B＝142°，则第二个弯道处 ∠C 为多少度时，管道 CD 与 AB 平行?为什么? 解：∠C＝142°. 理由如下：因为 ∠B＝∠C＝142°， 所以根据内错角相等，两直线平行，得 CD ∥ AB. 8.2 平行线及其判定 3.如图，分别根据下列条件可以判定哪两条直线平行?说明理由。 (1)∠1＝∠2； (2)∠3＝∠4； 解：AB // CD. 理由：内错角相等，两直线平行. 解：AD // BC. 理由：内错角相等，两直线平行. 8.2 平行线及其判定 (3)∠B＝∠DCE； (4)∠B＋∠BAD＝180°。 解：AB // CD. 理由：同位角相等，两直线平行. 解：AD // BC. 理由：同旁内角互补，两直线平行. 8.2 平行线及其判定 如图8.2-12，直线 AF 与 BD 交于点 C，∠B＝∠ACB。若 CD 是 ∠ECF 的平分线，试判断 AB 与 CE 的位置关系，并说明理由。 例 3 解：AB // CE。 理由如下：因为 CD 是 ∠ECF 的平分线， 所以根据角的平分线的定义，得 ∠ECD＝∠FCD。 8.2 平行线及其判定 根据对顶角相等，得 ∠FCD＝∠ACB。 所以 ∠ACB＝∠ECD。 因为 ∠B＝∠ACB， 所以 ∠B＝∠ECD。 根据同位角相等，两直线平行，得 AB ∥ CE . 8.2 平行线及其判定 如图8.2-13，台球运动中母球 P 击中桌边的点 A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点 B，再次反弹经过点 C，∠PAD＝∠BAE，∠ABE＝∠CBF，∠BAE＋∠ABE＝90°，母球 P 经过的路线 BC 与 PA 一定平行吗? 说明理由。 例 4 图 8.2-13 解：BC ∥ PA。 8.2 平行线及其判定 理由如下：根据平角的定义，得 ∠PAB＝180°－∠PAD－∠BAE。 因为 ∠PAD＝∠BAE， 所以 ∠PAB＝180°－2∠BAE。 同理 ∠ABC＝180°－2∠ABE。 因为 ∠BAE＋∠ABE＝90°， 所以根据等式的基本性质，得 ∠PAB＋∠ABC＝360°－2(∠BAE－∠ABE) ＝180°。 根据同旁内角互补，两直线平行，得 BC ∥ PA。 8.2 平行线及其判定 1. 如图，工程技术人员常用丁字尺画平行线，说明这种画法的道理。 解：因为同位角相等，所以画出的直线互相平行。 8.2 平行线及其判定 2. 如图，点 G 在直线 CD 上，∠BAG＋∠AGD＝180°，AE，GF 分别是 ∠BAG，∠AGC 的平分线。试说明 AE ∥ GF。 解：因为∠BAG＋∠AGD＝ 180°， 根据同旁内角互补，两直线平行，得 AB ∥ CD. 8.2 平行线及其判定 根据两直线平行，内错角相等，得 ∠BAG＝∠AGC. 因为 AE，GF 分别是 ∠BAG，∠AGC 的平分线， 根据角平分线的定义，得 ∠1＝∠BAG， ∠2＝∠AGC， 所以 ∠1＝∠2. 根据内错角相等，两直线平行，得 AE ∥ GF. 8.2 平行线及其判定 课堂小结 8.2 平行线及其判定 1.在同一平面内，下列说法正确的是 ( ) A. 两条直线的位置关系有平行、垂直和相交 B. 不平行的两条直线一定互相垂直 C. 不垂直的两条直线一定互相平行 D. 不相交的两条直线一定互相平行 D 课堂练习 8.2 平行线及其判定 2. 下列说法：①在同一平面内不相交的两条线段叫作平行线；②平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果 a ∥ b，b ∥ c，那么 a ∥ c. 其中正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 8.2 平行线及其判定 3. 如图所示，已知直线 AB，CD 被直线 EF 所截，∠1＋∠2＝180°，AB 与 CD 平行吗? 请说明理由。 解：AB ∥ CD. 理由如下：因为 ∠1＋∠2＝180°， ∠3＋∠2＝180°， 所以∠1＝∠3， 所以 AB ∥ CD. 8.2 平行线及其判定 习题 8.2 8.2 平行线及其判定 1. 观察下面的正方体，找出三组互相平行的棱，并用符号表示。 ▣ 复习巩固 解：AB ∥ CD，AB ∥ EF，AB ∥ GH. (答案不唯一) 8.2 平行线及其判定 2. 如图，用三角板和直尺分别按下列要求画图。 (1) 过点 A 画 BC 的平行线； (2) 过点 B 画 AC 的平行线； (3) 过点 C 画 AB 的平行线。 8.2 平行线及其判定 3. 找出图中所有的同位角、内错角和同旁内角。 解：图①中， 同位角：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8. 内错角：∠2与∠8，∠3与∠5. 同旁内角：∠2与∠5，∠3与∠8. 8.2 平行线及其判定 图②中， 内错角：∠B与∠DAB，∠C与∠EAC. 同旁内角：∠B与∠BAE，∠B与∠BAC，∠C与∠DAC，∠C与∠BAC，∠B与∠C. 8.2 平行线及其判定 4. 如图，一个弯形管道 ABCD 需要满足 AB 边与 CD 边平行，现利用量角器测得 ∠ABC＝110°， ∠BCD＝70°。这个零件合格吗? 请说明理由。 解：合格. 理由如下：因为∠ABC＋∠BCD＝110°＋70°＝180°， 根据同旁内角互补，两直线平行，得 AB ∥ CD， 所以这个零件合格。 8.2 平行线及其判定 5. 如图，工人师傅盖房子时，常将房梁设计成如图所示的图形。已知 AC 是 ∠DAB 的平分线，∠DAC＝∠DCA。可以判定哪两条直线平行? 请说明理由。 解：AB ∥ CD. 8.2 平行线及其判定 理由如下：因为 AC 是 ∠DAB 的平分线， 根据角平分线的定义，得 ∠DAC＝∠BAC. 因为∠DAC＝∠DCA， 所以 ∠BAC＝∠DCA. 根据内错角相等，两直线平行，得 AB ∥ CD. 8.2 平行线及其判定 6. 如图，∠1＝∠A，∠2＝∠B，图中有哪些直线平行? 为什么? 解：AB ∥ EF ∥ CD. 理由如下： 因为∠1＝∠A， 根据同位角相等，两直线平行，得 AB ∥ EF. 8.2 平行线及其判定 因为 ∠2＝∠B， 根据内错角相等，两直线平行，得AB ∥ CD. 根据平行于同一条直线的两直线平行，得 CD ∥ EF. 所以 AB ∥ EF ∥ CD. 8.2 平行线及其判定 7. 如图，D 为线段 AC 上的点，E 是线段 AB 上的点。添加一个条件，使 DE//BC，并说明理由。 解：添加∠ADE＝∠C (答案不唯一). 理由如下： 因为 ∠ADE＝∠C， 根据同位角相等，两直线平行，得DE ∥ BC. 8.2 平行线及其判定 ▣ 拓展延伸 8. 如图，图 ① 是一段花边的基本结构，在图 ② 中，绘制与图 ① 相同的图案。 8.2 平行线及其判定 9. 如图，在正方形方格纸的格点上有一点 P，用一把直尺，过点 P 分别画出线段 a，b 所在直线的平行线。 8.2 平行线及其判定 10. 如图，有一条纸带，用什么方法可以检验纸带的对边是否平行? 解：可以过纸带的对边任意画一条直线，量一下 ∠1 和 ∠2 的度数. 若∠1＝∠2，根据内错角相等两直线平行，可得对边平行，若 ∠1 与 ∠2 不相等则不平行. 1 2 8.2 平行线及其判定 71 ▣ 探索创新 11.光线从空气射入玻璃，或从玻璃射入空气都会产生折射现象。如图光线 a 从空气中射入玻璃，再从玻璃中射入空气，形成光线 b。已知 ∠1＝∠4，∠2＝∠3。判断光线 a 与光线 b 是否平行，并说明理由。 解：a//b. 8.2 平行线及其判定 5 6 理由如下： 因为∠2＝∠3，根据平角定义，得 ∠5＝180°－∠2，∠6＝180°－∠3 所以 ∠5＝∠6. 因为 ∠1＝∠4， 所以∠5＋∠1＝∠6＋∠4. 根据内错角相等，两直线平行，得 a//b. 8.2 平行线及其判定 12. 如图，取线段 AB 的中点 D，过点 D 画 BC 的平行线交 CA 于点 E，再过点 E 画 AB 的平行线交 BC 于点 F。 (1) 用圆规分别比较线段 AE 与 EC，CF 与 BF 的长短； 解：AE＝EC，CF＝BF. 8.2 平行线及其判定 (2) 用圆规分别比较线段 DE 与 BF，FC 的长短，EF 与 AD，DB 的长短，有什么发现? 解：DE＝BF＝FC，EF＝AD＝DB. 发现：连接三角形两边中点的线段等于第三边的一半. 8.2 平行线及其判定 直觉可靠吗 观察图 8.2-14 中的线段 a 与 b，哪一条长? 图 8.2-14 8.2 平行线及其判定 图 8.2-15 是由一些黑白相间的小格子组成的，凭直觉判断一下，图中的这些横线平行吗? 图 8.2-15 8.2 平行线及其判定 你的判断正确吗? 利用刻度尺量一量、测一测，能得到怎样的结论? 要对事物作出某种判断，通常要对这个事物进行观察、实验与思考。观察要认真仔细，但是仅仅依靠观察得出的猜想不一定正确，还要借助实验进行检验。 8.2 平行线及其判定 $