精品解析：江西省上饶市上饶经开区中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025-2026年第一学期第三次绿色评价 八年级上册·数学 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 如图，过的顶点B，作边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】解：边上的高有两个条件：①经过点，②垂直． 只有D符合要求． 故选：D． 2. 下列运算正确的是（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据积的乘方运算法则可判断A、C两项，根据同底数幂的乘法法则可判断B项，根据单项式乘以多项式的运算法则可判断D项，进而可得答案． 【详解】解：A、，故本选项运算错误，不符合题意； B、，故本选项运算错误，不符合题意； C、，故本选项运算正确，符合题意； D、，故本选项运算错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了幂的运算性质和单项式与多项式的乘法运算，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键． 3. 若点关于x轴对称， 则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-轴对称，求代数式的值，根据点关于x轴对称，得到点，解得，代入解答即可． 【详解】根据点关于x轴对称， ∴点， 解得， ∴． 故选C． 4. 若是一个完全平方式，则常数的值是（ ） A. 11 B. 21或 C. D. 21或 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得出答案. 【详解】∵是一个完全平方式， ∴， ∴或， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的运用，熟练掌握相关公式是解题关键. 5. 如图，已知六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键；根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：甲：由不能判断两个三角形全等，故不符合题意； 乙：由能判断两个三角形全等，故符合题意； 丙：∵， 而丙图形中第三个角（未知的角）为：， ∴与丙图中有两角及其夹边对应相等， 由能判断两个三角形全等，故符合题意； 故乙和丙符合题意， 故选：B． 6. 如图，平分，过C点作于E，并且，则下列结论： ①； ②； ③； ④，其中正确的结论个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】过C作于F．先判定，即可得出，再判定，即可得到；再根据四边形内角和以及三角形的面积计算公式，即可得到正确结论． 【详解】解：如图，过C作于F． ∵平分， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， 即，故①正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； 又∵， ∴， ∴四边形中，，故②正确； ∵， ∴， 即，故④错误． 故选C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，四边形的内角和定理以及邻补角定义等知识点的综合运用，正确作辅助线，构造全等三角形是解答此题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题 7. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，先进行积的乘方运算，再计算单项式乘以单项式即可，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 如图，在△ABD中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=32，AB=40，且BD：DC=5:3．则△ADB的面积为____________． 【答案】240. 【解析】 【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC，再由BC=32，BD：DC=5：3，CD=×32=12，则DE=12，然后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】作DE⊥AB于E,如图, ∵∠C=90°，AD平分∠BAC， ∴DE=DC， ∵BC=32，BD:DC=5:3， ∴CD=×32=12， ∴DE=12， ∴△ADB的面积=AB⋅DE=×40×12=240. 故答案为240. 【点睛】此题考查角平分线的性质，解题关键在于作辅助线. 9. 分解因式________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式，即可进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握完全平方公式． 10. 小明有两根长度分别为4cm和9cm的木棒，他想再取一根木棒，组成等腰三角形，那么等腰三角形的周长为_________cm． 【答案】22 【解析】 【分析】题中没有指明哪个是底哪个腰，则应该分两种情况进行分析． 【详解】解：当腰长为4cm时，则三边分别为4cm，4cm，9cm，因为4+4＜9，所以不能构成三角形； 当腰长为9cm时，三边长分别为4cm，9cm，9cm，符合三角形三边关系，此时其周长=4+9+9=22cm． 故答案为22． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，要注意三角形“两边之和大于第三边”这一定理． 11. 如图，等腰底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上中点，M为线段上一动点，则的周长最小值为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查了轴对称——最短路线问题，连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出，再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论，熟知等腰三角形三线合一的性质，两点之间线段最短是解答此题的关键． 【详解】解：连接，    ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得：（）， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短（）， 故答案为：8． 12. 如图，已知：在中，，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图放置，顶点在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点，并且与的夹角，斜边交于点．点在滑动时，______时，的形状是等腰三角形． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想解决问题是关键．根据等腰三角形的定义分三种情况讨论，根据等边对等角的性质和三角形内角和定理分别求解即可． 【详解】解：，， ， ①当时，此时， ， ， ； ②当时，此时， ， ， ，此时点与点重合； ③当时，此时， ， ； 综上可知，点在滑动时，或或时，的形状是等腰三角形， 故答案为：或或 三、解答题 13. 如图，是边上一点，交于点，，，求证：． 【答案】 证明∶在和中， ，， 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形，由交于点，，，即可得,得出，即可得． 【详解】略 14. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是幂的混合运算，多项式乘以多项式． （1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，除法． （2）利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： . 【小问2详解】 解： ． 15. ，，分别为的三边， （1）当，时，求的取值范围； （2）化简． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值意义，整式加减，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三角形的三边关系，进行求解即可； （）根据三角形的三边关系和绝对值的意义，进行整式化简即可． 【小问1详解】 解：∵，，分别为的三边， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围是； 【小问2详解】 解：∵，，分别为的三边， ∴，，， ∴ ． 16. 已知点P，根据下列条件，求出点P的坐标． （1）点P在y轴上； （2）点Q的坐标为（-3，3），直线PQx轴． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据y轴上的点横坐标为0求解即可； （2）根据直线PQx轴可知，点P、Q的纵坐标相等，据此解答即可． 【小问1详解】 解：∵点P在y轴上， ∴点P的横坐标为0，即 解得：， ∴， ∴点P的坐标为； 【小问2详解】 解：∵直线PQx轴， ∴点P、Q的纵坐标相等，即， 解得：， ∴ ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查坐标与图形，点的坐标的性质，掌握y轴上的点横坐标为0，平行于x轴的直线上的点纵坐标相等是解题的关键． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的混合运算．先去括号，再合并同类项，最后把代入求值即可． 【详解】解： ， 因为，则， 所以，原式． 18. 图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形边长为1，点A、B均为格点（即网格线的交点）只用直尺，分别按照下列要求画图． （1）在图1中，画一个，使它的面积为3，且点C在格点上； （2）在图2中，画，使得，且点D在格点上； （3）在图3中，画一个锐角，使它是轴对称图形，且点E在格点上，并画出它的对称轴（画一条即可）． 【答案】（1） 如图所示：的面积为3； （2） 如图所示：； ∵，，， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （3） 如图所示：锐角即为所求； 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式求解，画图即可； （2）根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的判定和性质画图即可； （3）根据轴对称图形的性质画图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查作图--应用与设计作图，全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 19. 已知xa＝3，xb＝6，xc＝12，xd＝18． （1）求证：①a+c＝2b；②a+b＝d； （2）求x2a﹣b+c的值． 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）18. 【解析】 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则xa+c＝x2b．xa•xb＝xd．据此即可证得①a+c＝2b；②a+b＝d； （2）由（1）的结论①+②得2a+b+c＝2b+d，移项合并即可得原式= xd＝18． 【详解】（1）证明：①∵3×12＝62， ∴xa•xc＝（xb）2 即xa+c＝x2b， ∴a+c＝2b． ②∵3×6＝18， ∴xa•xb＝xd． 即xa+b＝xd． ∴a+b＝d； （2）解：由（1）知a+c＝2b，a+b＝d． 则有：2a+b+c＝2b+d， ∴2a﹣b+c＝d ∴x2a﹣b+c＝xd＝18． 【点睛】本题考查同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算性质是解题的关键． 20. 已知ab＝1，因为（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2＝a2＋b2＋2① （a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2＝a2＋b2﹣2② 所以由①得a2＋b2＝（a＋b）2﹣2，由②得a2＋b2＝（a﹣b）2＋2 试根据上面公式的变形解答下列问题： （1）已知a﹣b＝2，ab＝1，则下列等式成立的是　 　． ①a2＋b2＝6； ②a4＋b4＝38； ③（a＋b）2＝8 （2）已知a＋b＝2，ab＝1， ①求代数式a2＋b2的值； ②求代数式a4＋b4的值； ③猜想代数式a2n＋b2n（n为正整数）的值，直接写出答案，不必说明理由． 【答案】（1）①③；（2）①2；②2；③2 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式分别计算即可； （2）根据完全平方公式得到①②的值都是2，猜想③的值也是2． 【详解】解：（1）①a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝22+2×1＝6，故该选项正确； ②a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝62﹣2（ab）2＝36﹣2×12＝34，故该选项错误； ③（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×1＝8，故该选项正确， 故答案为：①③； （2）①a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×1＝2； ②a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝22﹣2（ab）2＝22﹣2×12＝2； ③∵①②的答案都是2， ∴猜想：a2n+b2n＝2， 理由如下：∵a＋b＝2，ab＝1， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2－4ab ＝22－4×1 ＝0， ∴a﹣b＝0， ∴a＝b＝1， ∴a2n+b2n＝12n+12n＝2． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键． 21. 如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠ABC＝∠ACB，BC＝16厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CA上由C点以a厘米/秒的速度向A点运动．设运动的时间为t秒． （1）直接写出： ①BD＝　 　厘米； ②BP＝　 　厘米； ③CP＝　 　厘米； ④CQ＝　 　厘米； （可用含t、a的代数式表示） （2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a、t的值． 【答案】（1）①12；②4t；③（16﹣4t）；④at；（2）a的值为6、t的值为2或a的值为4、t的值为1 【解析】 【分析】（1）根据速度与时间可得路程和，根据边长和中点定义可得和的长； （2）根据，可知：分两种情况：①若，②若，根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论． 【详解】解（1）由题意得：①，②；③，④， （2），，，， ， 分两种情况： ①若， 则， ， ， ②若， 则， ， ． ，综上所述，的值为6、的值为2或的值为4、的值为1． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用及动点运动问题，关键是能根据题意得出方程． 22. 在中，与的角平分线交于点． （1）①若，，则______； ②若，，则______． （2）作的，的外角平分线，交于点，延长、交于点，请画出图形． ①若，，则______，的形状为______． ②若在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，请直接写出的度数． 【答案】（1）①， ②； （2）作图见解析 ，①，等腰直角三角形， ②． 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和求出∠ABC的度数，再由角平分线性质得到∠DAB和∠DBA的度数，最后得到∠ADB的度数； （2）由外角平分线可得∠ABE和∠BAE的关系，从而得到∠AEB，再由∠EBF=∠ABF＋∠ABE=，可得到答案． 【小问1详解】 解：①在△ABC中，，， ∴∠CBA=， ∵与的角平分线交于点， ∴∠CAD=∠BAD，∠CBD=∠ABD， ∴∠BAD＋∠ABD=, ∴∠ADB=； ②在△ABC中，，， ∴∠CBA=， 同①可得∠BAD＋∠ABD=, ∴∠ADB=； 【小问2详解】 如图 ①在△ABC中，，，则∠CBA=， ∴∠MAB=，∠NBA=； ∵AE平分∠MAB，BE平分∠NBA， ∴∠EAB=∠MAE，∠EBA=∠NBE， ∴∠EAB＋∠EBA=, ∴∠AEB=； ∠EBF=∠ABF＋∠ABE=， ∴△EBF为等腰直角三角形． ②由①可知，∠EBF==∠DAE， 当中，存在一个内角等于另一个内角的2倍时，△BEF为等腰直角三角形， ∴∠ABE=， ∴由四边形ADBE内角和，可得∠ADB=, ∴由（1）可得∠C=． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形内角和，角平分线的性质，熟练掌握角与角之间的关系是解题的关键． 23. （1）【问题发现】 如图1，在中，，，为上一点（点不与，重合），分别过点，作射线的垂线，垂足分别为点，，连接，求的度数． 小明发现，如图2，利用“一边一角造全等”，在线段上截取，连接，构造出全等三角形，经过推理和计算就能够求出的度数．请直接填空： ； （2）【拓展探究】 小明通过探究发现，（1）中的线段，，之间存在固定的数量关系．证明小明发现的结论； （3）【类比迁移】 和中，，，，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，求值． 【答案】（1）； （2），理由如下： ， ， ， ， 由（1）可知： , ； （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键； （1）由“”可证，可得，，，由等腰直角三角形的性质可求解； （2）由等腰直角三角形的性质可得，即可求解； （3）由“”可证，可得，由可证，可得，即可求解． 【详解】解：（1）在上取一点，使，连接， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，，， 又， ， 即， ， ， ， 故答案为：； （2） 略 （3）如图，在上取一点，使 ，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 且， ， ， ， ， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年第一学期第三次绿色评价 八年级上册·数学 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 如图，过的顶点B，作边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　） A. B. C. D. 3. 若点关于x轴对称， 则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4. 若是一个完全平方式，则常数的值是（ ） A. 11 B. 21或 C. D. 21或 5. 如图，已知六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 6. 如图，平分，过C点作于E，并且，则下列结论： ①； ②； ③； ④，其中正确的结论个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题） 二、填空题 7. 计算：______． 8. 如图，在△ABD中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=32，AB=40，且BD：DC=5:3．则△ADB的面积为____________． 9. 分解因式________． 10. 小明有两根长度分别为4cm和9cm的木棒，他想再取一根木棒，组成等腰三角形，那么等腰三角形的周长为_________cm． 11. 如图，等腰底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上中点，M为线段上一动点，则的周长最小值为___________． 12. 如图，已知：在中，，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图放置，顶点在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点，并且与的夹角，斜边交于点．点在滑动时，______时，的形状是等腰三角形． 三、解答题 13. 如图，是边上一点，交于点，，，求证：． 14. 计算： （1） （2）． 15. ，，分别为的三边， （1）当，时，求的取值范围； （2）化简． 16. 已知点P，根据下列条件，求出点P的坐标． （1）点P在y轴上； （2）点Q的坐标为（-3，3），直线PQx轴． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形边长为1，点A、B均为格点（即网格线的交点）只用直尺，分别按照下列要求画图． （1）在图1中，画一个，使它的面积为3，且点C在格点上； （2）在图2中，画，使得，且点D在格点上； （3）在图3中，画一个锐角，使它是轴对称图形，且点E在格点上，并画出它的对称轴（画一条即可）． 19. 已知xa＝3，xb＝6，xc＝12，xd＝18． （1）求证：①a+c＝2b；②a+b＝d； （2）求x2a﹣b+c的值． 20. 已知ab＝1，因为（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2＝a2＋b2＋2① （a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2＝a2＋b2﹣2② 所以由①得a2＋b2＝（a＋b）2﹣2，由②得a2＋b2＝（a﹣b）2＋2 试根据上面公式的变形解答下列问题： （1）已知a﹣b＝2，ab＝1，则下列等式成立的是　 　． ①a2＋b2＝6； ②a4＋b4＝38； ③（a＋b）2＝8 （2）已知a＋b＝2，ab＝1， ①求代数式a2＋b2的值； ②求代数式a4＋b4的值； ③猜想代数式a2n＋b2n（n为正整数）的值，直接写出答案，不必说明理由． 21. 如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠ABC＝∠ACB，BC＝16厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CA上由C点以a厘米/秒的速度向A点运动．设运动的时间为t秒． （1）直接写出： ①BD＝　 　厘米； ②BP＝　 　厘米； ③CP＝　 　厘米； ④CQ＝　 　厘米； （可用含t、a的代数式表示） （2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a、t的值． 22. 在中，与的角平分线交于点． （1）①若，，则______； ②若，，则______． （2）作的，的外角平分线，交于点，延长、交于点，请画出图形． ①若，，则______，的形状为______． ②若在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，请直接写出的度数． 23. （1）【问题发现】 如图1，在中，，，为上一点（点不与，重合），分别过点，作射线的垂线，垂足分别为点，，连接，求的度数． 小明发现，如图2，利用“一边一角造全等”，在线段上截取，连接，构造出全等三角形，经过推理和计算就能够求出的度数．请直接填空： ； （2）【拓展探究】 小明通过探究发现，（1）中的线段，，之间存在固定的数量关系．证明小明发现的结论； （3）【类比迁移】 和中，，，，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，求值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $