精品解析：安徽省亳州市黉学英才中学2025-2026学年 九年级上学期阶段测试数学卷（全册）

九年级数学上阶段测试 一、单选题（本题共10题，每题4分，共40分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若反比例函数的图象过点，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4 4. 若，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C D. 6. 如图，，若，，则的长为（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 7. 在中，，，，那么（　　） A. B. C. 2 D. 8. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线．给出下列结论：①；②；③；④对于任意的实数，总有．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ①②④ 9. 如图，，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，则下列结论： ①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，为正方形的中心，分别为的中点，，点从点出发沿方向匀速运动，同时点从点出发沿方向匀速运动，两点运动速度相等，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点运动的路程为的面积为，则随变化的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共4题，每题5分，共20分） 11. 若，则______． 12. 抛物线对称轴是直线________． 13. 如图，点是反比例函数图象上的两点，轴于点，轴于点，连结，若点，，，则________． 14. 已知抛物线（m，n是实数且）经过． （1）若，则该抛物线的顶点坐标为______； （2）若该二次函数满足当时，总有随增大而减小，则代数式的最小值为____． 三、解答题（本题共9大题，共90分） 15. 计算： 16. 已知二次函数的图象经过点． （1）求的值； （2）求二次函数图象与轴的交点坐标． 17. 已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度． （1）以点为位似中心，在网格中画出△，使△与的位似比为，并直接写出点的坐标______； （2）△的面积为______． 18. 已知线段，，满足． （1）求的值． （2）当线段是线段，的比例中项，且时，求的值． 19. 爬山能强身健体，亲近自然，陶冶情操．王老师周末到公园爬山，爬山路线示意图如图所示，王老师从山脚A出发，沿走到点B，再沿到山顶C．已知山高为，过点B分别作于点D，于点E，，．（图中所有点均在同一平面内） （1）求的长； （2）王老师从山脚A到山顶C共走了多少米？（结果取整数；参考数据：，，） 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围． 21. 某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求这段时间内y与x之间的函数解析式； （2）利润为W元，求W与x之间的函数解析式； （3）在这段时间内，若销售单价不低于90元，且商场还要完成不少于250件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 22. 如图，在正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接． （1）若，则_________； （2）若，求长； （3）若，求的值． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求值； （2）若该函数在上，随的增大而增大，求的取值范围； （3）直线与二次函数的图象分别相交于点，，且． ①若且，求的值； ②若且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上阶段测试 一、单选题（本题共10题，每题4分，共40分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义；熟练掌握二次函数解析式的一般形式（其中）是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如（其中）的函数是二次函数．检查各选项，只有选项B符合此定义． 【详解】解：二次函数要求自变量的最高次数为2，且系数不为0． 选项A：，的最高次数为1，是一次函数； 选项B：，的最高次数为2，且系数，符合定义； 选项C：，分母有未知数，不是二次函数； 选项D：，分母有未知数，不是二次函数； 故选：B． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点式，识别顶点式中的h和k是解题关键． 对比顶点式，可直接读出顶点坐标． 【详解】解：∵ 抛物线解析式为， ∴ 顶点坐标为 ． 故选 C． 3. 若反比例函数的图象过点，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，待定系数法求出值即可．将点代入反比例函数解析式，直接计算k的值． 【详解】解：反比例函数的图象过点， ． 故选：B． 4. 若，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义，，，，是成比例线段，即，结合，，，以及利用比例性质求解，即可作答． 【详解】解：∵，，，是成比例线段， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 故选：D． 5. 如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， 故A不符合题意； B、∵， ∴， 故B不符合题意； C、由图形可知，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故C不符合题意； D、由已知条件无法证明与相似，故D符合题意， 故选：D． 6. 如图，，若，，则的长为（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握和运用平行线分线段成比例定理是解决本题的关键． 根据平行线分线段成比例定理，列式计算即可求解． 【详解】， ， ，， ， 解得． 故选：D． 7. 在中，，，，那么（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，解决本题的关键是掌握在直角三角形中，锐角A的对边a与邻边b的比叫做的正切，记作． 依据中，，，，进行表示即可． 【详解】解：∵在中，，画图如下： ∴， 故选A． 8. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线．给出下列结论：①；②；③；④对于任意的实数，总有．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．根据抛物线与轴的交点个数，对称轴位置可判断①②，由图象可知当时，可判断③，由图象可知当时函数值最大，所以对于任意的实数，总有，可判断④． 【详解】该二次函数与轴有两个交点， ， 即，故①不正确，不符合题意； 对称轴为直线， ， ，故②正确，符合题意； 由图可知，当时，， 故③正确，符合题意； 抛物线开口方向向下，且对称轴为直线， 当时，取最大值， 对于任意的实数，总有， 即故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有②③④， 故选：． 9. 如图，，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，则下列结论： ①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】证明，可得，可判断结论①；由，可判断结论②；由正方形的性质可得垂直平分，，可得，由角的数量关系可推出，可判断结论③；证明，可判断结论④；即可得解． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴，故结论①错误； 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴故结论②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴平分，故结论③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴，故结论④正确， ∴正确结论的个数是2个． 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，等边对等角，平行线的性质等知识，掌握正方形的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 10. 如图，为正方形的中心，分别为的中点，，点从点出发沿方向匀速运动，同时点从点出发沿方向匀速运动，两点运动速度相等，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点运动的路程为的面积为，则随变化的函数图象大致是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，点在上，点在上，求得，故图象是正比例函数，当时，点在上，点在上，求得，图象是开口向下的抛物线，当时，点在上，点在上，求得，据此可求出答案．本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 【详解】解：两点运动速度相等， 两点的运动路程相等， 当时，点在上，点在上，如图， ，， ，故图象是正比例函数， 当时，点在上，点在上，如图， 此时， 为中点， ， ， 点到的距离为， ， 图象是开口向下的抛物线， 当时，点在上，点在上，如图， 此时， ， ， ，， ，图象与前一段函数一样， 据此判断B正确， 故选：B． 二、填空题（本题共4题，每题5分，共20分） 11. 若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例性质，由已知比例关系，利用分式的运算性质，将所求表达式变形后代入求解． 【详解】解：， ∴ ． 故答案为． 12. 抛物线的对称轴是直线________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称轴公式，对于二次函数，对称轴为直线． 根据二次函数的对称轴公式求解． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 故答案为：． 13. 如图，点是反比例函数图象上的两点，轴于点，轴于点，连结，若点，，，则________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图像的性质；熟练运用反比例函数性质是解题的关键． 先求长度，再求点坐标，进而得出函数解析式，可求得面积； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入，得， ∴该反比例函数的表达式为：， ∴． 故答案：9． 14. 已知抛物线（m，n是实数且）经过． （1）若，则该抛物线的顶点坐标为______； （2）若该二次函数满足当时，总有随的增大而减小，则代数式的最小值为____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、函数的图象和性质． （1）将代入得，再将代入得，再将抛物线解析式变形为顶点式即可得顶点坐标； （2）当时，总有随的增大而减小，则，，由抛物线过点(2，1)得得，再代入代数式，进而根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）当时，抛物线为， 因为经过， 所以， ， ，， 则抛物线为， ∴顶点坐标为． 故答案为：． （2）因为当时，总有随的增大而减小， 所以抛物线开口向下，即，且对称轴，． 把代入抛物线得， ∴， ∴，， ∴， 所以， 因为， ∴当时，代数式取得最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本题共9大题，共90分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值、二次根式的化简以及实数的混合运算．先依次计算特殊角的三角函数值、乘方、二次根式的化简，再计算加减即可． 【详解】解： ． 16. 已知二次函数的图象经过点． （1）求的值； （2）求二次函数图象与轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）二次函数图象与轴的交点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次与坐标轴的交点，掌握以上知识及其计算是关键． （1）把点代入计算即可求解； （2）二次函数，令，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵此函数的图象经过点， ∴将代入， ∴； 【小问2详解】 解：二次函数，令，则有， 解得， 故二次函数图象与x轴交点坐标为． 17. 已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度． （1）以点为位似中心，在网格中画出△，使△与的位似比为，并直接写出点的坐标______； （2）△的面积为______． 【答案】（1）作图见解析； （2）8 【解析】 【分析】（1）延长到使，延长到使，从而得到；然后写出点的坐标； （2）利用面积公式直接进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图，为所作；点的坐标为； 【小问2详解】 解：由图可知：． 【点睛】本题考查位似三角形的作图，解题的关键是：熟练掌握位似三角形的定义：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个三角形叫做位似三角形． 18. 已知线段，，满足． （1）求的值． （2）当线段是线段，的比例中项，且时，求的值． 【答案】（1）的值为 （2）的值为 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，比例中项的定义．熟练掌握比例的性质是解题的关键． （1）根据比例的性质求解即可； （2）根据比例中项的定义，即可得到，再根据即可求解． 【小问1详解】 解：设，， 则原式． 【小问2详解】 解：当时，， ∵是线段，的比例中项， ∴ ∵线段， ∴． 19. 爬山能强身健体，亲近自然，陶冶情操．王老师周末到公园爬山，爬山路线示意图如图所示，王老师从山脚A出发，沿走到点B，再沿到山顶C．已知山高为，过点B分别作于点D，于点E，，．（图中所有点均在同一平面内） （1）求的长； （2）王老师从山脚A到山顶C共走了多少米？（结果取整数；参考数据：，，） 【答案】（1） （2）王老师从山脚A到山顶C共走了约 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）由含30度角直角三角形的性质可得答案； （2）证明四边形是矩形，得到，则可得到的长，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴王老师从山脚A到山顶C共走了约． 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象找出一次函数在反比例函数上方时的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 由函数图象得，一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围为或． 【点睛】本题考查了待定系数法的应用，一次函数与反比例函数的图象，求一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围其实就是找出一次函数在反比例函数上方时的取值范围． 21. 某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求这段时间内y与x之间的函数解析式； （2）利润为W元，求W与x之间的函数解析式； （3）在这段时间内，若销售单价不低于90元，且商场还要完成不少于250件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）单价为110元，利润有最大值7500元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）利用总利润等于单件利润乘以销量列出函数关系式，进行求解即可； （3）根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为，， ∵由图象可知，函数图象经过点，， ∵，解得， ∴这段时间内y与x之间的函数解析式为． 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ∵销售单价不低于90元，且商场还要完成不少于250件的销售任务， ∴，，即， 解得． ∵，， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴当时，w随着x的增大而增大， 即当销售单价时，获得的利润w有最大值， ∴最大利润（元）． 22. 如图，在正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接． （1）若，则_________； （2）若，求的长； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）利用正方形的性质解答即可； （）利用正方形的性质证明，进而根据相似三角形的性质即可求解； （）设，，可得，，再证明，进而根据相似三角形的性质即可求解； 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵四边形和四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵四边形和四边形为正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴可设，， ∴ ∴，， ∵四边形和四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求的值； （2）若该函数在上，随的增大而增大，求的取值范围； （3）直线与二次函数的图象分别相交于点，，且． ①若且，求的值； ②若且，求证：． 【答案】（1） （2）或 （3）①；②见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系． （1）将代入，即可求解． （2）分和，两种情况分析，根据二次函数的性质列出不等式，解不等式，即可求解； （3）根据题意得出；①当时，的图象与轴的交点为，，，根据根与系数的关系得出，即可求解；②当时，，则函数为，，根据题意得出代入等式的坐标，进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的图象的对称轴为直线， 点在该函数上， ， ， 【小问2详解】 由（1）可得，该函数的对称轴为直线， 当时，抛物线的开口向上， 该函数在上，随的增大而增大， ， ， 当时，抛物线的开口向下， 该函数在上，随的增大而增大， ， ， 综上所述，或； 小问3详解】 由（1）可得，， 该函数的表达式为， ①当时，的图象与轴的交点为，，， ，， ，， ， ， 方法二：当时，的图象与轴的交点为，，（）， ， 又， ，， 将代入，得． ②当时，，则函数为，， 点在函数的图象上， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $