精品解析：广东省梅州市梅县外国语2025-2026学年上学期八年级重点班月考试卷数学(1)

2025-2026学年度初二数学12月月考卷 一、单选题（共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 下列各组数为勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. 6，8，10 D. 4，5，6 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知甲、乙、丙三名射击运动员的10次射击训练的平均成绩均为8.7环，三名运动员的10次射击成绩的方差分别为 若从甲、乙、丙三名运动员中选取成绩最稳定的一名运动员参加比赛，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 5. 下列各组数值中，方程的解是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 函数值随自变量的增大而减小 B. 当时， C. 一次函数的图象与正比例函数的图象平行 D. 函数的图象不经过第三象限 8. 已知一次函数的图象经过点，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 5 D. 9. 明代珠算大师程大位著有《珠算统筹》一书，书中有一题：“隔墙听得客分银、不知人数不知银，七两分之多四两；九两分之少半斤（注：明代时1斤等于16两，故有“半斤八两”）．问：人与银各几何？”其大意如下：隔墙听人分银子，每人分7两，则多4两；每人分9两，则少8两，问人与银各多少？设共有x人，y两银，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，一质点自处向上运动1个单位长度至，然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共18分） 11. 的平方根是________ 12. 平面直角坐标系中，点到x轴的距离是______． 13. 如图，若正方形A，C的面积分别为16和9，则正方形B的面积是________． 14. 现有一组数据分别为：106，113，96，98，100，102，104，112，则上四分位数是_______． 15. 如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是_______． 16. 春耕期间，市农资公司连续8天调进一批化肥，并在开始调进化肥的第七天开始销售．若进货期间每天调进化肥的吨数与销售期间每天销售化肥的吨数都保持不变，这个公司的化肥存量s（单位：吨）与时间t（单位：天）之间的函数关系如图所示，则该公司这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用的时间是____天． 三、解答题（共72分） 17. 计算：． 18. 解方程组： （1） （2） 19. 平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． （1）若与关于轴对称，作出，并写出的坐标； （2）求的面积． 20. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”，分别以熊猫、灯笼为原型进行设计创作，象征着运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神，某商场用6000元购进A，B两种“冰墩墩”“雪容融”纪念品套装，按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润=售价－进价），这两种套装的进价，标价如表所示： 价格类型 A种 B种 进价（元/套） 60 100 标价（元/套） 100 160 （1）求这两种纪念品套装各自购进的套数； （2）如果A种套装按标价的8折出售，B种套装按标价的7折出售，那么这批纪念品全部售完后，此时毛利润是多少元？ 21. 某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子到左墙的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若梯子底端保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端到地面的距离为，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽的长度．（单位：） 22. “数学”真的难吗？你愿意为“数学”而花时间吗？周老师为了制定复习计划，对鸭池河学校初三学生中考复习期间，每天花在数学上的时间进行抽样，随机抽取m名学生，并对时间进行整理、描述和分析，将时间（分钟）划分为A（x＜40），B（40≤x＜60），C（60≤x＜80），D（80≤x）四个等级，并绘制出不完整的统计图． 其中B等级的数据（单位：分钟）：40，56，40，52，45，58，56，59，41，56． 根据以上信息，回答下列问题． （1）抽取的总人数m＝ ，并补全条形统计图； （2）在所抽取的m名学生的测试成绩中，中位数是 分，B等级的众数是 分； （3）若鸭池河学校共有500名初三学生，请估计每天数学复习时间低于40分钟的人数． 23. “一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”，夏季是盛产荔枝的季节，某县城为尽快打开市场，对本地的荔枝品种妃子笑进行线上和线下销售相结合的模式，具体费用标准如下：线上销售模式：不超过6千克时，按原价出售，超过6千克时，超出部分每千克再让利3.5元；线下销售模式：一律九折出售．购买妃子笑x千克，所需费用为y元，y与x之间的函数关系如图所示． 根据以上信息回答下列问题： （1）请问妃子笑的标价为多少？ （2）请求出线上销售模式所需费用y关于x的函数解析式； （3）若想购买妃子笑40千克，请问选择哪种模式购买最省钱？ 24. 模型建立： 如图，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，请直接写出图中相等的线段（除）； 模型应用： 如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别交于、两点，为第一象限内的点，若是以为直角边的等腰直角三角形，请求出点的坐标和直线的表达式； 探究提升： 如图，在平面直角坐标系中，，点在轴上运动，将绕点顺时针旋转至，连接，请直接写出的最小值以及此时点的坐标． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度初二数学12月月考卷 一、单选题（共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等． 【详解】解：根据无理数的定义可知，四个选项中只有B选项中的数是无理数， 故选：B． 2. 下列各组数为勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. 6，8，10 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的含义．勾股数需满足两个条件：一是三个正整数；二是满足勾股定理 （其中  为最大数），据此分析即可． 【详解】解：选项A：，三者均为小数，不是正整数，不符合勾股数定义． 选项B：， 是整数，但 和 为无理数，不是正整数，不符合勾股数定义． 选项C：6，8，10，均为正整数，验证得 ，是勾股数． 选项D：4，5，6，均为正整数，但 ，不是勾股数． 故选： C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 二次根式的乘法，二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简等知识，需逐项验证每个选项的正确性，再作判断． 【详解】解：，故A错误． ，故B正确． ，故C错误． ，故D错误． 故选：B． 4. 已知甲、乙、丙三名射击运动员的10次射击训练的平均成绩均为8.7环，三名运动员的10次射击成绩的方差分别为 若从甲、乙、丙三名运动员中选取成绩最稳定的一名运动员参加比赛，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了方差，方差越小的成绩越稳定．根据方差越小越稳定进行解答即可． 【详解】解：∵三名运动员的10次射击成绩的方差分别为 ∴， ∴运动员丙的成绩最稳定；故选丙参加比赛． 故选：C． 5. 下列各组数值中，方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的解的定义把每个选项中的、的值代入验证即可． 【详解】解：、把代入方程，左边，右边，左边右边，所以不是方程的解，故此选项不符合题意； 、把代入方程，左边，右边，左边右边，所以不是方程的解，故此选项不符合题意； 、把代入方程，左边，右边，左边右边，所以是方程的解，故此选项符合题意； 、把代入方程，左边，右边，左边右边，所以不是方程的解，故此选项不符合题意； 故选：． 6. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长． 本题考查了折叠的性质、利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得：， ， 设，则在中，， ． 故选：A． 7. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 函数值随自变量的增大而减小 B. 当时， C. 一次函数的图象与正比例函数的图象平行 D. 函数的图象不经过第三象限 【答案】B 【解析】 【分析】由一次函数解析式y=-x+3可得y随x增大而减小，图象与y=-x图象平行且经过第一，二，四象限，进而求解． 【详解】解：∵y=-x+3， ∴y随x增大而减小，选项A正确，不符合题意； 把y=0代入y=-x+3得x=3， ∴x＞3时，y＜0，选项B错误，符合题意； ∵y=-x+3图象是由y=-x的图象向上平移3个单位得到的， ∴y=-x+3图象是由y=-x的图象平行，选项C正确，不符合题意； y=-x+3图象经过第一，二，四象限， ∴图象不经过第三象限，选项D正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数与方程及不等式的关系，掌握一次函数图象与系数的关系． 8. 已知一次函数的图象经过点，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象上的点一定满足函数解析式是解题的关键． 将点代入函数解析式得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴当时，，即，解得：． 故选A． 9. 明代珠算大师程大位著有《珠算统筹》一书，书中有一题：“隔墙听得客分银、不知人数不知银，七两分之多四两；九两分之少半斤（注：明代时1斤等于16两，故有“半斤八两”）．问：人与银各几何？”其大意如下：隔墙听人分银子，每人分7两，则多4两；每人分9两，则少8两，问人与银各多少？设共有x人，y两银，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列方程组．解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程组． 根据“”隔墙听人分银子，每人分7两，则多4两；每人分9两，则少8两“”，列出方程组即可． 【详解】解：由每人分7两，则多4两，可得方程：； 由每人分9两，则少8两，可得方程：， ∴可得方程组为：， 故选B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，一质点自处向上运动1个单位长度至，然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化——平移，规律型问题，解题的关键是根据第四象限中点的特征，探究规律，利用规律解决问题． 【详解】解：由题意可知， ∴第四象限中的点为， ∵， ∴的坐标是，即． 故选：D 二、填空题（共18分） 11. 的平方根是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，二次根式的化简，先根据算术平方根的定义得到，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 的平方根是 故答案为：，． 12. 平面直角坐标系中，点到x轴的距离是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查点到坐标轴的距离， 根据点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值即可求解． 【详解】解：点到x轴的距离为， 故答案为：4． 13. 如图，若正方形A，C的面积分别为16和9，则正方形B的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出正方形B的面积即可． 【详解】解：如图： 这些四边形都是正方形 、、 、 因此，正方形B的面积是7， 故答案为：7． 14. 现有一组数据分别为：106，113，96，98，100，102，104，112，则上四分位数是_______． 【答案】109 【解析】 【分析】本题考查上四分位数的概念．上四分位数是数据排序后上半部分的中位数．首先将数据排序，然后找到上半部分数据，计算其中位数． 【详解】解：数据排序后为：96， 98， 100， 102， 104， 106， 112， 113． 上半部分数据为：104， 106， 112， 113． 上四分位数为． 故答案为109． 15. 如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，明确一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键．根据一次函数与二元一次方程组的关系可知，方程组的解对应两个一次函数的交点坐标，从而可写出方程组的解． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴方程组的解是， 故答案为：． 16. 春耕期间，市农资公司连续8天调进一批化肥，并在开始调进化肥的第七天开始销售．若进货期间每天调进化肥的吨数与销售期间每天销售化肥的吨数都保持不变，这个公司的化肥存量s（单位：吨）与时间t（单位：天）之间的函数关系如图所示，则该公司这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用的时间是____天． 【答案】10 【解析】 【分析】通过分析题意和图象可求调入化肥的速度，销售化肥的速度；从而可计算最后销售化肥20吨所花的时间． 【详解】解：调入化肥的速度是30÷6=5（吨/天）， 当在第6天时，库存物资应该有30吨，在第8天时库存20吨， ∴销售化肥的速度是（吨/天）， ∴剩余的20吨完全调出需要20÷10=2（天）， 故该门市部这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用时间是8+2=10（天）． 故答案为：10． 【点睛】此题主要考查了从函数图象获取信息．解题的关键是注意调入化肥需8天，但6天后调入化肥和销售化肥同时进行． 三、解答题（共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂、负整数指数幂，解题的关键是掌握相应的运算法则．先计算算术平方根，然后利用零指数幂、负整数指数幂的意义和绝对值的意义化简，最后计算加减． 【详解】解：原式. 18. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解方程组步骤，采用消元思想是解题的关键． （1）运用代入消元法求解； （2）运用加减消元法求解． 【小问1详解】 解：， 将②代入①，得：， 解得：； 把，代入②， 得：； ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：， ，得：， 解得：； 把，代入①，得：， 解得：； ∴方程组的解为：． 19. 平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． （1）若与关于轴对称，作出，并写出的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图所示：即为所求， （2）12 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会用割补法求三角形面积． （1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）把三角形的面积看成长方形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ． 20. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”，分别以熊猫、灯笼为原型进行设计创作，象征着运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神，某商场用6000元购进A，B两种“冰墩墩”“雪容融”纪念品套装，按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润=售价－进价），这两种套装的进价，标价如表所示： 价格类型 A种 B种 进价（元/套） 60 100 标价（元/套） 100 160 （1）求这两种纪念品套装各自购进的套数； （2）如果A种套装按标价的8折出售，B种套装按标价的7折出售，那么这批纪念品全部售完后，此时毛利润是多少元？ 【答案】（1）A种纪念品套装购进50套，B种纪念品套装购进30套 （2）这批纪念品全部售完后，此时毛利润是1360元 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设A种纪念品套装购进x套，B种纪念品套装购进y套，由题意可得方程组为，然后求解即可； （2）根据（1）及题意可直接进行求解． 【小问1详解】 解：设A种纪念品套装购进x套，B种纪念品套装购进y套，由题意得： ， 解得：； 答：A种纪念品套装购进50套，B种纪念品套装购进30套． 【小问2详解】 解：由题意得： （元）； 答：这批纪念品全部售完后，此时毛利润是1360元． 21. 某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子到左墙的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若梯子底端保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端到地面的距离为，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽的长度．（单位：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合思想的应用．先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论． 【详解】解：由题意得，， ，， ， ， ， ， 即这两面直立墙壁之间的安全通道的宽． 22. “数学”真的难吗？你愿意为“数学”而花时间吗？周老师为了制定复习计划，对鸭池河学校初三学生中考复习期间，每天花在数学上的时间进行抽样，随机抽取m名学生，并对时间进行整理、描述和分析，将时间（分钟）划分为A（x＜40），B（40≤x＜60），C（60≤x＜80），D（80≤x）四个等级，并绘制出不完整的统计图． 其中B等级的数据（单位：分钟）：40，56，40，52，45，58，56，59，41，56． 根据以上信息，回答下列问题． （1）抽取的总人数m＝ ，并补全条形统计图； （2）在所抽取的m名学生的测试成绩中，中位数是 分，B等级的众数是 分； （3）若鸭池河学校共有500名初三学生，请估计每天数学复习时间低于40分钟的人数． 【答案】（1）50， 补全条形统计图如图： （2）54；56 （3）200名 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）由图得：B等级有10人，占，可求抽取总人数m，从而求出C等级的人数，即可补全条形统计图． （2）根据众数、中位数的定义解答即可． （3）用总人数乘A等级所占的百分比之和即可． 【小问1详解】 解：由图得：B等级有10人，占， ∴， 等级C的人数：（人）， 故答案为：50； 【小问2详解】 解：把B等级的数据按从小到大排列后为40，40，41，45，52，56，56，56，58，59， 中间两个数是52、56， ∴中位数是＝54， B等级的众数是56， 故答案为：54，56； 【小问3详解】 解：500×＝200（名）， 答：估计每天数学复习时间低于40分钟的人数有200名． 23. “一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”，夏季是盛产荔枝的季节，某县城为尽快打开市场，对本地的荔枝品种妃子笑进行线上和线下销售相结合的模式，具体费用标准如下：线上销售模式：不超过6千克时，按原价出售，超过6千克时，超出部分每千克再让利3.5元；线下销售模式：一律九折出售．购买妃子笑x千克，所需费用为y元，y与x之间的函数关系如图所示． 根据以上信息回答下列问题： （1）请问妃子笑的标价为多少？ （2）请求出线上销售模式所需费用y关于x的函数解析式； （3）若想购买妃子笑40千克，请问选择哪种模式购买最省钱？ 【答案】（1）25元/千克 （2） （3）线上购买 【解析】 【分析】（1）设妃子笑的标价x元/千克，关键坐标（6,135）列方程求解； （2）分和两种情况求出函数解析式； （3）把x=40代入函数解析式，比较函数值大小得出结果． 【小问1详解】 解：设妃子笑的标价x元/千克，由题得 解得 答：妃子笑的标价25元/千克 【小问2详解】 由题意知，折线OBD为线上销售， 线上销售：当时，， 当时，， ∴线上销售y与x之间的函数关系为， 【小问3详解】 线下销售y关于x的关系：； 线上销售y关于x的关系： 当时，（元）， （元）， ∴购买妃子笑40千克时，线上购买更省钱． 【点睛】本题考查利用函数图像解决实际问题，利用函数图形抽象出相关信息是解决问题的关键． 24. 模型建立： 如图，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，请直接写出图中相等的线段（除）； 模型应用： 如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别交于、两点，为第一象限内的点，若是以为直角边的等腰直角三角形，请求出点的坐标和直线的表达式； 探究提升： 如图，在平面直角坐标系中，，点在轴上运动，将绕点顺时针旋转至，连接，请直接写出的最小值以及此时点的坐标． ． 【答案】，； ，； 最小值为，点的坐标为． 【解析】 【分析】利用可证，根据全等三角形对应边相等找到相等的线段； 分两种情况讨论：首先过点作轴且，由可知；其次过点作轴，且，由可知；根据全等三角形的性质找到相等的线段，表示出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式； 首先根据过点作轴，可证，设，把点、的坐标用含的代数式表示出来，根据两点之间的距离公式可得，构造模型：设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，根据当点、、在同一条直线上时的值最小，求出此时点的坐标和的最小值． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ，； 解：如下图所示， 过点作轴且， 由可知， ，， 当时，， 点的坐标为， ， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标为， ， ，， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为； 如下图所示，过点作轴，且， 由可知， ，， 当时，， 点的坐标为， ， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标为， ， ，， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为； 综上所述当点的坐标为时，直线的解析式为， 当点的坐标为时，直线的解析式为； 解：如下图所示，过点作轴， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， 设， 点的坐标为， ， 则， 点的坐标为， ， 设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 则，， 则有， 则求的最小值可看作点P到点M和点N的距离之和最小，如图， 作点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接， 则． 设直线的解析式为，把代入得， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴此时， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $