精品解析：重庆市南坪中学校2025-2026学年高一上学期数学周测试卷元旦作业

南坪中学校高一数学元旦作业 一、单选题 1. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ） A. B. C. D. 2. 已知角β与α的终边关于y轴对称，则下列关于β，α表达式中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的单调递增区间为 A. B. C. D. 4. 设函数 ，则使得成立的 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 5. 若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知不等式恒成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，若当时，，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 若函数与在区间上的单调性相同，则称区间为函数的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 11. 下列运算中正确的是（ ） A. 当时， B. C. 若，则 D. 12. 已知实数a，b都是正数，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 13. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的值域为 C. 函数的单调递增区间为 D. 设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 三、填空题 14. ________ 15. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是________． 16. 设为实常数，是定义在上的奇函数，且当时，．若对一切成立，则的取值范围是_____. 17. 已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为_____. 四、解答题 18. 计算： （1）已知为第二象限角，，求， （2）已知， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值. 19. 已知，． （1）求的值； （2）已知，求的值． 20. 完成下列各题： （1）解下列关于的不等式：； （2）已知函数定义域为R，求的取值范围. 21. 已知函数， （1）求函数定义域； （2）判断并证明函数的奇偶性； （3）若，求的取值范围. 22. （1）求值：； （2）已知是第四象限角，若，求的值； （3）若，求的值. 23. 已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点. （1）求的值； （2）求的值； （3）记点的横坐标为，若，求的值. 24. 已知函数（且，）是偶函数，函数（且）． （1）求b的值； （2）若函数有零点，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若，，使得成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南坪中学校高一数学元旦作业 一、单选题 1. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据弧长公式及扇形面积公式计算求解. 【详解】弧所对的圆心角为，设扇形所在圆的半径为，则弧长为，所以 该弧所在的扇形面积为. 故选：A. 2. 已知角β与α的终边关于y轴对称，则下列关于β，α表达式中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据角与角的终边关系逐项分析求解. 【详解】A表示角β和α的终边相同； B表示角β和α的终边关于原点对称； C表示角β和α的终边关于x轴对称； D表示角β和α的终边关于y轴对称. 故选：D 3. 函数的单调递增区间为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数有：，解得或. 令,(或). 则对称轴为：，所以在上单增，也单增. 所以函数的单调递增区间为. 故选D. 4. 设函数 ，则使得成立的 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用求导判断函数单调性，再结合函数奇偶性即可求解. 【详解】由求导得：， 所以在上是增函数， 又因为， 所以是奇函数， 则， 根据在上是增函数， 所以， 故选：C 5. 若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方关系及条件可得，解得后计算可得. 【详解】因为， ∴，又，∴， 所以. 故选：B. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，分析函数的奇偶性及的正负即可判断. 【详解】函数的定义域为， ，函数是偶函数，图象关于轴对称，排除D， 而，排除BC，A选项符合题意. 故选：A 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简等式，得到，然后根据结合的范围求得结果. 【详解】因为， 所以，又， 所以，解得， 又因，所以. 故选：C. 8. 已知不等式恒成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】换元后结合二次函数的性质分对称轴的位置讨论可得. 【详解】令， 则不等式变为在上恒成立， 设，对称轴， 当时，函数在上单调递增，最小值为或，所以； 当时，最小值在对称轴处取得，即，解得或，所以， 综上，a的取值范围为. 故选：C. 9. 已知函数，若当时，，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当时， ，得，令，得，再利用对勾函数的单调性求解． 【详解】当时， ， 得， 得， 得， 得， 由，得，， 得，又 得， 令，得， 由对勾函数知，在上递增，得， 故， 得或， 故选：A 10. 若函数与在区间上的单调性相同，则称区间为函数的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按和分类化简两个函数，再结合指数函数单调性及给定定义列出不等式组求解. 【详解】由区间为函数的“稳定区间”， 得函数与函数在区间上同增或者同减， 当时，函数在上递减，在上递增，不合要求； 当时，，， 若两函数在上单调递增，则，解得； 若两函数在上单调递减，则，不等式组无解， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 二、多选题 11. 下列运算中正确的是（ ） A. 当时， B. C. 若，则 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据对数以及指数幂的运算性质即可根据选项逐一求解. 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，由于，所以，所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD 12. 已知实数a，b都是正数，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式及“1”的妙用求出最小值判断AC；利用二次函数求出最小值判断B；利用一元二次方程判别式求出最大值判断D. 【详解】对于A，由，得，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，由，得， 则，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，因为， 则， 当且仅当，即时取等号，C错误； 对于D，令，则，而，于是， 由关于的一元二次方程有解，得， 解得，则， 即取得最大值，此时，D正确. 故选：AD 13. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的值域为 C. 函数的单调递增区间为 D. 设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】 作出函数的图象，先计算，然后计算，判断A，根据图象判断BC，而利用参变分离可判断D． 【详解】画出函数图象.如图， A项，，， B项，由图象易知，值域为 C项，有图象易知，区间内函数不单调 D项，当时，恒成立， 所以即在上恒成立， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以. 当时，恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立 令， 当时，，当时，，故； 令， 当时，，当时，，故； 所以. 故在R上恒成立时，有. 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的性质，解题方法是数形结合思想，作出函数的图象，由图象观察得出函数的性质，绝对值不等式恒成立，可以去掉绝对值符号，再利用参变分离求参数的取值范围． 三、填空题 14. ________ 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由诱导公式一计算可得. 【详解】. 故答案为：. 15. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】 先利用复合函数的同增异减判断出函数的单调性，再利用对数函数的定义域求解即可得出结论. 【详解】设， 则函数由，复合而成， 由于是单调递增函数， 因此是增函数， ， 由于在区间恒成立， 所以当时，有最小值， ， . 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性及对数函数的定义域求解.属于较易题. 16. 设为实常数，是定义在上的奇函数，且当时，．若对一切成立，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：∵是定义在上的奇函数，∴当时，， 而，当些仅当时，“=”成立，∴当时，要使恒成立，只需或，又∵时，，∴， 综上，故实数的取值范围是. 考点：1.奇函数的性质；2.恒成立问题的处理方法. 17. 已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为_____. 【答案】或 【解析】 【分析】先作出函数的图象，再令，则，易得，且关于的方程必有两个不等实根，设为，再分，和三种情况讨论即可. 【详解】作出函数的图象如图所示， 令，则， 若原方程有6个不相等的实数根， 则，且关于的方程必有两个不等实根，设为， 当时， 代入，则，解得， 此时关于的方程为，解得，满足题意； 当，且时，令， 则函数有两个大于的不等零点， 因为函数的图象过点， 则，解得， 即； 当时，因为函数的图象过点， 则，无解， 综上所述，实数a的取值范围为或. 故答案为：或. 四、解答题 18. 计算： （1）已知为第二象限角，，求， （2）已知， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的关系解方程组，再根据角的范围求解； （2）（ⅰ）利用齐次化思想求出，再利用齐次化思想化简；（ⅱ）根据以及齐次化思想化简. 【小问1详解】 因为，， 得或， 又为第二象限角，所以； 【小问2详解】 因为，所以， （ⅰ）； （ⅱ）. 19. 已知，． （1）求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将与 联立方程组求解即可. （2）先利用诱导公式化简，再代入数值计算即可得解. 【小问1详解】 因为，则， 因为，联立，得， 解得， 所以． 【小问2详解】 因为 ， 由（1）得.所以， 20. 完成下列各题： （1）解下列关于的不等式：； （2）已知函数定义域为R，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用指数函数单调性，转化为一元二次不等式求解. （2）利用对数函数定义，将问题转化为恒成立求解. 【小问1详解】 由，得， 解得或，所以原不等式的解集为. 【小问2详解】 由函数定义域为R，得恒成立， 当时，成立，则； 当时，，解得， 所以的取值范围是. 21. 已知函数， （1）求函数定义域； （2）判断并证明函数的奇偶性； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）偶函数，证明： 函数是定义在上的偶函数， 由于， 所以函数是偶函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用对数函数定义列出不等式组求出定义域. （2）利用奇偶函数的定义判断并证明. （3）确定函数在上的单调性，再利用该函数的性质求解不等式即得. 【小问1详解】 函数有意义，则，解得， 所以函数定义域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意，，函数在上单调递减， 而函数在上单调递增，因此函数在上单调递减， 不等式，则， 即，解得或， 所以的取值范围是. 22. （1）求值：； （2）已知是第四象限角，若，求的值； （3）若，求的值. 【答案】（1）；（2）; (3) 或. 【解析】 【分析】(1)结合诱导公式，化简后即可求解； (2) 由是第四象限角，，求出的值，结合诱导公式，化简后代入求值即可； (3) 由，得，化弦为切，得到关于的方程即可求解； 【详解】(1)原式= （2）由是第四象限角，，得， 故 故； （3）由，得， 即， 即，化简得：， 解得：或. 23. 已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点. （1）求的值； （2）求的值； （3）记点的横坐标为，若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义和三角函数的基本关系式，即可求解； （2）利用三角函数的诱导公式，化简原式，代入即可求解； （3）根据题意，得到，结合诱导公式，化简原式，即可求解. 【小问1详解】 解：由圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点， 可得，所以. 【小问2详解】 解：由. 【小问3详解】 解：因为为锐角，且，可得， 将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点， 则点的横坐标为且，所以， 则. 24. 已知函数（且，）是偶函数，函数（且）． （1）求b的值； （2）若函数有零点，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若，，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数是偶函数，利用偶函数的定义，化简函数，求的值； （2）问题转化为有解，分和两种情况讨论； （3）由条件可知问题转化为，根据不等式恒成立，参变分离后对恒成立，转化为求函数最值. 【小问1详解】 ∵为偶函数，∴，有， 对恒成立. ∴对恒成立. ∴，恒成立，∴. 【小问2详解】 若函数有零点， 即，即有解. 令，则函数图象与直线有交点. 当时，∵，，无解. 当时，∵，，由有解可知，所以， ∴的取值范围是. 【小问3详解】 当时， ， 由（2）知，，当且仅当时取等号，所以的最小值是. 由题意，，，使得成立， 即，成立，所以对恒成立，设，则对恒成立， 设函数，易知函数和函数在内都是减函数， 所以在是减函数， 则，所以. 即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $