精品解析：湖南省邵阳市第二中学2025-2026学年高一上学期第17周周末数学作业

邵阳市第二中学第17周周末数学作业 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，或，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知a为实数，p:在(0，+∞)上单调递增，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列说法正确的是（ ） A. 第二象限角比第一象限角大 B. 角与角是终边相同的角 C. 与都是正数 D. 将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为 5. 已知关于x的不等式恰有四个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 若关于x的不等式的解集是，关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为定义在上的偶函数，当时，，若方程恰有6个不同的根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导数的定义域均为在上单调递增，为奇函数，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 至少有一个实数，使 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“”的否定是假命题 D. “集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件 10. 若，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 11. 已知函数的零点为的零点为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是______. 13. 已知角的终边经过点，且，则实数______． 14. 设函数的定义域为，满足．当时，，则函数最小正周期为_________；方程有且仅有_______个实数解. 四、解答题 15. 已知函数，. （1）若函数是奇函数，求实数m的值； （2）当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； （3）当时，，求函数的最小值. 16. 如图所示，角的终边与单位圆交于点，过作轴的垂线，交轴于，过作轴的垂线交射线OP于. （1）由正弦函数、正切函数定义可知，的值分别等于线段MP，AQ的长. （i）求的值； （ii）判断的大小关系； （2）设点的横坐标为，点的纵坐标为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邵阳市第二中学第17周周末数学作业 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出两个集合，再根据交集和补集的定义运算. 【详解】由，得，得，故， ，则，所以. 故选：B. 2. 设集合，或，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件按集合A是否为空集两类列式计算得解. 【详解】因集合， 若，有，解得，此时，于是得， 若，因或，则由得：，解得：， 综上得：， 所以实数的取值范围为. 故选：A 3. 已知a为实数，p:在(0，+∞)上单调递增，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由命题为真分别求出的范围，再根据充分条件、必要条件的概念求解. 【详解】由知，在上有解， 所以； 因为的对称轴方程为，由知，， 因为不能推出，， 所以p是q的必要不充分条件， 故选：B 4. 下列说法正确的是（ ） A. 第二象限角比第一象限角大 B. 角与角是终边相同的角 C. 与都是正数 D. 将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为 【答案】C 【解析】 【分析】根据终边相同的角的定义及三角函数值在各象限的符号可得. 【详解】对于A：如是第二象限角，是第一象限角，，所以A错误； 对于B：因为，所以角与角是终边相同的角，所以B错误； 对于C：因为，所以与是终边相同的角，是第一象限角， 所以是正数，因为是第三象限角，所以是正数，所以C正确； 对于D：将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为，所以D错误. 故选：C. 5. 已知关于x的不等式恰有四个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】化不等式为，分，和三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解． 【详解】不等式，可化为． 当时，不等式的解集为空集，不符合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则． 综上可得，实数a的取值范围是或． 故选：C. 6. 若关于x的不等式的解集是，关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析不等式的解集，可得，将其代入不等式，最后求解不等式可得. 【详解】已知不等式的解集是， 由此可知且，即， 则不等式可化为， 由，可得，解得或. 故不等式的解集为 . 因此，关于的不等式的解集为. 故选：A. 7. 已知为定义在上的偶函数，当时，，若方程恰有6个不同的根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的性质和函数解析式画出图像，然后结合方程的6个根求出结果即可. 【详解】设，由于函数为偶函数，且当时，，故的大致图象如图所示， 当时，函数的图象与直线有四个交点，横坐标分别设为，，且， 故四个方程的根的个数分别为0，0，4，2， 故方程恰有6个不同的根，因此B选项正确．容易验证取其他值时，不符合题意． 故选：B. 8. 已知函数及其导数的定义域均为在上单调递增，为奇函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由为奇函数得到，再由的单调性可推得的单调性，根据对称性可得，再比较的大小即可得解. 【详解】因为为奇函数，所以， 令，则，故， 又在上单调递增，所以当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 又因为，则 .① 在①式中令，可得，故， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 由于，故上式等号不成立，则， 又，所以，即，即， 同理可得，所以， 所以，即. 故选：C. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 至少有一个实数，使 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“”的否定是假命题 D. “集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】 【分析】由在实数范围内，可得A错误；举反例可得必要性不成立，可得B正确；由全称与特称命题的性质和二次函数的性质可得C错误；由集合中只有一个元素可得或，再由必要性可得D正确； 【详解】对于A，在实数范围内，，，故A错误； 对于B，若，则，充分性成立， 若，如，此时，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，命题“”的否定是， 由二次函数的性质可得开口向上，，所以恒成立，故C错误； 对于D，若集合中只有一个元素， 当时，；当时，可得， 所以必要性成立，故D正确； 故选：BD. 10. 若，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 【答案】AC 【解析】 【分析】根据基本不等式计算即可判断ABD；根据二次函数的图象与性质即可判断C. 【详解】A：，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最大值为，故A正确； B：， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4，故B错误； C：， 即的最小值为，故C正确； D： ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故D错误. 故选：AC 11. 已知函数的零点为的零点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用函数零点的意义，结合函数与互为反函数，确定的关系，再逐项分析判断得解. 【详解】依题意，，， 则分别是直线与函数，图象交点的横坐标， 而函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称， 又直线垂直于直线，则点与点关于直线对称， 则，于是，，，BC正确，A错误； 因为,所以， 则，即，D错误. 故选：BC 三、填空题 12. 若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是______. 【答案】2 【解析】 【分析】设扇形的半径为，则弧长为，结合面积公式计算面积取得最大值时的取值，再用圆心角公式即可得弧度数. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，即， 所以扇形面积， 所以当时，取得最大值为，此时， 所以圆心角为（弧度）. 故答案为：2 13. 已知角的终边经过点，且，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数定义计算求参即可. 【详解】由题设，可知，且，即， ，则， 解得（舍）或，综上，． 故答案为： 14. 设函数的定义域为，满足．当时，，则函数最小正周期为_________；方程有且仅有_______个实数解. 【答案】 ①. 8 ②. 6 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法确定函数的周期，再结合函数图象求出最小正周期；作出的图象，数形结合求出方程实数解个数. 【详解】函数的定义域为，由，得， 由，得，则， 即，因此，8是函数的一个周期， 当时，，函数在上递增，在上递减，值域为， 由，得函数的图象关于点对称， 由，得函数的图象关于直线对称， 作出函数在上的图象，观察图象得函数最小正周期为8； 由，得，则方程实数解个数， 即为函数与函数图象交点个数，在上述坐标系内作出函数图象， 而函数的值域为，当时，， 因此函数与函数图象只在内有交点， 观察图象得函数与函数图象有且只有6个交点， 所以方程有且仅有6个实数解. 故答案为：8；6 四、解答题 15. 已知函数，. （1）若函数是奇函数，求实数m的值； （2）当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； （3）当时，，求函数的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用得出，再利用奇函数的定义检验即可求解； （2）参变分离得在上有解，令，，则有解，利用二次函数性质求解值域即可得解； （3）首先化简，然后令，，则，进而讨论一元二次函数的单调性，求解最小值. 【小问1详解】 因为函数为奇函数，且定义域为， 所以，即，所以， 即，因为为奇函数，所以符合题意； 【小问2详解】 当时，，则存在，使得成立， 即，所以在上有解， 令，因为，所以，则有解， 故实数t的取值范围为函数的值域， 又，因为，所以， 所以，故实数t的取值范围为； 【小问3详解】 由题，， 令，显然在上单调递增，则， 则， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，. 综上：. 16. 如图所示，角的终边与单位圆交于点，过作轴的垂线，交轴于，过作轴的垂线交射线OP于. （1）由正弦函数、正切函数定义可知，的值分别等于线段MP，AQ的长. （i）求的值； （ii）判断的大小关系； （2）设点的横坐标为，点的纵坐标为，求的最大值. 【答案】（1）（i），；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）直接利用三角形面积公式和扇形面积公式求解； （ii）利用面积大小关系先得，再由三角函数的性质和单调性判断大小； （2）由三角函数定义可得，利用三角函数恒等变换再求最值. 【小问1详解】 （i） ， （ii）由图可知的大小关系为， 所以结合（1）的值可以得到在时有， 即， 因为， 又因为，则， 再由在上的单调性可知， 综上. 【小问2详解】 由三角函数定义可以设点的横坐标为，点的纵坐标为， 所以， 原式， 因为，所以， 所以时，有最大值. 【点睛】关键点点睛：利用面积大小关系先得，又，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $