精品解析：湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2025—2026学年 高三上学期12月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 若为实数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不也不必要条件 5. 设函数是上的减函数，则有（ ） A. B. C. D. 6. 定义在上的函数满足，且函数为奇函数．当时，，则=（ ） A. －2 B. 0 C. D. 7. 已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（ ） A. B. C. D. 8. 已知为等比数列前项和，若，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 二、多选题 9. 已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为3 B. 的最小值为3 C. 的最大值为6 D. 的最小值为6 10. 设是等差数列，下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知集合，集合，若，则实数________． 13. 如图，为方便市民游览市区中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知AB，AC为夹角为的公路长度均超过5千米，在两条公路AB，AC上设立游客上、下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得千米，千米.若，则两条观光线路PM与PN之和的最大值为______千米. 14. 已知函数，若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围为______． 四、解答题 15. 已知区间的长度均等于． （1）若集合，求的区间长度； （2）已知函数，求的值域的区间长度； （3）若，区间，求的区间长度的最小值． 16. 如图，在三棱锥中，是外接圆的直径，垂直于圆所在的平面，D、E分别是棱PB、PC的中点. （1）求证：平面； （2）若，，求点到平面的距离. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，. （1）求角A； （2）若，的面积为，求的周长. 18. 已知数列中，，且满足，． （1）证明：数列是等差数列，并求的通项公式； （2）求数列的前项和． 19. 定义：若函数与在公共定义域内存在（互不相等，），使得，则称与为“阶相似函数”，称为与的“阶相似点”. （1）已知，函数，，判断函数与是否为“三阶相似函数”，并说明理由. （2）已知函数，，与为“二阶相似函数”， ，称为与的“二阶相似点”. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市汉寿县第一中学2025—2026学年 高三上学期12月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得集合，根据集合交集的概念及运算，即可求解. 【详解】由题意，集合， 根据集合交集的概念及运算，可得. 故选：C. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性可得，然后结合必要条件、充分条件的判定方法即可得出结论. 【详解】根据幂函数的性质知，函数在上单调递增 所以当时，，， 当时，无意义， 则“”是“”的不充分条件； 当时， ， 则“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由的定义域得的定义域，进而得，解出即可求解. 【详解】由函数的定义域为，所以， 所以的定义域为，所以， 则的定义域为，故A正确. 故选：A. 4. 若为实数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】当时，成立，当时，满足，但不成立，即“”是“”的必要不充分条件，故选B. 5. 设函数是上的减函数，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性列出相应的不等式，即可求得答案. 【详解】由题意函数是上的减函数， 则，否则为常数函数，不合题意，故为一次函数， 故， 故选：D 6. 定义在上的函数满足，且函数为奇函数．当时，，则=（ ） A. －2 B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由与为奇函数均可得函数图象的对称性，再赋值求，由函数的两种对称性质变形转化得到函数的周期性，再应用周期性求函数值即可. 【详解】由可得，函数的图象关于对称， 函数为奇函数，所以， 所以函数的图象关于对称， 又在上有定义，中， 令，得，解得. 函数的图象关于对称，则， 则，令，可得， 的周期为4． . 故选：B． 7. 已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直向量的数量积为0及数量积的运算化简即可得解. 【详解】由题意， 又向量与的夹角为且为单位向量， ∴，解得. 故选：D 8. 已知为等比数列前项和，若，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式和求和公式来求解即可. 【详解】由等比数列公式可得：， 所以， 故选：A. 二、多选题 9. 已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为3 B. 的最小值为3 C. 的最大值为6 D. 的最小值为6 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质和重要不等式，对题干条件进行换元，求出代数式的范围即可. 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立，A正确，B错误； ，所以，当且仅当时，等号成立，C正确，D错误. 故选：AC. 10. 设是等差数列，下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】设的公差为，根据公差的正负不确定可判断A；根据等差数列单调性可判断B，根据等差中项、基本不等式可判断C；利用等差数列通项公式可判断D. 【详解】设的公差为， 对于A，， 因为公差的正负不确定，所以的正负不确定，故A错误； 对于B，因为， 即异号， 当时，由等差数列的单调性可知，即， 当时，由等差数列的单调性可知，即， B正确， 对于C，，所以， 又，故不存在使原式取等情况，，故C正确； 对于D， ，D错误； 故选：BC. 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知可得.构造函数，根据导函数得出函数的单调性，结合零点存在定理，可得出.根据基本不等式及其取等号的条件，即可得出A项；由已知可得，移项构造函数，根据导函数得出函数的单调性，即可得出不等关系，判断B、C、D. 【详解】由已知可得，. 设，则恒成立， 所以，当时，单调递增. 又，， 根据零点存在定理可得，，使得， 所以，由可得，. 对于A项，因为， 当且仅当，即时等号成立. 因为，，所以，故A项正确； 对于B项，因为，所以. 令，，则. 因为，所以，，所以， 所以，当时，恒成立. 又，所以， 即，即，故B项错误； 对于C项，因为， 所以. 设，， 则. 因为，所以，所以， 所以在上恒成立， 所以，在上单调递增. 又，所以， 所以，故C项正确； 对于D项，因为， 所以. 设，， 则 . 因为，，，所以，当且仅当时等号成立. 因为，所以，，. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立. 因为，所以， 所以，， 所以在上恒成立， 所以，在上单调递增. 又，所以， 所以，，故D项错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：移项构造函数，然后根据导函数得出函数的单调性以及最值，得出不等式恒成立，进而得出不等关系. 三、填空题 12. 已知集合，集合，若，则实数________． 【答案】2或4 【解析】 【分析】根据给定的交集运算的结果，分类求解作答. 【详解】集合，，，则， 当时，，此时，因此， 当时，显然，否则，，矛盾， 于是，此时，，因此， 所以实数或. 故答案为：2或4 13. 如图，为方便市民游览市区中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知AB，AC为夹角为的公路长度均超过5千米，在两条公路AB，AC上设立游客上、下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得千米，千米.若，则两条观光线路PM与PN之和的最大值为______千米. 【答案】14 【解析】 【分析】在中，利用余弦定理求出的值，再在中，结合余弦定理与基本不等式，得解. 【详解】在中，，，， 由余弦定理知，所以， 在中，由余弦定理知，， 所以， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以与之和的最大值为14． 故答案为：14 14. 已知函数，若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数为奇函数且为增函数得，则有，求出右边最小值即可. 【详解】的定义域为， 且 则为奇函数，由增函数加增函数为增函数可知 函数为增函数， 不等式对任意实数恒成立， 等价于， 可得， 即，因为 , 当且仅当即时,取等号，所以. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知区间的长度均等于． （1）若集合，求的区间长度； （2）已知函数，求的值域的区间长度； （3）若，区间，求的区间长度的最小值． 【答案】（1）12 （2）8 （3）10 【解析】 【分析】（1）解不等式求得集合，进而可得，可求区间长度； （2）利用函数的单调性可求值域，进而求得区间长度； （3）的区间长度为，利用基本不等式可求最小值. 【小问1详解】 由，可得，解得，所以， 又因为，所以， 所以的区间长度为． 【小问2详解】 因为为减函数， 所以的值域为，即， 所以的值域的区间长度为． 【小问3详解】 的区间长度为． 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的区间长度的最小值为10． 16. 如图，在三棱锥中，是外接圆的直径，垂直于圆所在的平面，D、E分别是棱PB、PC的中点. （1）求证：平面； （2）若，，求点到平面的距离. 【答案】（1）因为是圆的直径，所以， 因为垂直平面，平面，所以， 又因为，平面，平面PAC， 所以平面. 因为分别是棱的中点. 所以. 从而有平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理可得到平面，通过即可得证； （2）利用线面垂直的判定定理可得平面，可得，然后利用等体积法即可求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为垂直于平面，平面，所以， 因为，则. 又，得， 所以， 因为且，平面，， 故平面，又平面，所以， 因为，，所以 设点到平面的距离为， 则由知，, 即,解得 17. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，. （1）求角A； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1）； （2）24 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解作答. （2）利用三角形面积公式和余弦定理求出三角形周长作答. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得：， 则，即， 整理得：，而，，因此，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，因为的面积为，则， 解得， 由余弦定理得，即， 解得，所以的周长是24. 18. 已知数列中，，且满足，． （1）证明：数列是等差数列，并求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） 证明：由于， 所以， 即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）转化已知条件，由是常数，证得数列是等差数列，并求得数列的通项公式. （2）利用错位相减求和法求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， 两式相减得 ， 所以. 19. 定义：若函数与在公共定义域内存在（互不相等，），使得，则称与为“阶相似函数”，称为与的“阶相似点”. （1）已知，函数，，判断函数与是否为“三阶相似函数”，并说明理由. （2）已知函数，，与为“二阶相似函数”， ，称为与的“二阶相似点”. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1）函数与为“三阶相似函数”，理由如下： 令，则， 令，解得或，令，解得， 所以在上单调递减，在和上单调递增. ，，，， ∴存在，，，使得，即，，， ∴函数与为“三阶相似函数”. （2）（i）； （ii）证明如下： 根据题意得，不妨设. 构造函数， 则. 当时，，，则，得在上单调递减， 有，即. 将代入不等式，得，又， 所以， 又，，在上单调递增， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）令，求导判断函数的零点个数可得结论； （2）（i）在上有两个不相等的实数根，变形两边取对数，进而构造函数，可求得的取值范围；（ii）根据题意得，不妨设. 构造函数，利用导数判断，进而可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为与为“二阶相似函数”， ∴在上有两个不相等的实数根，即， 两边取对数，可得.记，易知在上是增函数， 故可等价于，即. 记，则，得在上单调递减，在上单调递增，有最小值，故，即的取值范围为. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $