重庆市第十一中学校2025-2026学年高二上学期数学周测15

重庆市第十一中学 ·参考答案 故选：B. 高2027届高二上数学周测试题15 4.【参考答案】A 1.【参考答案】B 【试题解析】【分析】 【试题解析】【分析】 本题考查等比数列的性质，属于基础题， 本题考查等比数列的性质，属于基础题， 根据等比数列的性质得S8,S-S,S-S成等比数列，从 根据等比数列的性质直接列式求解即可. 而得到关于S的方程，再求出S. 【解答】 【解答】 解：由题意=-1×(-9)=9， 解：S为等比数列{an}的前n项和，S=4,S=6, 又数列的奇数项同号，即b<0,所以b=-3. 根据等比数列的性质， 故选：B. 可知S2,S-S,S-S成等比数列， 4,2,S8-6成等比数列， 2.【参考答案】C .22=4×(S-6),解得56=7. 【试题解析】【分析】 故选：A. 本题考查等差数列的前n项和公式，等差数列的性质，是基 5. 【参考答案】B 础题 【试题解析】【分析】 利用等差数列的性质，结合前n项和公式计算即得 本题考查等差数列的求和公式，数列的裂项相消求和，化简 【解答】 运算能力，属于基础题 1 4 由等差数列的求和公式可得a，求得a,am=m+1m+②可 解：在等差数列{an}中，3a=a+as+as=3,解得as=1, 1 1 所以=9a+=9a5=9. =4(+1n+2,再由数列的裂项相消求和可得所求和。 2 【解答】 故选：C. 解：a=1+2+3++”=n+1), n 1 4 11 3.【参考答案】B 则aa++习=nn十， 【试题解析】【分析】 可得数列一的前项和为兮计兮+十 根据椭圆的简单几何性质及方程思想即可求解。 = 1 2n 本题考查椭圆的简单几何性质，属基础题，。 故选B. 【解答】 6. 【参考答案】A 解：根据题意及椭圆的简单几何性质可得： 【试题解析】【分析】 {a+8=,{8=2, 本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方 高二数学 法，属于中档题 故选A. 方法一：根据题意画图，由图形的对称性得出P点坐标，代 7. 【参考答案】A 入圆的方程得到与a的关系，可求双曲线的离心率. 【试题解析】【分析】 方法二：由题意画出图形，先求出PQ,再由PQ=OF列 本题考查累加法求数列的通项公式，属于基础题. 式求C的离心率. 观察图中的数据可得a=1,a2-a1=2, 【解答】 ag-a2=3..am-am-1=n,利用累加法可求an,从而可求a3的 解：方法一：设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQ⊥r轴 值 【解答】 解：设第n个数为am, 则a1=1, 02-a1=2, a3-a2=3, 又PQ=lo1=c,lPA=, a4-a3=4, PA为以OF为直径的圆的半径， 六A为圆心，0A=, On-an-1=n P(⑤司，又P点在圆r+=上， 累加可得，am-a=2+3+4+,+n, 2 am=1+2+3++n=nn+ 2 ,∴.a3=2016， .e=V2, 故选：A. 故选A. 方法二：如图，以0F为直径的圆的方程为x2+-=0, 8. 【参考答案】D 【试题解析】【分析】 本题考查数学文化及等比数列求和，属于中档题 根据题意把等比数列抽象出来，确定首项和公比，再利用等 比数列求和公式计算即可. 又圆0的方程为x2+2=a2, 【解答】 PQ所在直线方程为：- 解：由题意可得将官、营官、阵官、先锋、旗头、队长、甲 把x=代入r2+r=,得1PQ1=2 头、士兵依次成等比数列， 再由PQ1=o1,得=c, 且首项为8，公比也是8， 即4a2c2-a2=c, 所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有 .e2=2,解得e=2. 高2027届高二上数学周测试题151/4 重庆市第十一中 8+8++8+8+=88=8+-人)， 1-8 由a=1,an+1=22-(n∈N),易得a2=2, 故选D 5=a+ag+a)+a+a4+6)=am1-4 1-4 21-49=21+2×21=63,C项正确 1-4 9.【参考答案】CD 当n为奇数时，a=a1×4学1=2"-1，当n为偶数时， 【试题解析】【分析】 a=a2×41=2×2"-2=2"-1, 本题考查了等比数列的判定或证明，属于中档题， 所以=aa1=2 乎=2，D项正确. 根据题意举例可得出{am+b}和{am-b}是否是等比数列，设 答案：ACD an},}的公比分别为P,g,，即可判断{ab}, }是否 是等比数列. 11.【参考答案】ACD 【解答】 【试题解析】【分析】 解：当an=l,bn=-l时，{an},{bn}都是等比数列，an+b=0 本题主要考查了等差数列的定义和通项公式，考查了裂项相 ，则{am+b}不是等比数列， 消法求和，同时考查了学生的计算能力，属于中档题 当an=1,=1时，{an},n}都是等比数列，an-b=0,则 由2=层-1++(m≥2)可得数列{}是首项为1，公差为3的 {am-bn}不是等比数列， 等差数列，再利用等差数列的通项公式可求出，进而求出 设{an},{}的公比分别为P,9,则P,9都不等于0， a,判断选项A,再由。=a+a可求出，可判断选项B n+1 因为☆-=n,受-名-n ,利用裂项相消法可求出I,可判断选项C,由数列{}的 前n项和可判断选项D 所以{abn}、 {}都一定是等比数列. 【解答】 故选：CD, 解：2a=a2-1+a2+1(n≥2)， 10.【参考答案】ACD ∴.数列{a}是等差数列，首项为a=1,公差为 【试题解析】【分析】 a-a=4-1=3, 本题考查数列的递推关系、等比数列的判定、数列求和，属 .a2=1+3(m-1)=3n-2, 于较难题 又数列{a}的各项均为正数，a=3n-2 由递推公式得=4，-4，得数列a的奇数项是以1 ∴.4=√27-2=5，故选项A正确 &a+n-2十V7=中，区，故选项B 1 1 为首项，4为公比的等比数列，偶数项也是以4为公比的等 3 比数列，可判断各选项 错误， 【解答】 I=W-V①+wF-V团+(W而-V++(Wo-V列 解：由2n+2=0m142-2+ a2n d2na2n+1 2m=4， a2n-1a2n-102n=2tn-3=4, =v0-M=3,故选项C正确， 可知数列{}的奇数项是以1为首项，4为公比的等比数列， 数列{}是首项为1，公差为3的等差数列， 偶数项也是以4为公比的等比数列， 数列闷的前0项和为心_1+”9_8。少，故 所以A项正确，B项错误 选项D正确， 2/4 高2027届高二上数学周测试题15 学高二数学 故选：ACD. 所以=c2-a2=10-2=8, 所以双曲线C的方程为号号-1， 12.【参考答案】2V2 故答案为：号号=1 【试题解析】【分析】 本题主要考查直线经过定点问题，点到直线的距离公式的应 14.【参考答案】130 用，属于简单题 【试题解析】【分析】 把直线的方程变形，得关于x、的方程组，可得定点A的坐 本题考查的是等差数列与等比数列的综合问题，等比数列的 标，再利用点到直线的距离公式即可求解。 求和，属于较难题。 【解答】 在新的数列{b}中，ak+1前面（包括@+）共有 解：由直线方程(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0变形为： n=k+2+22+23+..+2-1=2*+k-2项，由当k=6时， m(x-2y-3)+(2x++4)=0, 2+k-2=68,当k=7时，2+k-2=133,得出a6=8, 令x-2y-3=0,2x+y+4=0, a7=b133,且bg=bm=·=b100=1,即可得解. 求得x=-1,=-2, 【解答】 可得直线(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0恒经过定点A(-1,-2), 解：因为ak与+1(k=1,2,)之间插入2个1， 故点A到直线”：+y=1的距离是d=-1-2-1=22, 所以ak在b}中对应的项数为n=k+2+2+2+…+2- 故答案为2V2, =+2若+-2， 当k=6时，2*+k-2=68,当k=7时，2*+k-2=133, 13.【参考答案】后-号-1 所以a6=be8,a7=b13s,且bg=bro=·=b1om=1. 【试题解析】解：因为以F为直径的圆与C在第一象限相 S为{a}前6项和， 交于点P, 因此T10m=S6+(2×1+2×1+2×1+…+2×1)+32×1 所以PA⊥PB. -分×+国+号+2=im, 已知直线PR的斜率为， 故答案为130. 在△PR5中，m∠PRA-器-，即PA=2PF 由△PF的面积为8， 15.【参考答案】解：()因为{am}为等差数列，设公差为d, 根据三角形面积公式SaPs=PFP网=8， 由=5，得+51=5，① 将PF=2PF代入上式，可得×2PF×PF=8, 由2，a5,a14成等比数列，得后=a2·a14, 即IPF2-8,解得1PF=2V2,IPF-2×2V2=4V2, 则(a1+4d)2=(a1+d0(a1+13d,② 由双曲线的定义知2a=PFl-lP=2V2,故a=2, 联立①@解得{：。或{：。 在R△PF中，EF=PF+PF, 又因为0， 所以{ 即1EF=V4V22+(2V2=V32+8=V4o=210, 所以am=a+(m-1)d=2n-1(meN, 故2c=2V10,即c=V10 综上am=2n-1(m∈N): 重庆市第十一中 (2)由am=2n-1,得a1=1,a3=5, 令z=1,得y=0,x=2, 又{am+b}为公比是2的等比数列，=3， 故平面DEF的一个法向量为元=(2,0,1)， 所以ag+g=(a1+b)×4=5+3=8,即a1+01=1+b1=2, 设直线PA与平面DEF所成角为9， 所以an+bn=2×2"-1=2”, 元.A亚 2V5 则sin0 列AP 2xV5=5, bn=2"-(2n-1),(n∈N"), 所以直线PA与平面DBP所成角的正弦值为汽： 所以Tn=b1+2+bg+…+bn=21+22+23+,+2 am-(号a,2）, -[1+3+5+·+(2n-1] 由()有平面DEF的一个法向量为i=(2,0,1), =2×1-29_1+2n-1n=201-2-m2. 1-2 2 所以点P到平面DEF的距离为：d-D_上1+A5】 5 51 综上T=2+1-2-n2. 【试题解析】详细解答和解析过程见【答案】 【试题解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.【参考答案】解：)2n为偶数，则2+1=2m+2, 16.【参考答案】解：(I)因为PAL平面ABC,AB,ACc平面 02m+2=a2m+1+1, ABC, ∴.a2m+2=a2m+3，即bn+1=bm+3,且b1=a2=a1+1=2, 所以PA⊥AB,PA⊥AC, ∴b}是以2为首项，3为公差的等差数列， 又∠BAC=90°， .b1=2,b2=5,bm=3n-1 所以AB,AC,AP两两互相垂直， (②当n为奇数时，am=a+1-1, 故以A为坐标原点，AB,AC,AP所在直线分别为x轴、轴 ∴.{an}的前20项和为： 、轴建立空间直角坐标系， a1+a2+·+a20=(a1+ag+·+a19)+(a2+a4+…+a2m) P =[(a2-1)+(a4-1)+…+(a20-1】+(a2+a4+·+a20) =2(a2+a4++a20)-10. 由(1)可知， D a+a4+…+am=b1+h++bo=2×10+10×9x3=155」 B 公 C 2 又D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点，AB=AC=1, 一{an}的前20项和为2×155-10=300. PA=2. 【试题解析】 所以A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2), 本题考查数列的通项公式与前n项和的求解，属于中档题. D哈0,0，.EG2.F0, ()根据已知条件得到a2m+2=2m+3,即+1=bm+3,可知{b 所以=@02示=(）正=(0）， 是等差数列，即可求出通项公式： 设平面DEF的法向量为元=(x,,), (②由题意可知当n为奇数时am=a+1-1,则{an}的前20项和 则有元1D成，元1DE 为(a+as+…+a19)+(a2+a4+…+a20)=2(a2+a4+·+a20)-10.由 元D亦-+动+=0 (1)得到a2+a4+…+a2如=bi+b2+·+b0,运用等差数列的前n 所以 元D2==0 {= 项和公式即可求解 学高二数学 ()根据题意得到Q0),再由直线截y2=2π所得的弦长为 2V6,进而得到P=2v3,即F(3,0),结合椭圆C的离心率 18.【参考答案】解：)抛物线C:=2m的焦点为FB50), 为，求出a=26=1,即可得到椭圆G的方程 Q呢) (2)设T(x,),Ax:n),B(2,h,由O7=AOA+2OB,得 过Q垂直于x轴的直线截=2m所得的弦长为2v6, 工=知1+2μ，y=+2u,再根据点T,A,B在椭圆 所以6'=2即×号，解得p=23, 号+矿=1上，结合直线oA0B的斜车之积为，得到 所以F(V3,0), =1上的点，利用 又：椭圆℃的离心率为， +=1,进而知N点是椭圆上+ 4 网-号丽求出P-0,再根据由椭圆的定义，可知 a=2,b=1, 1NPI+NQ=2为定值. 椭圆C的方程为号+=1： (2)设T(x,),A(x1,),B(x2,2), 19.【参考答案】解：)由=8+1，得S=-,① 则由O7=0A+2μ0B, 当n=1时，有1=S=8-多，求得a1=3, 得x=入x1+2μ2，=λ劝+242， 当n≥2时，S1-1多，② 点工4B在椭圆苦+了=1上， ①-②得：a=5-51=-多-侵1-多=-1， ∴.所以x1+4=4,吃+4=4，x2+42=4, 整理得：=a1,即=3， 故x2+4y2=(1+222+4(A+24h 可知数列{an}是首项为3，公比为3的等比数列， =2(x+4+4μ2(x号+4)+4wu(x1x2+41)=4, 故an=3×3”-1=3”: 设o4,koB分别为直线OA,OB的斜率， (2)由(1)知am=3”, 由题意知，如a一器=号， 代入.=log4 因此x12+4吹=0， 所以2+42=1， 则红-++…+，国 所以N点是稀圆+号=1上的点， 得红=京+员+++，国 12 由0知Q0,又风-打函， ③-④得：-专计京++京品 11 1-n -90, xn-如 n12n+3 PQ恰为椭圆P+星=1的左、右焦点， 1-8 322-3， 4 所以--003， 由椭圆的定义，NP1+NQ=2为定值. 间由回知A=安， 【试题解析】 假设存在正整数k,使得b,2b,b成等差数列， 本题考查椭圆的概念及标准方程，考查抛物线的性质，直线 得+热=2x2购，即时+-；，则号-多， 与抛物线的位置关系，直线与圆锥曲线相交弦长问题，圆锥 3--2+2+1 设-茶，则依+)-+却会 3k+1 曲线中的定值问题，涉及向量的几何应用和坐标运算，属于 当k≥2时，f低+)-f)<0,数列货为递减数列， 难题， 高2027届高二上数学周测试题153/4 所以对所有正整数k,都有)< 故不存在正整数k,使得b、、kb成等差数列. 【试题解析】 本题考查数列递推式，考查错位相减法求和，考查数列的函 数特性，属于较难题 ()由已知得出5=-多，令n=1可求出4=3的值，令 n>2,由S=多-可得出S1=多1-多，两式作差可推出 数列{a}为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得 数列{a}的通项公式： (2)求出b,利用错位相减法可求得T: 同由+，=2x吻可得餐-名令-草，分析数列U) 的单调性，即可得出结论 4/4高2027届高二上数学周测试题15 重庆市第十一中学高二数学《高2027届高二上数学周测试题15》 吕单选题(40分) 1.(5分)若数列-1，a,b,c,-9是等比数列，则实数b的值为 A.-5 B.-3 C.3 D.3或-3 【参考答案】B 【试题解析】【分析】 本题考查等比数列的性质，属于基础题. 根据等比数列的性质直接列式求解即可· 【解答】 解：由题意=-1×(-9)=9， 又数列的奇数项同号，即b<0,所以b=-3. 故选：B. 2.(5分)已知等差数列{am},其前n项和为S,若a2+a5+as=3,则 Sy= A.3 B.6 C.9 D.27 【参考答案】C 【试题解析】【分析】 本题考查等差数列的前项和公式，等差数列的性质，是基础题 利用等差数列的性质，结合前n项和公式计算即得. 【解答】 解：在等差数列{an}中，3a5=a2+a5+as=3,解得a5=1, 所以s=9a1+a四=9u5=9. 2 故选：C. 35分)已知椭圆C:系+苦-a>b>0的左、右焦点分别为5，月 ,若椭圆上一点P(x,)到焦点的最大距离为7，最小距离为3， 则椭圆C的离心率为 n.8 重庆市第十一中学高二数学教师讲义满分：150分 【参考答案】B 【试题解析】【分析】 根据椭圆的简单几何性质及方程思想即可求解. 本题考查椭圆的简单几何性质，属基础题， 【解答】 解：根据题意及椭圆的简单几何性质可得： {a+8=,{8=8, c 2 ,∴，e= 故选：B. 4.(5分)记Sn为等比数列{a}的前n项和，若S2=4,S4=6,则S= A.7 B.8 C.9 D.10 【参考答案】A 【试题解析】【分析】 本题考查等比数列的性质，属于基础题， 根据等比数列的性质得S,S4-S2,S6-S4成等比数列，从而得到关 于S的方程，再求出S6. 【解答】 解：S为等比数列{a}的前n项和，S2=4,S4=6, 根据等比数列的性质， 可知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列， .4,2,S6-6成等比数列， ∴.22=4×(S6-6),解得S6=7. 故选：A. 5.(5分)数列a满足=1+2+3++，则数列a的前n项和 n 为 A.n+2 C.n+1 D. 2n n+1 【参考答案】B 【试题解析】【分析】 本题考查等差数列的求和公式，数列的裂项相消求和，化简运算能 力，属于基础题 由等差数列的求和公式可得a,求得aam+m+2 4士一十，再由数列的裂项相消求和可得所求和。 =41 【解答】 解 am=1+2+3++n 2n+1), 则aam+m+习=4 1 1 n+1n+2, 可得数列心的前0项和为专+号++n+十 =4n十n+2 1 2n 故选B 6(5分)设F为双曲线C:三-兰-1a>6>0的右焦点，0为坐标原 点，以OF为直径的圆与圆x2+2=a2交于P,Q两点.若PQ1=OF ,则C的离心率为 A.V2 B.3 C.2 D./5 【参考答案】A 【试题解析】【分析】 本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，属于 中档题， 方法一：根据题意画图，由图形的对称性得出P点坐标，代入圆的方 程得到c与a的关系，可求双曲线的离心率. 方法二：由题意画出图形，先求出PQ1,再由PQ=OF列式求C的 离心率， 【解答】 解：方法一：设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQ⊥x轴， 又lPQI=Ior=c,lPA=, PA为以OF为直径的圆的半径， 1/6 ∴A为圆心，10A=, P(9,又P点在圆2+=a2上， -- .e=2, 故选A. 方法二：如图，以OF为直径的圆的方程为2+2-cx=0, 又圆0的方程为x2+2=a2, ·.PQ所在直线方程为x= c 把x-C代入2+=2，得1PQ=2心 再由PQ=oF,得2=c, 即4a2(c2-a2)=c, .e2=2,解得e=v2. 故选A. 7.(5分)“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就， 11 121 它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图1331 146,'41 所示的是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵1510'1051 ,图中虚线上的数1,3,6,10，·构成数列 {an},记am为该数列的第n项，则a= A.2016 B.4032 C.2020 D.4040 【参考答案】A 【试题解析】【分析】 本题考查累加法求数列的通项公式，属于基础题， 观察图中的数据可得a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3..am-am-1=n,利用 累加法可求a,从而可求a的值 2/6 重庆市第十一中学高二数学教师讲义满分：150分 【解答】 解：设第n个数为an, 则a1=1, a2-a1=2, ag-a2=3, a4-a3=4, an an-1=n, 累加可得，am-a1=2+3+4+…+n, am=1+2+3+.…+n=nm+), 2 .a63=2016, 故选：A, 8.(5分)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领 八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人， 每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头 八个兵.”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共 有 A8-8人 B.38-8)人 C.8+8-8人 D.s+3-8人 【参考答案】D 【试题解析】【分析】 本题考查数学文化及等比数列求和，属于中档题. 根据题意把等比数列抽象出来，确定首项和公比，再利用等比数列 求和公式计算即可. 【解答】 解：由题意可得将官、营官、阵官、先锋、旗头、队长、甲头、士 兵依次成等比数列， 且首项为8，公比也是8， 所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有 8+8+89+9+8+8=881二2=8+383-8（人）， 1-8 故选D 多选题（18分) 9.(6分)（多选）已知数列{an},{b}均为等比数列，则下列数列中 一定是等比数列的是 A.an+ont B.{an-on} C.fanba} n. 【参考答案】CD 【试题解析】【分析】 本题考查了等比数列的判定或证明，属于中档题 根据题意举例可得出{an+bn}和{a-bn}是否是等比数列，设{an},{bn} 的公比分别为p,g,即可判断{a·bn}, {}是否是等比数列. 【解答】 解：当an=1,bn=-1时，{an},{亿n}都是等比数列，an+bn=0,则 {an+bn}不是等比数列， 当an=1,bm=1时，{an},{bn}都是等比数列，a-bn=0,则{am-bn}不 是等比数列， 设{an},{bn}的公比分别为P,g,则p,g都不等于0， an+1 因为“-=w0,2=a-0. anbn an bn an 6n+1 q' 所以{a·bn}、 {公}都一定是等比数列. 故选：CD 10.(6分)（多选）已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1, anan+1=22m-1(n∈N*)）,则下列说法正确的是 A.数列{a}的奇数项成等比数列 B.数列{a}的偶数项成等差数列 C.S6=63 【参考答案】ACD 【试题解析】【分析】 本题考查数列的递推关系、等比数列的判定、数列求和，属于较难 题. 由递推公式得0=4，念=4，得数列a的奇数项是以1为首项， a2m-1 4为公比的等比数列，偶数项也是以4为公比的等比数列，可判断各 选项 【解答】 解：由22=2m+1+22n1 a2na2n+1 2n=4,02m+1=a2m2m+中=2=4 24n-3=4, 可知数列{an}的奇数项是以1为首项，4为公比的等比数列，偶数项 也是以4为公比的等比数列， 所以A项正确，B项错误 由a1=1,anan+1=22n-1(m∈N*),易得a2=2, S6=(a1+ag+g）+a2十a4十a6)=11-49+21-48=21+2×21=63,C项 1-4 1-4 正确 当n为奇数时，am=a1×4学-1=2"-1，当n为偶数时， an=a2×4-1=2×2"-2=2n-1, 所以-- 22n-1 2m=2,D项正确. 答案：ACD 11.(6分)（多选）已知正项数列{an}中，a1=1,a2=2, 2a=1+an≥2)，，=an十an,数列a}的前n项和为5，数列 {bn}的前n项和为Tn,则 A.ag=5 B.b.=v3n+1-v3m-2 C.T3=3 D.S=n(3n-1) 2 【参考答案】ACD 【试题解析】【分析】 本题主要考查了等差数列的定义和通项公式，考查了裂项相消法求 和，同时考查了学生的计算能力，属于中档题。 由2a=a品-1+a+1(n≥2)可得数列{a}是首项为1，公差为3的等差数列 ，再利用等差数列的通项公式可求出品，进而求出a,判断选项A, 再由&，=十。可求出，可判断选项B,利用裂项相消法可求出 重庆市第十一中学高二数学教师讲义满分：150分 ,可判断选项C,由数列{a}的前n项和可判断选项D. 【解答】 解：2a=a品-1+a品+1(m≥2)， .数列{a}是等差数列，首项为a=1,公差为a号-a=4-1=3, .a品=1+3(n-1)=3m-2, 又数列{an}的各项均为正数，∴.a=v3n-2 .=√27-2=5，故选项A正确， 6一a十aVn-2十Vn-7,8n已，故选项B错误， 1 3 Ia=Wa-M+W7-V④+W而-V⑦++(V0-v列 网-M=3,故选项C正确， 数列{a}是首项为1，公差为3的等差数列， 数列a}的前n项和为maa=n1+3n-)_n3,),故选项D正 2 2 2 确， 故选：ACD 吕填空题(15分) 12.(5分)已知l:(2+m)x+(1-2m)w+4-3m=0(m∈)过定点A,则点A 到直线n:x+y=1的距离是 【参考答案】2√2 【试题解析】【分析】 本题主要考查直线经过定点问题，点到直线的距离公式的应用，属 于简单题， 把直线的方程变形，得关于x、的方程组，可得定点A的坐标，再 利用点到直线的距离公式即可求解. 【解答】 解：由直线方程(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0变形为： m(x-2y-3)+(2x+y+4)=0, 令x-2y-3=0,2x+y+4=0, 求得x=-1,y=-2, 可得直线(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0恒经过定点A(-1,-2), 故点A到直线m:x+y=1的距离是d=-12-1山=2V2, 故答案为2v2 13.(5分)双曲线c器-茶=1a>6>0的左、右焦点分别为A,, 以FB为直径的圆与C在第一象限相交于点P.若直线PR的斜率为) ,△PF的面积为8，则双曲线C的方程为 【参考答案】苦背-1 【试题解析】解：因为以B为直径的圆与C在第一象限相交于点P 所以PF⊥PF. 已知直线PR的斜率为， 在△P56中，m∠P5-器-，即P=2PA. 由△PE的面积为8， 根据三角形面积公式SaP=PFPF=8, 将PF=2PF代入上式，可得，×2PF×PF=8, 即IPF=8,解得1PF=2V2,IPFl=2×2V2=4V2, 由双曲线的定义知2a=lPF-lPFl=22,故a=V2, 在Rt△PFE中，IEF2=IPF+IPF2, 即1FF=V(4v2)2+(2w2)2=32+8=V40=2VW10, 故2c=2√10，即c=V10. 所以2=c2-a2=10-2=8, 所以双曲线c的方程为号誉-1. 救答案为：言苦=1 14.(5分)已知数列{an}的通项公式为am=2n-1,保持数列{a}中各项 先后顺序不变，在a与ak+(k=1,2,)之间插入2个1，使它们和原 数列的项构成一个新的数列{bn},记{b}的前n项和为Tn,则T的 值为 【参考答案】130 【试题解析】【分析】 本题考查的是等差数列与等比数列的综合问题，等比数列的求和， 3/6 属于较难题 在新的数列{bn}中，a+1前面（包括a+1)共有n=k+2+22+23+…+2*-1 =2*+k-2项，由当k=6时，2*+k-2=68,当k=7时，2+k-2=133 ,得出a6=bs8,a7=b133,且bo9=br0=·=b100=1,即可得解. 【解答】 解：因为ak与k+1(k=1,2,·)之间插入2个1， 所以ak在{bn}中对应的项数为n=k+2+22+23+…+2-1 =+月若=+-2， 当k=6时，2*+k-2=68,当k=7时，2+k-2=133, 所以a6=b8,a7=b133,且bo9=br0=…=b100=1. S为{an}前6项和， 因此T100=S6+(2×1+22×1+23×1+…+25×1)+32×1 -9×0+10+子=号+2=1m, 故答案为130 吕解答题(77分) 15.(13分)已知数列{a}为公差不为零的等差数列，其前n项和为S ,S=25,且a2,a,a14成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式： (2)若数列{an+bn}是公比为2的等比数列，且=3，求数列{bn}的 前n项和Tn, 【参考答案】解：()因为{a}为等差数列，设公差为d, 由%=25，得a+5=25,① 由2，a5,a14成等比数列，得a喝=a2·a14, 则(a+4d)2=(a1+d0(a1+13d,② 联立0®解得{：或{： 又因为0，所以{：2 所以am=a+(m-1)d=2m-1(n∈N*), 综上am=2n-1(n∈N)； (2)由am=2n-1,得a1=1,ag=5, 4/6 重庆市第十一中学高二数学教师讲义满分：150分 又{am+bn}为公比是2的等比数列，bg=3, 所以a3+b3=(a1+b)×4=5+3=8,即a1+b1=1+b1=2, 所以an+bn=2×2”-1=2”, bn=2"-(2-1),(m∈N), 所以Tn=b1+b2+bg+…+bn=2+22+23+…+2m-[1+3+5+…+(2n-1】 -_2×0=29_1+2m-10n=2+1-2-m2. 1-2 2 综上Tn=2+1-2-n2 【试题解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.(15分)如图，在三棱锥P-ABC中，PAL平面ABC,∠BAC=90 ,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点，AB=AC=1,PA=2.用 空间向量法求解下列问题. D B E C (I)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值； (2)求点P到平面DEF的距离. 【参考答案】解：(1)因为PA1平面ABC,AB,ACC平面ABC, 所以PA⊥AB,PALAC, 又∠BAC=90°， 所以AB,AC,AP两两互相垂直， 故以A为坐标原点，AB,AC,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建 立空间直角坐标系， 2 P 又D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点，AB=AC=1,PA=2· 所以A(0,0,0,B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2), D0,0,B号o.Fo,, 所以aP=00,2,F=()呢=(20）， 设平面DEF的法向量为元=(c,,), 则有元1D求，元⊥D正， 所以 iD㎡=字++=0 ∫x=2x 元D正=动=0 y=0, 令之=1，得y=0,x=2, 故平面DEF的一个法向量为元=(2,0,1)， 设直线PA与平面DEF所成角为9， 则sin0= 元.AP 25 nAP 2×V5=5, 所以直线PA与平面DEF所成角的正弦值为： am-(号2)， 由()有平面DEF的一个法向量为元=(2,0,1)， 所以点P到平面DEF的距离为：日-D 1=-1+2=5 5 5 【试题解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.(15分)已知数列{an}满足a1=1,an+1= au+1,n为奇数 (a+2,n为偶数1 (1)记b.=a2m,写出bi,2,并求数列{bn}的通项公式； (2)求{an}的前20项和. 【参考答案】解：(1)2n为偶数，则a2m+1=a2m+2,a2m+2=a2n+1+1, ∴.a2m+2=a2m+3,即bn+1=bn+3,且b1=2=a1+1=2, ∴.{b}是以2为首项，3为公差的等差数列， .b=2,b2=5,bn=3m-1. (2)当n为奇数时，an=an+1-1, ∴.{an}的前20项和为： a1+a2+·+a20=(a1+a3+·+a19)+(a2+a4+·+a20) =[(a2-1)+(a4-1)+·+(a20-1】+(a2+a4+·+a20) =2(a2+a4+·+a20）-10. 由(1)可知， a2+a4+…+20=b1+2+…+b0=2×10+10X9×3=155. 2 ∴.{an}的前20项和为2×155-10=300. 【试题解析】 本题考查数列的通项公式与前项和的求解，属于中档题， (1)根据已知条件得到a2m+2=a2m+3,即bn+1=b,+3,可知{bn}是等差数 列，即可求出通项公式： (2)由题意可知当n为奇数时an=am+1-1,则{an}的前20项和为 (a+a3+…+a19)+(a2+a4+·+a2o)=2(a2+a4+…+a20)-10.由(1)得到 a2+a4+·+a20=b1+b2+·+b0,运用等差数列的前n项和公式即可求 解. 1817分)已知椭圆G票+若=1o>b>0的左右焦点是，且C的 离心率为抛物线C:=2pp>0的焦点为B,过0的中点Q垂 直于x轴的直线截C2所得的弦长为2v6. ()求椭圆C的标准方程； (②)设椭圆C上一动点T满足：O7=OA+2OB,其中A,B是椭圆 C上的点，且直线OA,OB的斜率之积为-若N(四为一动点，点 P满足P网=F试探究NP+NQ是否为定值，如果是，请求出 该定值；如果不是，请说明理由 【参考答案】解：()抛物线C:=2r的焦点为P号o), Q0) 过Q垂直于x轴的直线截2=2x所得的弦长为26， 所以(v⑥=2印×号，解得p=2, 所以F(3,0), 又椭圆C的离心率为 2 .a=2,b=1, :椭圆℃的方程为号+r=1: (2)设T(c,),A(c1,1),B(2,), 则由O7=A0A+2u0B, 得x=x1+2μ2，y=λ+2μ9， 重庆市第十一中学高二数学教师讲义满分：150分 点工，AB在椭圆苦+了=1上， .所以x+4听=4，x号+4呢=4，x2+42=4, 故x2+4g2=(Ac1+2μac2)2+4(A1+2μ2)2 =2(x+41)+42(2+4y6)+4(1r2+412）=4, 设kOA,kOB分别为直线OA,OB的斜率， 由题意知，ae一= 因此xx2+412=0, 所以2+42=1， 所以N点是椭圆+华=1上的点， 4 由)知Q0,又网=5， PQ恰为桶园+号=1的左、右焦点， 由椭圆的定义，NP+NQ=2为定值. 【试题解析】 本题考查椭圆的概念及标准方程，考查抛物线的性质，直线与抛物 线的位置关系，直线与圆锥曲线相交弦长问题，圆锥曲线中的定值 问题，涉及向量的几何应用和坐标运算，属于难题 (四)根据题意得到Q0)，再由直线截y=2r所得的弦长为2v6，,进而 得到p=2V5,即F,0,结合椭圆G的离心率为，求出a=26=1 ,即可得到椭圆C的方程； (2)设T(,),A(x1,1),B(x2,),由O7=AOA+2uOB,得x=Xc1+2μ2 ，y=M+2,再根据点工，AB在椭圆号+=1上，结合直线0A,0B 2 的斜率之积为子，得到P+4=1,进而知N点是椭圆上+仁=1上 的点，利用西-求出P-50,再根据由椭圆的定义，可知 INPI+INQI=2为定值. 2 19.(17分)数列{a}的前n项和记为S,am=5+1. (1)求数列{a}的通项公式： 回设么-，求数列的前n项和工： (3)对于(2)中的数列{b},问是否存在正整数k,使得b1,2b,b 成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的正整数k;若不存在 ，请说明理由， 【参考答案】解：)由-+1，得8--多，① 当m=1时，有a=--号，求得=3， 当≥2时，81=1，② ①-②得：a=8-51=原-多-原1-多--1， 整理得：。=弘1，即2=3， 可知数列{an}是首项为3，公比为3的等比数列， 故an=3×3m-1=3”; (2)由(1)知am=3”, 代入，=lo83a an’ 得，=log4=n an 3m’ 则-专景+++，③ 得红+系++”+ 12. 3n+3m+,④ 国-④得：-专+京+…+京品 11 ,1n =3×1- n12m+3 1■ 1一3 -3n+=22.3+, 所以工-}03-8如+3： ③)由②知=， 假设存在正整数k,使得1,2b,b成等差数列， 得+协=2×0，即+-8，则会-， 设=茶，则+)-树=-2+， 3k+13k 3k+1 当k≥2时，化+)-<0，数列货为递减数列， 又f四-，fe-g<8, 所以对所有正整数，都有)< 故不存在正整数k,使得b1、2b,、b成等差数列. 【试题解析】 本题考查数列递推式，考查错位相减法求和，考查数列的函数特性 ,属于较难题 )由已知得出5.-多，号，令n=1可求出a=3的值，令m≥2，由 5/6 重庆市第十一中学高二数学教师讲义 又-景多可得出81-多1-多，两式作差可推出数列a为等比数 列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列{a}的通项公式； (2)求出b,利用错位相减法可求得Tn; 同由+，=2x2%可得会多，令内-茶，分析数列因}的单调性 ,即可得出结论 6/6 满分：150分《高2027届高二上数学周测试题15》 吕单选题(40分) 1.(5分)若数列-1，a,b,c,-9是等比数列，则实数b的值为 A.-5 B.-3 C.3 D.3或-3 2.(5分)已知等差数列{an},其前n项和为S.,若a2+a+as=3,则 Sy= A.3 B.6 C.9 D.27 3(5分)已知椭圆c:三+是 +京=1a>b>0)的左、右焦点分别为B,乃 ,若椭圆上一点P(x,)到焦点的最大距离为7，最小距离为3， 则椭圆C的离心率为 A.司 B. c D.} 4.(5分)记S为等比数列{a}的前n项和，若S2=4,S4=6,则S= A.7 B.8 C.9 D.10 5.（5分》数列a满足=1+2+3++”，则数列的前n项和 为 A.na B.0 C.n D. 6(5分)设F为双曲线c:票苦=1a>06>0的右焦点，0为坐标原 点，以OF为直径的圆与圆x2+=a2交于P,Q两点.若PQI=1OF ,则C的离心率为 A.2 B.V3 C.2 D.5 7.(5分)“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就， 121 它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图133′1 146,'41 所示的是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵1510'1051 。。。 ,图中虚线上的数1,3,6,10，…构成数列 {an},记a为该数列的第n项，则a3= A.2016 B.4032 C.2020 D.4040 8.(5分)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领 八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人， 每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头 八个兵.”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共 重庆市第十一中学高二数学满分：150分 有 A.8-8)人 B.8-8)人 C.8+87-8)人 D.8+8-8人 吕多选题(18分) 9.(6分)已知数列{a},{bn}均为等比数列，则下列数列中一定是等 比数列的是 A.{an+on} B.{an-on} C.tanbn} D.会 10.(6分)已知数列{an}的前n项和为Sm,且a=1,anan+1=22n-(n∈N) ,则下列说法正确的是 A.数列{an}的奇数项成等比数列 B.数列{an}的偶数项成等差数列 C.S6=63 am+1=2 D. 11.(6分)已知正项数列{an}中，a1=1,a2=2,2a2=品-1+a2+1(n≥2)， on= an+an+i 数列{a}的前n项和为S,数列{bn}的前n项和为Tn, 则 A.a9=5 B.bn V3n +1-V3n-2 C.Ts=3 D.S =n(3n-1) 2 吕填空题(15分) 12.(5分)已知l:(2+m)x+(1-2m)g+4-3m=0(m∈)过定点A,则点A 到直线n:x+y=1的距离是一 13(5分)双曲线C三-若=1a>0b>0的左、右焦点分别为A,万， 以F为直径的圆与C在第一象限相交于点P.若直线PA的斜率为2 ,△PF的面积为8，则双曲线C的方程为一 14.(5分)已知数列{an}的通项公式为an=2n-1,保持数列{an}中各项 先后顺序不变，在ak与a+(k=1,2,…)之间插入2*个1，使它们和原 数列的项构成一个新的数列{亿}，记{bn}的前n项和为Tn,则T的 值为 吕解答题(77分) 1/2 15.(13分)已知数列{a}为公差不为零的等差数列，其前n项和为S ,S=25,且2，a5,a14成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式： (2)若数列{am+b}是公比为2的等比数列，且bg=3,求数列{bn}的 前n项和Tn. 16.(15分)如图，在三棱锥P-ABC中，PAL平面ABC,∠BAC=90 ,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点，AB=AC=1,PA=2.用 空间向量法求解下列问题 B E (1)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值： (2)求点P到平面DEF的距离. 17.(15分)已知数列{an}满足a1=1,an+1= an+1,n为奇数 、an+2,n为偶数 (1)记b,=a2m,写出b1,b,并求数列{bn}的通项公式： (2)求{an}的前20项和. 1817分已知椭圆G:三+号-1a>b>0的左右焦点是，，且G的 离心率为抛物线C:=20>0)的焦点为B,过0B的中点Q垂 直于x轴的直线截C2所得的弦长为26， ()求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C上一动点T满足：OT=OA+2OB,其中A,B是椭圆 C上的点，且直线OA,OB的斜率之积为若NA,四为一动点，点 P满足PQ=F试探究NP+NQ是否为定值，如果是，请求出 该定值；如果不是，请说明理由. 19.17分)数列o}的前n项和记为5，am=号.+1. (1)求数列{a}的通项公式： (②)设=1o,求数列{b}的前n项和1n: an (3)对于(2)中的数列{bn},问是否存在正整数k,使得b1,2b2,b 成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的正整数k；若不存 在，请说明理由. 重庆市第十一中学高二数学满分：150分 2/2