专题02 方程（组）与不等式（组）的应用（专项训练）（安徽专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第二章 方程与不等式 专题02 方程（组）与不等式（组）的应用 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：古代问题 1．（2025·安徽·模拟预测）我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜文，问两种布每尺各多少钱？ 2．（2024·安徽合肥·一模）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观，请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只？ 3．（2025·安徽合肥·三模）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六、问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？ 4．（2025·安徽淮北·三模）我国古代《孙子算经》记载了“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”其意思是“每3人共乘一辆车，恰好空余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”求人和车的数量． 5．（2025·安徽芜湖·一模）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两，今有干丝一十四斤，问生丝几何？”，其大意是：今有生丝斤，干燥后损耗斤两（我国古代斤等于两），今有干丝斤，问原有生丝多少斤？ 解｜题｜技｜巧 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 考点二：和差倍分问题 1．（2025·安徽·模拟预测）刘畅同学去参加数学竞赛，共有20道题，做对一道得5分，做错一道题倒扣2分，刘畅同学做完了全部20道题，结果刘畅同学考了72分，问他做对了几道题？ 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）树上和地上有若干只鸽子．如果地上鸽子飞上树4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的3倍；如果树上鸽子下地4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的2倍．问树上、地上原来各有多少只鸽子？ 3．（2025·安徽滁州·一模）为助力乡村振兴，某村计划对村集体80公顷林地的种植项目进行调整，将其中15%的林地种植茶叶，其余的林地种植油桃和香梨．已知油桃的种植面积比香梨的3倍少4公顷，问油桃和香梨的种植面积各多少公顷？ 4．（2025·安徽·模拟预测）春晚吉祥物“龙辰辰”发布后，某超市及时订购了甲、乙两种“龙辰辰”布偶．每个甲种布偶的售价比乙种布偶贵10元，小明买2个甲种布偶和3个乙种布偶共花了270元．则甲、乙两种布偶每个的售价分别为多少元？ 5．（2025·安徽马鞍山·三模）某运输队接到运送物资的任务，该运输队有A，B两种型号卡车，已知每辆卡车每天可运送物资的次数为：A型卡车10次，B型卡车8次．且1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨．每辆A，B型卡车每次可运送物资各多少吨？ 解｜题｜技｜巧 （1）先审题，确定基本量、基本数量关系：增长量=原有量×增长率，现有量=原有量+增长量，现有量=原有量-降低量. （2）设出未知数，列出方程，并解方程。 考点三：利润问题 1．（2025·安徽·模拟预测）某体育馆计划同时购买一批篮球和排球，已知篮球进价元/个，排球进价元/个．该体育馆计划购买篮球和排球共个，购买经费不少于元且不超过元，该体育馆有哪几种进货方案？ 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）《哪吒之魔童闹海》以势如破竹的姿态刷新全球票房纪录，哪吒玩具成为儿童的最爱欣欣商场进了、两款哪吒玩具进行销售，进价和售价如下表： 价格 类别 款玩具 款玩具 进价（元/个） 售价（元/个） (1)第一次欣欣商场用元购进、两款玩具共个进行试销，求两款玩具分别购进多少个？ (2)第一次购进的玩具非常受儿童喜爱，商场决定再购进这两款玩具共个若设购进款玩具个，第二次购进的这批玩具全部售完所获得的利润为元， 写出关于的函数解析式；（不必写出的取值范围）； 若款玩具进货数量不超过款玩具进货数量的，则欣欣商场有多少种进货方案？（两种玩具都要购进） 在条件下，怎样进货时这批玩具利润最大，最大利润是多少？ 3．（2025·安徽宿州·模拟预测）国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买）．已知购买2本笔记本和3支碳素笔共需19元；购买6本笔记本和1支碳素笔共需33元．求每本笔记本和每支碳素笔的价格． 4．（2025·安徽马鞍山·三模）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．某茶馆的店主计划购买三种不同类型的茶叶来丰富茶馆的饮品选择，其中包括龙井茶、普洱茶和茉莉花茶．龙井茶的采购价为每千克700元，普洱茶的采购价为每千克300元，茉莉花茶的采购价为每千克200元．店主计划采购这三种茶叶总共50千克，以满足不同顾客的口味需求． (1)设采购龙井茶千克、普洱茶千克，请用含，的代数式填表： 质量/千克 采购总价/元 龙井茶 普洱茶 茉莉花茶 _____ _____ (2)若店主总共花了15000元，其中采购的普洱茶的质量比龙井茶的2倍多1千克，求店主采购的龙井茶、普洱茶以及茉莉花茶各有多少千克． 5．（2025·安徽宿州·模拟预测）随着人们环保观念的不断加深，“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，选择自行车出行已是如今社会的一种潮流形式．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1700元，销售2台甲型自行车和1台乙型自行车，可获利1000元，该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ 解｜题｜技｜巧 （1）在做利润问题时，先明确与利润有关的关系式，利润=售价一成本,利润率=利润÷成本(进价)×100%； （2）在利用一元二次方程解决利润问题时，要掌握总利润=一件商品的利润×销售量；设出未知数后分别用未知数表示出一件商品的利润和销售量，列出方程。 考点四：增长率问题 1．（2025·安徽芜湖·三模）某品牌电动汽车的价格逐年下降，2024年下降的百分数是2023年的2倍，具体单价见下表所列．设2023年降价的百分数为． 年份 单价／万元 2022年 2023年 2024年 (1)用含的代数式表示2023年该电动汽车的价格； (2)求2024年该电动汽车降价的百分数． 2．（2025·安徽合肥·三模）在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年型汽车年销售总量增加了，年销售单价下降了． (1)设2023年销售型汽车总量为万辆，销售单价为万元，请用代数式填表： 年份 年销售型汽车总量/万辆 年销售型汽车单价/万元 年销售型汽车总额/亿元 2023 ____________ 2025 ____________ (2)该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率． 3．（2025·安徽滁州·二模）“道路千万条，安全第一条”，公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规；某安全头盔经销商统计了某品牌头盔6月份到8月份的销量，该品牌头盔6月份销售500个，8月份销售845个，且从6月份到8月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 4．（2025·安徽合肥·二模）某新能源汽车制造厂第二季度的产量（单位：辆）比第一季度增加．第三季度的产量比第二季度减少，设该新能源汽车制造厂第一季度的产量为． (1)请用含的代数式填写下表（填化简之后的结果）： 季度 一 二 三 产量/辆 (2)求该新能源汽车制造厂第二、三季度产量的平均增长率． 5．（2025·安徽滁州·一模）因生产技术落后等因素，某工厂2024年的利润比2023年减少． (1)设该工厂2023年的利润为万元，则该工厂2024年的利润为________万元（用含的代数式表示）； (2)该工厂2025年年初开展了技术革新，计划2025年的利润比2024年增长．求该工厂按计划完成任务后，2023年到2025年这两年年利润的平均增长率． 解｜题｜技｜巧 （1）公式： （2）表示变化前的量；表示连续增长或减少的次数；表示增长后的量。 （3）审题时，先分别明确增长前后的量以及连续增长的次数，设出未知数，代入公式，列出方程。 考点五：材料阅读与新定义 1．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）小明运用所学的一元二次方程的根与系数的关系，对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征进行了探究.定义： 倍根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个相等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； (2)根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）若关于x的一元二次方程的两个实数根为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称为该一元二次方程的衍生点． (1)方程的衍生点坐标为______． (2)若关于x的一元二次方程的衍生点坐标为，求b和c的值． (3)若关于x的一元二次方程的衍生点为M，且点M在直线上，求m的值． 3．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两个根的3倍． 解：设所求方程的根为，则， 把代入，得，化简得， 这种利用方程的代换求新方程的方法称为“换元法”．请按照这种方法解决下列问题． (1)已知方程的两个根分别为和，求一个关于的方程，使得它的两个根分别为：，，则所求方程为___________（要求写成二次项系数为1，且为一般形式）． (2)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根与已知方程的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和 ，求关于的一元二次方程的两个实数根． 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）综合与实践 【学习研究】 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可以表示为四个矩形与一个边长为的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程，因为表示边长，所以，即． 遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【类比迁移】 （1）小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为（______）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在图2中标出各边长） 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程为______； 【拓展应用】 （2）一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，求该方程的一个正根． 5．（25-26九年级上·安徽六安·月考）【阅读理解】 我们将函数的自变量的值与函数值相等时的函数值，称为函数的和谐值，此时的点称为函数的和谐点．例如，对于函数，当时，可得，我们就说1是函数的和谐值，点是函数的和谐点． 【问题解决】 (1)已知函数，则它的和谐点坐标为______； (2)若二次函数只有一个和谐点，求实数的值； (3)已知二次函数的两个和谐点都是整数点，求整数的值． 考点六：图形类规律探究 1．（2025·安徽·中考真题）综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 2．（2025·安徽合肥·三模）小乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和黑色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题： (1)图1中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多1个； 图2中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多2个； 图3中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多3个； …… 图n中黑色正方形有：__________，白色正方形有__________个． (2)若图n中黑色正方形比等边三角形多45个，求图n中白色正方形的个数． 3．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，下列图形由边长为1的小正方形按照规律排列而成，观察图形，解答下列问题： (1)完成下表： 图形的名称 小正方形的个数 图形的周长 图① 2 8 图② 5 12 图③ 9 图④ 20 … … … (2)推断第n个图形中，正方形的个数为______，周长为______； (3)求第几个图形中正方形的个数为90，并求出此图形的周长． 4．（2025·安徽淮北·三模）把三角形与正方形按如图所示的规律拼图案，回答下列问题． (1)图案①中共有个“△”，图案②中共有个“△”，图案③中共有个“△”若按此规律拼图案，则图案⑨中共有 个“△”． (2)第n个图案中“△”的个数为 （请用含n的式子表示）． (3)结合图案中“△”的排列方式及规律；求正整数n，使得的和是第n个图案中“△”的个数的2倍多4． 5．（2025·安徽宣城·二模）阅读材料，解决下列问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第行有个点，…． (1)探索：三角点阵中前6行的点数之和为______，前9行的点数之和为______； (2)总结：前行的点数之和为______（用含的式子表示，为正整数）； (3)运用：某商场举办促销活动，计划用气球装饰中庭，其中一种装饰方案需要悬挂650个气球．按照第一串挂2个，第二串挂4个，第三串挂6个，…，第串挂2n个的规律排列，求这种装饰方案一共需要悬挂多少串气球？ 1．（2025·安徽·模拟预测）2024年底，蚌埠市交通运输局发布消息：G36宁洛高速公路明光至蚌埠段改扩建工程已顺利通过交工验收．全线采用双向八车道高速公路标准改扩建．目前已交付使用，大大缓解了G36宁洛高速安徽段的交通压力．施工中，对路面沥青的要求极高．某天，化验室要检测4桶沥青，共重55千克．如果第一桶减少3千克，第二桶增加2千克，第三桶减少一半，第四桶增加一倍，那么4桶沥青重量相等．问原来每桶沥青各有多少千克？ 2．（2025·安徽滁州·三模）安徽黄山脚下某村落，在乡村旅游发展热潮下，一些返乡大学生开发了两种特色旅游体验项目：黄山茶手工炒制体验和徽派建筑模型制作体验．参与这两种项目每小时所需工作人员数量和成本投入如下表： 体验项目 每小时所需工作人员数量 每小时所需成本投入（元） 黄山茶手工炒制体验 5 200 徽派建筑模型制作体验 4 250 已知某一天参与项目的工作人员共34位，且每人只参与一个项目的工作，当天成本投入共1900元，问黄山茶手工炒制体验和徽派建筑模型制作体验这两个项目当天各开展了多少小时? 3．（2025·安徽六安·三模）某数学兴趣小组运用数形结合的思想研究出结论：他们继续研究下列用白色圆点和黑色圆点组成的图案中两种圆点的个数问题． 将以上图案中两种圆点的个数统计如下表： 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 第5个图案 …… 黑色圆点的个数 … 白色圆点的个数 … 根据以上信息，完成下列问题： (1)第6个图案中，白色圆点的个数为________，黑色圆点的个数为________． (2)请用含n的式子填空：第n个图案中，白色圆点的个数为________，黑色圆点的个数为________． (3)第几个图案中白色圆点的个数与黑色圆点的个数之比为6∶5？ 4．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 5．（2025·安徽安庆·三模）根据下列材料解答相应问题： 材料1 A，C两地的铁路途经B地，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中动车列车从A站始发，经停B站后到达C站，高铁列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变． 材料2 列车运行时刻表 车次 A站 B站 C站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 动车列车 8：00 9：00 9：10 10：50 高铁动车 8：30 途经B站，不停车 10：30 材料3 A，C两地的铁路是双轨，两辆列车可在某些时段同向而行． 问题1 动车列车从A站到B站行驶了______，从B站到C站行驶了______； 问题2 设动车列车的行驶速度为 ，高铁列车的行驶速度为 ，若，则______． 问题3 高铁列车在什么时刻追上动车列车？ 6．（2025·安徽合肥·二模）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）在第1排中，第1个图案中“矩形”的个数可表示为1，第2个图案中“矩形”的个数可表示为，第3个图案中“矩形”的个数可表示为，第4个图案中“矩形”的个数可表示为，第个图案中“矩形”的个数可表示为___________； （2）在第2排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为___________ （3）在第排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为___________ 【规律应用】 （4）当时，结合图案中“矩形”的排列方式及上述规律，是否存在正整数，使得第排第个图案中“矩形”的个数为225？ 7．（2025·安徽安庆·模拟预测）图案设计 活动1：在数学活动课上小明提出利用边长相等的等边三角形和正方形设计出一些图形如图①． 观察上面的图形，填写表格： 正方形个数 1 2 3 4 5 … 三角形个数 4 7 10 13 … 活动2：同学们观察小明的图形后，发现小明的设计有些参差不齐，于是他们动手设计图形，小芳利用等边三角形和正方形设计出自己称心的图形如图②． 小芳为了探究自己设计的图形中正方形和等边三角形个数的关系，也设计如下表格： 正方形个数 4 6 8 10 … 三角形个数 2 4 6 8 … 问题解决：根据以上活动完成下列问题： (1)_____，_____（用含的代数式表示）； (2)直接写出关于（为正整数）的函数关系式； (3)若小明的某个图形比小芳的某个图形的等边三角形多23个，正方形的个数和为100个，求，的值． 1．（2025·湖北·中考真题）某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克． (1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ (2)妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果千克． ①若这两种水果按标价出售，求的取值范围； ②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的出售．）若小明合计付款48元，求的值． 2．（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题． 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数． 分析探究 问题1  小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ； 当且时， ② ． 综上所述，命题成立． 拓展迁移 问题2  若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程与不等式 专题02 方程（组）与不等式（组）的应用 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：古代问题 1．（2025·安徽·模拟预测）我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜文，问两种布每尺各多少钱？ 【答案】每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文，根据一匹7尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，可以列方程，根据每尺罗布比绫布便宜文，可列方程，解方程组即可求出两种布每尺各多少钱． 【详解】解：设每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文， 根据题意得：， 解得：， 答：每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文. 2．（2024·安徽合肥·一模）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观，请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只？ 【答案】大船有3只，小船有5只 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设大船有只，则小船有只，根据38人刚好坐满8只船，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出大船的只数，再将其代入中，即可求出小船的只数． 【详解】解：设大船有只，则小船有只， 根据题意得：， 解得：， （只）， 答：大船有3只，小船有5只． 3．（2025·安徽合肥·三模）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六、问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？ 【答案】人数为人，买鸡的钱为钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找等量关系是解题的关键．设人数为，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设人数为，根据题意得， 解得：， ∴买鸡的钱数为：， 答：人数为人，买鸡的钱为钱． 4．（2025·安徽淮北·三模）我国古代《孙子算经》记载了“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”其意思是“每3人共乘一辆车，恰好空余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”求人和车的数量． 【答案】有39人，15辆车 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设有x个人，根据每3人共乘一辆车，恰好空余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，再建立方程求解即可． 【详解】解：设有x个人，则根据题意列方程，得， 解得． 车的数量为． 答：有39人，15辆车． 5．（2025·安徽芜湖·一模）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两，今有干丝一十四斤，问生丝几何？”，其大意是：今有生丝斤，干燥后损耗斤两（我国古代斤等于两），今有干丝斤，问原有生丝多少斤？ 【答案】原有生丝斤 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题关键． 设原有生丝斤，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设原有生丝斤，依题意，得： ，解得， 答：原有生丝斤． 解｜题｜技｜巧 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 考点二：和差倍分问题 1．（2025·安徽·模拟预测）刘畅同学去参加数学竞赛，共有20道题，做对一道得5分，做错一道题倒扣2分，刘畅同学做完了全部20道题，结果刘畅同学考了72分，问他做对了几道题？ 【答案】16道 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组求解是解题关键． 设刘畅同学做对了x道题，做错了y道题，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设刘畅同学做对了x道题，做错了y道题， ， 解得， 答：刘畅同学做对了16道题． 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）树上和地上有若干只鸽子．如果地上鸽子飞上树4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的3倍；如果树上鸽子下地4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的2倍．问树上、地上原来各有多少只鸽子？ 【答案】树上原有68只鸽子，地上原有28只鸽子 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题．设树上原有x只鸽子，地上原有y只鸽子，根据“如果地上鸽子飞上树4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的3倍；如果树上鸽子下地4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的2倍”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设树上原有x只鸽子，地上原有y只鸽子．根据题意，得 ， 解得． 答：树上原有68只鸽子，地上原有28只鸽子． 3．（2025·安徽滁州·一模）为助力乡村振兴，某村计划对村集体80公顷林地的种植项目进行调整，将其中15%的林地种植茶叶，其余的林地种植油桃和香梨．已知油桃的种植面积比香梨的3倍少4公顷，问油桃和香梨的种植面积各多少公顷？ 【答案】油桃的种植面积为50公顷，香梨的种植面积为18公顷 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设香梨的种植面积为公顷，则油桃的种植面积为公顷，根据题意列出方程，解出的值即可解答． 【详解】解：设香梨的种植面积为公顷，则油桃的种植面积为公顷， 由题意得，， 解得：， 则， 答：油桃的种植面积为50公顷，香梨的种植面积为18公顷． 4．（2025·安徽·模拟预测）春晚吉祥物“龙辰辰”发布后，某超市及时订购了甲、乙两种“龙辰辰”布偶．每个甲种布偶的售价比乙种布偶贵10元，小明买2个甲种布偶和3个乙种布偶共花了270元．则甲、乙两种布偶每个的售价分别为多少元？ 【答案】每个甲种布偶的售价为60元，每个乙种布偶的售价为50元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每个甲种布偶的售价为元，每个乙种布偶的售价为元，根据每个甲种布偶的售价比乙种布偶贵10元，小明买2个甲种布偶和3个乙种布偶共花了270元建立方程组求解即可． 【详解】解：设每个甲种布偶的售价为元，每个乙种布偶的售价为元， 根据题意得， 解得． 答：每个甲种布偶的售价为60元，每个乙种布偶的售价为50元．    5．（2025·安徽马鞍山·三模）某运输队接到运送物资的任务，该运输队有A，B两种型号卡车，已知每辆卡车每天可运送物资的次数为：A型卡车10次，B型卡车8次．且1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨．每辆A，B型卡车每次可运送物资各多少吨？ 【答案】每辆A型卡车每次可运送物资6吨，每辆B型卡车每次可运送物资8吨 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每辆A型卡车每次可运送物资x吨，每辆B型卡车每次可运送物资y吨，根据1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每辆A型卡车每次可运送物资x吨，每辆B型卡车每次可运送物资y吨， 依题意得：， 解得：， 答：每辆A型卡车每次可运送物资6吨，每辆B型卡车每次可运送物资8吨． 解｜题｜技｜巧 （1）先审题，确定基本量、基本数量关系：增长量=原有量×增长率，现有量=原有量+增长量，现有量=原有量-降低量. （2）设出未知数，列出方程，并解方程。 考点三：利润问题 1．（2025·安徽·模拟预测）某体育馆计划同时购买一批篮球和排球，已知篮球进价元/个，排球进价元/个．该体育馆计划购买篮球和排球共个，购买经费不少于元且不超过元，该体育馆有哪几种进货方案？ 【答案】有三种进货方案：篮球个，排球个；篮球个，排球个；篮球个，排球个 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，找到不等关系列出不等式是解决问题的关键．设购买篮球x个，排球个，根据购买经费不少于元且不超过元列出不等式组，求其整数解即可． 【详解】解：设购买篮球x个，排球个， ， 解得， 取整数解， ， 当时，个， 当时，个， 当时，个， 故有三种进货方案：篮球个，排球个；篮球个，排球个；篮球个，排球个． 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）《哪吒之魔童闹海》以势如破竹的姿态刷新全球票房纪录，哪吒玩具成为儿童的最爱欣欣商场进了、两款哪吒玩具进行销售，进价和售价如下表： 价格 类别 款玩具 款玩具 进价（元/个） 售价（元/个） (1)第一次欣欣商场用元购进、两款玩具共个进行试销，求两款玩具分别购进多少个？ (2)第一次购进的玩具非常受儿童喜爱，商场决定再购进这两款玩具共个若设购进款玩具个，第二次购进的这批玩具全部售完所获得的利润为元， 写出关于的函数解析式；（不必写出的取值范围）； 若款玩具进货数量不超过款玩具进货数量的，则欣欣商场有多少种进货方案？（两种玩具都要购进） 在条件下，怎样进货时这批玩具利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)购进款玩具个，购进款玩具个 (2) ； 欣欣商场有种进货方案 第二次购进款玩具个、款玩具个时这批玩具利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键 （1）分别设购进这两款玩具的个数为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）①根据所获利的利润款玩具的利润款玩具的利润计算即可； 根据题意列关于的一元一次不等式并求其解集，符合条件的的取值有几个就有几种进货方案； 根据一次函数的增减性和的取值范围，确定当取何值时值最大，求出其最大值及此时的值即可． 【详解】（1）解：设购进款玩具个，购进款玩具个． 根据题意，得， 解得． 答：购进款玩具个，购进款玩具个． （2）解：①第二次购进款玩具个， 则， 关于的函数解析式为． 根据题意，得， 解得， 且为整数， 符合条件的的取值的个数为， 欣欣商场有种进货方案． ， 随的增大而增大， 且为整数， 当时值最大，最大， 个. 答：第二次购进款玩具个、款玩具个时这批玩具利润最大，最大利润是元． 3．（2025·安徽宿州·模拟预测）国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买）．已知购买2本笔记本和3支碳素笔共需19元；购买6本笔记本和1支碳素笔共需33元．求每本笔记本和每支碳素笔的价格． 【答案】每本笔记本的价格为5元，每支碳素笔的价格为3元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程组是解题的关键．设每本笔记本的价格为元，每支碳素笔的价格为元，根据题意列出方程组，求出的值即可解答． 【详解】解：设每本笔记本的价格为元，每支碳素笔的价格为元， 由题意得，， 解得：， 答：每本笔记本的价格为5元，每支碳素笔的价格为3元． 4．（2025·安徽马鞍山·三模）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．某茶馆的店主计划购买三种不同类型的茶叶来丰富茶馆的饮品选择，其中包括龙井茶、普洱茶和茉莉花茶．龙井茶的采购价为每千克700元，普洱茶的采购价为每千克300元，茉莉花茶的采购价为每千克200元．店主计划采购这三种茶叶总共50千克，以满足不同顾客的口味需求． (1)设采购龙井茶千克、普洱茶千克，请用含，的代数式填表： 质量/千克 采购总价/元 龙井茶 普洱茶 茉莉花茶 _____ _____ (2)若店主总共花了15000元，其中采购的普洱茶的质量比龙井茶的2倍多1千克，求店主采购的龙井茶、普洱茶以及茉莉花茶各有多少千克． 【答案】(1)填表见解析 (2)店主采购的龙井茶有7千克，普洱茶有15千克，茉莉花茶有28千克 【分析】本题考查列代数式、二元一次方程组解应用题，设采购龙井茶千克、普洱茶千克，根据茶叶总量、茶叶单价即可列出代数式，再由等量关系列方程组求解即可得到答案．读懂题意，理解相关关系是解决问题的关键． （1）由题意，直接列表达式即可得到答案； （2）由（1）中表格数据，列二元一次方程组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：店主计划采购这三种茶叶总共50千克， 茉莉花茶质量为千克， 茉莉花茶的采购价为每千克200元， 茉莉花茶采购总价为元， 填表如下： 质量/千克 采购总价/元 龙井茶 普洱茶 茉莉花茶 （2）解：由（1）知，设采购龙井茶千克、普洱茶千克、茉莉花茶千克， 龙井茶的采购价为每千克700元，普洱茶的采购价为每千克300元，茉莉花茶的采购价为每千克200元，店主总共花了15000元购茶， ， 等式两边同时除以得， 等式两边同时除以得， 采购的普洱茶的质量比龙井茶的2倍多1千克， ， 由题意得， ，解得， 即龙井茶有7千克，普洱茶有15千克， 茉莉花茶为． 答：店主采购的龙井茶有7千克，普洱茶有15千克，茉莉花茶有28千克． 5．（2025·安徽宿州·模拟预测）随着人们环保观念的不断加深，“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，选择自行车出行已是如今社会的一种潮流形式．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1700元，销售2台甲型自行车和1台乙型自行车，可获利1000元，该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ 【答案】销售一台甲型自行车的利润是300元，一台乙型自行车的利润是400元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设该公司销售一台甲型自行车的利润是x元，一台乙型自行车的利润是y元，根据“销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1700元，销售2台甲型自行车和1台乙型自行车，可获利1000元”列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设该公司销售一台甲型自行车的利润是x元，一台乙型自行车的利润是y元， 由题意得 解得 答：该公司销售一台甲型自行车的利润是300元，一台乙型自行车的利润是400元． 解｜题｜技｜巧 （1）在做利润问题时，先明确与利润有关的关系式，利润=售价一成本,利润率=利润÷成本(进价)×100%； （2）在利用一元二次方程解决利润问题时，要掌握总利润=一件商品的利润×销售量；设出未知数后分别用未知数表示出一件商品的利润和销售量，列出方程。 考点四：增长率问题 1．（2025·安徽芜湖·三模）某品牌电动汽车的价格逐年下降，2024年下降的百分数是2023年的2倍，具体单价见下表所列．设2023年降价的百分数为． 年份 单价／万元 2022年 2023年 2024年 (1)用含的代数式表示2023年该电动汽车的价格； (2)求2024年该电动汽车降价的百分数． 【答案】(1)2023年该电动汽车的价格为万元 (2)2024年降价的百分数为 【分析】本题考查了列代数式以及利用一元二次方程解决价格变化问题，解题关键是依据降价后的价格与原价、降价百分数的关系列出方程并正确求解。 （1）根据降价后价格、原价和降价百分数的关系，用含的式子表示2023年价格。 （2）先根据2023年降价百分数表示出2024年降价百分数，再依据2022到 2024年价格变化列出方程，求解方程并根据实际情况舍去不合理的值，从而得到2024年降价百分数。 【详解】（1）解：由题意得，2023年该电动汽车的价格为万元； （2）年降价的百分数为， ∴2024年降价的百分数为 由题意得，， 解得或（不合题意，舍去）． 即2024年降价的百分数为． 2．（2025·安徽合肥·三模）在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年型汽车年销售总量增加了，年销售单价下降了． (1)设2023年销售型汽车总量为万辆，销售单价为万元，请用代数式填表： 年份 年销售型汽车总量/万辆 年销售型汽车单价/万元 年销售型汽车总额/亿元 2023 ____________ 2025 ____________ (2)该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率． 【答案】(1) (2)该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为 【分析】本题考查了代数式的应用，一元二次方程的应用，根据题意正确列出代数式和方程是解题的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）设该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为，根据题意，得，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得，2023年销售型汽车总额为亿元， 2025年销售型汽车总额为亿元， 故答案为：； （2）解：设该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为． 3．（2025·安徽滁州·二模）“道路千万条，安全第一条”，公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规；某安全头盔经销商统计了某品牌头盔6月份到8月份的销量，该品牌头盔6月份销售500个，8月份销售845个，且从6月份到8月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该品牌头盔销售量的月增长率为x，利用该品牌头盔8月份的销售量=该品牌头盔6月份的销售量（1+该品牌头盔销售量的月增长率），可列出关于x的一元二次方程，求解出增长率，即可得出结论． 【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 4．（2025·安徽合肥·二模）某新能源汽车制造厂第二季度的产量（单位：辆）比第一季度增加．第三季度的产量比第二季度减少，设该新能源汽车制造厂第一季度的产量为． (1)请用含的代数式填写下表（填化简之后的结果）： 季度 一 二 三 产量/辆 (2)求该新能源汽车制造厂第二、三季度产量的平均增长率． 【答案】(1)填表见解析 (2)该新能源汽车制造厂第二、三季度产量的平均增长率为 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）根据第二季度的产量（单位：辆）比第一季度增加．第三季度的产量比第二季度减少，列出代数式即可； （2）设该新能源汽车制造厂第二、三季度产量的平均增长率为，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，第二季度的产量为：； 第三季度的产量为：； 填表如下： 季度 一 二 三 产量/辆 （2）设该新能源汽车制造厂第二、三季度产量的平均增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该新能源汽车制造厂第二、三季度产量的平均增长率为． 5．（2025·安徽滁州·一模）因生产技术落后等因素，某工厂2024年的利润比2023年减少． (1)设该工厂2023年的利润为万元，则该工厂2024年的利润为________万元（用含的代数式表示）； (2)该工厂2025年年初开展了技术革新，计划2025年的利润比2024年增长．求该工厂按计划完成任务后，2023年到2025年这两年年利润的平均增长率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列代数式和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．． （1）根据题意列出代数式即可； （2）设这两年的年利润平均增长率为x，根据2023年初及2025年初的利润，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】（1）解：根据题意得，， 故答案为：； （2）解：设2023年到2025年这两年年利润的平均增长率为，由题意得 假设2023年年利润为万元， ，         解得，（舍去）， 答：该工厂2023年到2025年这两年年利润的平均增长率为． 解｜题｜技｜巧 （1）公式： （2）表示变化前的量；表示连续增长或减少的次数；表示增长后的量。 （3）审题时，先分别明确增长前后的量以及连续增长的次数，设出未知数，代入公式，列出方程。 考点五：材料阅读与新定义 1．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）小明运用所学的一元二次方程的根与系数的关系，对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征进行了探究.定义： 倍根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个相等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； (2)根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 【答案】(1) (2)这个方程的根是是2和4，或和 【分析】本题主要考查了阅读理解类题目，一元二次方程根与系数的关系的应用． （1）设方程的两个根是，根据定义可设，再根据根与系数的关系求出答案； （2）设方程的两个根是，根据题意可知或，列出方程求出解即可． 【详解】（1）设方程的两个根为， 一元二次方程是“倍根方程”， 不妨设， ， ， ，， ； （2）设一元二次方程的两个实数根分别为、， 这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”， 不妨设， ①当时，即，解得或（舍去）， ， ②当时，即， 解得或（舍去）， 这个方程的根是2和4，或和． 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）若关于x的一元二次方程的两个实数根为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称为该一元二次方程的衍生点． (1)方程的衍生点坐标为______． (2)若关于x的一元二次方程的衍生点坐标为，求b和c的值． (3)若关于x的一元二次方程的衍生点为M，且点M在直线上，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程、根的判别式以及根与系数的关系，解题关键是理解题意并正确计算． （1）根据题意解出方程的两个根，再根据衍生点的定义即可求出M点坐标． （2）根据衍生点的定义可得到方程的两根，再根据一元二次方程根与系数的关系，解答即可； （3）根据点M在直线上，可得，再利用根的判别式即可解出答案． 【详解】（1）解：， 解得：， ∴方程的衍生点坐标为． 故答案为： （2）解：∵方程的衍生点坐标为， ∴方程的两根为． ∴，， ∴； （3）解：∵方程的衍生点为M，且点M在直线上， ∴，即该方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 3．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两个根的3倍． 解：设所求方程的根为，则， 把代入，得，化简得， 这种利用方程的代换求新方程的方法称为“换元法”．请按照这种方法解决下列问题． (1)已知方程的两个根分别为和，求一个关于的方程，使得它的两个根分别为：，，则所求方程为___________（要求写成二次项系数为1，且为一般形式）． (2)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根与已知方程的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和 ，求关于的一元二次方程的两个实数根． 【答案】(1) (2)所求方程为 (3)关于的一元二次方程的两个实数根为 【分析】本题主要考查了定义新运算，一元二次方程的计算，理解定义新运算的概念及计算，掌握解一元二次方程的方法是关键． （1）根据题意得到，结合题意的计算即可求解； （2）令方程的根为，设所求方程的根为，结合题意的计算即可求解； （3）根据题意变形得到关于的一元二次方程为，结合题意的计算即可求解． 【详解】（1）解：关于的方程，两个根分别为：，， ∴， 关于的方程的两个根分别为和， ∴， 解得，， ∴所求方程为， 故答案为：； （2）解：令方程的根为，设所求方程的根为， ∴，则， ∴， 整理得，，即， ∴所求方程为； （3）解：关于的一元二次方程变形得， ， 由（2）可知，关于的一元二次方程与关于的一元二次方程的两根互为倒数， ∴与互为倒数或与互为倒数， ∴或， 解得，或， ∴关于的一元二次方程的两个实数根为． 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）综合与实践 【学习研究】 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可以表示为四个矩形与一个边长为的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程，因为表示边长，所以，即． 遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【类比迁移】 （1）小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为（______）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在图2中标出各边长） 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程为______； 【拓展应用】 （2）一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，求该方程的一个正根． 【答案】（1）；在图中标出各边长见解析； ； （2）该方程的一个正根为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，矩形的性质，读懂题意、理解材料中的方法，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）依据题干方法得到，再在图中标出各边长，分别表示出图中大正方形的面积可表示为，图中四个矩形与中间小正方形面积之和，列方程即可； （2）先因式分解变形得，再分别表示出图中大正方形的面积，图中四个矩形与中间小正方形面积之和， 再根据题干条件分析，，由a为正数，即可求解． 【详解】解：（1）， ， 将原方程变形为， 在图中标出各边长如下： 则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即， 因此，可得新的方程为：， 故答案为：； ； （2）， ， 四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， 图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为， ，， 解得， ∵， ∴， 则， ，即，方程的一个正根为； 综上所述，该方程的一个正根为． 5．（25-26九年级上·安徽六安·月考）【阅读理解】 我们将函数的自变量的值与函数值相等时的函数值，称为函数的和谐值，此时的点称为函数的和谐点．例如，对于函数，当时，可得，我们就说1是函数的和谐值，点是函数的和谐点． 【问题解决】 (1)已知函数，则它的和谐点坐标为______； (2)若二次函数只有一个和谐点，求实数的值； (3)已知二次函数的两个和谐点都是整数点，求整数的值． 【答案】(1)、 (2)1 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的求解，一元二次方程根的判别式以及根和系数的关系，熟练掌握一元二次方程的求解方式为解题关键． （1）令，得到一元二次方程，利用因式分解的方法求解即可； （2）令，则可得方程，化为一般形式，根据题意可知判别式等于零，求解即可； （3）令，则可得方程，利用根和系数的关系，得到，，再结合、为整数，得出，将的值代入方程求解，确定满足题意的值即可． 【详解】（1）解：根据题意，当时，， 整理得：， ， ，， 则它的和谐点坐标为，； （2）解：∵二次函数， 令，则可得方程， 移项化为一元二次方程的一般形式：， 二次函数只有一个和谐点， ∴一元二次方程有且只有一个解， 即判别式 解得， ∴实数m的值为1； （3）解：对于二次函数， 令，则可得方程， 移项化为一元二次方程的一般形式：， 设该方程的两个根为、， 则，， 、为整数， 和也为整数， 和是整数，即是2的因数也是3的因数， ， 当时，方程为， 解得：，不是正数，不符合题意； 当时，方程为， 解得：，，是整数，符合题意； 综上可知，整数的值为． 考点六：图形类规律探究 1．（2025·安徽·中考真题）综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 【答案】；；； ； ； 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，通过观察图4所示的拼接单元，数出增加的正六边形和正三角形的数量，再根据边长计算出长度的增加量，进而得出y个拼接单元拼成一行的长度．涉及根据给定的拼接条件进行不等式计算，以确定拼接单元数量、组件数量， 进而计算每行成本和总成本．方案二的计算方法与方案一类似． 【详解】解：项目主题： 观察图4可知，每增加一个图4所示的拼接单元，增加1个正六边形和6个正三角 形； 由正六边形和正三角形组件的边长均为，观察图4可得 增加的长度为3个边长，即 计算 y个拼接单元拼成一行的长度第一个拼接单元有一个正六边形左边的，每增加一个拼接单元长度增加，所以y个这样的拼接单元拼成一行的长度为 项目分析： 计算方案二每行可拼接的单元数量令， 移项可得，即， 两边同时除以，解得， 每行可以先拼块拼接单元． 计算方案二每行所需的正六边形和正三角形组件数量 拼块拼接单元， 共用去个正六边形和个正三角形组件． 由知，所拼长度为， 剩余，无法再摆放组件． 由知，方案二每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行， 则， 两边同时除以，， 故需铺17行． 计算方案二的总成本． 方案二所需的总成本为元． 项目实施： 两种方案比较可知：． 选方案二完成实践活动． 故答案为：；；； ； ； ． 2．（2025·安徽合肥·三模）小乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和黑色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题： (1)图1中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多1个； 图2中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多2个； 图3中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多3个； …… 图n中黑色正方形有：__________，白色正方形有__________个． (2)若图n中黑色正方形比等边三角形多45个，求图n中白色正方形的个数． 【答案】(1)， (2)66 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上知识点． （1）求出前面几个图形中黑色正方形和白色正方形的个数，进而得到规律求解即可； （2）根据前面所得规律可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题干得，图n的黑色正方形有，白色正方形比黑色正方形多n个 ∴图n 的白色正方形有个； （2）解：图1中，等边三角形的个数为2个； 图2中，等边三角形的个数为3个： 图3 中，等边三角形的个数为4个； 图4中，等边三角形的个数为5个； ……， 以此类推可知，图n 中等边三角形的个数为个， ∵图n 中黑色正方形的个数比等边三角形的个数多45个， ∴， 解得或（舍去）， 当时，， ∴图n 中白色正方形的个数为66个． 3．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，下列图形由边长为1的小正方形按照规律排列而成，观察图形，解答下列问题： (1)完成下表： 图形的名称 小正方形的个数 图形的周长 图① 2 8 图② 5 12 图③ 9 图④ 20 … … … (2)推断第n个图形中，正方形的个数为______，周长为______； (3)求第几个图形中正方形的个数为90，并求出此图形的周长． 【答案】(1)16，14； (2)，； (3)第12个图形中正方形的个数为90，此时的周长为． 【分析】本题主要考查图形规律的观察和数学归纳法的应用，一元二次方程的解法，通过观察图形中小正方形的个数和周长的变化规律，推导出第n个图形中小正方形的个数和周长的公式，并利用这些公式解决具体问题． （1）观察图形中小正方形的个数和周长的变化规律，完成表格．根据题目给出的图形，我们可以看到小正方形的个数和周长随着图形的变化而变化．对于小正方形的个数，每增加一个图形，小正方形的个数增加的数量依次为3、4、，即每次增加的数量比前一次多1，从而完成表格任务； （2）根据（1）的发现进行归纳即可； （3）根据正方形个数的公式，解这个方程可以得到n的值．将得到的n值代入周长的公式中，计算出周长即可． 【详解】（1）解：通过观察发现以下规律： 图形①，小正方形个数：，周长； 图形②，小正方形个数：，周长；； 图形③，小正方形个数：，周长；； 图形④，小正方形个数：，周长；； 填表如下： 图形的名称 小正方形的个数 图形的周长 图① 2 8 图② 5 12 图③ 9 图④ 20 … … … （2）解：根据以上规律， 第个图形的小正方形个数： ； 第个图形的周长：． （3）解：∵小正方形的个数为90， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴第12个图形中小正方形的个数为90，它的周长为． 4．（2025·安徽淮北·三模）把三角形与正方形按如图所示的规律拼图案，回答下列问题． (1)图案①中共有个“△”，图案②中共有个“△”，图案③中共有个“△”若按此规律拼图案，则图案⑨中共有 个“△”． (2)第n个图案中“△”的个数为 （请用含n的式子表示）． (3)结合图案中“△”的排列方式及规律；求正整数n，使得的和是第n个图案中“△”的个数的2倍多4． 【答案】(1)28 (2) (3) 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为28． （2）， 故答案为． （3）由题意，得， 即 解得（不符合题意，舍去） 答：n的值为12． 5．（2025·安徽宣城·二模）阅读材料，解决下列问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第行有个点，…． (1)探索：三角点阵中前6行的点数之和为______，前9行的点数之和为______； (2)总结：前行的点数之和为______（用含的式子表示，为正整数）； (3)运用：某商场举办促销活动，计划用气球装饰中庭，其中一种装饰方案需要悬挂650个气球．按照第一串挂2个，第二串挂4个，第三串挂6个，…，第串挂2n个的规律排列，求这种装饰方案一共需要悬挂多少串气球？ 【答案】(1)21；45 (2) (3)要悬挂25串气球 【分析】本题考查了有理数的图形类规律，解一元二次方程的应用． （1）直接把前面6行、9行点分别相加即可求解； （2）把前n行点数相加即可； （3）根据题意列出方程，利用（2）的结论解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：前6行点数和为：； 前9行点数和为：； 故答案为：21；45； （2）解：前n行点数和为：； 故答案为：； （3）解：由题意得：， 即 ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：这种装饰方案一共需要悬挂25串气球． 1．（2025·安徽·模拟预测）2024年底，蚌埠市交通运输局发布消息：G36宁洛高速公路明光至蚌埠段改扩建工程已顺利通过交工验收．全线采用双向八车道高速公路标准改扩建．目前已交付使用，大大缓解了G36宁洛高速安徽段的交通压力．施工中，对路面沥青的要求极高．某天，化验室要检测4桶沥青，共重55千克．如果第一桶减少3千克，第二桶增加2千克，第三桶减少一半，第四桶增加一倍，那么4桶沥青重量相等．问原来每桶沥青各有多少千克？ 【答案】原来每桶沥青分别为15千克、10千克、24千克和6千克 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设四桶重量分别为a、b、c、d，四桶重量相等时为x．用含x的式子表示出a、b、c、d，再根据列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设四桶重量分别为a、b、c、d，四桶重量相等时为x． 由题意得：，， 则，，，， ∴， 解得： ∴，，，， 答：原来每桶沥青分别为15千克、10千克、24千克和6千克． 2．（2025·安徽滁州·三模）安徽黄山脚下某村落，在乡村旅游发展热潮下，一些返乡大学生开发了两种特色旅游体验项目：黄山茶手工炒制体验和徽派建筑模型制作体验．参与这两种项目每小时所需工作人员数量和成本投入如下表： 体验项目 每小时所需工作人员数量 每小时所需成本投入（元） 黄山茶手工炒制体验 5 200 徽派建筑模型制作体验 4 250 已知某一天参与项目的工作人员共34位，且每人只参与一个项目的工作，当天成本投入共1900元，问黄山茶手工炒制体验和徽派建筑模型制作体验这两个项目当天各开展了多少小时? 【答案】黄山茶手工炒制体验项目开展了2小时，徽派建筑模型制作体验项目开展了6小时． 【分析】本题考查了列二元一次方程组解应用题，根据题意设出未知数，找出相等关系列出方程组，即可解答． 【详解】解：设黄山茶手工炒制体验项目开展了x小时，徽派建筑模型制作体验项目开展了y小时， 则， 解得， 答：黄山茶手工炒制体验项目开展了2小时，徽派建筑模型制作体验项目开展了6小时． 3．（2025·安徽六安·三模）某数学兴趣小组运用数形结合的思想研究出结论：他们继续研究下列用白色圆点和黑色圆点组成的图案中两种圆点的个数问题． 将以上图案中两种圆点的个数统计如下表： 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 第5个图案 …… 黑色圆点的个数 … 白色圆点的个数 … 根据以上信息，完成下列问题： (1)第6个图案中，白色圆点的个数为________，黑色圆点的个数为________． (2)请用含n的式子填空：第n个图案中，白色圆点的个数为________，黑色圆点的个数为________． (3)第几个图案中白色圆点的个数与黑色圆点的个数之比为6∶5？ 【答案】(1)， (2)， (3)9 【分析】本题主要考查图形的变化规律，一元二次方程的应用，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律． （1）根据前五个图形中所求图案的个数进行解答即可； （2）根据前六个图形中所求图案的个数总结规律即可； （3）根据题意列出一元二次方程即可解答． 【详解】（1）解：第6个图案中，白色圆点的个数为，黑色圆点的个数为， 故答案为：， （2）第n个图案中，白色圆点的个数为， 黑色圆点的个数为， 故答案为：， （3）由题意可得，， 解得， 解得或（不合题意，舍去） 答：第个图案中白色圆点的个数与黑色圆点的个数之比为6∶5． 4．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)每个篮球60元，每个足球50元 (2)当购买篮球4个的时候，所花费用最少 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数解析式，是解题的关键： （1）设每个篮球元，每个足球元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）设蓝球有个，购买的总费用是元，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得： 或或，（三个方程组任选一个即可） 解得：； 答：每个篮球60元，每个足球50元． （2）设蓝球有个，则足球有个 ， 解得：， 设购买的总费用是元， ， ， 随着的减小而减小； ∵且为整数， 当最小值为4时，最小值为540元； 答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少． 5．（2025·安徽安庆·三模）根据下列材料解答相应问题： 材料1 A，C两地的铁路途经B地，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中动车列车从A站始发，经停B站后到达C站，高铁列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变． 材料2 列车运行时刻表 车次 A站 B站 C站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 动车列车 8：00 9：00 9：10 10：50 高铁动车 8：30 途经B站，不停车 10：30 材料3 A，C两地的铁路是双轨，两辆列车可在某些时段同向而行． 问题1 动车列车从A站到B站行驶了______，从B站到C站行驶了______； 问题2 设动车列车的行驶速度为 ，高铁列车的行驶速度为 ，若，则______． 问题3 高铁列车在什么时刻追上动车列车？ 【答案】问题1：60，100；问题2：；问题3：高铁列车在9：30追上动车列车 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，速度、时间、路程的关系． 问题1：直接根据表中数据解答即可； 问题2：分别求出动车列车和高铁列车从A站到C站行驶的时间，然后根据路等于速度乘以时间求解即可； 问题3：设动车列车开出被高铁列车追上，由题意得，，再将代入得关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：问题1：动车列车从A站到B站行驶了，从B站到C站行驶了， 故答案为：60，100； 问题2：根据题意得动车列车从A站到C站共需分钟，高铁动车从A站到C站共需， ∴， ∴， 故答案为：； 问题3：， 高铁列车在B，C之间追上动车列车， 设动车列车开出被高铁列车追上， 由题意得， ， ， 解得． 答：高铁列车在9：30追上动车列车． 6．（2025·安徽合肥·二模）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）在第1排中，第1个图案中“矩形”的个数可表示为1，第2个图案中“矩形”的个数可表示为，第3个图案中“矩形”的个数可表示为，第4个图案中“矩形”的个数可表示为，第个图案中“矩形”的个数可表示为___________； （2）在第2排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为___________ （3）在第排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为___________ 【规律应用】 （4）当时，结合图案中“矩形”的排列方式及上述规律，是否存在正整数，使得第排第个图案中“矩形”的个数为225？ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在正整数，使得第排第个图案中“矩形”的个数为225 【分析】本题主要考查了图形类规律题，解一元二次方程，根据题意得到规律是解题的关键． （1）根据题意规律可得第个图案中“矩形”的个数可表示为 ； （2）根据题意求出在第2排中，前4个图案中“矩形”的个数，可得到规律即可； （3）求出在第3排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为，可得到规律即可； （4）根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：在第1排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为 ； 故答案为： （2）根据题意得：在第2排中，第1个图案中“矩形”的个数可表示为， 在第2排中，第2个图案中“矩形”的个数可表示为， 在第2排中，第3个图案中“矩形”的个数可表示为， 在第2排中，第4个图案中“矩形”的个数可表示为， …… 在第2排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为； 故答案为： （3）根据题意得：在第3排中，第1个图案中“矩形”的个数可表示为， 在第3排中，第2个图案中“矩形”的个数可表示为， 在第3排中，第3个图案中“矩形”的个数可表示为， 在第3排中，第4个图案中“矩形”的个数可表示为， …… 在第3排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为， …… 在第排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为； 故答案为： （4）根据题意得：， ∴（负值舍去）， 解得：或（舍去）， ∴存在正整数，使得第排第个图案中“矩形”的个数为225． 7．（2025·安徽安庆·模拟预测）图案设计 活动1：在数学活动课上小明提出利用边长相等的等边三角形和正方形设计出一些图形如图①． 观察上面的图形，填写表格： 正方形个数 1 2 3 4 5 … 三角形个数 4 7 10 13 … 活动2：同学们观察小明的图形后，发现小明的设计有些参差不齐，于是他们动手设计图形，小芳利用等边三角形和正方形设计出自己称心的图形如图②． 小芳为了探究自己设计的图形中正方形和等边三角形个数的关系，也设计如下表格： 正方形个数 4 6 8 10 … 三角形个数 2 4 6 8 … 问题解决：根据以上活动完成下列问题： (1)_____，_____（用含的代数式表示）； (2)直接写出关于（为正整数）的函数关系式； (3)若小明的某个图形比小芳的某个图形的等边三角形多23个，正方形的个数和为100个，求，的值． 【答案】(1)16， (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）求出关于的一次函数关系式即可； （2）运用待定系数法求解即可； （3）根据“小明的某个图形比小芳的某个图形的等边三角形多23个，正方形的个数和为100个，”建立二元一次方程组求解． 【详解】（1）解：由表格数据可知：与成一次函数关系， 设， ∵； ∴， 解得：， ∴， 当时，， 故答案为：16，； （2）解：由表格数据可得：与成一次函数关系， 设， ∵；， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意得，， 即， 解得：． 1．（2025·湖北·中考真题）某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克． (1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ (2)妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果千克． ①若这两种水果按标价出售，求的取值范围； ②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的出售．）若小明合计付款48元，求的值． 【答案】(1)购买A种水果2千克，B种水果1千克 (2)①；② 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用； （1）设购买A种水果x千克，B种水果y千克，根据在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．再建立方程组解题即可； （2）①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元，再建立不等式求解即可；②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据不同的优惠方式可得，再解方程即可. 【详解】（1）解：设购买A种水果x千克，B种水果y千克， 依题意得：， 解得：． 答：购买A种水果2千克，B种水果1千克． （2）解：①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克， ∴， 解得：， ∴结合实际可得：； ②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克， ∴， 解得：. 2．（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题． 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数． 分析探究 问题1  小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ； 当且时， ② ． 综上所述，命题成立． 拓展迁移 问题2  若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 【答案】(1)小明的猜想不正确，反例： (2)见解析 (3)当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；当A的数字小于B的数字时，的位数是 【分析】（1）举反例即可； （2）①当且时，可得，得，不合题意； ②当且时，可得，可得，得，即得． （3）设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则．当时，必有，，即；当时，必有，，即． 【详解】（1）解：小明的猜想不正确． 反例：． （2）证明：①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意； ②，所以，又，所以， 由（*）知，所以． （3）解：当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是． 证明如下： 由已知，A，B的位数分别为m，n， 设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则． 由小华的命题知，当时，必有， 此时，，所以； 当时，必有， 此时，，所以． 综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是， 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $