精品解析：福建省龙岩市第二中学2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试题

龙岩二中2025~2026学年第一学期高一第二次月考 数学试题 命题人：李莉 审题人：郭美华 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合元素的范围，再结合交集运算得到结果. 【详解】， 又，所以. 故选：B. 2. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的单调性，结合零点存在性定理判断函数的零点所在区间. 【详解】因为函数，都为上的增函数， 所以函数在R上单调递增， 又，，，， 根据零点存在性定理可知的零点所在区间为. 故选：D. 3. 设，则函数的最小值是（ ） A. 12 B. 6 C. 27 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式的性质与指数运算的性质即可得出． 【详解】解：， 函数， 当且仅当时取等号． 函数的最小值是6． 故选：． 4. 在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，角终边上有一点，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角三角函数定义可求得,代入两角和的正弦公式可求得结果. 【详解】在终边上, . . 故选:B. 【点睛】本题考查利用两角和的正弦公式求解三角函数值的问题,涉及到任意角三角函数的定义,属于基础题. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性缩小选项范围，再结合特殊点的函数值即可得解. 【详解】由已知，则，解得， 又， 所以函数为奇函数，所以BD错误， 又，所以C错误，所以A正确. 故选：A. 6. 基本再生数与世代间隔T是流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间.在型病毒疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与，T近似满足.有学者基于已有数据估计出.据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的3倍需要的时间约为（ ）(参考数据：) A. 2天 B. 3天 C. 4天 D. 5天 【答案】D 【解析】 【分析】 根据已知数据先求出，可得，则由解出即可. 【详解】，，即，解得， ，则， 解得，则， 故累计感染病例数增加至的3倍需要的时间约为5天. 故选：D. 7. 已知定义在上的函数满足，且对任意（0，3)都有，若，，，则下面结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件，可知函数关于对称，由对任意（0，3)都有，可知函数在（0，3)时单调递减，然后根据单调性和对称性即可得到的大小． 【详解】因为，得函数关于对称， 又对任意（0，3)都有，所以函数在（0，3)时单调递减， 因为，所以， 又，所以，所以，故选C. 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较,利用条件求出函数的单调性和对称性,利用单调性和对称性之间的关系是解决本题的关键. 8. 已知函数，则方程的实数解的个数至多是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合方程问题，换元，作函数图象分别看内外层分别讨论方程根的个数情况，即可得答案. 【详解】设，则化为， 又， 所以，， 作出函数的大致图象，如图 由图可得，当时，有两个根，， 即或，此时方程最多有5个根； 当时，有三个根， 即或或， 此时方程最多有6个根； 当时，有两个根，即或， 此时方程有4个根； 当时，有一个根，即， 此时方程有2个根； 综上，方程的实数解的个数至多是6个. 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 命题，，则命题的否定是， B. “”是“”的必要条件 C. 命题“，”是真命题 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】利用特称量词命题的否定求解选项A；利用不等式的性质确定选项B；利用全称量词命题的真假判断选项C;利用一元二次方程根与系数的关系确定选项D. 【详解】命题p的否定是，，故A正确； 不能推出，例如，但； 也不能推出，例如，而； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 当时，，故C错误； 若关于x的方程有一正一负根，则， 所以“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确. 故选：AD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在上为增函数 D. 把的图象向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定图象利用“五点法”作图方法求出函数的解析式，再对各选项逐一分析即可得解. 【详解】由图象得，令的最小正周期为T，则，解得，， 又，即，而，则，， 因，则的图象关于点对称，A正确； 因，则的图象不关于对称，B不正确； 因，则，所以在上为增函数，C正确； 的图象向右平移个单位长度，得到是偶函数，D不正确. 故选：AC 11. 定义在上的函数满足为偶函数，，函数满足，若与恰有2023个交点，从左至右依次为，，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 2为的一个周期 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，推得，得到，结合函数的基本性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由为偶函数，则函数的图象关于直线对称， 又由，则函数的图象关于点对称， 则，可得. 对于A中，由，可得， 所以，所以为奇函数，所以A正确； 对于B中，由，所以函数是以为周期的周期函数， 可得，显然，所以B错误； 对于C中，由，所以函数的图象关于直线对称， 因此函数与的交点也关于对称，则，所以C正确； 对于D中，由函数与的交点也关于对称，可得，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知某扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形圆心角、弧长、扇形面积之间的关系，列出方程，求出结果即可. 【详解】由题意可知，扇形半径为，则扇形面积为. 故答案为：. 13. 函数的单调增区间为______． 【答案】（也对） 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数的单调性同增异减来求得单调增区间. 【详解】由得， 解得，所以的定义域是. 函数的开口向下，对称轴为， 函数在上单调递减， 根据复合函数的单调性同增异减可知，的单调递增区间是. 故答案为：（也对） 14. 将函数的图象向右平移个单位后，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间内没有零点，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数图象的平移伸缩变换可得，进而，结合正弦函数的图象与性质建立关于的不等式组，解之即可求解. 【详解】由题意知，， 由，得， 若在区间内没有零点， 则，解得， 由，当时，，当时，，当时，不符合， 所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知不等式的解集为A，集合． （1）当时，求A和； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再根据补集和交集的定义即可得解； （2）由，可得，再分和两种情况讨论即可得解. 【小问1详解】 由，得， 即，解得或， 所以或， 则， 当时，， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 当时，则，解得，此时； 当时，则或， 解得或， 综上所述，的取值范围为或. 16. 已知为锐角，，. （1）为锐角，求的值； （2）若为锐角，求的值. （3）若角是第三象限角，，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、同角三角函数关系式和弦切互化计算即得； （2）利用角的拆分结合和差公式求解即得； （3）利用诱导公式化简函数式，再根据同角三角函数关系式代入计算即可. 【小问1详解】 由已知为锐角，， 所以. 【小问2详解】 由已知，为锐角，， 则，又，联立解得，， 又，由，可得， 则，由. 【小问3详解】 由， 又角是第三象限角，且，，解得， 所以. 17. 为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”.经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入为元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通，记该水果单株利润为（单位：元）. （1）求单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1） （2）当施用肥料为4千克时，该水果单株利润最大，最大利润是240元 【解析】 【分析】（1）利用该水果树单株产量乘以市场售价减投入总成本即可得出利润表达式； （2）根据定义域求每段函数的利润最大值比较后可得答案. 【小问1详解】 由题意可得， 即，整理得. 【小问2详解】 当时，是对称轴为且开口向上的抛物线， 所以当时，； 当时，， 因为，当且仅当即取等号， 所以； 综上所述，当施用肥料为4千克时，该水果单株利润最大，最大利润是240元． 18. 已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）当时，求的值域. （3）先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位的图象，求方程在区间上所有根之和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)运用二倍角公式和辅助角公式对原式化简整理，结合正弦函数的单调增区间求解； (2)通过的范围得到的范围，再求值域； (3)先求出的解析式，再解的方程，最后符合要求的根并求和即可. 【小问1详解】 因为， 原式， 令， 解得， 即的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，则， 所以， 即，故的值域为. 【小问3详解】 由题意可知， 令， 则或， 解得或， 满足内的根有，当时，符合， 符合， 即所有符合的根之和为. 19. 已知函数 是R上的奇函数． （1）求实数的值，并判断函数的单调性（单调性不需要证明）； （2）若对，都有成立，求实数的取值范围． （3）设为常数，且 ，若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）由题意得， 即， 故，即， 所以，解得，负值舍去； 函数在R上单调递增，理由如下： 显然在上单调递增， 又在上单调递增， 由复合函数单调性值，在上单调递增， 又是R上的奇函数，且为连续函数，故在R上单调递增； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数为奇函数得到，从而得到方程，求出，并利用复合函数单调性和函数奇偶性得到函数单调递增； （2）不等式变形为，根据的单调性得到，故得到，换元得到，分和时，求出； （3）求出有唯一零点0，得到在区间上有解，显然，令，只需求出的最小值，，根据单调性得到当时，取得最小值，求出的最小值为，从而得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 对，都有， 即， 由（1）可知在单调递增， 故， 所以只需， 即， 令，则， 因为，所以，则， ， 当时，恒成立， 当时，，其中， 故； 【小问3详解】 在R上单调递增，且， 故有唯一零点0，故，函数在区间上有解， 显然，当时，等号成立， 要求的最小值，且在区间上始终有解， 令，只需求出的最小值， ， 随着的增大，增大， ，先减小，后增大， 且当时，， ， 故， 故当时，取得最小值， 解得， 故的最小值为， 故， 实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩二中2025~2026学年第一学期高一第二次月考 数学试题 命题人：李莉 审题人：郭美华 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则函数的最小值是（ ） A. 12 B. 6 C. 27 D. 30 4. 在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，角终边上有一点，则 A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 基本再生数与世代间隔T是流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间.在型病毒疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与，T近似满足.有学者基于已有数据估计出.据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的3倍需要的时间约为（ ）(参考数据：) A. 2天 B. 3天 C. 4天 D. 5天 7. 已知定义在上的函数满足，且对任意（0，3)都有，若，，，则下面结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则方程的实数解的个数至多是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 命题，，则命题的否定是， B. “”是“”的必要条件 C. 命题“，”是真命题 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在上为增函数 D. 把的图象向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象 11. 定义在上的函数满足为偶函数，，函数满足，若与恰有2023个交点，从左至右依次为，，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 2为的一个周期 C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知某扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为_____. 13. 函数的单调增区间为______． 14. 将函数的图象向右平移个单位后，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间内没有零点，则的取值范围是_______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知不等式的解集为A，集合． （1）当时，求A和； （2）若，求实数a的取值范围． 16. 已知为锐角，，. （1）为锐角，求的值； （2）若为锐角，求的值. （3）若角是第三象限角，，求的值. 17. 为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”.经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入为元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通，记该水果单株利润为（单位：元）. （1）求单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少? 18. 已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）当时，求的值域. （3）先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位的图象，求方程在区间上所有根之和. 19. 已知函数 是R上的奇函数． （1）求实数的值，并判断函数的单调性（单调性不需要证明）； （2）若对，都有成立，求实数的取值范围． （3）设为常数，且 ，若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $