9.3 公式法（第1课时 用平方差公式因式分解）（教学课件）数学新教材苏科版八年级下册

该初中数学课件聚焦“用平方差公式因式分解”，通过回顾整式乘法与因式分解的互逆关系逆向引出平方差公式，结合“尝试交流”的填空和判断让学生自主总结结构特征，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以实际问题（如观景台面积计算）培养数学眼光，通过典例步骤和易错点纠正发展数学思维的推理与运算能力，用公式法解决证明题体现数学语言的模型意识。学生能提升分解与应用能力，教师可借助清晰步骤和多样例题提高教学效率。

第九章 因式分解 9.3 公式法 第1课时 用平方差公式因式分解 学 习 目 标 1 2 能正确识别适合运用平方差公式因式分解的多项式，会运用平方差公式因式分解（指数是正整数）． 掌握运用平方差公式因式分解的方法和步骤，并能进行相关变形、计算或求值． 因式分解与整式乘法有什么关系？ 知识回顾 a(b＋c＋d) ab＋ac＋ad 整式乘法 和 积 因式分解 是过程相反的变形． 我们学习了哪些乘法公式？ 知识回顾 平方差公式： 完全平方公式： (a－b)2＝a2－2ab＋b2 如果把上述公式反过来， (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 a2－b2＝(a＋b)(a－b) a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 a2－2ab＋b2＝(a－b)2 是因式分解吗？ 和 积 概念引入 逆向使用平方差公式、完全平方公式等乘法公式进行因式分解的方法叫作公式法． a2－b2＝(a＋b)(a－b) 公式中的字母既可表示 单项式也可以表示多项式． a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 a2－2ab＋b2＝(a－b)2 尝试交流 1. 填空： a2－16＝a2－( )2＝ (a＋____) (a－____)； 64－b2＝ ( )2－b2＝ (____＋b) (____－b)； 4m2－9n2＝( )2－( )2＝ (____＋____) (____－____)． 4 4 4 8 8 8 2m 3n 2m 3n 2m 3n 观察这些式子在结构上有哪些共同特征？ 左边：只有两项，两项都能用完全平方表示且符号相反． 右边：两项底数的和乘以这两项底数的差的形式． □2－△2 (□－△) (□＋△) 尝试交流 2. 判断下列多项式是否能用平方差公式分解因式． (1) a2－16； (2) －x2－1； (3) 64－b； (4) －25a2＋49b2． 两项符号相反 两项都能用完全平方表示 ＝49b2－25a2 ＝(7b)2－(5a)2 典例分析 例1 把下列各式分解因式： (1) 36－25x2 ； (2) 16a2－9b2 ； 解：(1) 36－25x2 ＝62－(5x)2 ＝(6＋5x)(6－5x)； (2) 16a2－9b2 ＝(4a)2－(3b)2 ＝(4a＋3b)(4a－3b)； 方法总结 用平方差公式因式分解的一般步骤： 1. 变形： 化成(□)2－(△)2的形式； 2. 分解： 分解成(□－△) (□＋△)的形式. 典例分析 (3) 9(a＋b)2－4(a－b)2 ． 例1 把下列各式分解因式： 解：(3) 9(a＋b)2－4(a－b)2 ＝[3(a＋b)]2－[2(a－b)]2 ＝[3(a＋b)＋2(a－b)][3(a＋b)－2(a－b)] ＝(3a＋3b＋2a－2b)(3a＋3b－2a＋2b) ＝(5a＋b)(a＋5b)． [ ]内看成一个整体． 方法总结 用平方差公式因式分解的一般步骤： 3. 化简： 分解后，结果要化为最简形式． 新知巩固 1．把下列各式分解因式： (1) x2－25； (2) x2－16y2； 解：原式＝(x＋5)(x－5)； 原式＝(x＋4y)(x－4y)； 原式＝(a＋b)(a－b)； (3) a2－b2； (4) x2y2－z2； 原式＝(xy＋z)(xy－z)； 原式＝(x＋5)(x－1)； 原式＝(x＋a＋y－b)(x＋a－y＋b)． (5) (x＋2)2－9； (6) (x＋a)2－(y－b)2． 新知巩固 2．计算： (1) 7582－2582； (2) 4292－1712． 解：(1) 7582－2582 ＝[758＋258][758－258] ＝1 016×500 ＝508 000； (2) 4292－1712 ＝[429＋171][429－171] ＝600×258 ＝154 800． 典例分析 例2 如图，有一个圆环形的观景台，已知R＝12.5m，r＝7.5m, 求观景台（阴影部分）的面积S（结果精确到1m2）． 解：S＝πR2－πr2＝π(R＋r)(R－r) 当R＝12.5 m，r＝7.5 m时， S ＝ π(12.5＋7.5)×(12.5－7.5) ＝ π×20×5＝100π≈314 (m3)． 典例分析 例3 已知k是正整数，求证: (k＋2)2－k2 是4的倍数． 证明：∵(k＋2)2－k2＝(k＋2＋k)(k＋2－k)＝2(2k＋2)＝4(k＋1)， ∵k是正整数， ∴4(k＋1)也是正整数，且是4的倍数， ∴(k＋2)2－k2是4的倍数． 典例分析 变式 证明：两个连续奇数的平方差是这两个奇数和的2倍． 证明：设这两个奇数分别为x，x＋2，则这两个奇数的平方差为 (x＋2)2－x2，这两个奇数和为2x＋2． ∵ (x＋2)2－x2＝(x＋2＋x)(x＋2－x)＝2(2x＋2)， ∴ 两个连续奇数的平方差是这两个奇数和的2倍． 新知巩固 1. 如图，在Rt△ABC中，若斜边c＝25，直角边a＝24，求直角边b． 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得， a2＋b2＝c2， ∴ b2＝c2－a2 ＝252－242 ＝(25＋24)(25－24) ＝49， ∴ b＝7． A B C a b c 新知巩固 2. 已知a＞b＞0，求证：a2＞b2． 证法1：∵ a＞b＞0， ∴ a＋b＞0，a－b＞0， ∴ a2－b2＝(a＋b)(a－b)＞0， ∴ a2＞b2． 证法2：∵ a＞b＞0， ∴ a2＞ab，ab＞b2， 根据不等式的传递性，可得 ∴ a2＞b2. 思维提升 1. 已知：4m＋n＝90，2m－3n＝10，求(m＋2n)2 － (3m－n)2的值． 解： (m＋2n)2 － (3m－n)2 　　 ＝[(m＋2n)＋(3m－n)][(m＋2n)－(3m－n)] ＝(4m＋n)(－2m＋3n) ∵ 4m＋n＝90，2m－3n＝10， ∴ 原式＝90×(－10)＝－900． 思维提升 解：16x2－4 ＝(4x)2－22 ＝(4x＋2)(4x－2) 2. 判断下列做法是否正确，如有错误，请改正． 分解因式 16x2－4． 解：不正确．分解的结果中还有公因式没有提出． 原式＝(4x)2－22＝(4x＋2)(4x－2)＝2(2x＋1)·2(2x－1)＝4(2x＋1)(2x－1)． 要分解到每个因式不能再分解为止． 课堂小结 用平方差公式 因式分解 形式：a2－b2＝(a＋b)(a－b) 特征：左边：只有两项，两项都能用完全平方表示且符号相反． 右边：两项底数的和乘以这两项底数的差的形式． 一般步骤：1. 变形；2. 分解；3. 化简． 感谢聆听！ $