专题01 有理数（10大知识点+18大考点+复习提升）（寒假复习讲义）七年级数学新教材沪科版

专题01 有理数 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：正数和负数 正数：像3.5，2020，6.7，等这样的数都是正数，它们都是大于0的； 负数：像－154，－3.4，－3.5％等这样的数都是负数，它们都是小于0的； 知识点2 ：具有相反意义的量 具有相反意义的量包括两个因素：①有相反的意义，②有数量. 知识点3 ：有理数的概念与分类 我们把能够写成分数形式（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数. 有理数的分类 1.按定义分 2.按正负分 知识点4 ：数轴 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 2.数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 知识点5 ：比较有理数的大小 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 知识点6 ：绝对值与相反数 1.绝对值的性质 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即 2.绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 3.相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数. 4.相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数. 知识点7 ：有理数的混合运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a；②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点8 ：科学记数法 科学计数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法. 知识点9 ：利用运算律简便计算 1. 有理数运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律等； 2. 一些计算优先结合会简便很多，如下所示： （1） 相反数结合； （2） 凑整结合； （3） 正、负分别结合； （4） 同分母结合； （5） 倒数结合 知识点10 ：近似数 1.有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． 2.近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 【考点1 正数与负数】 例1．（2025七年级上·北京·期末）下列说法正确的是（   ） A．一个数不是正数就是负数 B．是最小的正数 C．一定是负数 D．若规定收入为正，则支出元应记作元 【答案】D 【分析】本题考查有理数的分类、正负数的定义和实际意义，正确理解正负数的定义和相反数的概念是解题关键． 依据“有理数包含正数、、负数”，“既不是正数也不是负数”，“正负数的实际应用”，逐一分析选项的正误． 【详解】解：∵既不是正数也不是负数，∴错误； ∵不是正数，∴错误； ∵的符号未知，不一定是负数，∴错误； ∵ 收入为正，则支出为负，∴支出元记作元正确，∴正确． 故选：． 变式1．（24-25七年级上·云南红河·期末）在下列各数，7，，，，，0，中，负数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查有理数分类，负数定义等．根据题意逐一计算每个表达式的值，判断是否为负数，负数指小于零的数． 【详解】解：∵ ， ， ， ， （2025为奇数）， 而，，既非正也非负， ∴ 负数有5个， 故选：C． 变式2．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．例如收入20元记作元，则支出10元记作 元． 【答案】 【分析】本题主要考查正数和负数的意义，理解负数和正数是具有相反意义的量，是解题的关键． 由于收入与支出是互为相反意义的量，由已知即可求解． 【详解】∵收入20元记作元，则支出10元记作元． 故答案为：． 变式3．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）阅读下列材料并解答问题． 素材 为了进一步加强对学生的劳动教育，某校将学校劳动实践基地划分区域，分给每个班级自主管理．七年级一班的同学们在本班的种植区域中种植了花生，经过精心耕种，同学们一共收获了8筐花生，以每筐为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： 筐号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 重量 2.5 0 1 2 任务1 （1）求这8筐花生的实际重量分别为多少千克？ 任务2 （2）在学校的组织下，同学们对收获的花生以市场价7元/千克的价格全部售出，已知七年级一班在播种时，以10元/千克的价格购进花生种子15千克，请你帮七年级一班同学算一算，他们此次耕种花生获利了多少元？ 【答案】 （1）① ②③④ ⑤ ⑥⑦ ⑧ （2）669元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键． （1）根据正负数的意义解题即可； （2）分别算出销售额和成本即可． 【详解】解：（1）∵每筐以为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数， ∴筐号①的实际重量为：； 筐号②的实际重量为：； 筐号③的实际重量为：； 筐号④的实际重量为：； 筐号⑤的实际重量为：； 筐号⑥的实际重量为：； 筐号⑦的实际重量为：； 筐号⑧的实际重量为：； （2）销售额为：元， 成本为：元， ∴获利元． 【考点2 有理数的分类】 例2．（25-26七年级上·山东日照·期末）把下列各数分别填入相应的大括号内： ． 分数集合：{___________…}； 整数集合：{___________…}； 非负数集合：{___________…}； 正有理数集合：{___________…}． 【答案】 见解析 【分析】本题考查了有理数．熟练掌握分数，整数，非负数，正有理数的概念与特点，是解题的关键．根据分数，整数，非负数，正有理数各自的概念选填即可得解． 【详解】解：分数集合：{3.5，，，}； 整数集合： {0，10，}； 非负数集合： {0，，，，}； 正有理数集合：{3.5，，10}． 变式1．（25-26七年级上·四川泸州·期末）把下列各数分类，并把序号填写在表示相应集合的大括号里．（只填写序号） ①，②，③9，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（两个6之间8的个数依次增加1），⑨，⑩ (1)正有理数集合：______…； (2)负有理数集合：______…； (3)非负整数集合：______… 【答案】(1)②③⑥⑩ (2)①⑤⑨ (3)③④ 【分析】本题考查了有理数的概念和分类，掌握有理数的概念和分类是解题的关键． （1）正有理数包括正整数，正分数，正有限小数，正无限循环小数，据此解答即可求解； （2）负有理数包括负整数，负分数，负有限小数，负无限循环小数，据此解答即可求解； （3）非负整数包括正整数和0，据此解答即可求解． 【详解】（1）解：正有理数包括正整数，正分数，正有限小数，正无限循环小数， 为正有理数． 故答案为：②③⑥⑩． （2）负有理数包括负整数，负分数，负有限小数，负无限循环小数， 为负有理数． 故答案为：①⑤⑨． （3）非负整数包括零和正整数， 是非负整数． 故答案为：③④． 变式2．（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）把下列各数填入到相应的括号内（只填写序号）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 负数：{______________________}； 整数：{______________________}； 分数：{______________________}； 有理数：{______________________}． 【答案】②⑦；①③⑦；②④⑤⑥；①②③④⑤⑥⑦ 【分析】本题考查有理数的定义及分类，熟记负数、整数、分数及有理数定义与分类是解决问题的关键． 根据有理数定义及分类，按照负数、整数、分数定义逐个归类即可得到答案． 【详解】解：负数：{②⑦}； 整数：{①③⑦}； 分数：{②④⑤⑥}； 有理数：{①②③④⑤⑥⑦}． 变式3．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）下图中的三个圈分别表示负有理数集合，整数集合和正有理数集合． (1)应填在______区域，应填入______区域，区域表示的有理数是______； (2)请将下列各数填入图中适当的区域内． ，，，，，，，，， 【答案】(1)，，正整数 (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，掌握相关概念是解题的关键． （1）根据整数分为正整数和负整数和零，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数，进行作答即可； （2）根据有理数的分类逐个判断进行填写即可． 【详解】（1）解：是整数，应填在区域； 是正有理数，应填在区域； 区域表示的有理数是正整数； 故答案为：，，正整数； （2）解：将各数填入适当的区域如图所示： 【考点3 数轴】 例3．（25-26七年级上·福建·期末）已知有理数：，2.5，，4，0． (1)画出数轴，并在数轴上表示出上述有理数； (2)在数轴上表示与4的点之间（包括这两个点）有_______个点表示的数是整数，其中表示“非负整数”的数分别是_______； (3)在数轴上，从表示数的点A出发，沿着数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是_______． 【答案】(1)见解析 (2)7；0,1,2,3,4 (3)2或 【分析】本题主要考查了画数轴，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离， 对于（1），根据规定了原点，正方向，单位长度的直线画出数轴，并在数轴上描出各点； 对于（2），在数轴上确定整数点，并根据“非负整数”是正整数或0解答； 对于（3），分两种情况解答． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：在与4之间的整数点有，共有7个点；其中“非负整数”有0,1,2,3,4； 故答案为：7；0,1,2,3,4； （3）解：从表示的点，沿数轴向右移动4个单位长度到达点B，这个数是； 从表示的点，沿数轴向左移动4个单位长度到达点B，这个数是， 所以这个数是2或． 故答案为：2或． 变式1．（25-26七年级上·安徽·期末）根据所给数轴（如图，原点未标出），完成下列各题： (1)已知点C 在表示数1，2的两个点的正中间，那么点C 表示的数是： (2)已知点A表示，点B表示，在图中标出原点O，点A，点 B 的位置． 【答案】(1)1.5 (2)见详解 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数． （1）根据点在数轴上的位置，即可写出点表示的数； （2）由题意在数轴上标出原点O，点、点的位置即可． 【详解】（1）解：点在表示数1、2的两个点的正中间， 点表示的数是， 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求的原点O，点、点的位置． 变式2．（2025七年级上·广东汕头·期末）如图，在数轴上有三个点，，，请回答下列问题： (1)点，，表示的数分别为 ， ， ； (2)点，，表示的数的相反数分别为 ， ， ； (3)将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是 ； (4)将点向某个方向移动个单位长度后，其对应点所表示的数的绝对值是 ． 【答案】(1)，， (2)，， (3)5 (4)或 【分析】本题考查了数轴上的点，相反数的定义． （1）直接根据数轴作答即可； （2）直接根据相反数的定义作答即可； （3）先求出点所表示的数，再求其相反数即可； （4）先求出点所表示的数，再求其绝对值即可． 【详解】（1）解：点，，表示的数分别为，，； 故答案为：，，； （2）解：点，，表示的数的相反数分别为，，； 故答案为：，，； （3）解：将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，相反数是； 故答案为：； （4）解：将点向右移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，绝对值是． 将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，绝对值是． 故答案为：或． 变式3．（25-26七年级上·新疆哈密·期末）如图，数轴上每两个刻度之间的距离为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点． (2)并指出点所表示的数是______． (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为3个单位长度，那么点表示的数为_____． 【答案】(1)见详解 (2)4 (3)1或7 【分析】本题考查数轴，用数轴表示有理数，数轴上两点间距离： （1）根据点A表示的数及每个刻度为1个单位长度可确定原点， （2）根据点B与原点的位置可得点B所表示的数； （3）分点C在点B的左侧与右侧两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：原点在点A的右侧距离点3个单位长度，如图： （2）解：点B在原点的右侧距离原点4个单位，因此点B所表示的数为4， 故答案为：4； （3）解：①当点C在点B的左侧时，， ②当点C在点B的右侧时，， 点C表示的数为1或7． 故答案为：1或7． 【考点4 绝对值】 例4．（2025七年级上·全国·期末）有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，，，表示数b的点与原点之间的距离为3个单位长度． (1) ， ， ． (2)如果有一只蚂蚁位于有理数c对应点的位置，要沿着数轴爬行到距离原点2个单位长度的位置，请说明这只蚂蚁应该如何爬行？ 【答案】(1)，3， (2)沿着数轴负方向爬行1个单位长度或沿着数轴正方向爬行3个单位长度 【分析】本题考查的是利用数轴表示有理数，绝对值的含义． （1）根据绝对值的含义，数轴上两点之间的距离可得答案． （2）结合数轴上两点之间的距离可得答案． 【详解】（1）解：∵，，表示数b的点与原点之间的距离为3个单位长度，，， ∴，，． 故答案为：，3， （2）解：沿着数轴负方向爬行1个单位长度或沿着数轴正方向爬行3个单位长度，能爬行到距离原点2个单位长度的位置． 变式1．（24-25七年级上·安徽池州·期末）已知，，且， (1)n的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了绝对值及代数式求值： （1）根据绝对值的意义即可求解； （2）分类讨论：当，时，当，时，代入原式即可求解； 熟练掌握绝对值的意义及分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴． （2）由（1）得：，， ∴当，时，， 当，时，， 综上：或． 变式2．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的非负性．当绝对值取最小值时，式子取得最大值． 【详解】解：∵， ∴ 当 时，即时，取得最大值，最大值为； 故选A． 变式3．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）我们知道：数轴是一条特殊的直线，它既可以用来表示数，又可以帮助我们比较两个数的大小．请根据你对数轴的理解，解答下列问题： (1)如图所示，，，为数轴上三点，且当A为原点时，点表示的数是，点表示的数是．若以为原点，则点表示的数是 ，点表示的数是 ；若，表示的两个数互为相反数，则点表示的数是 ． (2)数a和b在数轴上的位置如图所示，将，，，从小到大排列为 ． (3)在所给数轴上表示下列各数：，，，． 【答案】(1)；； (2) (3)数轴见解析 【分析】（1）根据题意，得，，；当为原点时，，，即可得到点，的数；若，互为相反数，则为，即可求出点表示的数； （2）如图示，得，，即可判断出，，，的大小； （3）根据数轴的定义，即可． 【详解】（1）∵当A为原点时，点表示的数是，点表示的数是 ∴，， ∴当为原点时，表示的数为：，表示的数为： 若，互为相反数 ∴表示的数为： ∴表示的数为：． 故答案为：；；． （2）如图所示：， ∴， ∴． 故答案为：． （3）如图，所示 【点睛】本题考查绝对值，相反数，数轴的知识，解题的关键是掌握点在数轴上的性质，绝对值的性质等． 【考点5 相反数】 例5．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）下列两个数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了化简多重符号，求绝对值，相反数的定义． 通过计算每个选项中的两个数的值，并判断它们的和是否为零，来确定是否互为相反数． 【详解】解：选项A：∵，且，∴互为相反数； 选项B：∵，且，∴不互为相反数； 选项C：∵，∴不互为相反数； 选项D：∵，且，∴不互为相反数； 故选：A． 变式1．（25-26七年级上·福建泉州·期末）下列各组数中，互为相反数的是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了化简多重符号，化简绝对值；先化简，再根据相反数的定义判断． 【详解】解：A. 与，相等，不合题意； B. 与，互为相反数，符合题意 C. 与，相等，不合题意；     D. 与，相等，不合题意； 故选：B． 变式2．（24-25七年级上·浙江台州·期末）若与互为相反数，则 ． 【答案】6或4 【分析】本题考查相反数，绝对值，掌握知识点是解题的关键． 先求出，得到或，分别求出a的值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 即或， 解得或． 故答案为：6或4． 变式3．（2024七年级上·全国·期末）如图所示，A，B，C为数轴上三点，且当A为原点时，点B表示的数是2，点C表示的数是5．若以B为原点，则点A表示的数是 ，点C表示的数是 ；若A，C表示的两个数互为相反数，则点B表示的数是 ． 【答案】 3 / 【分析】本题考查数轴的综合应用，熟练掌握点在数轴上的表示、数轴的意义及三要素、相反数的意义和性质等是解题关键．根据各点之间的位置关系、原点位置及相反数的性质解答； 【详解】解：由题意可知：， ∴以B为原点时，点A表示的数是，点表示的数是3， 若A，表示的两个数互为相反数，则的中点（如图，设为D）为原点， ∴，且D在B的右边， ∴点B表示的数是； 故答案为：；3；． 【考点6 有理数的大小比较】 例6．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）下列各数：，，，，其中比大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数大小比较，求一个数的绝对值，化简多重符号，熟练掌握有理数大小的比较方法，是解题的关键．先化简各数，再比较大小即可． 【详解】解：在，，，中，比1大的数是， 故选：D． 变式1．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）有理数在数轴上对应的点如图所示，则，，1的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴的特点是解答此题的关键． 根据数轴上各点的位置进行解答即可． 【详解】∵a在原点的左侧， ∴， ∵a到原点的距离大于1到原点的距离， ∴，即， ∴． 故选C． 变式2．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）比较大小： （填“>”，“=”，“<”号）． 【答案】< 【分析】该题考查了绝对值，有理数大小比较，先化简为，然后比较两个负数的大小，根据负数比较法则：绝对值大的反而小． 【详解】解：， ，， 所以， 因此， 故． 故答案为：<． 变式3．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）已知下列有理数． (1)在数轴上标出这些数对应的点； (2)把这些数按从大到小的顺序用“>”连接起来． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了在数轴上表示数和有理数大小比较，能准确地在数轴上表示出所给的各个数是解题的关键． （1）在数轴上直接表示出各个数即可； （2）根据（1）中数轴上表示的数，结合数轴右边的数比左边的数大即可比较． 【详解】（1）解：， 如图所示． （2）把这些数按从大到小的顺序排列： 【考点7 有理数的混合运算】 例7．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，运算律，熟练掌握有理数的混合运算法则及运算顺序是解题的关键． （1）先计算括号内的减法，再计算乘除混合运算； （2）将除法转化为乘法，再运用分配律进行简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，有理数的四则运算，乘法分配律，掌握知识点是解题的关键． 先计算绝对值，有理数的除法，再根据乘法分配律进行计算，最后计算加减即可． 【详解】解： ， ． 变式2．（2025七年级上·全国·期末）计算下列各题： (1) (2)； (3)； (4)． (5)． 【答案】(1)9 (2)27 (3)11 (4) (5)7 【分析】本题考查了有理数四则运算，掌握其运算方法是解题关键． （1）原式利用乘法分配律计算即可得到结果； （2）原式化为假分数再计算即可得到结果； （3）原式利用乘法分配律计算即可得到结果； （4）原式利用乘法分配律计算即可得到结果； （5）原式化为假分数再利用乘法分配律，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式， ， ， ． （5）解：原式 ． 变式3．（25-26七年级上·江西宜春·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键． （1）先根据乘法分配律计算，再算加减法即可； （2）先算乘方，再算乘除法，最后算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2） 【考点8 有理数的简便运算】 例8．（25-26七年级上·四川广元·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算和利用运算律简便计算，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）先把除法统一成乘法，再按有理数乘法法则计算即可； （2）先把改写成，再按乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 变式1．（25-26七年级上·河南安阳·期末）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算和乘法的分配律，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）利用乘法分配律计算即可得； （2）先将原式化为，再利用乘法分配律计算即可得． 【详解】（1）解：原式 （2） 变式2．（25-26七年级上·河南南阳·期末）学习了有理数的运算后，王老师给同学们出了这样一道题：计算，看谁算得又对又快． 下面是两位同学给出的不同解法． 小亮：原式 小舒：原式． (1)以上两种解法，你认为谁的解法比较简便？理由是什么？ (2)请你用简便方法计算． 【答案】(1)我认为小数的解法比较简便；理由是她把带分数拆成了一个整数与真分数的和，运用了乘法分配律简化了计算过程 (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算； （1）根据题意，说明理由即可； （2）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：我认为小舒的解法比较简便；理由是她把带分数拆成了一个整数与真分数的和，运用了乘法分配律简化了计算过程． （2）解： 变式3．（25-26七年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用分配律解题我们知道，分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的时，我们可以逆用分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用分配律可得，这样计算就简便得多． 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的乘法分配律，解题的关键是理解题意； （1）逆用分配律把原式变形为，再计算求解； （2）逆用分配律把原式变形为，再计算求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【考点9 有理数混合运算的实际应用】 例9．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）为助力合肥市交通高质量发展，保障城市道路照明系统稳定，某工程队的检修小组负责对一条南北走向的快速路路灯线路进行检修维护．小组从基地出发，开始一天的巡查，规定向北行驶的路程记为正值，向南行驶记为负值．全天共进行了七次移动作业，行驶记录如下（单位：公里）： 作业次序 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 行驶记录 请根据以上信息，回答下列问题： (1)当小组完成全部七次作业后，收工时位于基地的什么方向？距离基地多远？ (2)在这七次作业过程中，小组距离基地最远是在第几次作业后？最远距离是多少？ (3)已知该工程车每公里耗油升，请问为完成本次巡检任务，共耗油多少升？ 【答案】(1)位于基地的南方向，1千米处 (2)距离基地最远是在第三次作业后或第五次作业后，最远距离为7公里 (3)升 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义，将各数相加并计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义，分别求得每次移动作业后与基地的距离，然后得出最远距离即可； （3）根据绝对值的实际意义列式计算即可． 【详解】（1）解：求收工时位置，将七次行驶记录相加得： ， 因为规定向南为负，所以结果为表示为收工时在基地南边1公里处． （2）第一次行驶后与基地的距离：（公里）， 第二次行驶后与基地的距离：（公里）， 第三次行驶后与基地的距离：（公里）， 第四次行驶后与基地的距离：（公里）， 第五次行驶后与基地的距离：（公里）， 第六次行驶后与基地的距离：（公里）， 第七次行驶后与基地的距离：（公里）， 则在这七次作业过程中，小组距离基地最远是在第三次和第五次作业后，最远距离是7公里； （3） （升）， 即完成本次巡检任务，共耗油升． 变式1．（25-26七年级上·安徽·期末）“徽州雪梨”是安徽省最著名的水果之一，某食品公司收购了600吨雪梨，如果按照不同的方式销售，公司获利情况如下表： 销售方式 直接销售 粗加工后销售 精加工后销售 每吨获利（元） 500 1000 1500 如果对雪梨进行粗加工，该公司每天可加工50吨；如果进行精加工，该公司每天可加工20吨，但每天两种方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批雪梨全部销售或加工完毕，为此公司计划了两种加工方案． 方案一：尽可能多的对雪梨进行精加工，没有来得及加工的雪梨在市场上直接销售（直接销售不占用加工时间且一天内可全部售出）； 方案二：前5天将部分雪梨进行精加工，后10天对其余雪梨进行粗加工，恰好全部加工完毕． 如果你是公司负责人，从获得利润的角度来说，你会选择哪种方案，请计算说明． 【答案】选择方案二，见解析 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的实际应用，分别计算出方案一和方案二获得的利润，然后相比即可得出答案． 【详解】解：方案一可以获得利润为（元）； 方案二可以获得利润为（元） ， 所以从获得利润的角度来说，我会选择方案二． 变式2．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）供电局线路检修班乘汽车沿南北方向检修路线，检修班的记录员把当天行车情况记录如下： 到达地点 起点 A B C D E F G H I J 前进方向 北 南 北 北 南 北 南 北 南 北 所走路程（km） 0 9 3 5 3 6 11 4 8 11 10 (1)求H地与起点之间的距离有多少千米？ (2)若汽车每千米耗油0.15升，这天检修班从起点开始，最后到达J地，一共耗油多少升？（精确到0.1升） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正数和负数的应用． （1）规定向北为正，向南为负，把所有的数据相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解； （2）求出行驶的路程的和，然后乘以每千米耗油0.15升，进行计算即可得解． 【详解】（1）解：规定向北为正，向南为负，则路程为： ， 答：H地与起点之间的距离有23千米； （2）解：（升）， 答：一共耗油升． 变式3．（25-26七年级上·安徽滁州·期末）绿色交通让出行更环保，明明家新购买了某款新能源车，他连续记录了汽车一周内每天行驶的路程(如下表)．以50为标准，多于50的记为“”，不足50的记为“”，刚好50的记为“0”． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 路程() 0 (1)这周该款新能源汽车行驶的路程最少的一天是星期 ； (2)请求出该款新能源汽车这周一共行驶了多少千米？ (3)已知该款新能源汽车每行驶耗电量为12度，每度电为0.55元，请计算明明家新能源汽车这7天的行驶耗电费用是多少元？(结果精确到0.1元) 【答案】(1)三 (2)420千米 (3)27.7元 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用． （1）根据有理数的大小比较即可得出答案． （2）把七天的路程相加即可得出答案． （3）用（2）求的总路程除以再乘以12计算出总耗电量，最后再乘以0.55即可得出答案． 【详解】（1）解：根据表格数据可知汽车行驶的路程最少的一天是星期三． 故答案为：三． （2）解： 答：该款新能源汽车这周一共行驶了420千米． （3）解：（元） 答：明明家新能源汽车这7天的行驶耗电费用约27.7元 【考点10 科学记数法】 例10．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）年月天问一号成功观测到星际天体阿特拉斯，观测时距离该天体约万千米，用科学记数法表示约万为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法的运用，正确确定a，n的值是关键. 科学记数法的表示形式为，确定值的方法：当原数的绝对值大于等于时，把原数变为时，小数点向左移动位数 即为的值；当原数的绝对值小于时，小数点向右移动位数的相反数即为的值，由此即可求解． 【详解】解：∵万， ∴ 故选：B． 变式1．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）根据《2025中国茶叶区域公用品牌价值评估报告》评估，黄山毛峰茶叶品牌价值增至约56.7亿元．数据“56.7亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：56.7亿； 故选：D． 变式2．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）中国年水资源总量约为 27500 亿，人均占有水量相当于世界人均的四分之一，居世界第110位．将27500亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定的值时，要看原数变成时小数点移动的位数，据此解答即可． 【详解】解：27500 亿， 故答案为：． 变式3．（24-25七年级上·安徽六安·期末）六安是革命老区，拥有丰富的自然景观和人文景观．如天堂寨、万佛湖、皖西大裂谷、红军广场等著名景点．2024年8月至10月，六安市旅游收入亿元．其中亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于 10时，是正数，当原数绝对值小于 1 时是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：亿， 故答案为：． 【考点11 程序流程图】 例11．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是（   ） A．10 B．38 C．40 D．42 【答案】B 【分析】本题考查程序图，有理数的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．将代入流程图结果为，不满足的输出条件，再将代入流程图结果为，满足的输出条件，故输出结果为． 【详解】解：当时， ， 当时， ， 则最后输出的结果是． 故选：B． 变式1．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）按如图所示的运算程序，如果输入的值是2，那么输出的结果是（    ） A． B．2 C．24 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，根据输入的值是2，代入代数式进行计算，得，，即可作答． 【详解】解：依题意，输入的值是2，则， ∴， ∴输出的结果是8， 故选：D． 变式2．（25-26七年级上·安徽黄山·期末）小李编写了一段计算机程序，输入任意一个有理数，显示屏的结果总等于所输入有理数的平方与之和，当输入时，将所显示的结果再次输入，这时显示的结果应该是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，程序的功能是输出输入的有理数的平方减2，先计算输入时的输出，再将该输出作为输入计算第二次输出． 【详解】解：当输入时， 可得：， 将再次输入， 可得：． 故选：C． 变式3．（25-26七年级上·山西太原·期末）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为________，________； (2)你认为当输入数等于________（写出一个即可），其输出结果为0； (3)你认为这个“数值转换机”不可能输出________（填“正数”、“0”、“负数”） 【答案】(1)1；2 (2)0 (3)负数 【分析】本题考查了倒数、相反数和绝对值的知识，弄清题中的图表表示的意义是解题的关键． （1）分别将4、7代入数值转换机，计算即可得出结果； （2）当输入数字为0时得到的结果为0； （3）根据“数值转换机”即可得到答案． 【详解】（1）解：若输入数字为4时，，得到， ∵， ∴得到相反数为1，倒数为1， ∴输出结果为1； 若输入数字为7时，，得到，得到相反数为，绝对值为2， ∴输出结果为2； 故答案为：1，2； （2）解：根据题意，输入数字为0时， ∴得到相反数为0，不是正数， ∴取绝对值为0， ∴结果为0， 故答案为：0； （3）解：这个“数值转换机”不可能输出负数， 根据“数值转换机”可得，最后一步时，为正数时取倒数，为非正数时取绝对值， ∴这个“数值转换机”不可能输出负数， 故答案为：负数． 【考点12 算24点】 例12．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方运算（可用括号）列一个算式，先得计算结果为“24”者获胜（J，Q，K分别表示11，12，13，A表示1）．小聪抽到的四张牌如图所示，你能算出“24点”吗？请列出算式 ．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键；因此此题可根据“24点”进行求解． 【详解】解：由题意得：，； 故答案为（答案不唯一）． 变式1．（24-25七年级上·广西贵港·期末）将有理数3，4，，10进行加、减、乘、除四则运算（每个数必须用且只能用一次），使其结果等于24，请你写出符合要求的一个算式，即： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键．通过尝试不同的运算组合，利用括号改变运算顺序，使结果等于24即可． 【详解】解： 故答案为：（答案不唯一）． 变式2．（24-25七年级上·湖北恩施·期末）有一种游戏叫24点游戏，规则是：2位小朋友从分得的26张扑克牌（不含大小王，J算11点、Q算12点、K算13点、A算1点）各抽出2张，共4个点数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24．如：两人抽出的点数为2、3、4、5，可以由或．有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌的点数分别是3、4、1、7，他苦思不得其解，相信聪明的你一定能帮他解决困难，请你写出一个成功的算式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了有理数的混合运算，理解题意熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用有理数的混合运算法则和24点游戏规则写出算式即可． 【详解】解：根据题意得：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 变式3．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）小徽有5张卡片，分别写有数字，，4，7，2，请你按要求抽出卡片，完成下列各题． (1)若从中抽出4张卡片，运用加、减、乘、除、乘方等运算符号和括号，使得4张卡片上的数字的运算结果为24，请写出其中一种算式； (2)（i）若从中抽出2张卡片，且2张卡片上的数字的差最小，应如何抽取？最小值是多少？ （ii）若从中抽出2张卡片，且2张卡片上的数字的积最大，应如何抽取？最大值是多少？ 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（i）抽取数字以及数字，最小值是．（ii）抽取数字以及数字，最大值是45， 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，进行列式计算，即可作答． （2）（i）根据2张卡片上的数字的差最小，则拿出最大的数为，拿出最小的数为，把最小的数减去最大的数，即可作答． （ii）根据2张卡片上的数字的积最大，则抽取相同符号的两个数，且它们的绝对值最大，所以抽取数字以及数字，运算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解：（i）拿出最大的数为，拿出最小的数为， 则， 即抽取最大的数为以及最小的数为，并把最小的数减去最大的数，此时得出差最小； （ii）抽取相同符号的两个数，且它们的绝对值最大，此时2张卡片上的数字的积最大， 即抽取数字以及数字，， ∴这2张卡片上的数字的积最大值是45， 【考点13 近似数】 例13．（24-25七年级上·湖北荆门·期末）下列说法正确的是（   ） A．0.810精确到百分位 B．2.1万精确到个位 C．精确到千分位 D．精确到千位 【答案】D 【分析】本题考查了近似数，利用近似数的精确度对各选项进行判断即可，掌握精确度的概念是解题的关键． 【详解】解：、精确到千分位，原说法错误，不符合题意； 、万精确到千位，原说法错误，不符合题意； 、精确到十位，原说法错误，不符合题意； 、精确到千位，原说法正确，符合题意； 故选：． 变式1．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）我们知道地球半径大约为千米，下列对近似数描述正确的是（    ） A．精确到十分位 B．精确到个位 C．精确到百位 D．精确到千位 【答案】C 【分析】本题考查了近似数精确度，由 ，数字在百位上即可求解，掌握科学记数法的精确度由的最后一位数字所在数位乘以决定． 【详解】解：∵，数字在百位上， ∴精确到百位， 故选：． 变式2．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）2025年8月16日，第9轮“苏超”联赛在宜兴举行，本场比赛观众人数为24212人，用科学记数法将24212人精确到千位所得的近似数为 ． 【答案】 【分析】本题考查近似数和科学记数法．将24212精确到千位，需看百位数字，百位数字为2，，故千位不变，后面各位变为0，得到24000，再用科学记数法表示为． 【详解】解：24212精确到千位，百位数字是2，，故舍去，千位4不变，得到24000． ． 故答案为：． 变式3．（25-26七年级上·四川广元·期末）用四舍五入法对下列各数取近似数 (1)（精确到千分位）； (2)（精确到0.001）； (3)（精确到十位）； (4)亿（精确到万位）； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据小数点左边第一位为个位，右边第一位为十分位，第二位是百分位，第三位是千分位，第四位是万分位，精确到千分位，只需对万分位上的数字实施四舍五入求解即可； （2）精确到0.001即千分位，解答即可； （3）根据解答即可； （4）根据亿，且，解答即可； 本题考查了精确度的计算，熟练掌握计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得． （2）解：根据题意，得． （3）解：根据， 故． （4）解：根据亿，且， 故亿． 【考点14 数轴上的动点问题】 例14．（25-26七年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)______，______； (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端与点重合；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为_______； ②图中点表示的数是______，点表示的数是______； (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请直接写出爷爷和小红现在多少岁． 【答案】(1)7，28 (2)①7；②14，21 (3)65，13 【分析】本题考查非负数的性质，数轴上两点间距离，数轴上的动点问题： （1）利用绝对值和平方的非负性求解； （2）根据木棒的移动可得，再结合（1）中结论求解； （3）把小红与爷爷的年龄差看作木棒，根据爷爷说的话建立数轴，参照（2）中作法求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 解得． 故答案为：7，28． （2）解：①由题知，， 又因为点表示的数是7，点表示的数为28，且， 所以， 即木棒的长度为． 故答案为：7； ②因为， 所以点表示的数是14； 因为， 所以点表示的数是21； 故答案为：14，21． （3）解：根据题意，建立数轴如图所示， 小红现在的年龄对应数轴上的点，爷爷现在的年龄对应数轴上的点， 则当点移动到点时，点移动到了点；当点移动到点时，点移动到了点， 所以， 又因为爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生；你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了”， 所以， 且，， 所以爷爷现在的年龄是65岁，小红现在的年龄是13岁． 变式1．（2025七年级上·江苏连云港·期末）如图1，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、24，其中、满足． (1)填空：__________，__________，__________； (2)如图1，点与点之间的距离表示为，若点、分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，假设经过秒后，、之间的距离为2，请求出的值； (3)如图2，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．请问、两点有没有可能在上坡或下坡时上相遇，若有可能，请直接写出相遇点所表示的数为__________． 【答案】(1)；8；16 (2)或 (3) 【分析】（1）利用非负数的性质先求解，的值，再利用，从而可得的值； （2）由点向右平移对应的点的数是，点向右平移对应的点的数是，结合，建立方程，再解方程即可； （3）先由题意分别计算点运动到点、、三点时的值，再分类讨论在、、上相遇的值是否符合题意即可． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， ，， ， ． 故答案为：；8；16． （2）解：由（1）可知，，，， 点向右平移对应的点的数是，点向右平移对应的点的数是， 当时， 或 ∴或 即当为或时，、之间的距离为． （3）解：由题意得：、、、， 点P运动到点O时，所需时间为，运动到点B的时间为，运动到点C的时间为； 点Q运动到点C的时间为，运动到点B的时间为，运动到点O的时间为， ∴、两点有可能在上坡时相遇，即在线段上相遇， ∴， 解得：， ∴相遇点所表示的数为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，如何表示线段的长度，绝对值的非负性，解题的关键是读懂题意，找到等量关系并列出方程，分类讨论，还需注意运动过程中速度的变化． 变式2．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 【答案】(1) (2)①；②不变；值为 (3)当时，，当时，，当时， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题： （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①由点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案； ②由点以每秒单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，，， ，，， 故答案为：； （2）①点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点与点之间的距离为：； ②点以每秒单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系． 变式3．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）阅读材料：对数轴上的点进行如下操作：将点沿数轴水平方向，以每秒个单位长度的速度，向右平移秒，得到点，称这样的操作为点的“速移”， 点称为点的“速移”点． 阅读材料：若点表示的数分别为，则线段的长度可以这样计算：或，那么当点表示的数分别为时，线段的长度可以表示为或． (1)当，时， ①如果点表示的数为，那么点的“速移”点表示的数为 ； ②点的“速移”点表示的数为，那么点表示的数为 ； (2)数轴上的点表示的数为，表示的数为，点向右平移秒，得到点的“速移”点，那么的长度可以表示为 ； (3)数轴上两点间的距离为，且点在点的左侧，点通过“速移”分别向右平移，秒得到点，，如果，请直接用等式表示，的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】（）根据“速移”点定义及数轴上两点间距离公式解答即可； （）根据“速移”点定义及数轴上两点间距离公式解答即可； （）设点在数轴上表示的数为，则点在数轴上表示的数为，再根据“速移”点定义及数轴上两点间距离公式解答即可； 本题数轴与有理数，数轴上两点间距离，数轴上的动点问题，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①由题意可得，点表示的数为， 故答案为：； ②由题意可得，点表示的数为， 故答案为：； （2）解：由题意可得，点表示的数为， ∴的长度可以表示为， 故答案为：； （3）解：设点在数轴上表示的数为，则点在数轴上表示的数为， ∴点，在数轴上表示的数分别为，， ∵， ∴， 即， ∴或， ∴或． 【考点15 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 例15．（25-26七年级上·全国·期末）已知a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)__________0，__________（填“”或“”） (2)用“”将 a，，b，连接起来：__________． (3)化简 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解绝对值、相反数的意义是正确解答的关键． （1）根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置，得出，且进而解答即可； （2）根据，且，进而解答即可； （3）根据绝对值，相反数的意义解答即可． 【详解】（1）解：根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置可知，，且， ， 故答案为：． （2）解：，且， ． （3）解：，且， ， ． 变式1．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“>”“<”或“=”填空：______0，______0，______0． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数轴上有理数的比较大小，绝对值的化简，整式的加减． （1）根据数轴上点的位置判断各式的正负； （2）根据绝对值的意义去掉绝对值符号并合并同类项． 【详解】（1）解：由数轴可知， ∴，，． 故答案为：； （2）解：      变式2．（25-26七年级上·福建南平·期末）已知，，在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空：______0，______0； (2)填空：______，______； (3)化简：． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了根据数轴判断式子正负，绝对值的非负性． （1）由数轴可知，进而判断即可； （2）根据绝对值的非负性作答即可； （3）根据得到，进而根据绝对值的非负性化简即可． 【详解】（1）解：由数轴可知， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴，， 故答案为：，； （3）解：∵， ∴， 又∵，， ∴． 变式3．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）有理数、、在数轴上的位置如图所示： (1)用“”、“”、“”填空：______0，______0，______0； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了数轴上有理数的大小比较及绝对值的化简，解题的关键是根据数轴判断有理数的正负和绝对值的大小关系． （1）根据数轴上数的位置判断式子的符号； （2）根据绝对值的性质去掉绝对值符号后化简． 【详解】（1）解：由数轴可知，且， ， ， 是正数、是负数，且， ， ， ， 故答案为：，，； （2）解：由（1）知 则 ． 【考点16 绝对值的化简问题】 例16．（25-26七年级上·安徽·期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数1的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题结合数轴考查了绝对值的意义以及绝对值的性质，解题的关键是以和1为界点对的值进行分类讨论，进而得出代数式的值． 以和1为界点，将数轴分成三部分，对的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可． 【详解】解：如图， 当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ； 综上所述，当时，取得最小值， 所以当取得最小值时，的取值范围是． 故选：B． 变式1．（25-26七年级上·江西上饶·期末）已知，则式子：（  ） A．3 B．或1 C．或3 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了乘法法则，绝对值的定义，分类讨论是解题的关键； 由可知a、b、c全为正数或两个负数一个正数，根据分类讨论的思想以及绝对值分别计算式子值即可． 【详解】∵， ∴a、b、c同为正或两负一正． 当，，时， ，，， ∴原式． 当a、b、c中有两个负数一个正数时，不妨设, 则，，， ∴原式． 其他两负一正情况同理，和均为． ∴式子的值为3或． 故选：C． 变式2．（25-26七年级上·江苏南通·期末）已知，若，则的最大值为 ；最小值为 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了有理数的加法和减法法则，绝对值的意义，利用分类讨论的思想求解是关键．根据，将x的表达式中的绝对值内的式子替换为、、，再结合和，判断、、中二正一负，再分三种情况讨论，计算x的值，比较得最大值和最小值即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ ∵， ∴、、中二正一负， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， ∴的最大值为6；最小值为， 故答案为：6；． 变式3．（25-26七年级上·山东济南·期末）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想．例如，在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，． 运用分类讨论的数学思想解决下列问题： (1)已知有理数，则________； (2)已知有三个有理数，，，满足，求的值．小明给出了一个不完整的解法，请补充完整； 解：因为，所以，，三个有理数可以分为：三个都是正有理数或一个正有理数两个负有理数，两种情况； ①情况一，即，，，则________； ②情况二，不妨设，，，则________； 综上所述，值为________； (3)已知，，…，均为有理数，满足，令，求的最大值． 【答案】(1) (2)；；或 (3) 【分析】本题考查有理数的运算，绝对值的意义，解题的关键是掌握去绝对值的法则． （1）根据和两种情况分类讨论即可； （2）根据，，，去绝对值符号计算即可；根据，，，去绝对值计算即可； （3）根据已知条件可设个数中，负数个数为个，正数个数为个，其中且为奇数，表示出计算即可； 【详解】（1）当时，原式； 当时，原式； 故答案是：． （2）， 分以下两种情况： 当，，时，原式； 故答案是：； 假设当，，时，原式； 故答案是：； 或， 故答案是：或． （3）可设个数中，负数个数为个，正数个数为个，其中且为奇数， ， ， 当（最大奇数）时，； 的最大值是； 【考点17 绝对值的几何意义】 例17．（25-26七年级上·广东汕头·期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 举例：数轴上表示2和5两点间的距离是3；表示和5两点间的距离是7； 一般地，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离可表示为； 运用： (1)若，则a的值为________； (2)若数轴上表示数a的点位于与2之间，则________． (3)若代数式，求a的值． 【答案】(1)或5 (2)7 (3)或7． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义与化简，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义和代数意义． （1）直接根据数轴上两点之间的距离的意义计算即可； （2）根据a的范围化简绝对值，再计算即可； （3）分，，三种情况，去绝对值，得到方程，解之即可． 【详解】（1）解：表示数轴上a与2的距离为3， ∴这样的a值为或5， 故答案为：或5； （2）解：∵数轴上表示数a的点位于与2之间， ∴ ， 故答案为：； （3）解：， 当时， ， 解得：； 当时， ，不符合题意； 当时， ， 解得：； 综上：a的值为或7． 变式1．（25-26七年级上·四川成都·期末）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离； ，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上， 数轴上、两点对应的数分别为、， 且、两点之间的距离可以表示为， 则（或）． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，若，则 ； (2)的最小值是 ；当 时的最小值是 ； (3)求的最小值． 【答案】(1)，或 (2)，， (3)的最小值为． 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值方程，绝对值的几何意义． （1）根据阅读材料，即可得数轴上表示和的两点之间的距离，由， 可得或，即可得的值； （2）根据绝对值的几何意义，求解即可； （3），，，，，，共个数，中间两个数为和，根据绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值，取，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴数轴上表示和的两点之间的距离是， ∵， ∴或， ∴或， 故答案为：，或． （2）解：∵表示数轴上点到点和点的距离之和， 当点在点和点之间时取得最小值， 的最小值是， ∵表示数轴上点到点、点和点的距离之和， 当点在中间点处时取得最小值， ∴当时,的最小值是． 故答案为：，，． （3）解：，共个数，中间两个数为和， 根据绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值， 当时， ， ∴的最小值为． 变式2．（25-26七年级上·广西崇左·期末）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离． [操作发现] （1）如图，数轴上表示2和7的两点之间的距离是 ；数轴上表示1和4的两点之间的距离是 ；数轴上表示和2的两点之间的距离是 ； [类比探究] （2）若点M表示的数是m，点N表示的数是n，则点M、N之间的距离为 ； [拓展应用] （3）若数轴上分别表示m和的两点A和B之间的距离是24，则 ； （4）表示的几何意义是 ； 表示的几何意义是 ； 表示的几何意义是 ． （5）若数轴上表示a的点位于表示与2的两点之间，求的值； （6）利用数轴分析，若x是整数，且满足，则满足条件的所有x的值的和为 ． 【答案】（1）5；3；5；（2）；（3）22或；（4）在数轴上表示数a的点和表示有理数的点之间的距离；数轴上表示数a的点和表示有理数的点之间的距离；数轴上表示a的点位于表示与2的两点之间；（5）6；（6）． 【分析】本题考查了数轴上两点间距离和绝对值问题，理解两点间距离并正确化简绝对值是解题关键． （1）利用数轴上两点之间的距离：数轴上任意不同的两点，这两点间的距离=右边的数-左边的数，即可得到结果； （2）利用题干中数轴上两点之间的距离的意义和绝对值的意义解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法和题干中数轴上两点之间的距离的意义解答即可； （4）根据绝对值的几何意义作答即可； （5）利用题干中数轴上两点之间的距离的意义和绝对值的意义化简运算即可； （6）利用分类讨论的思想方法和题干中数轴上两点之间的距离的意义解答即可． 【详解】（1）解：数轴上表示2和7的两点之间的距离是5；数轴上表示1和4的两点之间的距离是3；数轴上表示和2的两点之间的距离是5； 故答案为：5；3；5； （2）解：若点表示的数是，点表示的数是，则点、之间的距离为； 故答案为：； （3）解：∵数轴上分别表示和的两点和之间的距离是24， ∴， ∴或， ∴或； 故答案为：22或； （4）解：表示的几何意义是在数轴上表示数a的点和表示有理数的点之间的距离； 表示的几何意义是数轴上表示数a的点和表示有理数2的点之间的距离； 表示的几何意义是数轴上表示a的点位于表示与2的两点之间； 故答案为：在数轴上表示数a的点和表示有理数的点之间的距离；数轴上表示数a的点和表示有理数的点之间的距离；数轴上表示a的点位于表示与2的两点之间； （5）解：数轴上表示的点位于表示与2的两点之间， ∴， ∴，， ∴ ； （6）解：数轴上表示和2的两点之间的距离是5， ∴满足的值在数轴上表示的点位于表示与2的两点之间， ∵是整数， ∴，，，0，1，2． ∴满足条件的所有的值的和为：． 故答案为：． 变式3．（25-26七年级上·河南郑州·期末）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，绝对值用“”来表示．或指数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． (1)如图，数轴上表示数3和数1的两个点之间的距离是_______；表示数3和数的两个点之间的距离是_______，数x与数表示的两个点之间的距离是_______． (2)如果x表示一个有理数，则时，_______． (3)如果x表示一个有理数，那么是否存在最小值，若存在，请求出最小值，并写出x的范围．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)或 (3)存在，， 【分析】本题主要考查了数轴与绝对值的知识，利用绝对值的几何意义求解是解题的关键． （1）根据绝对值的几何意义，数和数的两个点之间的距离为，数和的两个点之间的距离为，数与数的两个点之间的距离为； （2）表示数轴上表示的点分别到数与数表示的两个点的距离和，分三种情况讨论即可； （3）根据（2）可知，当数位于数和数之间时，的值最小，求出取值范围即可； 【详解】（1）数和数的两个点之间的距离为； 数和的两个点之间的距离为； 数与数的两个点之间的距离为； 故答案是：；；； （2）表示数轴上表示的点分别到数与数表示的两个点的距离和为， 当数位于数的右边，则， ， ， ； 当数位于数的左边，则， ， ， ； 当数位于数和数的中间，则， ，舍去； 故答案是：或； （3）存在，理由如下： 当数位于数的右边，即，则， ； 当数位于数的左边，即，则， ， 当数位于数和数上及中间，即，则， ； 当时，有最小值． 【考点18 有理数运算的新定义问题】 例18．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）对于任意均不为0的有理数a，b，定义运算“*”；，如，则计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数混合运算，属于中档题．根据新运算定义，先计算内层运算 ，再计算． 【详解】解：根据题意：， ∴， 故选：B． 变式1．（2025·内蒙古呼伦贝尔·一模）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查新定义，有理数的混合运算，根据新定义，列出算式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：8． 变式2．（25-26七年级上·广西南宁·期末）阅读材料，并完成相关问题． 小张定义了一种新的运算： ；； ；； ；． 问题： (1)请归纳※运算的运算法则： 两数进行※运算时，同号得_______，异号得_______，并把这两个数的绝对值________．特别的，0和任何数进行※运算，或任何数和0进行※运算，结果_________________； (2)计算：； (3)若，求a的值． 【答案】(1)负，正，相加，都得这个数的绝对值 (2) (3) 【分析】本题考查新定义下的运算，有理数的加减，绝对值，掌握知识点是解题的关键． （1）根据新定义下的运算，即可解答； （2）根据新定义下的运算进行计算即可； （3）先求出，再根据两数进行※运算时，同号得负，异号得正，并把这两个数的绝对值相加，得，继而推导出，即，求出，即可解答． 【详解】（1）解：由题意，得 两数进行※运算时，同号得负，异号得正，并把这两个数的绝对值相加．特别的，0和任何数进行※运算，或任何数和0进行※运算，结果都得这个数的绝对值． 故答案为：负，正，相加，都得这个数的绝对值． （2） ． （3）∵， ∴， 根据两数进行※运算时，同号得负，异号得正，并把这两个数的绝对值相加，得 ， ∴， ， ． 变式3．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期末）【初步感知】 已知有理数（不为0和1），我们把1与的倒数的差，即称为的倒数差，如：5的倒数差是，的倒数差是． 【理解运用】 若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，，以此类推． （1）分别求出，，的值； （2）的值为__________；（直接写出结果） 【拓展提升】 设a，b，c都是不为0和1的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第1次变换后得到数组，第2次变换后得数组，，第次变换后得到数组． （3）若数组确定为，求的值． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【分析】本题主要考查定义新运算，有理数的混合运算，理解差倒数的计算方法，掌握有理数的混合运算，代入求值是解题的关键． （1）根据差倒数的计算方法即可求解； （2）根据差倒数的计算方法可得，，，代入计算即可求解； （3）根据题意，分别算出的值，找出规律，代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，，； （2）根据题意，，，， ∴从开始，三个一组，为一个循环， ∵， ∴； （3）∵， ∴，，，， ∴三个一组，为一个循环， ∴， ∵， ∴，，，， ∴三个一组，为一个循环， ∴， ∵， ∴，，，， ∴三个一组，为一个循环， ∴， ∴ ． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若，则a、b在数轴上表示的点的位置可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴与有理数，绝对值的意义，根据绝对值的意义，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、由数轴得，，不符合题意； B、由数轴得，，不符合题意； C、由数轴得，，不符合题意； D、由数轴得，，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期末），为有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，下面四个结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、绝对值、有理数的加减法、乘法运算法则等知识点，正确判断a、b的符号及其绝对值的大小关系是解题的关键． 由数轴可知、，然后逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知、，则： A．，即A选项错误，不符合题意； B．，即B选项错误，不符合题意； C．易得，，即C选项正确，符合题意； D．，即D选项正确，不符合题意． 故选∶D． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）定义一种幂的新运算：，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解决本题的关键是根据新定义运算的规则．把转化为一般的运算，再根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：， ； 故选：C． 4．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，，，，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在P与之间，若，则原点是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，准确识图，判断出、两个数之间的距离小于3是解题的关键． 根据数轴判断出、两个数之间的距离小于3，然后根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：， 、两个数之间的距离小于3， ， ∴原点不在、两个数之间，(否则)，即原点不在或， ∴原点是或． 故选：A． 5．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物㳔刻朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“——”当作数字“1”，把阴爻“一一”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下： 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 0 艮 1 坎 2 巽 3 例如：“艮”卦所表示二进制数为，转化为十进制数是，“巽”卦所表示二进制数为，转化为十进制数是．（规定）依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 此题考查了有理数的混合运算．根据题意得到“”表示的二进制数为，再转化为十进制数即可． 【详解】 解：“”表示的二进制数为，转化为十进制数是． 故选：B 6．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需将该数写为若干个的数字之和，依次写出1或0的系数即可，如十进制数字19可以写为二进制数字10011，因为，32可以写为二进制数字100000，因为，则十进制数字70是二进制下的（　　） A．6位数 B．7位数 C．8位数 D．9位数 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的运算，将70写成，继而即可求得答案，熟练掌握将70写成是解决此题的关键． 【详解】 ， ∴十进制数字70写为二进制数字1000110， ∴十进制数字70是二进制下的7位数， 故选：B． 7．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数比较大小，熟练掌握两个负数比较大小的方法是解题的关键．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．先比较两个负数的绝对值的大小，再根据两个负数比较大小的方法，即得答案． 【详解】，，且， ． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）魔术师的魔术表演风靡全世界，很多同学非常感兴趣，也学起了魔术．小华把任意有理数对放进装有计算装置的魔术盒，会得到一个新的有理数． 例如：把放入其中，就会得到．现将有理数对放入其中，得到的有理数是 ．若将正整数对放入其中，得到的值是6，则满足条件的所有的正整数对为 ． 【答案】 8 或 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．把有理数放入其中，计算即可得到结果；根据结果为6列出方程，由x与y为正整数确定出即可． 【详解】解：根据题意得：； 根据题意得：， 当时，；时，， 则为或， 故答案为：8；或 9．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）小明在学习了“进位制”的知识后，掌握了不同进位制的数之间的转换方法，如将二进制数，换算成十进制数应为：．右图是小明采用“五进制”记数的方法所画的图形，从右向左，用涂黑的圆表示数，满五进一，表示的“五进制”数为，则此图表示的十进制数为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘方、加法的运算及零指数幂，正确理解五进制数与十进制数换算方法是解答本题的关键． 根据题中方法计算即可得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）计算的值时，令，则，因此，所以．仿照以上推理，计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是将所求的式子整体进行扩大或缩小，要熟悉这种解题的思路．根据题目所给方法，令，表示出，相加得出的值，然后化简即可． 【详解】解：令 则 因此， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·安徽池州·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为 ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 【答案】 2024 2 【分析】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义得出表示x与，2和2024三个数的距离之和是解题的关键． 【详解】（1）∵，，， ∴，， 即，， 故答案为：2024； （2）∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4， ∴，， ∵表示x与，2和2024三个数的距离之和， ∴当x取中间值2时，和为最小值为2024； 故答案为：2． 12．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）点O为数轴的原点，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足．若点C从原点出发以3个单位/秒的速度向点A运动，同时点D从原点出发以2个单位/秒的速度向点B运动，当到达A点或B点后立即以原来的速度向相反的方向运动，直到C点到达B点或D点到达A点时运动停止，若t秒后C、D两点相距5个单位长度，则t的值为 ． 【答案】，， 【分析】本题考查绝对值的非负性．数轴上点的表示及线段和差表示线段长．先求出的值，再根据运动时间分情况讨论的长，列式求解即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∵若t秒后C、D两点相距5个单位长度，根据题意得： 点到达时运动时间为（秒），点到达时运动时间为（秒）， 点从原点出发反向先到达点所用时间为（秒）， 根据题意分情况讨论： ①当时，点对应的数为，点对应的数为， 此时，解得：， ②当时，点对应的数为，点对应的数为， 此时，解得：（舍）， ③当时，点对应的数为，点对应的数为， 此时，解得：或， 综上所述：秒，秒，秒后C、D两点相距5个单位长度， 13．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握混合运算法则． （1）先算乘方，再算乘除，最后计算加减法即可； （2）先算乘方，化简绝对值，再算乘除，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 14．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）计算： 【答案】3 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，原式先分别计算乘方，括号内的绝对值，然后计算乘除法，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）我市出租车司机王师傅2024年9月8日上午从地出发，在南北方向的公路上行驶营运，下表是每次行驶的里程（单位：公里）（规定向南走为正，向北走为负；0表示空载，表示载有乘客，且乘客数不多于4人都不相同）： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 里程 载客 0 (1)已知出租车每公里耗油约立方米，王师傅开始营运前油箱里有12立方米天然气，若少于5立方米，则需要添加天然气，请通过计算说明王师傅这天上午6次里程中途是否需要添加天然气． (2)已知载客时3公里以内（含3公里）收费10元，超过3公里后每公里收费2元，问王师傅这天上午走完6次里程后的营业总额为多少元？ 【答案】(1)王师傅这天上午中途不需要加油 (2)王师傅这天上午走完6次里程后的营业总额为172元 【分析】本题考查正负数的应用、有理数的混合运算的应用，掌握绝对值的计算方法是解决问题的关键． （1）先求出总里程，然后求得所耗油量，再根据耗油量和油箱内油量情况进行判断； （2）求出载客超过3公里后的收费然后在加上起步的价格，求和即可． 【详解】（1）解：公里， ， ∴王师傅这天上午中途不需要加油； （2）解： 元， 即王师傅这天上午走完6次里程后的营业总额为172元． 16．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，类比有理数的乘方，我们把记作，读作2的圈3次方，记作，读作的圈4次方． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：_________，__________． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． 【探究应用】（2）试一试：仿照图中算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式：_____， _________（其中，为正整数）． （3）请利用（2）中结论计算：． 【答案】（1），9；（2），；（3） 【分析】本题考查有理数的乘方、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题意，可以计算出所求式子的值； （2）根据题意，可以计算出所求式子的值； （3）先算乘方和除方，再算乘除法，然后算减法即可． 【详解】解：（1）由题意可得， ，， 故答案为：，9； （2）由题意可得， ， ， 故答案为：，； （3） ． 17．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）点M，N在数轴上分别表示数m，n，若M，N两点之间的距离表示为MN，则．如图，已知数轴上点M，N分别表示数m，n，其中． (1)若，试求线段MN的距离及线段MN的中点A表示的数a； (2)若在该数轴上有另一个点B表示的数为b． ①若，点B在点N的左侧，且，求代数式的值； ②若，且，能否求出代数式的值？若能，请求出该值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)线段的距离10，线段的中点A表示的数1 (2)①2033；②2013 【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义，两点间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴知识． （1）利用数轴知识和线段中点的定义计算； （2）①根据，利用两点间距离列出等式，求出m，n的关系，再计算代数式的值；②根据，利用两点间距离列出等式，求出m，n的关系，再计算代数式的值． 【详解】（1）解：， 线段的距离为， 线段的中点A表示的数； （2）解：①如图1， ，点分别表示数，点在点的左侧， ． 又 ， ， ， ． ②能求出代数式的值，如图2． ，点分别表示数， 点在点的左侧， ． 又 ， ， ， ． 18．（24-25七年级上·安徽六安·期末）结合数轴、绝对值和方程的知识回答下列问题： 数轴上表示和的两点之间的距离是；表示和两点之间的距离是； 一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (1)如果表示数和的两点之间的距离是，那么可列方程为，则_____； (2)若数轴上表示数的点位于表示与的两点之间，则_____； (3)如果点表示、点表示、点表示，点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒，在一段时间内的值不变，直接写出的取值范围． 【答案】(1)或； (2)； (3)当时，的值不变． 【分析】（）根据绝对值的意义解方程即可求解； （）由得到所求式子的值为数表示的点到表示的点与到表示的点的距离之和，即为表示的点到表示的点的距离，根据两点间距离公式计算即可求解； （）根据题意可知，当点在线段上运动时，的值不变,分别求出点从点运动到点和到点的时间即可求解； 本题考查了数轴上两点间的距离及动点问题，掌握数轴上两点间的距离计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或； （2）解：∵， ∴所求式子的值为数表示的点到表示的点与到表示的点的距离之和，即为表示的点到表示的点的距离， ∴， 故答案为：； （3）解：根据题意可知，当点在线段上运动时，的值不变, 点从点运动到点的时间为秒， 点从点运动到点的时间为秒， ∴当时，的值不变． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：正数和负数 正数：像3.5，2020，6.7，等这样的数都是正数，它们都是大于0的； 负数：像－154，－3.4，－3.5％等这样的数都是负数，它们都是小于0的； 知识点2 ：具有相反意义的量 具有相反意义的量包括两个因素：①有相反的意义，②有数量. 知识点3 ：有理数的概念与分类 我们把能够写成分数形式（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数. 有理数的分类 1.按定义分 2.按正负分 知识点4 ：数轴 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 2.数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 知识点5 ：比较有理数的大小 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 知识点6 ：绝对值与相反数 1.绝对值的性质 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即 2.绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 3.相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数. 4.相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数. 知识点7 ：有理数的混合运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a；②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点8 ：科学记数法 科学计数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法. 知识点9 ：利用运算律简便计算 1. 有理数运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律等； 2. 一些计算优先结合会简便很多，如下所示： （1） 相反数结合； （2） 凑整结合； （3） 正、负分别结合； （4） 同分母结合； （5） 倒数结合 知识点10 ：近似数 1.有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． 2.近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 【考点1 正数与负数】 例1．（2025七年级上·北京·期末）下列说法正确的是（   ） A．一个数不是正数就是负数 B．是最小的正数 C．一定是负数 D．若规定收入为正，则支出元应记作元 变式1．（24-25七年级上·云南红河·期末）在下列各数，7，，，，，0，中，负数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式2．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．例如收入20元记作元，则支出10元记作 元． 变式3．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）阅读下列材料并解答问题． 素材 为了进一步加强对学生的劳动教育，某校将学校劳动实践基地划分区域，分给每个班级自主管理．七年级一班的同学们在本班的种植区域中种植了花生，经过精心耕种，同学们一共收获了8筐花生，以每筐为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： 筐号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 重量 2.5 0 1 2 任务1 （1）求这8筐花生的实际重量分别为多少千克？ 任务2 （2）在学校的组织下，同学们对收获的花生以市场价7元/千克的价格全部售出，已知七年级一班在播种时，以10元/千克的价格购进花生种子15千克，请你帮七年级一班同学算一算，他们此次耕种花生获利了多少元？ 【考点2 有理数的分类】 例2．（25-26七年级上·山东日照·期末）把下列各数分别填入相应的大括号内： ． 分数集合：{___________…}； 整数集合：{___________…}； 非负数集合：{___________…}； 正有理数集合：{___________…}． 变式1．（25-26七年级上·四川泸州·期末）把下列各数分类，并把序号填写在表示相应集合的大括号里．（只填写序号） ①，②，③9，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（两个6之间8的个数依次增加1），⑨，⑩ (1)正有理数集合：______…； (2)负有理数集合：______…； (3)非负整数集合：______… 变式2．（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）把下列各数填入到相应的括号内（只填写序号）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 负数：{______________________}； 整数：{______________________}； 分数：{______________________}； 有理数：{______________________}． 变式3．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）下图中的三个圈分别表示负有理数集合，整数集合和正有理数集合． (1)应填在______区域，应填入______区域，区域表示的有理数是______； (2)请将下列各数填入图中适当的区域内． ，，，，，，，，， 【考点3 数轴】 例3．（25-26七年级上·福建·期末）已知有理数：，2.5，，4，0． (1)画出数轴，并在数轴上表示出上述有理数； (2)在数轴上表示与4的点之间（包括这两个点）有_______个点表示的数是整数，其中表示“非负整数”的数分别是_______； (3)在数轴上，从表示数的点A出发，沿着数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是_______． 变式1．（25-26七年级上·安徽·期末）根据所给数轴（如图，原点未标出），完成下列各题： (1)已知点C 在表示数1，2的两个点的正中间，那么点C 表示的数是： (2)已知点A表示，点B表示，在图中标出原点O，点A，点 B 的位置． 变式2．（2025七年级上·广东汕头·期末）如图，在数轴上有三个点，，，请回答下列问题： (1)点，，表示的数分别为 ， ， ； (2)点，，表示的数的相反数分别为 ， ， ； (3)将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是 ； (4)将点向某个方向移动个单位长度后，其对应点所表示的数的绝对值是 ． 变式3．（25-26七年级上·新疆哈密·期末）如图，数轴上每两个刻度之间的距离为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点． (2)并指出点所表示的数是______． (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为3个单位长度，那么点表示的数为_____． 【考点4 绝对值】 例4．（2025七年级上·全国·期末）有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，，，表示数b的点与原点之间的距离为3个单位长度． (1) ， ， ． (2)如果有一只蚂蚁位于有理数c对应点的位置，要沿着数轴爬行到距离原点2个单位长度的位置，请说明这只蚂蚁应该如何爬行？ 变式1．（24-25七年级上·安徽池州·期末）已知，，且， (1)n的值． (2)求的值． 变式2．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 变式3．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）我们知道：数轴是一条特殊的直线，它既可以用来表示数，又可以帮助我们比较两个数的大小．请根据你对数轴的理解，解答下列问题： (1)如图所示，，，为数轴上三点，且当A为原点时，点表示的数是，点表示的数是．若以为原点，则点表示的数是 ，点表示的数是 ；若，表示的两个数互为相反数，则点表示的数是 ． (2)数a和b在数轴上的位置如图所示，将，，，从小到大排列为 ． (3)在所给数轴上表示下列各数：，，，． 【考点5 相反数】 例5．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）下列两个数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 变式1．（25-26七年级上·福建泉州·期末）下列各组数中，互为相反数的是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 变式2．（24-25七年级上·浙江台州·期末）若与互为相反数，则 ． 变式3．（2024七年级上·全国·期末）如图所示，A，B，C为数轴上三点，且当A为原点时，点B表示的数是2，点C表示的数是5．若以B为原点，则点A表示的数是 ，点C表示的数是 ；若A，C表示的两个数互为相反数，则点B表示的数是 ． 【考点6 有理数的大小比较】 例6．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）下列各数：，，，，其中比大的数是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）有理数在数轴上对应的点如图所示，则，，1的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）比较大小： （填“>”，“=”，“<”号）． 变式3．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）已知下列有理数． (1)在数轴上标出这些数对应的点； (2)把这些数按从大到小的顺序用“>”连接起来． 【考点7 有理数的混合运算】 例7．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）计算： (1)； (2)． 变式1．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）计算：． 变式2．（2025七年级上·全国·期末）计算下列各题： (1) (2)； (3)； (4)． (5)． 变式3．（25-26七年级上·江西宜春·期末）计算： (1)； (2)． 【考点8 有理数的简便运算】 例8．（25-26七年级上·四川广元·期末）计算： (1)； (2)． 变式1．（25-26七年级上·河南安阳·期末）简便计算： (1)； (2)． 变式2．（25-26七年级上·河南南阳·期末）学习了有理数的运算后，王老师给同学们出了这样一道题：计算，看谁算得又对又快． 下面是两位同学给出的不同解法． 小亮：原式 小舒：原式． (1)以上两种解法，你认为谁的解法比较简便？理由是什么？ (2)请你用简便方法计算． 变式3．（25-26七年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用分配律解题我们知道，分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的时，我们可以逆用分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用分配律可得，这样计算就简便得多． 计算： (1)； (2)． 【考点9 有理数混合运算的实际应用】 例9．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）为助力合肥市交通高质量发展，保障城市道路照明系统稳定，某工程队的检修小组负责对一条南北走向的快速路路灯线路进行检修维护．小组从基地出发，开始一天的巡查，规定向北行驶的路程记为正值，向南行驶记为负值．全天共进行了七次移动作业，行驶记录如下（单位：公里）： 作业次序 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 行驶记录 请根据以上信息，回答下列问题： (1)当小组完成全部七次作业后，收工时位于基地的什么方向？距离基地多远？ (2)在这七次作业过程中，小组距离基地最远是在第几次作业后？最远距离是多少？ (3)已知该工程车每公里耗油升，请问为完成本次巡检任务，共耗油多少升？ 变式1．（25-26七年级上·安徽·期末）“徽州雪梨”是安徽省最著名的水果之一，某食品公司收购了600吨雪梨，如果按照不同的方式销售，公司获利情况如下表： 销售方式 直接销售 粗加工后销售 精加工后销售 每吨获利（元） 500 1000 1500 如果对雪梨进行粗加工，该公司每天可加工50吨；如果进行精加工，该公司每天可加工20吨，但每天两种方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批雪梨全部销售或加工完毕，为此公司计划了两种加工方案． 方案一：尽可能多的对雪梨进行精加工，没有来得及加工的雪梨在市场上直接销售（直接销售不占用加工时间且一天内可全部售出）； 方案二：前5天将部分雪梨进行精加工，后10天对其余雪梨进行粗加工，恰好全部加工完毕． 如果你是公司负责人，从获得利润的角度来说，你会选择哪种方案，请计算说明． 变式2．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）供电局线路检修班乘汽车沿南北方向检修路线，检修班的记录员把当天行车情况记录如下： 到达地点 起点 A B C D E F G H I J 前进方向 北 南 北 北 南 北 南 北 南 北 所走路程（km） 0 9 3 5 3 6 11 4 8 11 10 (1)求H地与起点之间的距离有多少千米？ (2)若汽车每千米耗油0.15升，这天检修班从起点开始，最后到达J地，一共耗油多少升？（精确到0.1升） 变式3．（25-26七年级上·安徽滁州·期末）绿色交通让出行更环保，明明家新购买了某款新能源车，他连续记录了汽车一周内每天行驶的路程(如下表)．以50为标准，多于50的记为“”，不足50的记为“”，刚好50的记为“0”． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 路程() 0 (1)这周该款新能源汽车行驶的路程最少的一天是星期 ； (2)请求出该款新能源汽车这周一共行驶了多少千米？ (3)已知该款新能源汽车每行驶耗电量为12度，每度电为0.55元，请计算明明家新能源汽车这7天的行驶耗电费用是多少元？(结果精确到0.1元) 【考点10 科学记数法】 例10．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）年月天问一号成功观测到星际天体阿特拉斯，观测时距离该天体约万千米，用科学记数法表示约万为（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）根据《2025中国茶叶区域公用品牌价值评估报告》评估，黄山毛峰茶叶品牌价值增至约56.7亿元．数据“56.7亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）中国年水资源总量约为 27500 亿，人均占有水量相当于世界人均的四分之一，居世界第110位．将27500亿用科学记数法表示为 ． 变式3．（24-25七年级上·安徽六安·期末）六安是革命老区，拥有丰富的自然景观和人文景观．如天堂寨、万佛湖、皖西大裂谷、红军广场等著名景点．2024年8月至10月，六安市旅游收入亿元．其中亿用科学记数法表示为 ． 【考点11 程序流程图】 例11．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是（   ） A．10 B．38 C．40 D．42 变式1．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）按如图所示的运算程序，如果输入的值是2，那么输出的结果是（    ） A． B．2 C．24 D．8 变式2．（25-26七年级上·安徽黄山·期末）小李编写了一段计算机程序，输入任意一个有理数，显示屏的结果总等于所输入有理数的平方与之和，当输入时，将所显示的结果再次输入，这时显示的结果应该是（ ） A． B． C． D． 变式3．（25-26七年级上·山西太原·期末）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为________，________； (2)你认为当输入数等于________（写出一个即可），其输出结果为0； (3)你认为这个“数值转换机”不可能输出________（填“正数”、“0”、“负数”） 【考点12 算24点】 例12．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方运算（可用括号）列一个算式，先得计算结果为“24”者获胜（J，Q，K分别表示11，12，13，A表示1）．小聪抽到的四张牌如图所示，你能算出“24点”吗？请列出算式 ．（写出一种即可） 变式1．（24-25七年级上·广西贵港·期末）将有理数3，4，，10进行加、减、乘、除四则运算（每个数必须用且只能用一次），使其结果等于24，请你写出符合要求的一个算式，即： ． 变式2．（24-25七年级上·湖北恩施·期末）有一种游戏叫24点游戏，规则是：2位小朋友从分得的26张扑克牌（不含大小王，J算11点、Q算12点、K算13点、A算1点）各抽出2张，共4个点数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24．如：两人抽出的点数为2、3、4、5，可以由或．有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌的点数分别是3、4、1、7，他苦思不得其解，相信聪明的你一定能帮他解决困难，请你写出一个成功的算式： ． 变式3．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）小徽有5张卡片，分别写有数字，，4，7，2，请你按要求抽出卡片，完成下列各题． (1)若从中抽出4张卡片，运用加、减、乘、除、乘方等运算符号和括号，使得4张卡片上的数字的运算结果为24，请写出其中一种算式； (2)（i）若从中抽出2张卡片，且2张卡片上的数字的差最小，应如何抽取？最小值是多少？ （ii）若从中抽出2张卡片，且2张卡片上的数字的积最大，应如何抽取？最大值是多少？ 【考点13 近似数】 例13．（24-25七年级上·湖北荆门·期末）下列说法正确的是（   ） A．0.810精确到百分位 B．2.1万精确到个位 C．精确到千分位 D．精确到千位 变式1．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）我们知道地球半径大约为千米，下列对近似数描述正确的是（    ） A．精确到十分位 B．精确到个位 C．精确到百位 D．精确到千位 变式2．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）2025年8月16日，第9轮“苏超”联赛在宜兴举行，本场比赛观众人数为24212人，用科学记数法将24212人精确到千位所得的近似数为 ． 变式3．（25-26七年级上·四川广元·期末）用四舍五入法对下列各数取近似数 (1)（精确到千分位）； (2)（精确到0.001）； (3)（精确到十位）； (4)亿（精确到万位）； 【考点14 数轴上的动点问题】 例14．（25-26七年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)______，______； (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端与点重合；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为_______； ②图中点表示的数是______，点表示的数是______； (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请直接写出爷爷和小红现在多少岁． 变式1．（2025七年级上·江苏连云港·期末）如图1，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、24，其中、满足． (1)填空：__________，__________，__________； (2)如图1，点与点之间的距离表示为，若点、分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，假设经过秒后，、之间的距离为2，请求出的值； (3)如图2，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．请问、两点有没有可能在上坡或下坡时上相遇，若有可能，请直接写出相遇点所表示的数为__________． 变式2．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 变式3．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）阅读材料：对数轴上的点进行如下操作：将点沿数轴水平方向，以每秒个单位长度的速度，向右平移秒，得到点，称这样的操作为点的“速移”， 点称为点的“速移”点． 阅读材料：若点表示的数分别为，则线段的长度可以这样计算：或，那么当点表示的数分别为时，线段的长度可以表示为或． (1)当，时， ①如果点表示的数为，那么点的“速移”点表示的数为 ； ②点的“速移”点表示的数为，那么点表示的数为 ； (2)数轴上的点表示的数为，表示的数为，点向右平移秒，得到点的“速移”点，那么的长度可以表示为 ； (3)数轴上两点间的距离为，且点在点的左侧，点通过“速移”分别向右平移，秒得到点，，如果，请直接用等式表示，的数量关系． 【考点15 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 例15．（25-26七年级上·全国·期末）已知a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)__________0，__________（填“”或“”） (2)用“”将 a，，b，连接起来：__________． (3)化简 变式1．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“>”“<”或“=”填空：______0，______0，______0． (2)化简：． 变式2．（25-26七年级上·福建南平·期末）已知，，在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空：______0，______0； (2)填空：______，______； (3)化简：． 变式3．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）有理数、、在数轴上的位置如图所示： (1)用“”、“”、“”填空：______0，______0，______0； (2)化简：． 【考点16 绝对值的化简问题】 例16．（25-26七年级上·安徽·期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数1的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 变式1．（25-26七年级上·江西上饶·期末）已知，则式子：（  ） A．3 B．或1 C．或3 D．1 变式2．（25-26七年级上·江苏南通·期末）已知，若，则的最大值为 ；最小值为 ． 变式3．（25-26七年级上·山东济南·期末）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想．例如，在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，． 运用分类讨论的数学思想解决下列问题： (1)已知有理数，则________； (2)已知有三个有理数，，，满足，求的值．小明给出了一个不完整的解法，请补充完整； 解：因为，所以，，三个有理数可以分为：三个都是正有理数或一个正有理数两个负有理数，两种情况； ①情况一，即，，，则________； ②情况二，不妨设，，，则________； 综上所述，值为________； (3)已知，，…，均为有理数，满足，令，求的最大值． 【考点17 绝对值的几何意义】 例17．（25-26七年级上·广东汕头·期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 举例：数轴上表示2和5两点间的距离是3；表示和5两点间的距离是7； 一般地，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离可表示为； 运用： (1)若，则a的值为________； (2)若数轴上表示数a的点位于与2之间，则________． (3)若代数式，求a的值． 变式1．（25-26七年级上·四川成都·期末）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离； ，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上， 数轴上、两点对应的数分别为、， 且、两点之间的距离可以表示为， 则（或）． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，若，则 ； (2)的最小值是 ；当 时的最小值是 ； (3)求的最小值． 变式2．（25-26七年级上·广西崇左·期末）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离． [操作发现] （1）如图，数轴上表示2和7的两点之间的距离是 ；数轴上表示1和4的两点之间的距离是 ；数轴上表示和2的两点之间的距离是 ； [类比探究] （2）若点M表示的数是m，点N表示的数是n，则点M、N之间的距离为 ； [拓展应用] （3）若数轴上分别表示m和的两点A和B之间的距离是24，则 ； （4）表示的几何意义是 ； 表示的几何意义是 ； 表示的几何意义是 ． （5）若数轴上表示a的点位于表示与2的两点之间，求的值； （6）利用数轴分析，若x是整数，且满足，则满足条件的所有x的值的和为 ． 变式3．（25-26七年级上·河南郑州·期末）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，绝对值用“”来表示．或指数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． (1)如图，数轴上表示数3和数1的两个点之间的距离是_______；表示数3和数的两个点之间的距离是_______，数x与数表示的两个点之间的距离是_______． (2)如果x表示一个有理数，则时，_______． (3)如果x表示一个有理数，那么是否存在最小值，若存在，请求出最小值，并写出x的范围．若不存在，请说明理由． 【考点18 有理数运算的新定义问题】 例18．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）对于任意均不为0的有理数a，b，定义运算“*”；，如，则计算的结果为（    ） A． B． C． D． 变式1．（2025·内蒙古呼伦贝尔·一模）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式2．（25-26七年级上·广西南宁·期末）阅读材料，并完成相关问题． 小张定义了一种新的运算： ；； ；； ；． 问题： (1)请归纳※运算的运算法则： 两数进行※运算时，同号得_______，异号得_______，并把这两个数的绝对值________．特别的，0和任何数进行※运算，或任何数和0进行※运算，结果_________________； (2)计算：； (3)若，求a的值． 变式3．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期末）【初步感知】 已知有理数（不为0和1），我们把1与的倒数的差，即称为的倒数差，如：5的倒数差是，的倒数差是． 【理解运用】 若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，，以此类推． （1）分别求出，，的值； （2）的值为__________；（直接写出结果） 【拓展提升】 设a，b，c都是不为0和1的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第1次变换后得到数组，第2次变换后得数组，，第次变换后得到数组． （3）若数组确定为，求的值． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若，则a、b在数轴上表示的点的位置可能是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期末），为有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，下面四个结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）定义一种幂的新运算：，则的值为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，，，，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在P与之间，若，则原点是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物㳔刻朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“——”当作数字“1”，把阴爻“一一”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下： 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 0 艮 1 坎 2 巽 3 例如：“艮”卦所表示二进制数为，转化为十进制数是，“巽”卦所表示二进制数为，转化为十进制数是．（规定）依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需将该数写为若干个的数字之和，依次写出1或0的系数即可，如十进制数字19可以写为二进制数字10011，因为，32可以写为二进制数字100000，因为，则十进制数字70是二进制下的（　　） A．6位数 B．7位数 C．8位数 D．9位数 7．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）比较大小： ．（填“”“”或“”） 8．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）魔术师的魔术表演风靡全世界，很多同学非常感兴趣，也学起了魔术．小华把任意有理数对放进装有计算装置的魔术盒，会得到一个新的有理数． 例如：把放入其中，就会得到．现将有理数对放入其中，得到的有理数是 ．若将正整数对放入其中，得到的值是6，则满足条件的所有的正整数对为 ． 9．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）小明在学习了“进位制”的知识后，掌握了不同进位制的数之间的转换方法，如将二进制数，换算成十进制数应为：．右图是小明采用“五进制”记数的方法所画的图形，从右向左，用涂黑的圆表示数，满五进一，表示的“五进制”数为，则此图表示的十进制数为 ． 10．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）计算的值时，令，则，因此，所以．仿照以上推理，计算： ． 11．（24-25七年级上·安徽池州·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为 ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 12．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）点O为数轴的原点，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足．若点C从原点出发以3个单位/秒的速度向点A运动，同时点D从原点出发以2个单位/秒的速度向点B运动，当到达A点或B点后立即以原来的速度向相反的方向运动，直到C点到达B点或D点到达A点时运动停止，若t秒后C、D两点相距5个单位长度，则t的值为 ． 13．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）计算： (1) (2)． 14．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）计算： 15．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）我市出租车司机王师傅2024年9月8日上午从地出发，在南北方向的公路上行驶营运，下表是每次行驶的里程（单位：公里）（规定向南走为正，向北走为负；0表示空载，表示载有乘客，且乘客数不多于4人都不相同）： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 里程 载客 0 (1)已知出租车每公里耗油约立方米，王师傅开始营运前油箱里有12立方米天然气，若少于5立方米，则需要添加天然气，请通过计算说明王师傅这天上午6次里程中途是否需要添加天然气． (2)已知载客时3公里以内（含3公里）收费10元，超过3公里后每公里收费2元，问王师傅这天上午走完6次里程后的营业总额为多少元？ 16．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，类比有理数的乘方，我们把记作，读作2的圈3次方，记作，读作的圈4次方． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：_________，__________． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． 【探究应用】（2）试一试：仿照图中算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式：_____， _________（其中，为正整数）． （3）请利用（2）中结论计算：． 17．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）点M，N在数轴上分别表示数m，n，若M，N两点之间的距离表示为MN，则．如图，已知数轴上点M，N分别表示数m，n，其中． (1)若，试求线段MN的距离及线段MN的中点A表示的数a； (2)若在该数轴上有另一个点B表示的数为b． ①若，点B在点N的左侧，且，求代数式的值； ②若，且，能否求出代数式的值？若能，请求出该值；若不能，请说明理由． 18．（24-25七年级上·安徽六安·期末）结合数轴、绝对值和方程的知识回答下列问题： 数轴上表示和的两点之间的距离是；表示和两点之间的距离是； 一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (1)如果表示数和的两点之间的距离是，那么可列方程为，则_____； (2)若数轴上表示数的点位于表示与的两点之间，则_____； (3)如果点表示、点表示、点表示，点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒，在一段时间内的值不变，直接写出的取值范围． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $