专题04 一次方程组的解法与应用（4大知识点+20大考点+复习提升）（寒假复习讲义）七年级数学新教材沪科版

专题04 一次方程组的解法与应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：二元一次方程（组）的相关概念 1.二元一次方程 二元一次方程概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 二元一次方程的三要素：1）有且只有两个未知数；2）含有未知数的项的次数为1；3)方程两边都是整式. 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 2.二元一次方程组 二元一次方程组的概念：方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫做二元一次方程组. 一般形式：，（其中不同时为0，不同时为0）. 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 知识点2 ：解二元一次方程组 1.代入消元法 定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 2）代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 2.加减消元法 定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数； 2）加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 知识点3 ：用一元一次方程（组）解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； 列：根据题中相等关系，列出方程（组）； 解：解所列出的方程（组）； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 知识点4 ：用一元一次方程（组）解决实际问题的常见类型 （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）； （4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总 ；追及问题：S快-S慢=S相距 ； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． 【考点1 二元一次方程的概念与解】 例1．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）若是关于x，y的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级上·山东淄博·月考）下列式子中，，，中，是二元一次方程的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 变式2．（25-26九年级上·山东青岛·月考）已知方程是关于，的二元一次方程，则 ． 变式3．（24-25七年级下·河南南阳·月考）我们规定，关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“最佳”方程． 根据上述规定，回答下列问题． (1)判断方程_______“最佳”方程（填“是”或“不是”）． (2)若关于x，y的二元一次方程是“最佳”方程，求k的值． 【考点2 二元一次方程组的概念与解】 例2．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·辽宁盘锦·月考）下列方程组中，①，②，③，④属于二元一次方程组的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 变式2．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知关于的二元一次方程的部分解如表，关于的二元一次方程的部分解如表，则关于的二元一次方程组的解是 ． 表 表2 变式3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知下列四对数值：①②③④ (1)哪几对是方程的解？ (2)哪几对是方程的解？ (3)哪几对是方程组的解？ 【考点3 二元一次方程组的解法】 例3．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）解下列方程组： (1) (2) 变式1．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）解方程组： (1) (2) 变式2．（2025八年级上·重庆·专题练习）解方程组： (1)； (2)． 变式3．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）解下列方程组： (1) (2) 【考点4 已知二元一次方程组的解求参数】 例4．（25-26八年级上·山西运城·月考）已知是的一组解，则的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 变式1．（25-26九年级上·重庆·月考）若是二元一次方程的一个解，则的值是 ． 变式2．（25-26七年级下·全国·阶段练习）已知和是方程的两组解．求的值． 变式3．（25-26八年级上·全国·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解为求的值． 【考点5 二元一次方程组的特殊解法】 例5．（25-26七年级上·安徽六安·月考）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·山东淄博·开学考试）已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·重庆·月考）若关于，的二元一次方程组的解是，关于，的二元一次方程组的解是 ． 变式3．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的思想． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，即， 把代入③，得， 所以方程组的解为 请你运用小军的“整体代入”法，解方程组 【考点6 二元一次方程组的错解复原问题】 例6．（2025七年级上·全国·专题练习）小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则方程的解是（ ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：，则原方程组中的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 变式2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的值 ． 变式3．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）在解方程组时，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解是． (1)求原方程组中、的值各是多少？ (2)求出原方程组中的正确解 【考点7 构造二元一次方程组求解】 例7．（2025八年级上·全国·专题练习）若，则的值是（   ） A．4 B．2 C． D． 变式1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知，与，都是方程的解，则和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 变式2．（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程是关于x和y的二元一次方程，则 ， ． 变式3．（24-25七年级下·河南信阳·期末）对于任意的有理数，我们规定：，根据这一规定，解答以下问题：若同时满足，求的值． 【考点8 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 例8．（25-26八年级上·江西抚州·月考）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为(   ) A． B．0 C．1 D．2 变式1．（24-25七年级下·安徽池州·开学考试）若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（　　） A．1 B．0 C．2 D． 变式2．（25-26八年级上·广西柳州·期中）若关于的二元一次方程组的解满足方程，则的值为 ． 变式3．（24-25八年级上·广东佛山·月考）已知关于的方程组． (1)若，求这个方程组的解； (2)若这个方程组的解满足，求的值． 【考点9 方程组相同解问题】 例9．（2025八年级上·全国·专题练习）若方程组与方程组具有相同的解，求a，b的值． 变式1．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知关于，的方程组与的解相同，求，的值． 变式2．（24-25七年级下·河南南阳·月考）已知方程组与方程组的解相同，则的值为 变式3．（24-25七年级下·天津红桥·月考）已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【考点10 三元一次方程组的解与应用】 例10．（25-26七年级上·全国·阶段练习）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·福建泉州·月考）已知方程组的解使代数式的值等于，则a的值为 ． 变式2．（24-25六年级下·上海闵行·期末）解方程组 变式3．（24-25七年级下·北京通州·期末）小明在解方程组时发现，可以将①＋②得：③，将③得：④，将④得：⑤，用⑤－①得：，②－⑤得：，方程组的解为，小明高兴的给自己发现的解法取名为“凑整消元法”，请你参考小明的“凑整消元法”解决下列问题． (1)已知关于的方程组，则方程组的解是________． (2)已知关于的方程组，则________．方程组的解是________． (3)对于有理数定义一种新的运算：，其中是常数，等式的右边是有理数的运算，若，，求的值． 【考点11 方案问题】 例11．（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）利用二元一次方程组解应用题 某校组织八年级师生共480人参观温州博物馆．学校向租车公司租赁A，B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则15人没有座位．求A，B两种车型各有多少个座位？ 变式1．（25-26九年级上·重庆·期中）在“古编钟非遗技艺传承基地”的修复工作中，传承人需根据古编钟的声学标准调整钟体，同时采购传统工艺材料修复编钟． (1)修复一套战国编钟时，大号钟的振动频率是小号钟的，经声学检测，两者频率之和为（赫兹，频率的单位）、求这套编钟里大号钟和小号钟的振动频率分别是多少？ (2)为保证修复后编钟的音质与耐久性，需采购A、B两种传统工艺材料：A材料（青铜合金片）每张45元，用于加固钟体：B材料（天然漆料）每桶60元，用于钟体髹（xiū）漆（非遗髹漆工艺）、传承人提供的材料经费共720元，要求经费全部用完且两种材料都必须采购（缺一不可），共有哪几种采购方案？ 变式2．（25-26七年级上·全国·阶段练习）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．为鼓励企业进行生产线的设备更新，该市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ 变式3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某公司后勤部准备去超市购买牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 方案一 20 10 1100 方案二 25 20 1750 (1)求牛奶与咖啡每箱的价格分别为多少元． (2)超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次购买共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价购买的咖啡有_____箱 【考点12 行程问题】 例12．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路．假设他始终保持上坡路每分钟走，平路每分钟走，下坡路每分钟走，则他从家里到学校需，从学校到家里需．试问：小华家离学校多远？ 变式1．（25-26七年级上·全国·阶段练习）连接两地的高速公路全长为420km，一辆小汽车和一辆客车分别从，两地同时出发，相向而行，经过2.5h相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶了70km。为了求出小汽车、客车的平均速度，请你列出相应的方程组． 变式2．黄河一号旅游公路是山西省以“踏访黄河、文明探源”为主题的文化旅游公路，起点为忻州市偏关县老牛湾村，终点到运城垣曲西哄哄村，全长1200公里，连接起众多名胜古迹与自然景观．暑假小新和小韵沿着此公路自驾游，小新从老牛湾村出发，小韵从哄哄村出发，小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时．请分别求出小新和小韵驾车行驶的速度． 变式3．（24-25八年级上·广东深圳·期末）“网约出行”改变了人们的出行方式．某网约平台的打车出行计价规则为：打车总费用＝里程费+耗时费，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算．已知甲、乙两乘客用该平台网约打车出行，按其计价规则，其行驶里程数、平均车速及打车总费用等信息如下表： 乘客 里程数（公里） 平均速度（公里/时） 打车总费用（元） 甲 8 乙 (1)求x与y的值； (2)小明的妈妈也采用了该平台的打车出行方式，其出行的平均车速为公里/时，行驶了9公里，请你计算小明的妈妈应付车费多少元？ 【考点13 工程问题】 例13．（2026七年级下·全国·专题练习）某工程队承包了两项工程．第一项工程甲组做了10天、乙组做了8天完成，共获报酬12800元；第二项工程甲组做了8天、乙组做了12天完成，共获报酬13600元．甲、乙两组平均工作一天各应得报酬多少元？ 变式1．（2025八年级上·全国·专题练习）某市下水管道工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设50米，甲工程队4天铺设的管道与乙工程队6天铺设的管道长度相同．求甲、乙工程队每天各能铺设多少米管道？ 变式2．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·月考）甲，乙两个工厂共同负责1500千克的鲜奶加工，原计划甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成，由于人员调动，甲工厂每天的加工效率比原来提高了，乙工厂每天的加工效率比原来降低了，但最终按原计划完成了加工任务，求甲，乙两个工厂原计划每天加工鲜奶多少千克． 变式3．（24-25九年级下·吉林松原·期中）长白山是吉林省的著名旅游景点．为方便外地游客到长白山旅游，吉林省正在修建“沈阳-白山”的高铁线路，其中一个路段需要开凿一条全长千米的穿山隧道．为缩短工期，甲、乙两个工程小组分别从山体两侧同时施工．已知甲组比乙组平均每天多开凿2米，经过天施工，两组会合，完成了任务．求甲、乙两个小组平均每天各开凿多少米？ 【考点14 数字问题】 例14．（25-26七年级上·全国·阶段练习）一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字之和是9．若交换个位上的数字与十位上的数字的位置，新得到的数比原来的数小63，求原来的两位数 变式1．（24-25七年级下·河南周口·期中）有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字的和为8．若把十位数字和个位数字互换位置后，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数小． (1)原来的两位数为_____，新的两位数为_____．（用含，的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 变式2．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数之和也相同，就得到了幻圆．著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图．如图是一个简单的二阶幻圆模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数之和相等； ②外圆两直径上的四个数之和相等． 求图中两空白圆圈内的数字．    变式3．（24-25九年级上·福建南平·期中）算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产.以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0． 小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，请求出这个三位数，并回答怎样在算盘上拨出十位数和个位数． 【考点15 分配问题】 例15．（24-25九年级下·吉林延边·月考）为加强学生体能素质，某校计划开设球类特色课程，需购买足球、排球共个，据调查，某商城每个足球的价格为元，每个排球的价格为元，经双方议价，按折销售，学校共付款元，求购买足球、排球各多少个？ 变式1．（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有间，学生有人． (1)请根据题意，列出二元一次方程组； (2)宿舍有多少间？学生有多少人？ 变式2．（24-25七年级下·重庆九龙坡·期末）某工厂用长方形铁片和正方形铁片（长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等）（如图1）加工成横式与竖式两种无盖的长方形铁容器（如图2）．（加工时接缝材料不计） (1)现用长方形铁片90个，正方形铁片50个加工成两种长方形铁容器，刚好铁片全部用完，则加工成横式与竖式长方形铁容器各多少个？ (2)把长方形铁容器用长方形铁片或正方形铁片加盖可以制作成铁盒．已知1张铁板可以加工成3个长方形铁片或4个正方形铁片．现有55张铁板，请你计算如何加工，才能充分利用好现有的这55张铁板，让加工所得的所有长方形铁片与正方形铁片刚好配套制作成铁盒，并计算可加工制作成多少个长方形铁盒？ 变式3．（24-25八年级上·陕西榆林·月考）某网店用24000元的资金购进、两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，、两种玩具的进价分别为60元、15元． (1)网店本次购进、两种玩具的数量分别是多少？（请用二元一次方程组解答） (2)该网店的种玩具在“双十二”期间销售火爆，商家决定向厂家再次追加种玩具，厂家接到定单后，马上安排车间的68名工人加班生产种玩具．一个种玩具是由2个甲种配件和3个乙种配件组成的，每名工人每天可生产甲种配件16个或乙种配件10个，那么需要分别安排多少名工人加工甲、乙两种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套？（请用二元一次方程组解答） 【考点16 销售、利润问题】 例16．（25-26八年级上·山西太原·月考）魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．为了满足市场需求，某商店决定用1800元购进魔方、数独棋这两种益智玩具进行销售，其中购进魔方的数量是数独棋数量的3倍，魔方、数独棋的进价和标价如表： 魔方 数独棋 进价（元/个） 5 30 标价（元/个） 12 50 (1)该商店购进魔方、数独棋各多少个？ (2)如果魔方按标价的八折出售，数独棋按标价的七五折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该商店共获利多少元？ 变式1．（25-26八年级上·甘肃甘南·月考） 综合与实践 问题情境 为弘扬“数学家之乡”的优良文化传统，某校开展数学节活动，并购买如图所示的九连环和鲁班锁两种活动道具． 素材1 1个鲁班锁和2个九连环共52元；3个鲁班锁和4个九连环共120元． 素材2 学校计划购买鲁班锁、九连环共50个，预算825元． 问题解决 任务1 （1）求每个鲁班锁和每个九连环的单价． 任务2 （2）学校能否恰好用完预算？请用方程组的知识阐明理由． 变式2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）某水果店梨的标价16元/千克，橙子的标价18元/千克． (1)小轩陪妈妈在这家商店按标价买了梨和橙子共3千克，合计付款52元．这两种水果各买了多少千克？ (2)妈妈让小轩再到这家店买这两种水果，要求梨比橙子多买2千克，小轩到这家店后，发现这两种水果正在进行优惠活动：梨打七五折；一次购买橙子不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打五折．若小轩买的橙子超过1千克，合计付款75元，则他买了多少千克梨？ 变式3．（24-25七年级下·北京海淀·期中）某电商销售长征系列画册和红色经典故事两种图书，它们的进价和售价如表： 种类 长征系列画册 红色经典故事 进价元/套 300 x 售价元/套 y 100 该电商销售6套长征系列画册和5套红色经典故事，盈利800元；销售10套长征系列画册和15套红色经典故事，盈利1600元利润=售价-进价求表中x、y的值． 【考点17 和差倍分问题】 例17．（24-25七年级下·陕西安康·期末）“女娲故里”是平利最核心、最具影响力的文化名片，女娲文化影响着平利的艺术创作，如绘画和剪纸，某校七年级（5）班学生去平利体验女娲文化，其中第一组有3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元；第二组有2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元．则每人每次体验“绘画”和“剪纸”活动的票价各为多少元？ 变式1．（2025九年级下·海南海口·专题练习）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套型一体机．求今年每套A型、型一体机的价格各是多少万元？ 变式2．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）九年级举行读书活动．学校要求各班班长根据学生阅读需求，统计需采购的书籍类型和数量，如下表所示． 文学类（本/人） 科普类（本/人） 九（1）班 3 2 九（2）班 2 5 共计（本） 246 340 请你根据以上信息，求九（1）班和九（2）班各有多少人． 变式3．（24-25七年级下·吉林长春·月考）为让学生们感受书香文化，学校组织学生们去省图书馆阅读，计划将学生分若干小组管理，每个小组由一位教师带领．若每位教师带19名学生，则剩余26名学生；若每位教师带20名学生，则最后一位教师只需带5名学生．求此次带队的教师人数．（列方程或方程组求解） 【考点18 几何问题】 例18．（2025八年级上·全国·专题练习）为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，使每一部分都铺成如图所示的形状，且由块地砖组成，问：每块地砖的长与宽分别为多少？ 变式1．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，小慧在一张长方形纸片上裁剪出张全等的小长方形纸片．如图，小慧又将其拼成了一个大正方形，但大正方形中间留下一个边长为的小正方形空隙 请你通过列方程组的方式，计算小长方形纸片的长和宽的值? 变式2．（25-26八年级上·全国·期末）综合与实践 【主题】探究大球、小球数量与水面高度的变化关系． 【素材】如图． ①若干个体积相同的大球和体积相同的小球； ②原始水面高度是的高为的圆柱形烧杯． 【实践操作】如图． 步骤一：将3个小球放入烧杯中，测得此时水面高度为； 步骤二：将步骤一的小球取出，放入2个大球，测得此时水面高度也为．（误差均忽略不计） 【实践探索】 (1)放入一个小球水面升高 ； (2)若放入大球、小球共10个，要使水面高度为，求放入大球和小球的个数． 变式3．（24-25七年级下·吉林白城·期末）某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片_____张，正方形铁片_____张． (2)现有长方形铁片2025张，正方形铁片1100张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？ 【考点19 图表信息题】 例19．（24-25七年级下·全国·阶段练习）如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，各应取什么值？ 3 2 变式1．（24-25七年级下·山东泰安·期中）水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1月 11 28 2月 15 44 (1)请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ (2)小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 变式2．小组捆绑式评价是一种通过将学生分成若干小组，并对小组整体表现进行评价和奖励的方法，旨在通过集体荣誉感激发学生的学习积极性和合作精神．某班数学课上采用小组积分制记录同学们参与课堂活动的情况．下表是某堂课上记录的两个组得分情况，其中回答问题一次加2分： 第一组 第二组 回答问题次数 1 2 参与课堂展示次数 7 5 有效质疑次数 2 3 最终分数 35 37 请问数学课上参与一次课堂展示或进行一次有效质疑各加多少分？ 变式3．（24-25七年级下·河南新乡·期中）某山区有若干名中学生、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 捐款数额/元 资助贫困中学生人数/名 资助贫困小学生人数/名 七年级 4000 2 4 八年级 4200 3 3 九年级 4000 (1)求a，b的值； (2)当地政府下达新政策给予补贴，秉持九年级学生捐多少补多少原则帮助贫困学生，与九年级学生的捐款总额恰好解决了剩余贫困中、小学生的学习费用（中小学生均要资助），请求出政府和九年级学生的捐款总额可捐助的贫困中、小学生人数的所有方案． 【考点20 古代问题】 例20．（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）我国古代问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？”这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺，问：井深几尺？（列方程解决问题） 变式1．（2025·安徽·模拟预测）我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜文，问两种布每尺各多少钱？ 变式2．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十二两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：现有甲袋子中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋子中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋子比乙袋子轻了12两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？ 变式3．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷． 一、周瑜寿属 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十比个位正小三，个位六倍与寿符； 哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？ 诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数？ 解：设这个两位数的十位上的数字是x，个位上的数字为y，根据题意，得 解之得 答：这个两位数是36，即周瑜活到36时病逝． 下面两个诗歌算题同学们能通过列方程组算出来吗？ 二、官兵分布 一千官兵一千布，一官四尺无零数； 四兵才得布一尺，请问官兵多少数？ 三、老头买梨 一群老头去赶集，半路买了一堆梨； 一人一个多一个，一人两个少两梨． 请问君子知道否，几个老头几个梨？ 关于这类的问题还有很多，平时同学们可以搜集一些！（注意：在中考时也有这样的题目哟！） 1．（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）已知关于，的方程组，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，则满足条件的和的值是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·阶段练习）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，则调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为（    ） A．50元、60元 B．44元、54元 C．40元、50元 D．45元、55元 4．（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）在某学校课后兴趣小组开展的手工制作活动中，美术老师要求用12张卡纸制作长方体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出2个底面．如果4个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则x，y的值分别是（   ） 2x 3 2 4y A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 6．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）已知关于的二元一次方程组的解满足，则实数m的值为 ． 7．（25-26八年级上·陕西西安·月考）若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是 ． 8．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）已知关于的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③若用表示，则；④无论取什么实数，的值始终不变．正确的有 ．（填序号） 9．（25-26八年级上·山西运城·月考）小华看到如图所示的一幅图片并根据其设计了如下数学问题：若设桌子的高度是，站立的小猫的高度为，趴着的小猫的高度为，则桌子的高度为 ． 10．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）某旅游团一行50人到某旅社住宿，该旅社有三人间、双人间和单人间三种客房，其中三人间每人每晚20元，双人间每人每晚30元，单人间每晚50元．已知该旅行团住满了20间客房，且使总的住宿费用最省．那么这笔最省的住宿费用是 元，所住的三人间、双人间、单人间的间数依次是 ． 11．（2025八年级上·全国·专题练习）小宇准备制作数盏如图①所示的仿古灯笼，他用图②所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，最终制成图③所示的竖式和横式两种无盖灯笼，现有张长方形宣纸和张正方形宣纸，若做出竖式灯笼x个、横式灯笼y个，恰好将宣纸用完，则的值为 （用含a，b的式子表示）． 12．（24-25七年级上·重庆·期中）对于一个三位正整数，如果满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7，那称这个数为“七巧数”．例如：，，是“七巧数”；，，不是“七巧数”．最小的“七巧数”是 ；若“七巧数”满足：所有数位的数字之和是9的倍数，且它的百位数字大于十位数字，则的最大值是 ． 13．（25-26七年级上·安徽·期末）解方程 (1) (2) (3)． 14．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）观察发现： 解方程组： 将①整体代入②得． 解得． 把代入①，． 故原方程组的解为． 这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答． (1)实践运用： 请用“整体代入法”解方程组． (2)拓展提升： 请你仿照上面的解法解方程组，．（提示，将看作一个整体） 15．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）我们规定，关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“最佳”方程，把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组． 根据上述规定，回答下列问题： (1)方程________“最佳”方程；（填“是”或“不是”） (2)若关于x，y的二元一次方程是“最佳”方程，求k的值； (3)若是关于x，y的“最佳”方程组的解，求p，q的值． 16．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）下面所示为七下教材38页中三元一次方程组的解题过程，请根据教材提供的做法和有关信息解决问题． 例1解方程组： 解 由方程②，得．……步骤一④ 将④分别代入方程①和③，得 ……步骤二 整理，得 解这个二元一次方程组，得， 代入④，得． 所以原方程组的解是， (1)我们在之前学习了二元一次方程组的解法，其基本思想是：通过“消元”，消去一个未知数，将方程组转化为 求解，方法有 和 ．其中的步骤二通过 法消去未知数z，将三元一次方程组变成了 ，体现了数学中 思想． (2)仿照以上思路解方程组消去字母Z后得到的二元一次方程组为 ． 17．（25-26七年级上·安徽亳州·月考）随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个型玩具、3个型玩具的进价共计80元，3个型玩具、2个型玩具的进价共计95元． (1)求A，B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元； (2)若该超市计划正好用200元购进A，B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案； (3)若该超市销售1个型玩具可获利8元，销售1个型玩具可获利5元，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润为多少元？ 18．（24-25八年级上·安徽宿州·月考）某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳，经班长统计共需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学． (1)请根据图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价； (2)由于足球和跳绳的需求量增大，该体育用品商店的老板计划再次购进足球个和跳绳根，恰好用了1800元，其中足球每个的进价为80元，跳绳每根的进价为15元，则有哪几种购进方案？ (3)若依据（2）中的购进方案，假如所购进的足球和跳绳全部售出，销售获利为元，请用含，的代数式表示；应选择哪种购进方案获利最多？ 19．（24-25八年级上·安徽宿州·月考）某景点的门票价格如下表： 购买人数/人 100以上 每人门票价/元 20 16 10 某校八年级一、二两班计划去游览该景点，其中一班人数少于50人，二班人数多于50人且少于100人，如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1828元，如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费1020元． (1)八年级一、二两班人数之和是否超过100人，请说明理由； (2)八年级一、二两班各有多少名学生． 20．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）某公司需要将120吨物资从A市运往B市，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如下表： 车型 甲 乙 丙 运载量（吨／辆） 5 8 10 运费（元／辆） 450 600 700 (1)若选用甲、丙两种车型一次性运完，如果甲车有11辆，则丙车至少需要多少辆？ (2)若选用甲、乙两种车型一次性运完，且每辆车均满载，需运费9600元，则甲、乙两种车型各需多少辆？ (3)若选用甲车辆、乙车辆、丙车若干辆一次性运完，且每辆车均满载，已知三种车辆共14辆，直接写出a、b的值和总运费． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一次方程组的解法与应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：二元一次方程（组）的相关概念 1.二元一次方程 二元一次方程概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 二元一次方程的三要素：1）有且只有两个未知数；2）含有未知数的项的次数为1；3)方程两边都是整式. 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 2.二元一次方程组 二元一次方程组的概念：方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫做二元一次方程组. 一般形式：，（其中不同时为0，不同时为0）. 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 知识点2 ：解二元一次方程组 1.代入消元法 定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 2）代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 2.加减消元法 定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数； 2）加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 知识点3 ：用一元一次方程（组）解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； 列：根据题中相等关系，列出方程（组）； 解：解所列出的方程（组）； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 知识点4 ：用一元一次方程（组）解决实际问题的常见类型 （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）； （4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总 ；追及问题：S快-S慢=S相距 ； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． 【考点1 二元一次方程的概念与解】 例1．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）若是关于x，y的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义， 根据二元一次方程的定义，方程中两个未知数的系数都不能为零，但本题中y的系数已为，故只需x的系数即可保证为二元一次方程． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程，且y的系数， ∴x的系数， 解得. 故选：D． 变式1．（24-25八年级上·山东淄博·月考）下列式子中，，，中，是二元一次方程的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握只含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，根据概念逐个判断即可得答案． 【详解】解：方程，含有两个未知数x、y，次数均为1，且为整式方程，符合二元一次方程的定义； 方程，含有三个未知数x、y、z，不符合“二元”条件； 式子不是等式，仅为代数式，不构成方程； 不等式属于不等式而非等式，不符合二元一次方程的定义， 综上，只有是二元一次方程，共1个， 故选：A． 变式2．（25-26九年级上·山东青岛·月考）已知方程是关于，的二元一次方程，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，代数式求值，只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此列式求出a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 变式3．（24-25七年级下·河南南阳·月考）我们规定，关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“最佳”方程． 根据上述规定，回答下列问题． (1)判断方程_______“最佳”方程（填“是”或“不是”）． (2)若关于x，y的二元一次方程是“最佳”方程，求k的值． 【答案】(1)是 (2)3 【分析】本题考查二元一次方程，解一元一次方程，掌握“最佳”方程的定义是解题的关键． （1）根据“最佳”方程的定义进行判断即可； （2）根据是“最佳”方程，列出关于k的一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：方程，其中，，，满足， 故方程是“最佳”方程． 故答案为：是； （2）解：∵二元一次方程是“最佳”方程， ∴， 解得， 故的值是3． 【考点2 二元一次方程组的概念与解】 例2．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，正确理解二元一次方程组的定义是解题的关键． 根据二元一次方程组的定义：只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且两个方程都是整式方程组成的方程组，即可作答． 【详解】解：A、方程中，为二次项，不符合一次方程条件，不符合题意； B、方程中，为分式，不符合一次方程条件，不符合题意； C、方程组含三个未知数x、y、z，不符合两个未知数条件，不符合题意； D、方程组含两个未知数x和y，且方程和均为一次方程，符合题意． 故选D． 变式1．（24-25七年级下·辽宁盘锦·月考）下列方程组中，①，②，③，④属于二元一次方程组的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，满足三个条件：①共含有两个未知数；②未知数的最高次数为1次；③整式方程．据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：含有三个未知数，故①不属于二元一次方程组； 满足二元一次方程组的定义，故②属于二元一次方程组； 满足二元一次方程组的定义，故③属于二元一次方程组； 的未知数的最高次数是2，故④不属于二元一次方程组； 故选：C． 变式2．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知关于的二元一次方程的部分解如表，关于的二元一次方程的部分解如表，则关于的二元一次方程组的解是 ． 表 表2 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组解的定义解答即可，掌握二元一次方程组解的定义是解题的关键． 【详解】解：由表可知，既是方程的解，又是方程的解， ∴二元一次方程组的解是， 故答案为：． 变式3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知下列四对数值：①②③④ (1)哪几对是方程的解？ (2)哪几对是方程的解？ (3)哪几对是方程组的解？ 【答案】(1)②④是方程的解． (2)③④是方程的解． (3)④是方程组的解． 【分析】本题考查二元一次方程的解和二元一次方程组的解，方程（组）的解是满足方程（组）的未知数的值，掌握该知识点是解题的关键． （1）把各对数值依次代入进行验证，能够使方程成立的未知数的值即为方程的解； （2）把各对数值依次代入进行验证，能够使方程成立的未知数的值即为方程的解； （3）两方程的公共解即为方程组的解，据此即可解答题目. 【详解】（1）解：将代入，不成立； 将代入，成立； 将代入，不成立； 将代入，成立； 故②④是方程的解． （2）解：将代入，不成立； 将代入，不成立； 将代入，成立； 将代入，成立； ③④是方程的解． （3）解：由（1）（2），可知，④是两个方程公共解 所以④是方程组的解． 【考点3 二元一次方程组的解法】 例3．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法并根据方程特点灵活选用是解答的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把代入，得 ， 解得， 把代入，得 ． 该方程组的解为． （2）解： ，得 ， 解得， 把代入，得 ， 解得， 该方程组的解为． 变式1．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ，得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：∵， ∴整理得 ∴，得 解得 把代入， 得 解得， 方程组的解为． 变式2．（2025八年级上·重庆·专题练习）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握与运用解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）将原方程变形为，再利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 将得， 解得：， 将代入得， 解得：， 原方程组的解是：． （2）解： 原方程可化为：， 得， 解得：， 将代入得， 解得：， 原方程组的解是：． 变式3．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是掌握代入消元法和加减消元法的解题步骤． （1）用代入消元法求解方程组； （2）先整理方程，再用加减消元法求解方程组． 【详解】（1）解： 把②代入①得：， 整理得：， 解得：， 把代入②得：， 因此，原方程组的解为：； （2）解： 整理得： ①得：③， ③②得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 因此，原方程组的解为：． 【考点4 已知二元一次方程组的解求参数】 例4．（25-26八年级上·山西运城·月考）已知是的一组解，则的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解 将给定的解代入方程组，分别求出m和n的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵，是方程组的解， ∴代入得：， ∴． 代入得：， ∴． ∴． 故选：D． 变式1．（25-26九年级上·重庆·月考）若是二元一次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是把方程的解代入原方程得到代数式的值，再进行求解． 把代入方程，可得，再代入代数式，即可求出答案． 【详解】将代入，得：， 整理得；， ∴． 故答案为：． 变式2．（25-26七年级下·全国·阶段练习）已知和是方程的两组解．求的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，将所给两组解代入，得到关于的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：将和代入， 得：， 解得． 变式3．（25-26八年级上·全国·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解为求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，代数式求值，解决问题的关键是熟练掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．将代入方程组，可得关于m与n的方程组，解方程组得到的值，即可得到答案． 【详解】解：将代入方程组， 得， 解得， 则． 【考点5 二元一次方程组的特殊解法】 例5．（25-26七年级上·安徽六安·月考）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，设，则所求方程组可变形为，根据题意可得方程组的解是，则，据此求解即可． 【详解】解：设， ∴关于x、y的二元一次方程组可变形为关于m、n的二元一次方程组， ∵方程组的解是， ∴方程组的解是， ∴， ∴， 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·山东淄博·开学考试）已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组， 先根据原方程组的解可知，再求出解即可. 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解是， 解得. 故选：B. 变式2．（25-26八年级上·重庆·月考）若关于，的二元一次方程组的解是，关于，的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，设，可得，进而根据题意得到关于s、t的二元一次方程组的解是，则，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵关于，的二元一次方程组的解是， ∴关于s、t的二元一次方程组的解是． ∴． 解得， ∴关于，的二元一次方程组的解是． 故答案为：． 变式3．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的思想． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，即， 把代入③，得， 所以方程组的解为 请你运用小军的“整体代入”法，解方程组 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 将①代入②，利用整体代入法消元求解即可． 【详解】解： 将①代入②，得 ， 即， 解得：， 将代入①，得， 解得． ∴原方程组的解为． 【考点6 二元一次方程组的错解复原问题】 例6．（2025七年级上·全国·专题练习）小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题、解一元一次方程，熟练掌握方程组和方程的解法是解题关键．先根据题意可得是方程的解，是方程的解，代入可得一个关于的方程组，解方程组可得的值，再代入一元一次方程，求解即可． 【详解】解：由题意得：是方程的解，是方程的解， ∴， 解得：， ∴一元一次方程可化为， 解得：． 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：，则原方程组中的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据题意可得和都是方程的解，据此可得，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：， ∴， 解得， 故选：B． 变式2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的值 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，求代数式的值，将代入方程中可求得，将代入方程中可求得，代入所求式子即可得解，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：将代入方程中可得，， 解得：， 将代入方程中可得， 解得：， ∴， 故答案为：． 变式3．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）在解方程组时，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解是． (1)求原方程组中、的值各是多少？ (2)求出原方程组中的正确解 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是利用甲、乙看错的条件分别求出、的值，再求解原方程组． （1）利用甲看错但正确，将甲的解代入含的方程求；利用乙看错但正确，将乙的解代入含的方程求； （2）将、代入原方程组求解正确解． 【详解】（1）解：将代入②得， 将代入①得； （2）解：原方程组为， ①②得：， 解得：， ①②得：， 解得：， 即原方程组的解为：． 【考点7 构造二元一次方程组求解】 例7．（2025八年级上·全国·专题练习）若，则的值是（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，代数式求值，非负数的性质，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，解方程组求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知，与，都是方程的解，则和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查构造二元一次方程组求解，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解决问题的关键．将，与，代入方程，构造关于和的二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：将，与，代入方程得： ， 由方程②得， 将③代入方程①得， 解得； 将代入③得； 因此，，， 故选：A． 变式2．（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程是关于x和y的二元一次方程，则 ， ． 【答案】 1 1 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，解二元一次方程组，解题的关键是熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 根据二元一次方程的定义列出关于，的方程组，求出，的值即可． 【详解】解：方程是关于，的二元一次方程， ， 解得． 故答案为：1，1． 变式3．（24-25七年级下·河南信阳·期末）对于任意的有理数，我们规定：，根据这一规定，解答以下问题：若同时满足，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算，解二元一次方程组，根据题意列出方程组，求出x、y的值，是解题的关键．先根据，得出方程组，解方程组得出，再代入求值即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 所以． 【考点8 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 例8．（25-26八年级上·江西抚州·月考）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为(   ) A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组．将方程组两式相加，得到，再代入求解． 【详解】解：∵方程组为 两式相加得： 又∵， ∴ 解得： 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·安徽池州·开学考试）若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（　　） A．1 B．0 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法和整体思想是解题的关键．将方程组的两式相加得，进而发现与的关系，从而获解． 【详解】解：将二元一次方程组的两式相加，得， 又∵， ∴， 解得， 故选：A． 变式2．（25-26八年级上·广西柳州·期中）若关于的二元一次方程组的解满足方程，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查二元一次方程组得解，掌握加减消元法是关键． 先解二元一次方程组，用含k的代数式表示x和y，再代入方程求解k的值． 【详解】解：， 得，， ∴， 得，， ∴， 代入得，， 解得，， 故答案为：1． 变式3．（24-25八年级上·广东佛山·月考）已知关于的方程组． (1)若，求这个方程组的解； (2)若这个方程组的解满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程组解的情况求参数，解题的关键是熟练掌握加减消元法． （1）把代入原方程组得，用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）原方程组中两个方程相加得出，再根据得出关于k的方程，解关于k的方程即可． 【详解】（1）解：当时，原方程组变为： ， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：； （2）解：， 得：， ∵， ∴， 解得：． 【考点9 方程组相同解问题】 例9．（2025八年级上·全国·专题练习）若方程组与方程组具有相同的解，求a，b的值． 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解问题，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键．先求出的解为，然后代入求解即可． 【详解】解：解方程组得， 代入方程，得， 解得． 变式1．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知关于，的方程组与的解相同，求，的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键．根据方程组与的解相同，联立，求出方程组的解，然后将解代入，得出a、b的方程组，解关于a、b的方程组即可． 【详解】解：联立， 解得， 将代入中，得， 解得． 变式2．（24-25七年级下·河南南阳·月考）已知方程组与方程组的解相同，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组，依题意得，解得，再将代入中解二元一次方程组即可得出的值，进而求得的值． 【详解】解：依题意得：， 解得：， 将代入得：， 解得：． ∴ 故答案为：． 变式3．（24-25七年级下·天津红桥·月考）已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】此题考查二元一次方程组的解，用已知求未知，主要是熟练掌握解方程组． 根据两方程组的解相同，取出不含未知量的两个方程重组方程组，解方程得到解，再把解代入含有未知字母的方程组，解方程组即可． 【详解】解：解方程组 ，得 ， 上面方程组的解也是 的解，代入， 得 ， 解这个方程组，得 ． ∴， 故选：B 【考点10 三元一次方程组的解与应用】 例10．（25-26七年级上·全国·阶段练习）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A．是三元一次方程组，符合题意； B．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； C．只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 变式1．（24-25七年级下·福建泉州·月考）已知方程组的解使代数式的值等于，则a的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了解三元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中三个方程成立的未知数的值．把a看作已知数求出方程组的解表示出x，y，z，代入已知等式中计算即可求出a的值． 【详解】解：， 得：，即， 得：， 得：， 得：， 将，，代入中得：， 解得：． 故答案为：． 变式2．（24-25六年级下·上海闵行·期末）解方程组 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，将三元一次方程组通过加减消元法转化为二元一次方程组是解题的关键； 通过加减消元法，消去，联立，解方程得，再将解代入含的方程求解即可． 【详解】解：由题知，， 得，， 得，， 联立，解得， 把，代入中，可得，解得， 原方程组的解为． 变式3．（24-25七年级下·北京通州·期末）小明在解方程组时发现，可以将①＋②得：③，将③得：④，将④得：⑤，用⑤－①得：，②－⑤得：，方程组的解为，小明高兴的给自己发现的解法取名为“凑整消元法”，请你参考小明的“凑整消元法”解决下列问题． (1)已知关于的方程组，则方程组的解是________． (2)已知关于的方程组，则________．方程组的解是________． (3)对于有理数定义一种新的运算：，其中是常数，等式的右边是有理数的运算，若，，求的值． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，三元一次方程组的解法，新定义．掌握凑整消元法是解题的关键，注意计算过程中系数的准确性． （1）通过将方程组两方程相加化简得到，再利用代入消元法逐步求解和的值． （2）通过将方程组三个方程相加化简得到的值，再用该值分别减去原方程，逐步求出的值． （3）根据新定义运算列出关于的方程组，通过方程组相减和变形求出的值，即的结果． 【详解】（1）解：， 将①＋②得：③， 将③得：④， 将④得：⑤， 将⑤－①得：， 将代入③得：， ∴方程组得解为． （2）解：， 由①＋②＋③得：④， 将④得：⑤， 将⑤①得：， 将⑤②得：， 将⑤③得：， ∴方程组得解为． （3）解：∵且，， ∴， ∴， 由②①得：③， 将③得：④， 将①④得：， ∴． 【考点11 方案问题】 例11．（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）利用二元一次方程组解应用题 某校组织八年级师生共480人参观温州博物馆．学校向租车公司租赁A，B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则15人没有座位．求A，B两种车型各有多少个座位？ 【答案】A种车型有45个座位，B种车型有60个座位 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组是解题的关键． 设A种车型有x个座位，B种车型有y个座位，然后根据租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则15人没有座位列出方程组求解即可． 【详解】解：设A种车型有x个座位，B种车型有y个座位， 由题意得，， 解得， ∴A种车型有45个座位，B种车型有60个座位， 答：A种车型有45个座位，B种车型有60个座位． 变式1．（25-26九年级上·重庆·期中）在“古编钟非遗技艺传承基地”的修复工作中，传承人需根据古编钟的声学标准调整钟体，同时采购传统工艺材料修复编钟． (1)修复一套战国编钟时，大号钟的振动频率是小号钟的，经声学检测，两者频率之和为（赫兹，频率的单位）、求这套编钟里大号钟和小号钟的振动频率分别是多少？ (2)为保证修复后编钟的音质与耐久性，需采购A、B两种传统工艺材料：A材料（青铜合金片）每张45元，用于加固钟体：B材料（天然漆料）每桶60元，用于钟体髹（xiū）漆（非遗髹漆工艺）、传承人提供的材料经费共720元，要求经费全部用完且两种材料都必须采购（缺一不可），共有哪几种采购方案？ 【答案】(1) 大号钟振动频率为，小号钟振动频率为 (2) 共有三种采购方案：①采购A材料12张、B材料3桶；②采购A材料8张、B材料6桶；③采购A材料4张、B材料9桶 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，与二元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题目信息建立等式． （1）设小号钟振动频率为，通过建立方程求解即可； （2）通过列二元一次方程并寻找正整数解得到方案即可． 【详解】（1）解：设小号钟振动频率为，则大号钟振动频率为， 根据题意，， 即， 解得， ∴大号钟振动频率为HZ， ∴大号钟振动频率为，小号钟振动频率为． （2）解：设采购A材料张，B材料桶，其中和均为正整数， 根据题意，， 简化得， 即， 由于为正整数，必须为整数，故为3的倍数， 尝试值： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，（无效）， 因此共有三种方案：①采购A材料12张、B材料3桶；②采购A材料8张、B材料6桶；③采购A材料4张、B材料9桶． 变式2．（25-26七年级上·全国·阶段练习）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．为鼓励企业进行生产线的设备更新，该市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ 【答案】该企业甲类生产线有10条，乙类生产线有20条 【分析】设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线有条，再利用更新完这些生产线的设备，该企业可获得万元的补贴，建立方程求解即可． 【详解】解：设该企业甲类生产线有x条，则乙类生产线有条．根据题意， 得， 解得， ． 答：该企业甲类生产线有10条，乙类生产线有20条， 【点睛】本题考查的是一元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． 变式3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某公司后勤部准备去超市购买牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 方案一 20 10 1100 方案二 25 20 1750 (1)求牛奶与咖啡每箱的价格分别为多少元． (2)超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次购买共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价购买的咖啡有_____箱 【答案】(1)每箱牛奶价格为30元，每箱咖啡价格是50元 (2)6 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，实际问题与一元一次方程； （1）设每箱牛奶价格为x元，每箱咖啡价格是y元，根据题意列出二元一次方程组，计算求解即可； （2）根据题意得到打折的咖啡的价格与牛奶的原价相同，设打折的牛奶买了m箱，打折的咖啡和原价的牛奶共买了n箱，根据题意列出二元一次方程，计算求解即可． 【详解】（1）解：设每箱牛奶价格为x元，每箱咖啡价格是y元， 根据题意得： ， 解得， 答：每箱牛奶价格为30元，每箱咖啡价格是50元． （2）解：， ∴打折的咖啡的价格与牛奶的原价相同． 设打折的牛奶买了m箱，打折的咖啡和原价的牛奶共买了n箱， 则原价的咖啡买了（箱）． 根据题意得 ∴． 又∵均为非负整数， ∴， ∴ （箱）， ∴此次按原价购买的咖啡有6箱． 故答案为：6． 【考点12 行程问题】 例12．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路．假设他始终保持上坡路每分钟走，平路每分钟走，下坡路每分钟走，则他从家里到学校需，从学校到家里需．试问：小华家离学校多远？ 【答案】小华家离学校 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小华家到学校的上坡路长，平路长，根据时间路程速度结合小华从家里到学校需，从学校到家里需，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设小华家到学校的上坡路长，平路长， 根据等量关系，得：， 解得， 于是，上坡路与平路的长度之和为， 答：小华家离学校． 变式1．（25-26七年级上·全国·阶段练习）连接两地的高速公路全长为420km，一辆小汽车和一辆客车分别从，两地同时出发，相向而行，经过2.5h相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶了70km。为了求出小汽车、客车的平均速度，请你列出相应的方程组． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准数量关系列方程组是解题的关键． 设小汽车的平均速度为，客车的平均速度为，根据数量关系列方程即可． 【详解】解：设小汽车的平均速度为，客车的平均速度为． 根据题意，得 变式2．黄河一号旅游公路是山西省以“踏访黄河、文明探源”为主题的文化旅游公路，起点为忻州市偏关县老牛湾村，终点到运城垣曲西哄哄村，全长1200公里，连接起众多名胜古迹与自然景观．暑假小新和小韵沿着此公路自驾游，小新从老牛湾村出发，小韵从哄哄村出发，小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时．请分别求出小新和小韵驾车行驶的速度． 【答案】小新驾车行驶的速度是40公里/时，小韵驾车行驶的速度是60公里/时 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先设小新驾车行驶的速度是公里/时，小韵驾车行驶的速度是公里/时，结合小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时，列出方程组，再解得，即可作答． 【详解】解：设小新驾车行驶的速度是公里/时，小韵驾车行驶的速度是公里/时， 根据题意，得， 解得， 答：小新驾车行驶的速度是40公里/时，小韵驾车行驶的速度是60公里/时． 变式3．（24-25八年级上·广东深圳·期末）“网约出行”改变了人们的出行方式．某网约平台的打车出行计价规则为：打车总费用＝里程费+耗时费，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算．已知甲、乙两乘客用该平台网约打车出行，按其计价规则，其行驶里程数、平均车速及打车总费用等信息如下表： 乘客 里程数（公里） 平均速度（公里/时） 打车总费用（元） 甲 8 乙 (1)求x与y的值； (2)小明的妈妈也采用了该平台的打车出行方式，其出行的平均车速为公里/时，行驶了9公里，请你计算小明的妈妈应付车费多少元？ 【答案】(1)x的值为2，y的值为 (2)小明的妈妈应付车费元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数四则混合运算，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）根据甲、乙的打车总费用，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用打车总费用=里程费+耗时费，即可求出结论． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：x的值为2，y的值为； （2）（元）． 答：小明的妈妈应付车费元． 【考点13 工程问题】 例13．（2026七年级下·全国·专题练习）某工程队承包了两项工程．第一项工程甲组做了10天、乙组做了8天完成，共获报酬12800元；第二项工程甲组做了8天、乙组做了12天完成，共获报酬13600元．甲、乙两组平均工作一天各应得报酬多少元？ 【答案】甲组平均工作一天应得报酬800元，乙组平均工作一天应得报酬600元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据“两项工程的工作天数”，“对应总报酬”，梳理出两个等量关系是解题关键． 设甲组每天得报酬元，乙组每天得报酬元，根据“两项工程的工作天数”和“对应总报酬”，设未知数并列二元一次方程组求解． 【详解】解：设甲组每天得报酬元，乙组每天得报酬元． 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均工作一天应得报酬800元，乙组平均工作一天应得报酬600元． 变式1．（2025八年级上·全国·专题练习）某市下水管道工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设50米，甲工程队4天铺设的管道与乙工程队6天铺设的管道长度相同．求甲、乙工程队每天各能铺设多少米管道？ 【答案】甲工程队每天能铺设150米，乙工程队每天能铺设100米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设甲工程队每天能铺设米，乙工程队每天能铺设米，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设甲工程队每天能铺设米，乙工程队每天能铺设米，根据题意，得： ， 解得 答：甲工程队每天能铺设150米，乙工程队每天能铺设100米 变式2．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·月考）甲，乙两个工厂共同负责1500千克的鲜奶加工，原计划甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成，由于人员调动，甲工厂每天的加工效率比原来提高了，乙工厂每天的加工效率比原来降低了，但最终按原计划完成了加工任务，求甲，乙两个工厂原计划每天加工鲜奶多少千克． 【答案】原计划甲工厂每天加工，乙工厂每天加工． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题目已知条件将二元一次方程列出并求解是解决本题的关键． 先设出甲乙加工的千克数，根据甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成可列第一个方程，再由已知条件可列第二个方程，根据二元一次方程组的求法求解即可． 【详解】解：设甲工厂原计划每天加工，乙工厂原计划每天施工， 因为甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成， 所以， 又因为甲工厂每天的加工效率比原来提高了，乙工厂每天的加工效率比原来降低了， 所以， 即，解得：， 答：原计划甲工厂每天加工180kg，乙工厂每天加工． 变式3．（24-25九年级下·吉林松原·期中）长白山是吉林省的著名旅游景点．为方便外地游客到长白山旅游，吉林省正在修建“沈阳-白山”的高铁线路，其中一个路段需要开凿一条全长千米的穿山隧道．为缩短工期，甲、乙两个工程小组分别从山体两侧同时施工．已知甲组比乙组平均每天多开凿2米，经过天施工，两组会合，完成了任务．求甲、乙两个小组平均每天各开凿多少米？ 【答案】甲组平均每天开凿米，乙组平均每天开凿米 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是准确出方程组求解． 设甲组平均每天开凿米，乙组平均每天开凿米，根据题意列出方程组求解． 【详解】解：设甲组平均每天开凿米，乙组平均每天开凿米． 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天开凿米，乙组平均每天开凿米． 【考点14 数字问题】 例14．（25-26七年级上·全国·阶段练习）一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字之和是9．若交换个位上的数字与十位上的数字的位置，新得到的数比原来的数小63，求原来的两位数 【答案】原来的两位数是81． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，准确列出等量关系是解决问题的关键． 根据等量关系，设原来两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：设原来两位数的十位上的数字为，个位上的数字为． 根据题意，得 解得 故原来的两位数是81． 变式1．（24-25七年级下·河南周口·期中）有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字的和为8．若把十位数字和个位数字互换位置后，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数小． (1)原来的两位数为_____，新的两位数为_____．（用含，的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了列代数式和二元一次方程组的应用，正确理解题意，掌握数字的表示方法即可； （1）根据数字的表示方法即可求解； （2）由题意，得即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：原来的两位数为；新的两位数为； 故答案为：； （2）解：由题意，得         解得             答：原来的两位数为 变式2．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数之和也相同，就得到了幻圆．著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图．如图是一个简单的二阶幻圆模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数之和相等； ②外圆两直径上的四个数之和相等． 求图中两空白圆圈内的数字．    【答案】外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设图中两空白圆圈内左边的数为x，右边的数为y，由题意：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设外圆白圆圈内的数字为，内圆白圆圈内的数字为外圆两条直径上的四个数之和相等， ①， 内外两个圆周上的四个数之和相等， ②， 整理得：， 解得：， 外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9． 变式3．（24-25九年级上·福建南平·期中）算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产.以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0． 小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，请求出这个三位数，并回答怎样在算盘上拨出十位数和个位数． 【答案】这个三位数是615，小华应当在十位拨一颗下珠，在个位拨一颗上珠 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，由题意得出百位拨的数字是6，再根据个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，设出未知数列方程组并解出即可解决．找出等量关系列方程组是解题关键． 【详解】解：由题意得：小华在百位拨的数字是6， 设个位数字是，十位数字是， 由题意得：， 解这个方程组，得：， 答：这个三位数是615， 小华应当在十位拨一颗下珠，在个位拨一颗上珠． 【考点15 分配问题】 例15．（24-25九年级下·吉林延边·月考）为加强学生体能素质，某校计划开设球类特色课程，需购买足球、排球共个，据调查，某商城每个足球的价格为元，每个排球的价格为元，经双方议价，按折销售，学校共付款元，求购买足球、排球各多少个？ 【答案】学校共购买了个足球、个排球． 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据题意列出正确的方程组并求解． 设购买个足球、个排球，根据题意列出二元一次方程组后求解即可． 【详解】解：设购买个足球、个排球， 根据题意得  ， 解得 ． 答：学校共购买了个足球、个排球． 变式1．（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有间，学生有人． (1)请根据题意，列出二元一次方程组； (2)宿舍有多少间？学生有多少人？ 【答案】(1) (2)宿舍有11间，学生有45人 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． （1）设宿舍有间，学生有人．根据题意，列出二元一次方程组，即可； （2）利用代入消元法解答即可． 【详解】（1）解：设宿舍有间，学生有人． 根据题意，列出二元一次方程组：； （2）解：由（1）得 把②代入①，可得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴二元一次方程组的解为， 答：宿舍有11间，学生有45人． 变式2．（24-25七年级下·重庆九龙坡·期末）某工厂用长方形铁片和正方形铁片（长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等）（如图1）加工成横式与竖式两种无盖的长方形铁容器（如图2）．（加工时接缝材料不计） (1)现用长方形铁片90个，正方形铁片50个加工成两种长方形铁容器，刚好铁片全部用完，则加工成横式与竖式长方形铁容器各多少个？ (2)把长方形铁容器用长方形铁片或正方形铁片加盖可以制作成铁盒．已知1张铁板可以加工成3个长方形铁片或4个正方形铁片．现有55张铁板，请你计算如何加工，才能充分利用好现有的这55张铁板，让加工所得的所有长方形铁片与正方形铁片刚好配套制作成铁盒，并计算可加工制作成多少个长方形铁盒？ 【答案】(1)可以加工横式长方体形容器22个，横式长方形铁容器6个 (2)可以加工成30个铁盒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设可以加工横式长方体铁容器x个，竖式长方体铁容器y个，根据加工的两种长方体铁容器共用了长方形铁片90个、正方形铁片50个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，根据铁板总数为55张，裁成的长方形铁片和正方形铁片正好配套，即可得出关于m，n的二元一次方程，． 【详解】（1）解：设可以加工横式长方形铁容器x个，竖式长方形铁容器y个， 依题意，得：， 解得：． 答：可以加工横式长方体形容器22个，横式长方形铁容器6个． （2）解：设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，根据题意得： ， 解得：， （个）， 答：可以加工成30个铁盒． 变式3．（24-25八年级上·陕西榆林·月考）某网店用24000元的资金购进、两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，、两种玩具的进价分别为60元、15元． (1)网店本次购进、两种玩具的数量分别是多少？（请用二元一次方程组解答） (2)该网店的种玩具在“双十二”期间销售火爆，商家决定向厂家再次追加种玩具，厂家接到定单后，马上安排车间的68名工人加班生产种玩具．一个种玩具是由2个甲种配件和3个乙种配件组成的，每名工人每天可生产甲种配件16个或乙种配件10个，那么需要分别安排多少名工人加工甲、乙两种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套？（请用二元一次方程组解答） 【答案】(1)购进种玩具300件，购进种玩具400件 (2)需要安排20名工人加工甲种配件，48名工人加工乙种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设购进种玩具的数量为件，购进种玩具的数量是件，因为、两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，、两种玩具的进价分别为60元、15元，所以列式然后解出，即可作答． （2）设加工甲部件的有人，加工乙部件的有人，依题意，列式然后解出，即可作答． 【详解】（1）解：设购进种玩具的数量为件，购进种玩具的数量是件， 根据题意得： 解得， ∴购进种玩具300件，购进种玩具400件． （2）解：设加工甲部件的有人，加工乙部件的有人， 根据题意得： 解得， 答：需要安排20名工人加工甲种配件，48名工人加工乙种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套． 【考点16 销售、利润问题】 例16．（25-26八年级上·山西太原·月考）魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．为了满足市场需求，某商店决定用1800元购进魔方、数独棋这两种益智玩具进行销售，其中购进魔方的数量是数独棋数量的3倍，魔方、数独棋的进价和标价如表： 魔方 数独棋 进价（元/个） 5 30 标价（元/个） 12 50 (1)该商店购进魔方、数独棋各多少个？ (2)如果魔方按标价的八折出售，数独棋按标价的七五折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该商店共获利多少元？ 【答案】(1)该商店购进魔方120个，数独棋40个 (2)852元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设该商店购进魔方x个，数独棋y个，由题意易得，然后进行求解即可； （2）根据（1）及题意可直接列式进行求解． 【详解】（1）解：设该商店购进魔方x个，数独棋y个，由题意得： 根据题意得， 解得； 答：该商店购进魔方120个，数独棋40个． （2）解：由题意得： （元） 答：该商店共获利852元． 变式1．（25-26八年级上·甘肃甘南·月考） 综合与实践 问题情境 为弘扬“数学家之乡”的优良文化传统，某校开展数学节活动，并购买如图所示的九连环和鲁班锁两种活动道具． 素材1 1个鲁班锁和2个九连环共52元；3个鲁班锁和4个九连环共120元． 素材2 学校计划购买鲁班锁、九连环共50个，预算825元． 问题解决 任务1 （1）求每个鲁班锁和每个九连环的单价． 任务2 （2）学校能否恰好用完预算？请用方程组的知识阐明理由． 【答案】（1）每个鲁班锁的单价为16元，每个九连环的单价为18元；（2）学校不能恰好用完预算，理由见详解 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设每个鲁班锁的单价为x元，每个九连环的单价为y元，由题意可得方程组，进而求解即可； （2）设学校计划购买鲁班锁m个，九连环n个，由题意得，然后进行求解即可． 【详解】解：（1）设每个鲁班锁的单价为x元，每个九连环的单价为y元，由题意得： ， 解得：； 答：每个鲁班锁的单价为16元，每个九连环的单价为18元． （2）设学校计划购买鲁班锁m个，九连环n个，由题意得： ， 解得：， ∵m、n是正整数， ∴学校不能恰好用完预算． 变式2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）某水果店梨的标价16元/千克，橙子的标价18元/千克． (1)小轩陪妈妈在这家商店按标价买了梨和橙子共3千克，合计付款52元．这两种水果各买了多少千克？ (2)妈妈让小轩再到这家店买这两种水果，要求梨比橙子多买2千克，小轩到这家店后，发现这两种水果正在进行优惠活动：梨打七五折；一次购买橙子不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打五折．若小轩买的橙子超过1千克，合计付款75元，则他买了多少千克梨？ 【答案】(1)梨买了1千克，橙子买了2千克 (2)他买了4千克梨 【分析】本题考查一元一次方程、二元一次方程组解应用题，读懂题意，准确列出方程是解决问题的关键． （1）设买了梨千克，买了橙子千克，列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设买了橙子千克，则买了梨千克，由题中等量关系列一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设买了梨千克，买了橙子千克，则 ，解得， 答：梨买了1千克，橙子买了2千克； （2）解：设买了橙子千克，则买了梨千克，则 ， 解得， 梨买了千克， 答：他买了4千克梨． 变式3．（24-25七年级下·北京海淀·期中）某电商销售长征系列画册和红色经典故事两种图书，它们的进价和售价如表： 种类 长征系列画册 红色经典故事 进价元/套 300 x 售价元/套 y 100 该电商销售6套长征系列画册和5套红色经典故事，盈利800元；销售10套长征系列画册和15套红色经典故事，盈利1600元利润=售价-进价求表中x、y的值． 【答案】x的值为60，y的值为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“该电商销售6套长征系列画册和5套红色经典故事，盈利800元；销售10套长征系列画册和15套红色经典故事，盈利1600元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得： 答：x的值为60，y的值为 【考点17 和差倍分问题】 例17．（24-25七年级下·陕西安康·期末）“女娲故里”是平利最核心、最具影响力的文化名片，女娲文化影响着平利的艺术创作，如绘画和剪纸，某校七年级（5）班学生去平利体验女娲文化，其中第一组有3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元；第二组有2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元．则每人每次体验“绘画”和“剪纸”活动的票价各为多少元？ 【答案】每人每次体验“绘画”活动的票价为20元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为30元． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设每人每次体验“绘画”活动的票价为元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为元，根据3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元，2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每人每次体验“绘画”活动的票价为元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为元， 由题意得： 解得： 答：每人每次体验“绘画”活动的票价为20元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为30元． 变式1．（2025九年级下·海南海口·专题练习）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套型一体机．求今年每套A型、型一体机的价格各是多少万元？ 【答案】每套型一体机价格是1.2万元，每套型一体机价格是1.8万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据“A、B一体机价格关系”和“采购金额与数量关系”列出方程组求解． 设每套A型—体机价格为万元，每套B型—体机价格为万元，根据B型比A型价格多0.6万元、960万元买500套A型和200套B型这两个条件列方程组，求解得出价格． 【详解】设今年每套型一体机的价格是万元，每套型一体机的价格是万元， 根据题意，可得， 解得， 把代入，得， 答：每套型一体机价格是1.2万元，每套型一体机价格是1.8万元． 变式2．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）九年级举行读书活动．学校要求各班班长根据学生阅读需求，统计需采购的书籍类型和数量，如下表所示． 文学类（本/人） 科普类（本/人） 九（1）班 3 2 九（2）班 2 5 共计（本） 246 340 请你根据以上信息，求九（1）班和九（2）班各有多少人． 【答案】九（1）班和九（2）班各有50、48人 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，根据表格数据列方程组并正确求解即可． 【详解】解：设九（1）班有人，九（2）班有人， 由题意得：， 解得：． 答：九（1）班有50人，九（2）班有48人． 变式3．（24-25七年级下·吉林长春·月考）为让学生们感受书香文化，学校组织学生们去省图书馆阅读，计划将学生分若干小组管理，每个小组由一位教师带领．若每位教师带19名学生，则剩余26名学生；若每位教师带20名学生，则最后一位教师只需带5名学生．求此次带队的教师人数．（列方程或方程组求解） 【答案】此次带队的教师人数为人． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设此次带队的教师人数为人，学生有人，根据若每位教师带19名学生，则剩余26名学生；若每位教师带20名学生，则最后一位教师只需带5名学生．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设此次带队的教师人数为人，学生有人， 由题意得：， 解得：， 答：此次带队的教师人数为人． 【考点18 几何问题】 例18．（2025八年级上·全国·专题练习）为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，使每一部分都铺成如图所示的形状，且由块地砖组成，问：每块地砖的长与宽分别为多少？ 【答案】， 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，结合图形列出方程是解题的关键． 设每块地砖的长与宽分别为，，根据图形列出方程计算即可； 【详解】设每块地砖的长与宽分别为，， 由题意：， 解得：； 答：每块地砖的长与宽分别为，． 变式1．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，小慧在一张长方形纸片上裁剪出张全等的小长方形纸片．如图，小慧又将其拼成了一个大正方形，但大正方形中间留下一个边长为的小正方形空隙 请你通过列方程组的方式，计算小长方形纸片的长和宽的值? 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设，，根据图形列出方程组即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设，， 由图可得，， 解得， ∴，． 变式2．（25-26八年级上·全国·期末）综合与实践 【主题】探究大球、小球数量与水面高度的变化关系． 【素材】如图． ①若干个体积相同的大球和体积相同的小球； ②原始水面高度是的高为的圆柱形烧杯． 【实践操作】如图． 步骤一：将3个小球放入烧杯中，测得此时水面高度为； 步骤二：将步骤一的小球取出，放入2个大球，测得此时水面高度也为．（误差均忽略不计） 【实践探索】 (1)放入一个小球水面升高 ； (2)若放入大球、小球共10个，要使水面高度为，求放入大球和小球的个数． 【答案】(1)2 (2)放入4个大球，6个小球 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题时要能读懂题意，找到相等关系是关键． （1）根据“3个小球使水面上升”列式计算； （2）设放入x个大球，y个小球，根据放入大球、小球共10个，使水面上升到，进而可列方程组求解． 【详解】（1）解：由题意，根据图中数据可得，． 故答案为：2； （2）解：由步骤二可知，放入一个大球水面升高， 设放入x个大球，y个小球， 根据题意，得， 解得， 答：放入4个大球，6个小球． 变式3．（24-25七年级下·吉林白城·期末）某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片_____张，正方形铁片_____张． (2)现有长方形铁片2025张，正方形铁片1100张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？ 【答案】(1)， (2)加工的竖式容器150个，横式容器475个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）观察图形，找出加工1个竖式铁容器与横式铁容器所需长方形及正方形铁皮张数，将其相加即可得出结论； （2）设可加工的竖式容器个，横式容器个，根据加工这两种铁容器正好将两种铁皮用完，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）（张），（张）． 故答案为：7；3． （2）设加工的竖式容器个，横式容器个， 根据题意，得 解得： 答：加工的竖式容器150个，横式容器475个． 【考点19 图表信息题】 例19．（24-25七年级下·全国·阶段练习）如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，各应取什么值？ 3 2 【答案】x的取值为，y的取值为1 【分析】本题主要考查二元一次方程组应用，根据题意，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， 即x的取值为，y的取值为1． 变式1．（24-25七年级下·山东泰安·期中）水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1月 11 28 2月 15 44 (1)请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ (2)小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 【答案】(1)正常收费标准为2元，超过部分4元 (2)不够交水费，还差30元 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设正常收费标准为x元，超过部分y元，根据表格信息建立方程组解题即可； （2）先列式计算水费，再与50元比较即可； 【详解】（1）解：设正常收费标准为x元，超过部分y元， 由题意，得， 解得， 答：正常收费标准为2元，超过部分4元． （2）解：元， ， 不够， 元， 答：不够交水费，还差30元. 变式2．小组捆绑式评价是一种通过将学生分成若干小组，并对小组整体表现进行评价和奖励的方法，旨在通过集体荣誉感激发学生的学习积极性和合作精神．某班数学课上采用小组积分制记录同学们参与课堂活动的情况．下表是某堂课上记录的两个组得分情况，其中回答问题一次加2分： 第一组 第二组 回答问题次数 1 2 参与课堂展示次数 7 5 有效质疑次数 2 3 最终分数 35 37 请问数学课上参与一次课堂展示或进行一次有效质疑各加多少分？ 【答案】参与一次课堂展示加3分，进行一次有效质疑加6分 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．本题的关键在于通过建立方程组来解题，需要仔细分析题目的条件，将抽象的活动转化为具体的数学模型，通过代数运算求解未知数．同时解题过程中应注意方程组的建立与解法，以及对解出的未知数是否符合题目中的实际情况进行检验． 【详解】解：设参与一次课堂展示加分为x分，进行一次有效质疑加分为y分， 由题意可得：， 解得：， 答：参与一次课堂展示加3分，进行一次有效质疑加6分． 变式3．（24-25七年级下·河南新乡·期中）某山区有若干名中学生、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 捐款数额/元 资助贫困中学生人数/名 资助贫困小学生人数/名 七年级 4000 2 4 八年级 4200 3 3 九年级 4000 (1)求a，b的值； (2)当地政府下达新政策给予补贴，秉持九年级学生捐多少补多少原则帮助贫困学生，与九年级学生的捐款总额恰好解决了剩余贫困中、小学生的学习费用（中小学生均要资助），请求出政府和九年级学生的捐款总额可捐助的贫困中、小学生人数的所有方案． 【答案】(1)a，b的值分别为800，600 (2)方案一：中学生7人，小学生4人；方案二：中学生4人，小学生8人；方案三：中学生1人，小学生12人 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． （1）根据题意可知，本题中的相等关系是捐款额，列方程组求解即可． （2）利用九年级的捐款额8000列方程求人数． 【详解】（1）解：由题意得   解得： ∴a，b的值分别为800，600； （2）由题意得捐款总额为：（元） 设九年级资助贫困的中学生人数为x，资助贫困的小学生人数为y； 可得：；整理得：， 即； 又∵x、y均为正整数 ， ∴    ； 即方案一：中学生7人，小学生4人； 方案二：中学生4人，小学生8人； 方案三：中学生1人，小学生12人； 【考点20 古代问题】 例20．（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）我国古代问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？”这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺，问：井深几尺？（列方程解决问题） 【答案】井深8尺 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，仔细阅读题目从中找出等量关系建立方程是解题的关键． 设绳长是x尺，井深是y尺，再根据题意把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺列方程组即可． 【详解】解：设绳长是x尺，井深是y尺， 由题意得：， 解得：， 答：井深是8尺． 变式1．（2025·安徽·模拟预测）我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜文，问两种布每尺各多少钱？ 【答案】每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文，根据一匹7尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，可以列方程，根据每尺罗布比绫布便宜文，可列方程，解方程组即可求出两种布每尺各多少钱． 【详解】解：设每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文， 根据题意得：， 解得：， 答：每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文. 变式2．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十二两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：现有甲袋子中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋子中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋子比乙袋子轻了12两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？ 【答案】黄金每枚重33两、白银每枚重27两 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设黄金每枚重x两、白银每枚重y两，根据“黄金9枚白银11枚的重量相等，两袋互相交换1枚后，甲袋子比乙袋子轻了12两”建立二元一次方程组求解． 【详解】解：设黄金每枚重x两、白银每枚重y两． 由题意，得： 解得： 答：黄金每枚重33两、白银每枚重27两． 变式3．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷． 一、周瑜寿属 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十比个位正小三，个位六倍与寿符； 哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？ 诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数？ 解：设这个两位数的十位上的数字是x，个位上的数字为y，根据题意，得 解之得 答：这个两位数是36，即周瑜活到36时病逝． 下面两个诗歌算题同学们能通过列方程组算出来吗？ 二、官兵分布 一千官兵一千布，一官四尺无零数； 四兵才得布一尺，请问官兵多少数？ 三、老头买梨 一群老头去赶集，半路买了一堆梨； 一人一个多一个，一人两个少两梨． 请问君子知道否，几个老头几个梨？ 关于这类的问题还有很多，平时同学们可以搜集一些！（注意：在中考时也有这样的题目哟！） 【答案】二、有200名官，800名兵；三、3个老头，4个梨 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，先确定等量关系，再列出方程组，求出解即可． 【详解】解：二、设官兵各有x人，y人．根据题意，得 ， 解得. 答：有200名军官，800名士兵； 三、设有x个老头，y个梨．根据题意，得 ， 解得. 答：有3个老头，4个梨． 1．（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）已知关于，的方程组，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 先求出，进而根据求解即可． 【详解】解：， 得， ∵， ∴， 解得：． 故选：C． 2．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，则满足条件的和的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算，解二元一次方程组．根据定义将行列式转化为二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】解：由新定义得， ， 得方程组： 解得， 故选：B． 3．（25-26七年级下·全国·阶段练习）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，则调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为（    ） A．50元、60元 B．44元、54元 C．40元、50元 D．45元、55元 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元，根据销售单价调整前甲地比乙地少元，调整后甲地比乙地少元，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元， 由题意得： 解得： 故调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元． 故选：C． 4．（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）在某学校课后兴趣小组开展的手工制作活动中，美术老师要求用12张卡纸制作长方体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出2个底面．如果4个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意、找出合适的等量关系、列出方程组是解答本题的关键．设用x张卡纸做侧面，y张卡纸做底面，根据总卡纸数12张和每个包装盒所需侧面与底面的比例关系列出方程组求解即可． 【详解】设用x张卡纸做侧面，y张卡纸做底面， 根据题意，得 解得 ， ∴ 可做包装盒个数为， 故最多可做4个包装盒． 故选：B． 5．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则x，y的值分别是（   ） 2x 3 2 4y A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．利用幻方每行、每列、每条对角线之和相等的性质，通过已知单元格列出方程组求解． 【详解】解：由题意得， 整理得， 得，解得； 将代入①，得， 解得； ∴， 故选：C． 6．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）已知关于的二元一次方程组的解满足，则实数m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，将方程与联立求出的值，再代入方程求出的值即可． 【详解】解：由， 解得， 将代入得， 解得． 故答案为：3． 7．（25-26八年级上·陕西西安·月考）若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是 ． 【答案】 -3 【分析】本题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义，得且，解之即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴且， 由得或， 解得或， 又因为， 即， 所以， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）已知关于的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③若用表示，则；④无论取什么实数，的值始终不变．正确的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟记二元一次方程组的解法是解决问题的关键 先通过加减消元法解方程组，得到，再分别验证各结论是否正确即可得到答案． 【详解】解：， 由①②得， 解得； 代入②得， 解得； 即方程组的解为． 方程组的解的值互为相反数， ， 即， 解得，故①正确； 当时，， ，故②错误； 由方程组的解为可知，故③正确； 将方程组的解代入， 则， 即的值与的取值无关， 无论取什么实数，的值为常数，始终不变，故④正确； 综上所述，正确的结论有①③④， 故答案为：①③④． 9．（25-26八年级上·山西运城·月考）小华看到如图所示的一幅图片并根据其设计了如下数学问题：若设桌子的高度是，站立的小猫的高度为，趴着的小猫的高度为，则桌子的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组解应用题，掌握相关知识是解决问题的关键．设桌子的高度为厘米，站立的小猫高度为厘米，趴下的小猫高度为厘米，根据第一图示：桌子高度站立小猫高度趴下小猫高度；第二图示：桌子高度趴下小猫高度站立小猫高度列出方程组进行解答便可． 【详解】解：设桌子的高度为厘米，站立的小猫高度为厘米，趴下的小猫高度为厘米，根据题意得， ， ①②得，， ， 桌子的高度为厘米． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）某旅游团一行50人到某旅社住宿，该旅社有三人间、双人间和单人间三种客房，其中三人间每人每晚20元，双人间每人每晚30元，单人间每晚50元．已知该旅行团住满了20间客房，且使总的住宿费用最省．那么这笔最省的住宿费用是 元，所住的三人间、双人间、单人间的间数依次是 ． 【答案】 1150 15，0，5 【分析】此题是一道比较新颖的三元一次方程组应用题，它的答案不唯一，需要讨论一下，根据生活中的常时，x，y，z必须为自然是来求解，题不是很难，但是一道结合生活实际应用的一道好题． 可根据题意设三人间，二人间，单人间分别住了x，y，z间，再根据三人间人每晚20元，二人间每人每晚30元，单人间每人每晚50元，旅游团共住20间客房，列出两个方程，再根据x，y，z都是自然数，求出费用最低的选择． 【详解】解：设三人间、二人间、单人间分别住了x，y，z间，其中x，y，z都是自然数，总的住宿费为w元， 则 解得 都是自然数， 或或或或或 ， 随z的增大而减小， ∴当，即时，住宿的总费用最低，为， 故最省住宿费用为1150元，所住三人间、双人间、单人间的间数依次为15, 0, 5. 故答案为：1150元，间数依次为15, 0, 5． 11．（2025八年级上·全国·专题练习）小宇准备制作数盏如图①所示的仿古灯笼，他用图②所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，最终制成图③所示的竖式和横式两种无盖灯笼，现有张长方形宣纸和张正方形宣纸，若做出竖式灯笼x个、横式灯笼y个，恰好将宣纸用完，则的值为 （用含a，b的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了几何问题(二元一次方程组的应用) ，解题关键是找准等量关系． 先根据题意，列出关于x，y的方程组，再将两个方程组相加后两边都除以5即可． 【详解】解：∵有张长方形宣纸和张正方形宣纸，若做出竖式灯笼x个、横式灯笼y个，恰好将宣纸用完， ∴， ∴两式相加，得， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·重庆·期中）对于一个三位正整数，如果满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7，那称这个数为“七巧数”．例如：，，是“七巧数”；，，不是“七巧数”．最小的“七巧数”是 ；若“七巧数”满足：所有数位的数字之和是9的倍数，且它的百位数字大于十位数字，则的最大值是 ． 【答案】 160 801 【分析】本题考查了实数与整式的新定义，以及二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意掌握新定义，利用新定义解决问题．直接利用定义即可求出最小的“七巧数”；利用定义和已知列方程，分情况讨论得出m的所有的值，即可确定最值． 【详解】解：根据题意，得：最小的“七巧数”为160； 设“七巧数”m的百位、十位、个位上的数分别为a、b、c， 根据题意得：，（n为正整数）且 得：， ∴当时，，， ∴，或，或，或，， 当，3，4……得不到符合题意的m， ∴m的值为801或711或621或531． ∴的最大值是801， 故答案为：160，801． 13．（25-26七年级上·安徽·期末）解方程 (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键． （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解； （3）利用代入消元法解答即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得： 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （3）解：， 由得， 将代入得：， 解得， 将代入，解得， ． 14．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）观察发现： 解方程组： 将①整体代入②得． 解得． 把代入①，． 故原方程组的解为． 这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答． (1)实践运用： 请用“整体代入法”解方程组． (2)拓展提升： 请你仿照上面的解法解方程组，．（提示，将看作一个整体） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组是解题的关键． （1）利用整体代入法解方程组即可； （2）利用整体代入法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得， 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为； （2）解：， 得， 即， 将变形为 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为． 15．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）我们规定，关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“最佳”方程，把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组． 根据上述规定，回答下列问题： (1)方程________“最佳”方程；（填“是”或“不是”） (2)若关于x，y的二元一次方程是“最佳”方程，求k的值； (3)若是关于x，y的“最佳”方程组的解，求p，q的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程和二元一次方程组的新定义，解二元一次方程组，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义，得到关于的一元一次方程，进行求解即可； （3）根据新定义，得到关于的二元一次方程组，求出的值，代入原方程组，再进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是“最佳”方程； （2）∵关于x，y的二元一次方程是“最佳”方程， ∴，解得． （3）由题意可得，解得， 所以原方程组为， 因为是关于x，y的“最佳”方程组的解， 所以，解得． 16．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）下面所示为七下教材38页中三元一次方程组的解题过程，请根据教材提供的做法和有关信息解决问题． 例1解方程组： 解 由方程②，得．……步骤一④ 将④分别代入方程①和③，得 ……步骤二 整理，得 解这个二元一次方程组，得， 代入④，得． 所以原方程组的解是， (1)我们在之前学习了二元一次方程组的解法，其基本思想是：通过“消元”，消去一个未知数，将方程组转化为 求解，方法有 和 ．其中的步骤二通过 法消去未知数z，将三元一次方程组变成了 ，体现了数学中 思想． (2)仿照以上思路解方程组消去字母Z后得到的二元一次方程组为 ． 【答案】(1)一元一次方程；代入消元法；加减消元法；代入消元法；二元一次方程组；消元 (2) 【分析】（1）根据代入消元法的步骤解答即可； （2）由方程②，得……④，将④分别代入方程①和③，整理可得答案． 【详解】（1）我们在之前学习了二元一次方程组的解法，其基本思想是：通过“消元”，消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程求解，方法有代入消元法和加减消元法．其中的步骤二通过代入消元法消去未知数z，将三元一次方程组变成了二元一次方程组，体现了数学中消元思想． 故答案为：一元一次方程；代入消元法；加减消元法；代入消元法；二元一次方程组；消元； （2） 解：由方程②，得……④ 将④分别代入方程①和③，得 整理得： 故答案为： 【点睛】本题考查了解二元一次方程组的步骤，以及解三元一次方程组，掌握代入消元法是解答本题的关键． 17．（25-26七年级上·安徽亳州·月考）随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个型玩具、3个型玩具的进价共计80元，3个型玩具、2个型玩具的进价共计95元． (1)求A，B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元； (2)若该超市计划正好用200元购进A，B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案； (3)若该超市销售1个型玩具可获利8元，销售1个型玩具可获利5元，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)型玩具每个的进价为25元，型玩具每个的进价为10元 (2)共有3种购买方案，方案一；购进型玩具6个，型玩具5个；方案二：购进型玩具4个，型玩具10个；方案三：购进型玩具2个，型玩具15个 (3)购进型玩具2个，型玩具15个获利最大，最大利润为91元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设型玩具每个的进价为元，型玩具每个的进价为元，根据“2个型玩具、3个型玩具的进价共计80元，3个型玩具、2个型玩具的进价共计95元”即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型玩具个，购进型玩具个，根据题意可得，再由m，n均为正整数，即可得出结论； （3）分别将三个方案的利润求出，再进行比较即可． 【详解】（1）解：设型玩具每个的进价为元，型玩具每个的进价为元， 由题意，得 解得， 答：型玩具每个的进价为25元，型玩具每个的进价为10元； （2）设购进型玩具个，购进型玩具个， 由题意，得， 解得， 因为m，n均为正整数， 所以或或， 所以共有3种购买方案， 方案一：购进型玩具6个，型玩具5个； 方案二：购进型玩具4个，型玩具10个； 方案三：购进型玩具2个，型玩具15个； （3）方案一可获得利润：（元）， 方案二可获得利润：（元）， 方案三可获得利润：（元）， 因为， 所以购进型玩具2个，型玩具15个获利最大，最大利润为91元． 18．（24-25八年级上·安徽宿州·月考）某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳，经班长统计共需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学． (1)请根据图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价； (2)由于足球和跳绳的需求量增大，该体育用品商店的老板计划再次购进足球个和跳绳根，恰好用了1800元，其中足球每个的进价为80元，跳绳每根的进价为15元，则有哪几种购进方案？ (3)若依据（2）中的购进方案，假如所购进的足球和跳绳全部售出，销售获利为元，请用含，的代数式表示；应选择哪种购进方案获利最多？ 【答案】(1)足球和跳绳的单价分别为100元，20元 (2)共有两种方案：方案一，购进足球18个，跳绳24根；方案二，购进足球21个，跳绳8根 (3)，选择方案一获利最多． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，列代数式，正确的列出方程组和代数式，是解题的关键： （1）设足球和跳绳的单价分别为元和元，根据对话信息，列出方程组进行求解即可； （2）根据题意，列出二元一次方程，求出其整数解即可； （3）根据总利润等于足球和跳绳的利润之和，列出代数式，将（2）种方案分别代入计算，即可得出结果． 【详解】（1）解：设足球和跳绳的单价分别为元， 由题意得，，解得， ∴足球和跳绳的单价分别为100元，20元； （2）解：由题意知，， 当全买足球时，可买足球的数量为， ∴， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，（舍去）； ∴共有两种方案：方案一，购进足球18个，跳绳24根；方案二，购进足球21个，跳绳8根； （3）由题意，得：； 方案一的利润为：（元）， 方案二的利润为：（元）， ∵， ∴应该选择方案一，购进足球18个，跳绳24根． 19．（24-25八年级上·安徽宿州·月考）某景点的门票价格如下表： 购买人数/人 100以上 每人门票价/元 20 16 10 某校八年级一、二两班计划去游览该景点，其中一班人数少于50人，二班人数多于50人且少于100人，如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1828元，如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费1020元． (1)八年级一、二两班人数之和是否超过100人，请说明理由； (2)八年级一、二两班各有多少名学生． 【答案】(1)一、二两班人数之和超过100人，理由见解析 (2)一班有49名学生，二班有53名学生 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键． （1）利用1020除以16即可得； （2）设一班有名学生，二班有名学生，根据两种购票方式下的费用建立方程组，解方程组即可得； 【详解】（1）解：超过，理由如下： 解：假设两班人数之和不超过100人， 若总人数在人之间，则票价为16元/人， 总人数应为人，人数不为整数，故不成立； 若总人数在人之间，则票价为20元/人， 总人数应为人，与“总人数在人之间”的假设矛盾，故不成立， 综上，两班人数之和超过100人； （2）解：设一班有名学生，二班有名学生， 由题意得：， 解得， 答：一班有49名学生，二班有53名学生． 20．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）某公司需要将120吨物资从A市运往B市，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如下表： 车型 甲 乙 丙 运载量（吨／辆） 5 8 10 运费（元／辆） 450 600 700 (1)若选用甲、丙两种车型一次性运完，如果甲车有11辆，则丙车至少需要多少辆？ (2)若选用甲、乙两种车型一次性运完，且每辆车均满载，需运费9600元，则甲、乙两种车型各需多少辆？ (3)若选用甲车辆、乙车辆、丙车若干辆一次性运完，且每辆车均满载，已知三种车辆共14辆，直接写出a、b的值和总运费． 【答案】(1)丙车至少需要7辆 (2)甲型车有8辆，乙型车有10辆 (3)、，8800元 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解． （1）根据甲型车运载量是5吨/辆，丙型车运载量是10吨/辆，再根据总吨数，即可求出丙型车的车辆数； （2）设甲种车型需辆，乙种车型需辆，根据运费9600元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可； （3）设甲车有辆，乙车有辆，则丙车有辆，列出等式，再根据、、均为正整数，求出，的值，从而得出答案． 【详解】（1）解：， 答：丙型车至少需要辆． （2）解：设甲种车型需辆，乙种车型需辆， 根据题意得：， 解得：， 答：甲种车型需8辆，乙种车型需10辆． （3）解：设甲车有辆，乙车有辆，则丙车有辆， 由题意得， 即， ∵、、均为正整数， ∴只能等于5， ∴， ， ∴甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆， 则需运费（元）， 答：甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，此时的总运费为8800元． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $