第05讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系（九大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高二数学寒假预科讲义（苏教版）

第05讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系 【苏教版】 模块一 直线的方向向量与平面的法向量 1．空间中点、直线和平面的向量表示 (1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． (2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①，把代入①式得②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (3)平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 【注】一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 【题型1 求直线的方向向量】 【例1】（24-25高二上·山东枣庄·期末）若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高二·全国·课后作业）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　） A．0 B．1 C． D．3 【变式1.3】（24-25高二上·吉林松原·月考）已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型2 求平面的法向量】 【例2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则平面ABC的一个法向量可以为（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期末）已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（     ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知在直三棱柱中，，，则平面的一个单位法向量（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知平行六面体.设，则平面的一个法向量为（   ）    A． B． C． D． 模块二 空间中直线、平面的平行 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔⇔∃λ∈R，使得. (2)线面平行的向量表示：设是直线l的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔⊥⇔·＝0. (3)面面平行的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔⇔∃λ∈R，使得. 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【题型3 利用空间向量证明线线平行】 【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）长方体中，，分别是面对角线，上的点，且，．求证：． 【变式3.1】（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．    【变式3.2】（2025高二·全国·专题练习）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． 证明：. 【变式3.3】（24-25高二上·新疆阿克苏·阶段练习）如图，在正方体中，分别是棱的中点. (1)证明： ； (2)证明：； 【题型4 利用空间向量证明线面平行】 【例4】（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则（   ） A． B．5 C． D．1 【变式4.1】（24-25高二上·四川遂宁·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，E，F分别为，的中点，，，若平面，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4.2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 【变式4.3】（2025·陕西安康·模拟预测）如图，已知多面体是由正四棱锥P-ABCD与正方体组合而成的，且.    (1)求证：平面； (2)若，求四棱锥的体积. 【题型5 利用空间向量证明面面平行】 【例5】（24-25高二上·全国·课后作业）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【变式5.1】（24-25高二·全国·课后作业）如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【变式5.2】（24-25高二下·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 【变式5.3】（24-25高二上·天津蓟州·阶段练习）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 模块三 空间中直线、平面的垂直 1．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设分别是直线l1 , l2的方向向量，则l1⊥l2⇔⇔. (2)线面垂直的向量表示：设是直线l的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l⊥α⇔∥⇔∃λ∈R，使得＝λ. (3)面面垂直的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔⇔. 2．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 4．证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 【题型6 利用空间向量证明线线垂直】 【例6】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直 【变式6.1】（24-25高二上·云南昆明·期中）如图，下列正方体中，为底面的中点，为所在棱的中点，、为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．③④ B．①② C．②④ D．②③ 【变式6.2】（25-26高二上·全国·课前预习）在长方体中，M是与的交点，E是上一点．若，，，利用向量法证明：． 【变式6.3】（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）如图所示，平面，底面边长为1的正方形，2，P是MC上一点，且. (1)建立适当的坐标系并求点坐标； (2)求证：. 【题型7 利用空间向量证明线面垂直】 【例7】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值（    ） A． B． C．1 D．4 【变式7.1】（24-25高二上·山东青岛·期中）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若平面，则（   ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，分别为的中点，，用向量法证明：直线平面．    【变式7.3】（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证：平面. 【题型8 利用空间向量证明面面垂直】 【例8】（24-25高二上·山东济南·期中）已知分别是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．7 【变式8.1】（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（    ） A． B． C． D．1 【变式8.2】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量； (2)求证：平面平面． 【变式8.3】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，分别为棱的中点，且． (1)求的值； (2)用向量法证明：平面平面． 【题型9 空间中线、面位置关系的探索性问题】 【例9】（24-25高二上·四川南充·阶段练习）如图，直三棱柱中，，，分别为，的中点．    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使平面？若存在，求；若不存在，说明理由． 【变式9.1】（24-25高二下·四川凉山·期末）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【变式9.2】（2025高二上·江苏·专题练习）如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在的平面互相垂直，已知，. (1)求证：； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式9.3】（24-25高二下·全国·课后作业）如图，在正三棱柱中，分别是的中点． (1)求证：平面平面． (2)在线段上是否存在一点Q，使平面？若存在，确定点Q的位置；若不存在，也请说明理由． 一、单选题 1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知点，，，则平面的法向量是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆·期末）已知，分别是平面，的法向量，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则值为（    ） A． B．1 C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，已知，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河南开封·期末）如图，在平行六面体中，，，则下列直线与平面垂直的是（   ） A．AC B． C． D． 6．（24-25高二上·福建泉州·期末）已知为平行四边形外的一点，且，则（   ） A． B．与同向的单位向量为 C． D．平面的一个法向量为 7．（24-25高三上·四川达州·阶段练习）如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与为异面直线 D．平面 8．（24-25高二上·北京·期末）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，平面交棱于点，则下列结论中正确的是（    ）   A．直线与直线异面 B．直线平面 C．平面平面 D．截面是直角梯形 二、多选题 9．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）如图，在正方体中，，以为单面正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.已知 是直线的方向向量，则下列命题是真命题的是（    ） A．是直线的一个方向向量 B．是平面的一个法向量 C．若平面，则 D．若平面，则 11．（24-25高二上·湖北荆门·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，E，F，M，N分别是棱的中点，点P，Q分别在棱上移动，且. 则（   ） A．不存在λ的值，使得直线平面； B．当时，直线平面； C．当时，平面平面； D．当时，平面平面； 三、填空题 12．（24-25高二上·四川凉山·期末）平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为 ． 13．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，是底面的中心，是的中点，则的位置关系是 ． 14．（24-25高二上·湖南·期末）在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为 . 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 16．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 17．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 18．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 19．（24-25高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系 【苏教版】 模块一 直线的方向向量与平面的法向量 1．空间中点、直线和平面的向量表示 (1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． (2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①，把代入①式得②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (3)平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 【注】一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 【题型1 求直线的方向向量】 【例1】（24-25高二上·山东枣庄·期末）若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线的坐标表示可得出答案． 【解答过程】因为A，B在直线l上，所以， 与共线的向量可以是直线l的一个方向向量，其他选项经验证与均不共线. 故选：B. 【变式1.1】（24-25高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用方向向量的定义判断得解. 【解答过程】由，得， 所以直线的一个方向向量的坐标为. 故选：A. 【变式1.2】（24-25高二·全国·课后作业）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　） A．0 B．1 C． D．3 【答案】D 【解题思路】首先求出，依题意，则，根据空间向量共线的坐标表示计算可得. 【解答过程】因为直线过点和两点，所以， 又直线的一个方向向量，所以， 所以，所以， 所以，解得，所以. 故选：D. 【变式1.3】（24-25高二上·吉林松原·月考）已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解题思路】求出，再利用，解得得到关于的方程，求解即可. 【解答过程】因为， 所以， 由已知，， 所以，即，解得， 所以. 故选：D. 【题型2 求平面的法向量】 【例2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则平面ABC的一个法向量可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题设，，根据平面的法向量性质及空间向量数量积的坐标运算求法向量即可. 【解答过程】由题设，， 若是平面ABC的一个法向量，则， 取，则. 故选：A. 【变式2.1】（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期末）已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设平面的法向量为，根据法向量的定义可得出，利用赋值法可得出平面的一个法向量的坐标. 【解答过程】设平面的法向量为，由题意可得，， 则，取，可得， 故选：B. 【变式2.2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知在直三棱柱中，，，则平面的一个单位法向量（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设平面的法向量为，根据法向量定义列方程可得一个法向量，结合单位向量定义求结论. 【解答过程】设平面的法向量为， 由已知，又，， 故，令，则，， 所以为平面的一个法向量， 又为平面的一个单位法向量， 所以或. 故选：D. 【变式2.3】（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知平行六面体.设，则平面的一个法向量为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】令，求出，设出平面的一个法向量，利用空间向量数量积的运算律列式求解. 【解答过程】在平行六面体， 令，则， 设平面的法向量，而， 则，整理得，令，得， 所以平面的一个法向量为. 故选：A. 模块二 空间中直线、平面的平行 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔⇔∃λ∈R，使得. (2)线面平行的向量表示：设是直线l的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔⊥⇔·＝0. (3)面面平行的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔⇔∃λ∈R，使得. 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【题型3 利用空间向量证明线线平行】 【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）长方体中，，分别是面对角线，上的点，且，．求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】建立空间直角坐标系，由向量共线坐标运算即可求证. 【解答过程】如图所示，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，，，则得下列各点的坐标： ，，，，，. 由即，可得：， 由，即，可得：． ，，． 又与不共线，． 【变式3.1】（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．    【答案】证明见解析 【解题思路】证法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用空间向量共线的坐标表示可得答案； 证法二：由空间向量的线性表示可得答案. 【解答过程】证法一：由题意知，直线两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 所以，又，故． 证法二：由题意可得 ， 又，所以．    【变式3.2】（2025高二·全国·专题练习）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． 证明：. 【答案】证明见解析 【解题思路】利用空间直角坐标系，由正四棱柱的各棱长分别表示出向量与，根据向量共线定理即可证明. 【解答过程】根据正四棱柱性质可知，以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 所以， 可得，即向量与共线， 又不在同一条直线上， 所以. 【变式3.3】（24-25高二上·新疆阿克苏·阶段练习）如图，在正方体中，分别是棱的中点. (1)证明： ； (2)证明：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算，根据共线即可求解， （2）根据向量垂直满足的坐标关系即可求解. 【解答过程】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则 ， 故， 由于，故，显然，不重合，故 ； （2） 故， 因此，故. 【题型4 利用空间向量证明线面平行】 【例4】（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】B 【解题思路】根据题意可得，结合空间向量数量积的坐标运算可求得的值. 【解答过程】直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 因为平面，则， 所以，，解得. 故选：B. 【变式4.1】（24-25高二上·四川遂宁·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，E，F分别为，的中点，，，若平面，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据法向量的求法可求得平面的法向量，由可求得结果． 【解答过程】以为坐标原点，正方向为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则,0, ,0,,,,,, ， 所以，，，， 设平面的法向量， 则，令，得，，所以； 由可得是的中点，， 由可得， 所以， 因为平面，所以，解得． 故选：C. 【变式4.2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【解题思路】利用勾股定理逆定理先判定，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可. 【解答过程】由已知，， 可知，则， 又矩形中有，且， 平面， 所以平面， 又， 则平面， 所以两两垂直， 故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则， 所以. 易知平面的一个法向量等于， 所以， 所以， 又平面， 所以平面. 【变式4.3】（2025·陕西安康·模拟预测）如图，已知多面体是由正四棱锥P-ABCD与正方体组合而成的，且.    (1)求证：平面； (2)若，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)9． 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系证明线面平行即可； （2）根据线面垂直结合锥体体积公式计算即可. 【解答过程】（1）如图以点为原点，为 x 轴为 y 轴为 z 轴建立空间直角坐标系． 设 ,则 ,过 P 作平面 . 是正四棱锥点是正方形的中心, 因为，所以, 设平面法向量为, , , 则, 可得, 所以,,不在平面内，所以平面    （2）因为，所以, 因为平面,所以， 因为,平面,平面,所以平面, . 【题型5 利用空间向量证明面面平行】 【例5】（24-25高二上·全国·课后作业）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【答案】证明见解析 【解题思路】先根据直棱柱及建立空间直角坐标系由向量关系得出线线平行，再应用面面平行判定定理得证． 【解答过程】因为，，是棱的中点， 所以，所以为正三角形． 因为为等腰梯形，，， 所以． 取的中点，连接，则，所以． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 【变式5.1】（24-25高二·全国·课后作业）如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）证明平行于平面，结合面面平行判定定理证明结论. 【解答过程】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为， 所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 【变式5.2】（24-25高二下·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【解题思路】根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行； 【解答过程】以D为原点， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 因为，即， 所以平面平面. 【变式5.3】（24-25高二上·天津蓟州·阶段练习）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，P为线段的中点 【解题思路】（1）根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行； （2）由空间向量的坐标运算，由与平面的法向量垂直，代入计算，即可求解. 【解答过程】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点P使得平面，. 由（1）得，，平面的一个法向量为， 所以. 所以，解得. 所以当P为线段的中点时，平面. 模块三 空间中直线、平面的垂直 1．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设分别是直线l1 , l2的方向向量，则l1⊥l2⇔⇔. (2)线面垂直的向量表示：设是直线l的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l⊥α⇔∥⇔∃λ∈R，使得＝λ. (3)面面垂直的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔⇔. 2．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 4．证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 【题型6 利用空间向量证明线线垂直】 【例6】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直 【答案】C 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断即可. 【解答过程】以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则，，，， ，， ，， 又平面，平面，平面，且， 直线与异面垂直． 故选：C． 【变式6.1】（24-25高二上·云南昆明·期中）如图，下列正方体中，为底面的中点，为所在棱的中点，、为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．③④ B．①② C．②④ D．②③ 【答案】D 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断的值即可. 【解答过程】设正方体的棱长为， 对于①：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以与不垂直，即与不垂直，所以①错误； 对于②：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以，即，所以②正确；    对于③：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以，即，所以③正确； 对于④：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以与不垂直，即与不垂直，所以④错误； 故选：D. 【变式6.2】（25-26高二上·全国·课前预习）在长方体中，M是与的交点，E是上一点．若，，，利用向量法证明：． 【答案】证明见解析 【解题思路】设，，，则构成空间的一个基底，利用该基底表示出，证明即可． 【解答过程】设，，，则构成空间的一个基底， 则，， ∴ ， ∴，即． 【变式6.3】（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）如图所示，平面，底面边长为1的正方形，2，P是MC上一点，且. (1)建立适当的坐标系并求点坐标； (2)求证：. 【答案】(1)答案见解析， (2)证明见解析 【解题思路】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，由条件列式可求得点坐标； （2）利用空间向量的数量积的坐标运算证明即可． 【解答过程】（1）因为平面，且平面， 所以，， 在正方形中，， 所以两两垂直， 如图，以为原点，方向为轴，建立空间直角坐标系， 因为底面边长为1的正方形，2， 则，， 设， 由，可得， 解得，即. （2）因为， 所以，，则， 所以，. 【题型7 利用空间向量证明线面垂直】 【例7】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【解题思路】由已知可得，即，计算即可得出结果. 【解答过程】因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量， 且直线平面，所以， 所以，解得. 故选：B. 【变式7.1】（24-25高二上·山东青岛·期中）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若平面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据，根据共线的坐标运算列式探索满足的条件. 【解答过程】由题意：，所以 . 故选：B. 【变式7.2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，分别为的中点，，用向量法证明：直线平面．    【答案】证明见解析 【解题思路】以为原点，建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量的坐标，可得与平面的法向量共线，则得直线平面． 【解答过程】由题意知，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则，， ， 设平面的一个法向量为， 则即， 令，则， 所以，故直线平面． 【变式7.3】（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）先建立空间直角坐标系，再求出坐标，进而求出向量求出模长； （2）应用向量法得出线线垂直，再根据线面垂直判定定理证明即可. 【解答过程】（1）因为平面，，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，所以，. （2）依题意得， 所以， 则，即， 又因为，平面，所以平面. 【题型8 利用空间向量证明面面垂直】 【例8】（24-25高二上·山东济南·期中）已知分别是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．7 【答案】D 【解题思路】根据两平面垂直可得法向量垂直，即可根据坐标运算求解. 【解答过程】由，所以， ，解得. 故选：D. 【变式8.1】（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解题思路】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，求出两平面的法向量，根据垂直关系得到方程，求出，得到答案. 【解答过程】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设，平面的法向量为， 则， 解得，令得， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 故， 由题意得， 解得，故 故选：D. 【变式8.2】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析 【解题思路】（1）以为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直求出法向量即可； （2）证明两平面的法向量垂直即可. 【解答过程】（1）因为平面，平面，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量是， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. （2）设平面的一个法向量是， 则，令，则， 因为，所以， 所以平面平面. 【变式8.3】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，分别为棱的中点，且． (1)求的值； (2)用向量法证明：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由题意可得，，所以以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，即可求解； （2）通过证明平面与平面的法向量的数量积为，即可证明. 【解答过程】（1）在直三棱柱中，， 又平面， 所以平面，因此两两垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 所以， 所以． （2）由（1）知， ， 设平面BEA的法向量为，平面的法向量为， 则，即，令，则； ，即 令，则，所以， 所以平面平面． 【题型9 空间中线、面位置关系的探索性问题】 【例9】（24-25高二上·四川南充·阶段练习）如图，直三棱柱中，，，分别为，的中点．    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使平面？若存在，求；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见详解； (2)Q是的中点, 即. 【解题思路】（1）（2）根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即可. 【解答过程】（1）在直三棱柱中，，直线两两垂直， 以C为原点，以直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，    设，则， ，设是平面的一个法向量， 则，令，得， 显然，即，而平面， 所以平面. （2）假定线段上存在点满足条件，由（1）设，， ， 则，， 设是平面的一个法向量， 则，令，得， 由平面，得，即存在实数，满足： ，即，解得，因此，即Q是的中点， 所以线段上存在点，使平面，. 【变式9.1】（24-25高二下·四川凉山·期末）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，当与重合时，使得∥平面. 【解题思路】（1）连接交于点，则由四边形为菱形，得，由平面，得，再利用线面垂直的判定定理可结论； （2）由题意可证得两两垂直，则以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【解答过程】（1）证明：连接交于点， 因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面； （2）解：取的中点，连接， 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形， 所以， 因为平面，平面，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系， 设，则， 所以， 假设存在点，使得∥平面， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 由，得， 此时与重合，平面， 所以存在点，当与重合时，使得∥平面. 【变式9.2】（2025高二上·江苏·专题练习）如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在的平面互相垂直，已知，. (1)求证：； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【解题思路】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理可得平面，再由其性质定理即可证明； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】（1） 证明：∵平面平面，平面， ，平面，∴平面. ∵平面，∴， 过A作于H， 则， ∴，∴，∴. ∵，平面， ∴平面. ∵平面，∴. （2） 存在.理由：由（1）知，两两垂直， 以A为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合， 设，则， 由，可求得. 设平面PAC的一个法向量为，则， 由， 可得， 即，令，则，所以为平面PAC的一个法向量. 又， 设平面BCEF的一个法向量为， 则，可得， 所以为平面BCEF的一个法向量. 当，即时，平面平面，故存在满足题意的P， 此时. 【变式9.3】（24-25高二下·全国·课后作业）如图，在正三棱柱中，分别是的中点． (1)求证：平面平面． (2)在线段上是否存在一点Q，使平面？若存在，确定点Q的位置；若不存在，也请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在；点Q为点B 【解题思路】（1）应用线面平行判定定理得出面面平行即可证明； （2）建立直角坐标系，设点的坐标满足线面垂直即线线垂直计算求参. 【解答过程】（1）分别是的中点， ，∴四边形为平行四边形， ．平面平面,∴平面, 平面平面，平面． 又平面， ∴平面平面． （2）假设在线段上存在一点Q，使平面． 取的中点O，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ． 平面， ，解得， ∴在线段上存在一点Q，使平面，此时点Q为点B． 一、单选题 1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知点，，，则平面的法向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用待定系数法，设出法向量，取平面中两个不共线向量，根据向量点积建立方程，可得答案. 【解答过程】由已知得，．设， 则即令，则，，所以． 故选：A. 2．（24-25高二上·重庆·期末）已知，分别是平面，的法向量，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】根据法向量定义得到，进而得到，得到方程，求出答案. 【解答过程】，故， 故，解得. 故选：A. 3．（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知可得，设，列方程求. 【解答过程】因为直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，， 所以，设， 则， 所以，. 故选：A. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】以为原点，建立空间直角坐标系，设，得到和，结合，利用向量的数量积的公式，列出方程，即可求解. 【解答过程】以为原点，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，， 设，则，， 因为，所以，即，解得. 故选：D. 5．（24-25高二上·河南开封·期末）如图，在平行六面体中，，，则下列直线与平面垂直的是（   ） A．AC B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，，，根据空间向量的数量积运算可得，进而可得平面. 【解答过程】设，，， 则为空间所有向量的一个基底，且，，， 因为，， 所以，， ，， ，又 ，平面， 平面. 故选：C. 6．（24-25高二上·福建泉州·期末）已知为平行四边形外的一点，且，则（   ） A． B．与同向的单位向量为 C． D．平面的一个法向量为 【答案】C 【解题思路】A，由题可得，即可得判断选项正误；B，由可得与其同向的单位向量；C，由图可得向量；D，由，结合法向量定义可判断选项正误. 【解答过程】对于A，由题，又， 因为，所以与不平行，A错误； 对于B，因，则， 得与同向的单位向量为，故B错误； 对于C，由图可得，故C正确； 对于D，由，设， 则， 则，与不垂直，这与法向量定义不符，故D错误. 故选：C. 7．（24-25高三上·四川达州·阶段练习）如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与为异面直线 D．平面 【答案】D 【解题思路】首先以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法，判断垂直和平行关系. 【解答过程】如图，建立空间直角坐标系，设棱长为， A.，，，，，， ，所以与不垂直，故A错误； B.平面的法向量为，，所以与平面的法向量不垂直，则与平面不平行，故B错误； C.，，，，所以，则，故C错误； D.，，，，， ，，，平面，所以平面，故D正确. 故选：D. 8．（24-25高二上·北京·期末）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，平面交棱于点，则下列结论中正确的是（    ）   A．直线与直线异面 B．直线平面 C．平面平面 D．截面是直角梯形 【答案】B 【解题思路】根据线面平行可判断是的中点，，即可建立空间直角坐标系，求解向量的坐标，即可根据向量的垂直求解BD，根据面面平行求解C. 【解答过程】取的中点，则是的中点，（理由如下：） 由于是的中点，则,故，因此在同一平面，故是的中点， 对于A，连接,则，故，故直线与直线共面，A错误， 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则, 故, 由于，， 故，，平面 故直线平面，B正确， 对于C，由于，平面，平面，故平面，又平面，平面，故平面，平面，故平面平面，但由于平面与平面相交，故平面与平面不可能平行，C错误， 由于， ,, 故不垂直，且不垂直，又，故四边形不是直角梯形， 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】分析可知，平面的法向量与共线，逐项判断即可. 【解答过程】因为平面与平面平行，且是平面的一个法向量， 则平面的法向量与平行，因为，， 向量、与向量不共线，所以，AD选项中的向量可以作为平面的法向量. 故选：AD. 10．（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）如图，在正方体中，，以为单面正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.已知 是直线的方向向量，则下列命题是真命题的是（    ） A．是直线的一个方向向量 B．是平面的一个法向量 C．若平面，则 D．若平面，则 【答案】BCD 【解题思路】对于A，求得即可判断；对于B，求得平面的一个法向量即可判断；对于C，由已知可得，求解可判断；对于D，由已知得，求解可判断. 【解答过程】在正方体中，， 对于A，，所以， 所以不是直线的一个方向向量，故A错误； 对于B，，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为，故B正确； 对于C，若平面，则，解得，故C正确； 对于D，若平面，则，则，故D正确. 故选：BCD. 11．（24-25高二上·湖北荆门·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，E，F，M，N分别是棱的中点，点P，Q分别在棱上移动，且. 则（   ） A．不存在λ的值，使得直线平面； B．当时，直线平面； C．当时，平面平面； D．当时，平面平面； 【答案】BCD 【解题思路】建立如图所示空间直角坐标系，求出的坐标即可得到A错误；B正确；分别求出平面的法向量和平面的一个法向量，由两法向量的数量积为零解出即可得到C、D正确； 【解答过程】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 由已知得， 则， 对于A、B，当时，， 因为，所以， 即，又与无公共点，所以，故A错误；B正确； 对于C、D，而平面，且平面，故直线平面. 假设存在符合题意的λ， 设平面的法向量为， 则由，可得 于是可取， 同理设平面的一个法向量为， 则，可得， 可得平面的一个法向量为， 则， 即，解得. 故存在，使平面平面； 故选：BCD. 三、填空题 12．（24-25高二上·四川凉山·期末）平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为 ． 【答案】（答案不唯一） 【解题思路】求出，由，求解即可． 【解答过程】解：由 则 因为向量是平面的一个法向量， 所以，令，则 故答案为：. 13．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，是底面的中心，是的中点，则的位置关系是 ． 【答案】平行 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得. 【解答过程】如图，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 则，，，，，， 于是，即，而点直线，所以. 故答案为：平行. 14．（24-25高二上·湖南·期末）在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为 . 【答案】 【解题思路】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求解. 【解答过程】 根据已知条件，建立如图所示： 以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系， ，，，，， ，， ， ， 设平面的一个法向量， ，，则， 令，有，，所以， 平面，则，即， 解得. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 【答案】直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为(答案不唯一) 【解题思路】以为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，即为直线的一个方向向量，表示即可求出平面的一个法向量. 【解答过程】 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，即直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为，所以. 由得，所以. 令，则. 所以平面的一个法向量为. 16．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 【答案】证明见解析 【解题思路】以点H为原点，建立空间直角坐标系，得到向量和平面的法向量为，求得，得到，进而证得平面； 【解答过程】证明：如图， 因为H，P分别是BC，AB的中点，所以， 因为，可得，又因为平面ABC， 以点为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，，，，，， 所以向量，且平面的法向量为， 则，所以， 又因为平面，所以平面. 17．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直即可求出法向量； （2）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直即可得证. 【解答过程】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以平面的法向量为； （2），则， 故， 因为， 所以， 又平面， 所以平面. 18．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，先通过线面垂直的判定定理说明向量为平面的一个法向量，再利用可得线面平行； （2）分别求出平面和平面的法向量，利用法向量垂直可证得面面垂直. 【解答过程】（1） 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，． 由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 19．（24-25高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【解题思路】（1）设的中点为，连接，易证四边形为平行四边形，可得，进而得到平面，再根据线面平行的性质求证即可； （2）建立空间直角坐标系，结合空间向量及平面列出方程组求解即可. 【解答过程】（1）证明：设的中点为，连接， 因为P为的中点，Q为的中点， 所以，，， 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. （2）在直三棱柱中，平面，， 故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 则，， 又，则， 所以， 若平面，则， 则，解得， 所以线段上存在点P，使得平面，此时. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $