30.2二次函数的图像和性质同步练习2025-2026学年冀教版数学九年级下册

二次函数的图像和性质 一、单选题 1．关于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．它的形状是一条抛物线 B．它的开口向上，且关于y轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它的顶点在原点处，坐标为 2．抛物线一定不经过第一、二象限，那么下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 3．下列图像是二次函数的图像的是（　　） A． B． C． D． 4．下列关于二次函数的最值，说法正确的是（　 　） A．有最小值，且最小值为1 B．有最大值，且最大值为3 C．有最大值，且最大值为1 D．有最小值，且最小值为3 5．对于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向下 B．关于y轴对称 C．有最高点 D．顶点坐标为 6．关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 7．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 8．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 9．在函数中，y与x的部分对应值如表，此抛物线的对称轴是直线（　　） x … 1 3 4 … y … … A． B． C． D． 10．已知二次函数（、b、c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 1 … y … … 则下列结论中正确的是（    ） A． B．该函数有最大值 C．若点、在函数图象上，则 D．方程的一个根位于2和3之间 二、填空题 11．已知点，在抛物线上，且，则 （填“”、“”或“”）． 12．已知，是抛物线上两点，则正数 ． 13．已知二次函数的图象如图所示，那么点在第 象限． 14．抛物线经过三点，则的大小关系为 15．将二次函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后抛物线的表达式为 ． 16．如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为 ．    三、解答题 17．把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为A，且与y轴交于点B，抛物线的顶点为M，求 (1)a，h的值； (2)的值． 18．已知二次函数． (1)请按二次函数画图步骤，填写表中空格处的数值； … … … … (2)根据表格，画出这个二次函数的图象； (3)根据表格图象可知，当时，的取值范围是____________． 19．已知二次函数． (1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象； (2)若三点，，且，则，，的大小关系为 ． (3)把所画的图象如何平移，可以得到函数 的图象?请写出一种平移方案． 20．已知二次函数，解决以下问题： (1)将其化成的形式：______； (2)用“五点法”画函数图象，先填表再画图； 0 1 2 3 6 (3)增减性：当______时，随增大而增大；当______时，随增大而减小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C B D D D D A C 1．C 【分析】本题考查二次函数的图象、性质、最值．根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的图象是一条抛物线，故选项A正确， 该函数图象开口向上，关于y轴对称，故选项B正确， 图象的顶点是抛物线的最低点，故选项C错误， 图象的顶点坐标是，故选项D正确， 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了根据二次函数经过的象限确定字母系数的符号，解题关键是利用数形结合思想求解． 先确定抛物线的开口方向，再确定与轴的交点位置来确定的符号． 【详解】解：∵抛物线一定不经过第一、二象限， ∴抛物线的开口方向下，抛物线在第三、四象限， ∴，可排除选项，； ∴抛物线与的交点在负半轴，或过原点， ∴，可排除， 故选：B ． 3．C 【分析】本题考查了二次函数图像和性质，理解二次函数的性质是解题的关键．依据二次函数顶点式的性质，从开口方向和顶点坐标两个角度分析逐项判断即可 ． 【详解】解：函数， ， 抛物线开口向下， 选项A、B不符合题意， 抛物线的顶点坐标为（即顶点在x轴上，且横坐标为），选项C、D的抛物线开口向下，而选项C的抛物线顶点在x的负半轴上；选项D的抛物线顶点在x轴正半轴， 符合条件的是选项C， 故答案为：C． 4．B 【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 把二次函数利用配方法改为顶点式，利用函数的性质求得函数的最值即可． 【详解】解：∵，且， ∴当时，二次函数有最大值，且最大值为3． 故选：B 5．D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质．先把解析式化为顶点式，进而得到顶点坐标和对称轴，再由函数开口向上，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，有最低点，顶点坐标为， ∴四个选项中只有D选项说法正确，符合题意， 故选：D． 6．D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 7．D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的基本性质．直接利用二次函数图象得出a、b、c的符号，进而得出答案． 【详解】解：由二次函数图象，得出，，对称轴， ∴， 对于一次函数，，， ∴一次函数的图象大致是 ， 故选：D． 8．D 【分析】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，熟练掌握一次函数和二次函数图象与系数的关系是解题关键． 根据一次函数和二次函数图象与系数的关系解答． 【详解】解：中，当时，； 中，当时，； ∴两个函数同时经过点，即与y轴的交点为同一个点， ∴由选项得只有D选项符合题意 故选：D． 9．A 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性成为解题的关键． 根据抛物线的对称性以及表格数据即可解答． 【详解】解：∵和时的函数值相同都是， ∴抛物线的对称轴为直线x． 故选：A． 10．C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，掌握二次函数与方程的关系是解题的关键． 根据表格数据即可得出抛物线对称轴为直线，顶点为，时，y随x的增大而减小，得出，利用对称轴公式求得，即可判断A；根据二次函数的性质即可判断B；根据两点到对称轴的距离即可判断C；利用二次函数的对称性即可判断D． 【详解】解：由题意可知抛物线对称轴为直线， 顶点为， 时，y随x的增大而减小， 抛物线开口向上，， ， ，故选项A错误； 时，y随x的增大而减小，顶点为， 该函数有最小值，故选项B错误； 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ，故选项C正确； 由题意可知，抛物线与x轴的一个交点的横坐标在与之间， 根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在1与2之间，故选项D错误． 故选：C． 11． 【分析】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物线表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而分析函数的增减性．先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】解：的对称轴为y轴， ∵， ∴开口向下，当时， y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 12．8 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；把点A的坐标代入中，求得的值；把点B的坐标代入中，求得的值，由此即可求解． 【详解】解：∵是抛物线上点， ∴， ∴， ∵是抛物线上点， ∴， ∴； 当时，则或，显然都不符合题意； 当时，则（不合题意）或； 综上，; 故答案为：8． 13．二 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、判断坐标点的象限，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象开口方向、与轴交点的位置得出，，再结合对称轴的位置得出，即可得出答案． 【详解】解：由图象知，二次函数的图象开口向下，与轴交于正半轴， ，， ， 由图象知，二次函数图象的对称轴， ， 点在第二象限． 故答案为：二． 14． 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线，则在对称轴左侧y随x增大而减小，再根据关于对称轴对称的点为，且可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧y随x增大而减小， ∵关于对称轴对称的点为，且， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的原则，进行解答，即可求解． 【详解】解：∵将二次函数的图象向左平移个单位， ∴函数解析式变为：， ∵将解析式再向下平移个单位， ∴函数解析式变为：， 故答案为：； 16． 【分析】根据抛物线的对称性，连接交对称轴于M，此时最短，利用待定系数法求得直线的解析式即可求得点M的坐标． 【详解】解：连接交抛物线的对称轴于M，则最短，    设直线的解析式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线经过、， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴点M坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、最短路径问题，会利用抛物线的对称性解决最短路径问题是解答的关键． 17．(1) (2)144 【分析】本题考查抛物线的平移，与轴的交点，求顶点坐标，熟练掌握抛物线的平移规则：左加右减，上加下减是解题的关键． （1）根据抛物线的平移规则，求出a,h的值，即可； （2）由（1）求出两条抛物线的顶点坐标和点B的坐标，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线， ∴平移后的解析式为， ∴； （2）解：由（1）得：平移前的解析式为，平移后的解析式为 ∴点A的坐标为，点M的坐标为， 对于， 当时，， ∴点B的坐标为， ∴． 18．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握数形结合的应用． （1）根据所给表格填出x的值，再求y的值； （2）描点，连线即可； （3）根据表格、图象，即可看出y的取值范围 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，；… … 0 1 2 3 … … 2 3 2 … （2）解：画图如下： （3）解：根据表格图象可知，当时，的取值范围是， 故答案为：． 19．(1)见解析 (2) (3)先向左平移2个单位，再向上平移1个单位可以得到函数的图象 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数图象，二次函数的平移特点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）根据列表、描点、连线，画出函数图象即可； （2）根据二次函数的增减性，求出结果即可； （3）根据平移的特点，得出答案即可． 【详解】（1）解：列表： x 0 1 2 3 4 3 0 0 3 描点，连线，如图所示： （2）解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴先向左平移2个单位，再向上平移1个单位可以得到函数的图象． 20．(1) (2)填表见解析；画图见解析 (3)； 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）用配方法将二次函数解析式化为顶点式即可； （2）将x对应的值代入函数解析式求出y的值，然后描点，画出函数图象即可； （3）根据函数的增减性，得出答案即可． 【详解】（1）解：； （2）解：填表如下： 0 1 2 3 6 3 2 3 6 描点，连线，画出函数图象，如图所示： （3）解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而增大；当时，随增大而减小． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数的图像和性质 一、单选题 1.关于二次函数少三x 的图象，下列说法错误的是() A.它的形状是一条抛物线 B.它的开口向上，且关于y轴对称 0,0 C.它的顶点是抛物线的最高点 D.它的顶点在原点处，坐标为 2.抛物线少=r+c(a≠0) 一定不经过第一、二象限，那么下列说法正确的是() A.a>0且c<0 B.a<0且c≤0 C.a>0且c≤0 D.a<0且c20 3.下列图像是二次函数少=-2(x+ 的图像的是() 4.下列关于二次函数y=-2x-4r+1 的最值，说法正确的是() A.有最小值，且最小值为1 B.有最大值，且最大值为3 C.有最大值，且最大值为1 D.有最小值，且最小值为3 5.对于抛物线y=x-4x+5 下列说法正确的是() A.开口向下 B.关于y轴对称C.有最高点 D.顶点坐标为2,1 6.关于抛物线y=-r+6r-7 下列说法正确的是() A.开口向上 B.对称轴是直线x=-3 C.与y轴的交点坐标 答案第1页，共2页 是07列 D.顶点坐标是3,2 .三次适影=+的图条如圆所示，则次超数少=+6+ 的图象大致是 VA B. 8.函数y=ar-a与'=a-aa≠0在同一平面直角坐标系中的图象可能是(） 答案第2页，共2页 9.在函数y=ar2+br+ 中，y与x的部分对应值如表，此抛物线的对称轴是直线( ) 6 3 A.x= 3 B.x=- 2 2 C.x=2 D.x=-2 10.已知二次函数'=r+r+C(口、、c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分 对应值如表： -4 -3 -1 0 3 5 2 则下列结论中正确的是( A.b<0 B.该函数有最大值 C.若点-2)、(2，在函数图象上，则4<为 D.方程ar+hr+c=0(a≠0) 的一个根位于2和3之间 二、填空题 1,己知点1，B,),在抛物线=--2上，且0<X<,则”（填“ <”、“>”或“=”). A(m,2020)B(m+n,2020 12.已知 是抛物线'=-(r-+203 上两点，则正数”= 答案第3页，共2页 13.已知二次函数y=r+r+C的图象如图所示，那么点 (ac,)在第_象限. 2 14.抛物线少 则，y2,的大小关系为 15.将二次函数少=r+2 的图象向左平移个单位，再向下平移3个单位，则平移后抛物 线的表达式为 16.如图，已知抛物线)=ar+hr+ca≠0经过-，0，B3,0,C0,-3)三点，直线 I是抛物线的对称轴，点M是直线I上的一个动点，当MA+MC最短时，点M的坐标为 三、解答题 17,把抛物线=(x-4向左平移6个单位长度后得到抛物线”=-3(x-创，抛物线 y=a(x-4) 的顶点为A,且与y轴交于点B,抛物线y=-3到x-h) 的顶点为M,求 (I)a,h的值； 2Ss的值. 答案第4页，共2页 18.已知二次函数"=-r+2x+2 (1)请按二次函数画图步骤，填写表中空格处的数值： … y=-x2+2x+2 … (2)根据表格，画出这个二次函数的图象： 珠 4 -3-2-10 12.3.4.56x -3 4 (3)根据表格图象可知，当-1<x<2时，'的取值范围是 19.已知二次函数》=-4r+3 答案第5页，共2页 3 2 1 -3-2-10 1 2345 2 ()在所给的平面直角坐标系中画出它的图象： 2诺三点4(x,川，B(）,C且2<<5<，则，片，的大小关系为 (3)把所画的图象如何平移，可以得到函数y= 的图象？请写出一种平移方案. 20.已知二次函数'=r-2x+3 解决以下问题： (将其化成’=a(x-+k的形式 (2)用“五点法”画函数图象，先填表再画图； 0 6 答案第6页，共2页 3 1 5-4-3-2-10 12345主 -2 - 5 (3)增减性：当时，y随x增大而增大：当x时，随x增大而减小. 答案第7页，共2页