精品解析：浙江省温州市乐清市知临中学2025年12月高中提前招生考试数学试题

数学试题卷 考生须知： 1、本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2、答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号． 3、必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他位置无效． 4、请用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，如需画图，请用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 在实数（相邻两个1之间0的个数依次加1）中，无理数的个数有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的概念，即可得答案. 【详解】所给数据中，无理数有（相邻两个1之间0的个数依次加1），共3个. 故选：B. 2. 若与互为相反数，则的值（　　） A. 64 B. -64 C. 81 D. -81 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义列出式子求出的值，再代入代数式中计算. 【详解】由题意可得，，则，得， 故. 故选：A 3. 如果，那么的值为（　　） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】观察三个式子的特点可知将凑为，两边同时平方即可求得的值，注意等式性质的应用. 【详解】在等式的两边同时乘以， 得. 因为，所以， 两边同时平方得，展开得 ， 因为， 所以， 即. 故选：A. 4. 如图，若，则，之间的关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据内错角和同旁内角的关系即可求解. 【详解】过作，则, 因此, 由于故， 故选：C 5. 北京与巴黎的时差为7小时，例如：北京时间12：00，同一时刻的巴黎时间是早上5：00．好好和点点分别在北京和巴黎，她们相约在各自当地时间12：00~21：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（　　） A. 13：00 B. 15：00 C. 20：00 D. 22：00 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得到巴黎当地时间12：00~21：00对应的北京时间段即可得解. 【详解】由题可知巴黎当地时间12：00~21：00为北京时间的19：00至次日凌晨4：00， 所以由题可知两人通话时刻可以是北京时间19：00~21：00之间的一个时刻. 故选：C 6. 如图，在中，，由图中的尺规作图得到射线，与交于点，点为的中点，连接，若，，则的周长为（　　） A. 10 B. 9 C. 8.5 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由尺规作图可得射线为的角平分线，结合条件得，且，由勾股定理求得，运算得解. 【详解】由尺规作图可得射线为的角平分线，又， 所以，且， 又为的中点，则，，所以， 所以的周长为周长的一半. 在中，，故周长为， 所以的周长为8. 故选：D. 7. 如图，点在反比例函数（常数）图象上，作轴于点轴于点，过作于点，连接．则下列三角形中，与的面积一定相等的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数求出各点坐标，代入三角形面积公式判断即可. 【详解】由题意设，，则，，， 所以，， ，， ， 所以与的面积一定相等的是， 故选：D 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设点的坐标，再结合边长及垂直应用平面向量数量积公式列式计算求解. 【详解】设，因为四边形是正方形，所以，所以， 因为，所以，又因为，所以， 所以，即得，解得或，因为，所以不合题意舍去， 所以， 所以点. 故选：A. 9. 如图，正三角形中，点分别为边上的点，，连接，作交于点，若要求得的边长，只要知道（ ） A. 的周长 B. 的面积 C. 的周长 D. 的周长 【答案】D 【解析】 【分析】作，交于，连接，延长至点，使，依次证明≌，≌，≌，即可求出的周长为. 【详解】如图，作，交于，连接，延长至点，使，连接， 因为是等边三角形，所以， 因为，所以， 则， 在和中，有， 所以≌，则，， 所以， 因为，所以， 因为，所以∽， 所以，所以， 因为，所以点三点共线， 在和中，有， 所以≌，所以， 所以， ， 在和中，有， 所以≌，所以， 所以的周长为 ， 故若要求得的边长，只要知道的周长. 故选：D 10. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，点在第一象限．点在轴正半轴上，连结交反比例函数图象于点为的平分线．过点作的垂线，垂足为，连结．若的面积为8，则的值为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于，根据已知得，设点，其中，可得出，求出直线对应的一次函数的解析式，可求得，再利用求出的值. 【详解】延长交于，又为的平分线，， 所以垂直平分，则是的中点， 由题意是中点，则，即， 由的面积为8，则， 设点，其中， 因为直线交反比例函数图象于点，且， 设点，则，从而可得， 设直线对应的函数解析式为，则，解得， 即直线对应的函数解析式为，点在轴正半轴上，则， 所以，可得. 故选：B 二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，该款载物机器狗的最快移动速度与载重后总质量成反比例．已知该款机器狗载重后总质量为时，它的最快移动速度为；若其最快移动速度大于14，则其载重后总质量的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得解. 【详解】由题意，设， 则有，解得， 所以， 由，即，因为，所以， 所以的取值范围是． 故答案为：. 12. 如图，，和分别是和的中点，连接，并延长，分别交于，，若四边形的面积为，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件可得两对全等三角形，将分割为三部分，与四边形建立联系可得. 【详解】因为，和分别是和的中点， 所以，所以， 同理. 所以五边形 五边形 五边形 四边形, 所以四边形. 故答案为：. 13. 如图，下边横排中有无数个方格，每个方格中都有一个数字，且任意相邻三个格子中数字之和都相等．已知，第1个方格中的数字是5，第9个方格中的数字是，前101个方格中的数字之和是74，则第101个方格中的数字是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得第个格子的数都与第一个格子的数相等，第个格子的数都与第二个格子的数相等，第个格子的数都与第一个格子的数相等，其中为正整数，由此求出，即可得解. 【详解】设第二个格子的数为，第三个格子的数为， 因为任意相邻三个格子中数字之和都相等， 所以第个格子的数都与第一个格子的数相等，为， 第个格子的数都与第二个格子的数相等，为， 第个格子的数都与第一个格子的数相等，为，其中为正整数， 因为，所以， 因为， 所以前101个方格中的数字之和为，解得， 所以第101个方格中的数字是. 故答案为：. 14. 已知方程有4个根．则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的四个根将多项式表示为，然后将所求式子进行变形，对多项式进行赋值，即可求出结果. 【详解】因为方程有4个根，令， 则， 所求式子可变形为： ， 根据的因式分解形式，有： ， 计算可得. 同理，， 计算可得，因此，原式. 故答案为：. 15. 将按如图方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则： ①表示的数是___________； ②若在，则的值为___________． 【答案】 ①. ②. 137 【解析】 【分析】根据所给规律，分析出第n排的数字的个数，以及奇数排和偶数排的增减性和规律，结合题中条件，即可求得答案. 【详解】第一排有1个数，即为个； 第二排有3个数，即为个； 第三排有5个数，即为个； 第四排有7个数，即为个，故第n排有个数， 分析可得，奇数排（第1,3,5n排），从左向右递增，最后一个数为， 偶数排（第2,4,6m排），从左向右递减，第一个数为， 则前6排共有1+3+5+7+9+11=36个数，且第6排从左向右第1个数为， 第7排为奇数排，从左向右递增，第6个数的被开方数为， 所以表示的数是； 因为，所以为第45排，从左向右的最后一个数， 所以为第46排，从左向右的最后一个数，且第46排共有个数， 所以在，则. 故答案为：；137 16. 如图，为的直径，是上一点，以为圆心．适当长为半径作弧交直径所在的直线于点，；分别以，为圆心，大于长为半径作弧两弧交于点；连接并延长交于点，交于点；以为圆心，长为半径作弧交于点，连接．若，则的半径长是___________． 【答案】6 【解析】 【分析】先根据作图得到，且，设的半径为，在中，由勾股定理得，在中，利用勾股定理建立方程求得. 【详解】根据题意，可得，且，如图所示，连接， 设的半径为，则， 所以， 在中，， ，则， 又为的直径，则， 在中，由勾股定理得，化简得， 解得或（舍去）， 所以的半径为6. 故答案为：6. 三、解答题（本题共有8小题，共66分，解需写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 如图，是边长为的等边三角形．动点和动点分别从点和点同时出发，沿着逆时针运动，已知动点的速度为，动点的速度为．设动点、动点的运动时间为． （1）当为何值时，两个动点第一次相遇； （2）从出发到第一次相遇这一过程中，当为何值时，以为顶点的三角形的面积为？ 【答案】（1） （2）2或6 【解析】 【分析】（1）根据题意可得方程，解出即可； （2）按两点不同的位置分类讨论，结合三角形的面积、性质求解即可. 【小问1详解】 根据题意可得，解得， 所以当时两个动点第一次相遇. 【小问2详解】 因为是边长为的等边三角形，所以， 有3种情况 ①如图1，过作于， 此时，，由勾股定理得 由三角形面积公式得， 解得，， 当时，在上，舍去， 所以. ②如图2， 此时，，， 由三角形面积公式得， 解得：或， 当时，在上，舍去， 所以； ③如图3： 此时，，， 由三角形面积公式得， 此方程无解； 综上从出发到第一次相遇这一过程中，当为6或2时，点、、为顶点的三角形的面积为． 18. 如图，在中，是边上一点，是边上一点，过点作交于点，是边上一点，连接． （1）判断与是否平行，并说明理由． （2）若平分，，，求的度数 【答案】（1）是，证明如下： ，， 又因为，故， 因此. （2） 【解析】 【分析】（1）利用，，可得内错角相等，即可证得； （2）运用角平分线的性质以及三角形一个角的补角等于另外两个角之和，即可得解. 【小问1详解】 与平行，证明略； 【小问2详解】 由（1）可知，由平分可知， 又因为三角形一个角的补角等于另外两个角之和，故有， 可得，因此， 又因为， 可得，解得， 又因为，故. 19. 已知抛物线经过点 （1）求该抛物线的函数表达式： （2）求出抛物线与坐标轴的交点，并在如图坐标系中用描点法描出二次函数的图象． 【答案】（1）； （2）， 列表描点如下： 0 1 2 0 【解析】 【分析】（1）应用已知点代入计算求参数即可得出函数表达式； （2）列式计算求出交点，再描点得出二次函数图象即可. 【小问1详解】 因为抛物线经过点，所以，所以， 所以抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 令，则，所以或， 令，则， 所以抛物线与坐标轴的交点为； 20. 如图，正方形中，，分别为边，上的点，且，求线段，，之间的数量关系．在小组学习过程中，我们得到了如下的解决方法：延长到，使得，再连接，利用可得，即拓展延伸： （1）如图①，正方形中，，分别为边，上的点，且，已知．试求正方形的周长． （2）如图②，在正外作一等腰，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交于两点，连接． ①求线段之间的数量关系，并加以证明： ②已知的周长为12，的面积为，试求的长． 【答案】（1）24 （2）①,证明如下： 延长到，使得，再连接， 由于，故，因此 由于，， 故,因此， 又 故，可得，即, ②4 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理即可求解， （2）根据三角形全等即可求证①，利用全等以及边长关系，结合面积求解即可得②. 【小问1详解】 设正方形的边长为，则 由于，,故,， 在中，，故，解得， 故正方形的边长为6,则周长为24. 【小问2详解】 ①,证明略； ②设， 则， 由得，故， , ,故， 故，则， 故 21. 如图，在上，，经过圆心的线段于点，与交于点． （1）如图1，当半径为5，，若，求弦的长； （2）如图2，当半径为，若，求弦的长． 【答案】（1）8； （2）. 【解析】 【分析】(1)依次由和求出OE和BF即可得解； (2)设与交点为G，由题设条件依次求出即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，且分别为的中点， 因为半径为5，，则， 设，则， 所以由（舍去）或， 所以弦的长为； 【小问2详解】 由题意可知，且分别为的中点， 因为半径为，，则， 因为，所以， 设与交点为G，则， 设，则， 所以由（舍去）或， 所以， 所以弦的长为. 22. 如图1，在中，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点，连接． （1）图1中，求证：； （2）当绕点旋转到如图2所示的位置时， ①是否仍然成立？若成立请证明：若不成立，说明理由； ②若和的面积分别是的面积为，求的值． 【答案】（1）证明： 由点分别为的中点，则， 由，则，故； （2）①成立，证明如下： 连接，由绕点旋转到如图2所示的位置，则， 所以，而，则， 所以，又点分别为的中点， 所以，得证； ②. 【解析】 【分析】（1）由题意，且，即可证； （2）①连接，易知，从而有，结合中位线性质即可得结论；②由已知有，，利用割补法有，结合已知线段比与面积比关系求. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ①成立，证明略； ②点分别为的中点，所以， 又，即， 结合割补法知，旋转前后四边形面积不变， 所以， 由，所以，则， 所以. 23. 根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥的方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度（米）与货船增加的载重量（吨）满足函数表达式． （1）确定桥洞的形状．建立平面直角坐标系如图3所示，落在第一象限的角平分线上．设点为（m，m）， ①点的坐标．（用的代数式表示）： ②求出经过点的双曲线的函数表达式． （2）这艘货船运载货物高3米（即米），此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？（已知．） 【答案】（1）①② （2）不能，理由如下： 由（1）可求得， 因为四边形是矩形，所以米， 设和交于点，过作轴于，过作于，如图，则米， 若能恰好通过，则在双曲线上，且米， 因此，所以米， 所以米，米，所以点. 将点代入双曲线方程得，，解得. 所以米，由于，所以米， 所以米，由于，所以此船不通过， 所以船身下降的高度米，因为，所以吨， 故至少增加2吨货物，此货船能通过该桥洞. 【解析】 【分析】（1）①过点分别作轴、轴的平行线交于，过点作于，交轴于，过点作轴于，根据线段长度、角度、垂直关系等求出点的坐标即可；②将点的坐标代入双曲线解析式即可求出结果. （2）先求出点坐标，然后求出，进而可判断并求出结果. 【小问1详解】 ①如图，过点分别作轴、轴的平行线交于，过点作于， 交轴于，过点作轴于，则四边形为矩形， 所以，因为点为， 所以米，因为落在第一象限的角平分线上， 所以关于对称，即关于第一象限角平分线对称，， 所以点是的中点，，所以， 因为米，所以米，因为过点分别作轴、轴的平行线交于， 所以，所以， 所以，因为米，所以米， 所以米，因为，所以， 所以，所以. 因为米，所以米， 所以米，米， 所以. ②设双曲线的解析式为，把，代入得： ，解得. 所以点在双曲线上. 【小问2详解】 不能，理由略，至少增加2吨货物，此货船能通过该桥洞. 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是点关于直线的对称点． （1）求点的坐标． （2）点是直线上的一动点，以为边向右作正方形． ①若点是线段中点，求点坐标． ②连接．若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）利用对称关系列出方程求解即可； （2）①设，根据，，列出方程即可求解； ②设，过作轴的垂线，过作轴的垂线，两垂线相交于，过作轴的垂线交于，根据全等三角形可得，，，利用列出等式即可求解. 【小问1详解】 设，则的中点坐标为， 点是点关于直线的对称点， 所以，解得：， 所以点的坐标为 【小问2详解】 ①由题可得：，， 则，, ，， 设， 则，解得：，或， 因为以为边向右作正方形，则， 所以点的坐标为； ②由题可得：，， 因为点是直线上的一动点，设， 则, 过作轴的垂线，过作轴的垂线，两垂线相交于， 过作轴的垂线交于， 因为正方形，则， 则，， 所以,， 则， 所以， 由于， 所以，解得：或， 所以点坐标为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题卷 考生须知： 1、本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2、答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号． 3、必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他位置无效． 4、请用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，如需画图，请用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 在实数（相邻两个1之间0的个数依次加1）中，无理数的个数有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 若与互为相反数，则的值（　　） A. 64 B. -64 C. 81 D. -81 3. 如果，那么的值为（　　） A. B. C. D. 3 4. 如图，若，则，之间的关系是（　　） A. B. C. D. 5. 北京与巴黎的时差为7小时，例如：北京时间12：00，同一时刻的巴黎时间是早上5：00．好好和点点分别在北京和巴黎，她们相约在各自当地时间12：00~21：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（　　） A. 13：00 B. 15：00 C. 20：00 D. 22：00 6. 如图，在中，，由图中的尺规作图得到射线，与交于点，点为的中点，连接，若，，则的周长为（　　） A. 10 B. 9 C. 8.5 D. 8 7. 如图，点在反比例函数（常数）图象上，作轴于点轴于点，过作于点，连接．则下列三角形中，与的面积一定相等的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，正三角形中，点分别为边上的点，，连接，作交于点，若要求得的边长，只要知道（ ） A. 的周长 B. 的面积 C. 的周长 D. 的周长 10. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，点在第一象限．点在轴正半轴上，连结交反比例函数图象于点为的平分线．过点作的垂线，垂足为，连结．若的面积为8，则的值为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，该款载物机器狗的最快移动速度与载重后总质量成反比例．已知该款机器狗载重后总质量为时，它的最快移动速度为；若其最快移动速度大于14，则其载重后总质量的取值范围是___________． 12. 如图，，和分别是和的中点，连接，并延长，分别交于，，若四边形的面积为，那么___________． 13. 如图，下边横排中有无数个方格，每个方格中都有一个数字，且任意相邻三个格子中数字之和都相等．已知，第1个方格中的数字是5，第9个方格中的数字是，前101个方格中的数字之和是74，则第101个方格中的数字是___________． 14. 已知方程有4个根．则___________． 15. 将按如图方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则： ①表示的数是___________； ②若在，则的值为___________． 16. 如图，为的直径，是上一点，以为圆心．适当长为半径作弧交直径所在的直线于点，；分别以，为圆心，大于长为半径作弧两弧交于点；连接并延长交于点，交于点；以为圆心，长为半径作弧交于点，连接．若，则的半径长是___________． 三、解答题（本题共有8小题，共66分，解需写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 如图，是边长为的等边三角形．动点和动点分别从点和点同时出发，沿着逆时针运动，已知动点的速度为，动点的速度为．设动点、动点的运动时间为． （1）当为何值时，两个动点第一次相遇； （2）从出发到第一次相遇这一过程中，当为何值时，以为顶点的三角形的面积为？ 18. 如图，在中，是边上一点，是边上一点，过点作交于点，是边上一点，连接． （1）判断与是否平行，并说明理由． （2）若平分，，，求的度数 19. 已知抛物线经过点 （1）求该抛物线的函数表达式： （2）求出抛物线与坐标轴的交点，并在如图坐标系中用描点法描出二次函数的图象． 20. 如图，正方形中，，分别为边，上的点，且，求线段，，之间的数量关系．在小组学习过程中，我们得到了如下的解决方法：延长到，使得，再连接，利用可得，即拓展延伸： （1）如图①，正方形中，，分别为边，上的点，且，已知．试求正方形的周长． （2）如图②，在正外作一等腰，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交于两点，连接． ①求线段之间的数量关系，并加以证明： ②已知的周长为12，的面积为，试求的长． 21. 如图，在上，，经过圆心的线段于点，与交于点． （1）如图1，当半径为5，，若，求弦的长； （2）如图2，当半径为，若，求弦的长． 22. 如图1，在中，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点，连接． （1）图1中，求证：； （2）当绕点旋转到如图2所示的位置时， ①是否仍然成立？若成立请证明：若不成立，说明理由； ②若和的面积分别是的面积为，求的值． 23. 根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥的方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度（米）与货船增加的载重量（吨）满足函数表达式． （1）确定桥洞的形状．建立平面直角坐标系如图3所示，落在第一象限的角平分线上．设点为（m，m）， ①点的坐标．（用的代数式表示）： ②求出经过点的双曲线的函数表达式． （2）这艘货船运载货物高3米（即米），此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？（已知．） 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是点关于直线的对称点． （1）求点的坐标． （2）点是直线上的一动点，以为边向右作正方形． ①若点是线段中点，求点坐标． ②连接．若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $