精品解析：宁夏银川市永宁县永宁中学2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试题

永宁中学2025-2026学年第一学期第二次月测考试 高一年级数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则等于（ ） A B. C. D. 2. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（    ） A. B. C. D. 5. 已知函数（且），若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，那么的大小为（ ） A B. C D. 7. 若且，则函数与函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（a＞0且a≠1）是R上的单调递减，则a的取值范围是（ ） A. (0，] B. [) C. [] D. (] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 以下说法正确的有（ ） A. 化成弧度为 B. 与的终边相同的角的集合是 C. 将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是 D. 已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为 10. 下列命题中正确的有（ ） A. 若，则的终边一定落在第一象限或第二象限内 B. 函数的图象恒过点A，若点A也在函数的图象上，则 C. 函数的反函数是 D. 函数定义域为，则函数的定义域是 11. 下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. ，均为正实数，且，则的最小值为16 C. 当时，的最小值是3 D. 的最大值为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题的否定是_________ 13. 若，，则是第________象限角． 14. 已知，且，则______. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 化简求值： （1） （2） 16. （1）已知，求，的值； （2）已知，求的值． 17. 已知二次函数，． （1）若函数在区间上单调，求实数的取值范围； （2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18. 校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2024年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月(每月月底)测量一次，通过一年的观察发现，自2024年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，最初测得该水生植物面积为k m2，二月底测得该水生植物的面积为24 m2，三月底测得该水生植物的面积为40 m2，该水生植物的面积y(单位：m2)与时间x(单位：月)的关系有两个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的，另一个是同学乙提出的，记2024年元旦最初测量时间x的值为0. （1）根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式； （2）池塘里该水生植物面积应该在几月份起是2024年一月底该水生植物面积的10倍以上？(参考数据：) 19. 已知函数且. （1）若，求函数定义域及值域； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永宁中学2025-2026学年第一学期第二次月测考试 高一年级数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，根据集合交集的概念求解即可. 【详解】集合， 而集合， 所以. 故选：C 2. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数单调性的性质，结合函数零点存在原理进行判断即可. 【详解】因为函数是正实数集上的增函数， 所以函数是正实数集上的增函数， 因为， 所以， 因此函数在上必有一个零点， 又因为函数是正实数集上的增函数， 所以函数有唯一零点，且零点在区间内， 故选：B 3. 已知，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数的运算性质进行计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 4. 如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别写出阴影部分终边在第二象限和第四象限角的集合，然后并起来即可. 【详解】由图，阴影部分终边在第二象限角的集合为， 阴影部分终边在第四象限角的集合为， 故终边在阴影部分的角的集合为， 故选：B. 5. 已知函数（且），若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，再根据函数的单调性解不等式. 【详解】因为，所以函数在上单调递减. 由. 即所求不等式的解集为. 故选：A 6. 已知，，，那么的大小为（ ） A B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数与指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为函数在上单调递减，所以，故； 因为函数在上单调递增，所以，故； 因为函数在上单调递减，所以，故； 综上，. 故选：D. 7. 若且，则函数与函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性、特殊点的函数值来确定正确答案. 【详解】由于，， 所以函数与函数单调性相反，故排除A，C. 再由可排除B. 故选：D 8. 已知函数（a＞0且a≠1）是R上的单调递减，则a的取值范围是（ ） A. (0，] B. [) C. [] D. (] 【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数在R上的单调递减知0＜a＜1，并结合二次函数的单调递减区间即可得a的范围 【详解】由题意，分段函数在R上单调递减，底数需满足0＜a＜1 根据二次函数开口向上，二次函数在(﹣∞，)单调递减 可得≥0．且 故：a ≤且3a ≥ 2，又a∈(0，1) ∴a的取值范围是[] 故选：C 【点睛】本题考查了函数的单调性，根据分段函数的单调性求参数范围 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 以下说法正确的有（ ） A. 化成弧度为 B. 与的终边相同的角的集合是 C. 将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是 D. 已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据角的性质和弧度制逐一判断各个选项即可得到结论． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，所以与的终边相同的角的集合是，故B正确； 对于C，将表的分针拨慢20分钟，则分针逆时针旋转，故分针转过的角的弧度是，故C不正确； 对于D，设扇形的弧长，半径为，由于扇形的周长为，圆心角为， 则，解得，则该扇形的面积为，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列命题中正确的有（ ） A. 若，则的终边一定落在第一象限或第二象限内 B. 函数的图象恒过点A，若点A也在函数的图象上，则 C. 函数的反函数是 D. 函数的定义域为，则函数的定义域是 【答案】BC 【解析】 【分析】由，确定角终边的位置，可判断A的真假；由对数函数的性质确定点坐标，代入函数的解析式求的值，可判断B的真假；利用反函数的概念可判断C的真假；利用复合函数定义域的求法求函数的定义域，判断D的真假. 【详解】对A：由可得，的终边落在第一象限或第二象限或轴的正半轴上，故A错误； 对B：因为（且）恒成立，所以函数的图象恒过定点， 由.故B正确； 对C：根据同底的指数函数与对数函数互为反函数可知，C正确； 对D：因为函数的定义域为，所以. 由，即函数的定义域为，故D错误. 故选：BC 11. 下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. ，均为正实数，且，则的最小值为16 C. 当时，的最小值是3 D. 的最大值为5 【答案】BD 【解析】 【分析】由时判断A，应用“1”的代换及基本不等式求最小值判断B，令，并应用基本不等式求最值，注意取值符号判断C，由根式的性质得，再应用基本不等式求乘积的最大值判断D. 【详解】A：当时，，显然的最小值不可能为2，错误； B：由题设， 当且仅当时取等号，故的最小值为16，正确； C：令，则， 当且仅当时取等号，而，则取不到3，错误； D：由，可得，则， 当且仅当时取等号，故的最大值为5，正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题的否定是_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，改变量词，否定结论即可. 【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题，需要将“”改为“”，“”改为“”， 所以命题的否定是. 故答案为：. 13. 若，，则是第________象限角． 【答案】二或四 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系及由三角函数值确定角所在象限求解. 【详解】因为，， 所以， 所以是第三象限角，且， 所以， 所以当时，，是第二象限角； 当时，，是第四象限角. 故答案为：二或四 14. 已知，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，求出，进而根据角的范围判断出的符号，最后得到答案. 【详解】由题意，， 因，所以，则，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 化简求值： （1） （2） 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用对数的运算性质化简求值； （2）由诱导公式化简求值. 【小问1详解】 【小问2详解】 . 16. （1）已知，求，的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）或；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系与商数关系求解即可； （2）由商数关系进行齐次化求解即可得答案. 【详解】（1）因为，所以角在第二象限或第三象限， 当角在第二象限时，; 当角在第三象限时，; 故或； （2）因为，所以. 17. 已知二次函数，． （1）若函数在区间上单调，求实数的取值范围； （2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数单调性可得答案； （2）分离变量，再利用基本不等式求最值可得答案. 【小问1详解】 函数  的对称轴为 ， 要使  在区间  上单调， 需满足对称轴不在区间内部， 即  或 ，解得  或 . 因此，实数  的取值范围为  【小问2详解】 由  得 ， 因为 ，所以 ， 令 ，则  对任意  恒成立等价于  ， 由基本不等式得， 当且仅当 ，即  时取等号， 所以  的最小值为 ，故 ， 因此实数  的取值范围是 . 18. 校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2024年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月(每月月底)测量一次，通过一年的观察发现，自2024年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，最初测得该水生植物面积为k m2，二月底测得该水生植物的面积为24 m2，三月底测得该水生植物的面积为40 m2，该水生植物的面积y(单位：m2)与时间x(单位：月)的关系有两个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的，另一个是同学乙提出的，记2024年元旦最初测量时间x的值为0. （1）根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式； （2）池塘里该水生植物面积应该在几月份起是2024年一月底该水生植物面积的10倍以上？(参考数据：) 【答案】（1）甲， （2）6月份 【解析】 【分析】（1）根据三月底水生植物面积增量几乎是二月份的一倍，可确定甲同学的模型较合适，代值即得方程组，解之可得函数模型的解析式； （2）依题意列出不等式，通过取对数，将其化成，代值计算即得. 【小问1详解】 因为三月底面积增量几乎是二月份的一倍，所以选择同学甲提出的比较合适， 由题意得，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，一月底时水生植物的面积为， 假设x月后水生植物的面积是一月水生植物面积的10倍以上，即 ， 所以， 所以， 因为，所以， 所以从6月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上. 19. 已知函数且. （1）若，求函数定义域及值域； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1）定义域为，值域为； （2）. 【解析】 【分析】（1）当时，可得函数的解析式，进而求出函数的定义域，求出真数的取值范围，结合对数函数的单调性可求得函数的值域； （2）分、两种情况讨论，利用复合函数的单调性列出关于实数的不等式组，综合可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 由，可得，解得， 所以函数的定义域为， 因为，所以， 又函数为增函数，所以， 故当时，函数的定义域为，值域为. 【小问2详解】 当时，函数为减函数， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减，且在上恒成立， 所以，该不等式组无解； 当时，函数为增函数， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，且在上恒成立， 所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $