专题01 线段的双中点模型与角的双角平分线模型（几何模型讲义）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦线段双中点与角双角平分线两大核心几何模型，紧扣中考对几何直观与推理能力的考查要求，以“模型来源-真题解析-规律提炼-分层应用”为主线，通过考点梳理构建知识网络，结合真题讲解突破中点与角平分线的动态关系难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于“模型化思维”教学策略，如通过线段中点“和差型”分类画图与角平分线“内外分”推理训练，培养学生抽象能力与空间观念。设置“基础例题-综合探究-中考真题”三级练习，配合5分钟模型速解训练，确保学生高效掌握解题通法，助力教师精准把控复习节奏，提升学生几何综合题应考能力。

专题01“线段----双中点”模型与“角----双角平分线”模型 线段和角是初中几何的两大基础核心元素，是构建复杂几何图形与知识体系的基石，其重要性体现在三个关键层面：知识奠基性：所有复杂平面图形（三角形、四边形、圆等）都由线段首尾连接构成，图形的角度关系、边长关系是后续推导全等、相似、勾股定理等核心定理的前提；角的分类（锐角、直角、钝角）、特殊角（30°、45°、60°）的性质，更是解决几何计算与证明题的关键依据。方法工具性：线段的中点、角平分线、垂直平分线等衍生概念，是几何作图、辅助线添加的常用工具；线段双中点、角双角平分线这类模型，能帮助学生快速建立数量关系，形成“由基本性质推导复杂结论”的几何思维。能力衔接性：初中阶段对线段和角的认知，是从直观图形到逻辑推理的过渡，通过研究它们的位置和数量关系，学生能逐步掌握几何证明的基本范式（已知—求证—证明），为高中立体几何、解析几何的学习铺垫思维基础。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.线段的双中点模型与多中点模型 4 模型2.双角平分线模型与角n等分线模型 8 11 线段双中点模型：源于线段中点“将线段分为两条相等线段”的基本定义，人们在研究同一直线上多条线段的中点关系时，发现无论点的位置是在线段上还是延长线上，两个中点所连线段的长度始终与某条基础线段存在固定的一半数量关系，进而将这种共性规律总结为一个通用几何模型。 角双角平分线模型：源于角平分线“将角分为两个相等角”的基本定义，在探究同一顶点引出的多条射线的角平分线关系时，发现不管射线在角的内部还是外部，两条角平分线所成角的大小始终与某一基础角存在固定的一半数量关系，由此提炼出这个具有普适性的几何模型。 类型1 “线段----双中点”模型 （2025·浙江杭州市·一模）已知，，在同一直线上，线段的长为，线段的长为，且，为的中点，为的中点，则的长为  ． 类型2 “角----双角平分线”模型 （2025·浙江宁波市·二模）如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为          ． “线段----双中点”模型条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 类型1 双中点和型 当点B在线段AC上，如图1， ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； 图1 图2图3 类型2 双中点差型 当点B在线段AC的延长线上，如图2， ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； 当点B在线段CA的延长线上，如图3， ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； “角----双角平分线”模型条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 图1 类型1 双角平分线和型 ∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 类型2 双角平分线差型 条件：如图2，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 图2 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 模型1. “线段----双中点”模型 例1有两根木条，一根AB长为40cm，另一根CD长为70cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N(圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点)，将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是( ) A. 55cm B. 15cm C. 55cm或15cm D. 以上都不对 例2线段上，为的中点，为的中点，，，． A. B. C. D. 例3现有，两根木条，，分别是，的中点，将两根木条叠放在一起． 若按如图所示叠放，，，则 ； 若按如图所示叠放，，则 用含的式子表示 例4已知点、、都在直线上，点是线段的三等分点，、分别为线段、中点，直线上所有线段的长度之和为，则 ． 例51.如图，点是线段上的两点点在的左侧，点分别是线段和的中点，若，则线段的长为__________ 例6如图，已知：线段，延长到点，使得，点为的中点，为的中点，若，求线段的长度． 例7综合与探究： 问题情境： 已知：，分别是线段，的中点． 初步探究： 如图，点在线段上，且，，求线段的长． 问题解决： 若为线段上任意一点，且，，求出线段的长用含有，的代数式表示． 类比应用： 若点在线段的延长线上，且，，请你画出图形，并直接写出线段的长用含有，的代数式表示． 拓展延伸： 已知：如图，为线段的中点，为线段的中点，为线段上任意一点，为线段的中点，，，请你直接写出线段的长用含有，的代数式表示． 例8综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点，，，在同一条直线上，，点为线段中点，点为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 如图，点，在线段上，点为中点，点为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 表格中，数据，． 【推理论证】在的条件下，若线段，，请用含，的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 若点，在直线上运动，且点始终在点的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 模型2.“角----双角平分线”模型 例1已知，，平分，平分，则的度数是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 例2如图，，在内作两条射线和，且平分平分，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 例3如图，是的平分线，射线在内部，平分，已知，那么的大小等于 ． 例4如图，O为直线上一点，将一个三角板的直角顶点与点O重合，三角板的一边与重合，现在将三角板绕着点O逆时针旋转一周，在旋转过程中的平分线记为，的平分线记为，则 度． 例5如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角，时，求的度数是多少？ (2)如图2，当，时，尝试发现与的数量关系． (3)如图3，当，时，猜想：与、有数量关系吗？直接写出结论即可． 例6如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图1，分别是、的角平分线，已知，，求的度数； (2)如图2，若，，，求的度数． 例7（1）如图1，、是内的两条射线，平分，，，求的度数． （2）如图2，已知、、是内的三条射线，平分，，且在的左侧，现要在内画一条射线，使得，求的度数． （3）如图3，数学老师在黑板上画出，并在内部画出（射线在的左侧）和射线、，其中平分，平分，若，请你猜想α、β和γ之间的数量关系，并说明理由． 例8已知：，是内的射线． (1)如图，若平分，平分．当绕点在内旋转时，求的大小； (2)如图，若，平分，平分．当绕点在内旋转时，求的大小； (3)在（）的条件下，若以为起始位置，当在内绕着点以/秒的速度逆时针旋转秒时，，求的值． 1.有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点，将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是(    ) A. B. C. 或 D. 或 2.如图，是的平分线，是的平分线，如果，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 3.如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点．以下说法正确的是(    ) 运动后，；             的值随着运动时间的改变而改变； 的值不变；                 当时，运动时间为． A. B. C. D. 4.如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：；；；其中正确的个数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5.如图，，是线段上两点点在点右侧，，分别是线段，的中点．下列结论： ； 若，则； ； ． 其中正确的是(    ) A. B. C. D. 6.某初中数学名师工作室积极开展“名师送教”活动．其中，成员卢老师在一次送教课上，利用多媒体展示如下内容：为直线上一点如图，为直角，平分，平分，平分，各个小组经过讨论后得到以下结论：与互余；与互补；与互补；，聪明的你认为哪些组的结论是正确的，正确的有个 A. B. C. D. 7.如图，点是线段上的两点点在的左侧，点分别是线段和的中点，若，则线段的长为          ． 8.如图，有公共端点的两条线段组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成两部分，其中一部分是和，另一部分是，若这两部分的长度相等，即，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”已知是折线的“折中点”，为线段的中点，，则线段的长为          ． 9.如图，一副直角三角板摆放在一起，射线平分，平分，则的度数为          ，的度数为          ． 10.如图，射线是的平分线，射线是的平分线，若，则的度数为          ． 11.如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点． 运动后，；      的值随着运动时间的改变而改变； 的值不变；        当时，运动时间为  以上说法正确的是      ． 12.已知，，平分，平分本题中的角均为大于且小于等于的角当从如图所示位置绕点顺时针旋转时，满足，则          ． 13.如图，是线段上一点，是的中点，是的中点 若，，求的长度． 若，求的长度． 14.【课本原型】 如图，点、、在同一条直线上，射线和射线分别平分和则______ 【拓展与延伸】 如图，点、、不在同一条直线上，射线和射线分别平分和． 若，求的度数； 若，则的度数为______． 15.如图，已知点在线段上，且，，，分别是，的中点，求线段的长． 在中，如果，，其他条件不变，你能猜出的长吗？请你用一句简洁的话表述你发现的规律． 对于，如果我们这样叙述：“已知线段，，点在直线上，，分别是，的中点，求线段的长”结果会有变化吗？如果有，求出结果． 16.已知，是内部的一条射线，且． 如图所示，若，平分，平分，求的度数； 如图所示，是直角，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 如图所示，若，射线，射线分别从，出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为秒当，求的值． 17.七班的小丽同学在学习了直线、射线、线段后，对线段中点问题进行了如下探究： 已知：如图，点在线段上，点分别是的中点． 若线段，求线段的长度； 在第题的条件下，小丽同学将题目中的“点在线段上”改为“点在线段的延长线上”，请你帮助小丽同学画出图形，求出线段的长度； 小丽同学发现，若，则第题中的          ；第题中的          用含的式子表示，线段和线段的数量关系是          ． 18.已知，是内部的一条射线，且． 如图所示，若，平分，平分，求的度数； 如图所示，，射线，射线分别从，出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为秒． 直接写出和的数量关系； 若，当，求的值． 19.综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． 【知识探究】若，则          ； 当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和． 若，，则______． 请你猜想、和三个角有怎样的数量关系请说明理由． 20.如图，已知． ，是以为顶点的两条射线，，分别平分，． 如图，当，时，的度数为_______； 如图，当时，请写出、与之间的数量关系，并说明理由； 如图，当时，以度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，同时，也以度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，当刚好旋转一周时，两个角都停止旋转，求旋转过程中与有重叠部分的总时长． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01线段的双中点模型与角的双角平分线模型 线段和角是初中几何的两大基础核心元素，是构建复杂几何图形与知识体系的基石，其重要性体现在三个关键层面：知识奠基性：所有复杂平面图形（三角形、四边形、圆等）都由线段首尾连接构成，图形的角度关系、边长关系是后续推导全等、相似、勾股定理等核心定理的前提；角的分类（锐角、直角、钝角）、特殊角（30°、45°、60°）的性质，更是解决几何计算与证明题的关键依据。方法工具性：线段的中点、角平分线、垂直平分线等衍生概念，是几何作图、辅助线添加的常用工具；线段双中点、角双角平分线这类模型，能帮助学生快速建立数量关系，形成“由基本性质推导复杂结论”的几何思维。能力衔接性：初中阶段对线段和角的认知，是从直观图形到逻辑推理的过渡，通过研究它们的位置和数量关系，学生能逐步掌握几何证明的基本范式（已知—求证—证明），为高中立体几何、解析几何的学习铺垫思维基础。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.线段的双中点模型模 5 模型2.角的双角平分线模型 15 26 线段的双中点模型：源于线段中点“将线段分为两条相等线段”的基本定义，人们在研究同一直线上多条线段的中点关系时，发现无论点的位置是在线段上还是延长线上，两个中点所连线段的长度始终与某条基础线段存在固定的一半数量关系，进而将这种共性规律总结为一个通用几何模型。 角的双角平分线模型：源于角平分线“将角分为两个相等角”的基本定义，在探究同一顶点引出的多条射线的角平分线关系时，发现不管射线在角的内部还是外部，两条角平分线所成角的大小始终与某一基础角存在固定的一半数量关系，由此提炼出这个具有普适性的几何模型。 类型1 线段的双中点模型 （2025·浙江杭州·一模）已知，，在同一直线上，线段的长为，线段的长为，且，为的中点，为的中点，则的长为  ． 【答案】或  【解析】本题考查了线段上两点间的距离，利用了线段中点的性质，分类讨论是解答本题的关键． 分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，分别求解即可解答． 【详解】解：当点在点的右侧时，如下图： ，，为的中点，为的中点， ，， ； 当点在点的左侧时，如下图： ，，为的中点，为的中点， ，， ； 综上所述，或， 故答案为：或． 类型2 角的双角平分线模型 （2025·浙江宁波市·二模）如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为          ． 【答案】  【解析】本题考查了角平分线的有关计算，几何图形中角度计算问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据题意，由是直角，结合，可求得，再根据角平分线的意义得出，，再根据求解． 【详解】解：是直角， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 故答案为：． 线段的双中点模型条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 类型1 双中点和型 当点B在线段AC上，如图1， ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； 图1 图2图3 类型2 双中点差型 当点B在线段AC的延长线上，如图2， ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； 当点B在线段CA的延长线上，如图3， ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 角的双角平分线模型条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 图1 类型1 角的双角平分线和型 ∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 类型2 双角平分线差型 条件：如图2，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 图2 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 模型1. 线段的双中点模型 例1有两根木条，一根AB长为40cm，另一根CD长为70cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N(圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点)，将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是( ) A. 55cm B. 15cm C. 55cm或15cm D. 以上都不对 【答案】C  【解析】根据点与点重合和点与点重合两种情况解答即可． 本题考查了线段的中点，线段的和，分类思想的应用，熟练掌握线段的中点是解题的关键． 【详解】解： ， ，，分别是它们的中点，  ， ， 当点与点重合时，  ； 当点与点重合时，  ， 故选：． 例2线段上，为的中点，为的中点，，，    ． A. B. C. D. 【答案】D  【解析】本题考查与线段中点有关的计算，解题的关键是掌握线段中点的性质．先由，再根据中点的性质得，，最后由线段的和差关系即可求出结果． 【详解】解：，， ， 点是的中点，点是的中点， ，， ． 故选：． 例3现有，两根木条，，分别是，的中点，将两根木条叠放在一起． 若按如图所示叠放，，，则          ； 若按如图所示叠放，，则          用含的式子表示 【答案】(1)  (2)​​​​​​​  【解析】 本题考查线段中点的特点和线段的和差，根据，分别是，的中点，分别表示出，，再利用进行计算，即可解题． 【详解】解：，分别是，的中点， ，， ，， ，， ． 故答案为：．  本题考查线段的和差，根据，得到，再根据，利用，，对其中的、、进行等量代换，即可得出． 解：由同理可得，， ， ， ， ， 整理得：，解得：． 故答案为：． 例4已知点、、都在直线上，点是线段的三等分点，、分别为线段、中点，直线上所有线段的长度之和为，则          ． 【答案】或  【解析】【分析】 本题考查了两点间的距离，线段中点定义，线段和差，解决本题的关键是分情况说明． 分和两种情况，画出相应图形，即可解答． 【解答】 解：如图，当时， 设，则，， 、分别为求、中点， ， ， 直线上所有线段的长度之和为， ， ； 如图，当时， 设，则， ， 、分别为求、中点， ，， ，，， 直线上所有线段的长度之和为 ． ． 综上所述，或． 故答案为：或 例5如图，点是线段上的两点点在的左侧，点分别是线段和的中点，若，则线段的长为__________        【答案】  【解析】【分析】 本题考查了两点间的距离，线段的和差，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论． 【解答】 解：点、分别是线段和的中点， ，， ，   故答案为：． 例6如图，已知：线段，延长到点，使得，点为的中点，为的中点，若，求线段的长度． 【答案】解：因为，， 所以，， 因为点为的中点， 所以， 因为点为的中点， 所以， 所以．  【解析】本题考查线段的和差、线段的中点，掌握线段的中点定义是关键． 根据题意，先求出线段的长度，再根据线段中点的定义，求出线段的一半，线段的一半，最后求出线段的长度． 例7综合与探究： 问题情境： 已知：，分别是线段，的中点． 初步探究： 如图，点在线段上，且，，求线段的长． 问题解决： 若为线段上任意一点，且，，求出线段的长用含有，的代数式表示． 类比应用： 若点在线段的延长线上，且，，请你画出图形，并直接写出线段的长用含有，的代数式表示． 拓展延伸： 已知：如图，为线段的中点，为线段的中点，为线段上任意一点，为线段的中点，，，请你直接写出线段的长用含有，的代数式表示． 【答案】解：，点是的中点， ， ，点是的中点， ， ， 线段的长度为； ， 点，分别是线段，的中点． ，， ； 当点在线段的延长线时，如图： 得：； 为线段的中点，为线段的中点，， ， ， 即．  【解析】本题考查了线段两点间的距离及中点的性质利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． 根据“点、分别是、的中点”，先求出、的长度，再利用即可求出的长度； 由，分别是，的中点，可表示线段、的长度，再利用，求得； 点在的延长线上时，根据、分别为、的中点，即可求出问题的解； 由线段的中点和线段的和差解答即可． 例8综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点，，，在同一条直线上，，点为线段中点，点为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 如图，点，在线段上，点为中点，点为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 表格中，数据          ，          ． 【推理论证】在的条件下，若线段，，请用含，的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 若点，在直线上运动，且点始终在点的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 【答案】(1)2.5;2  (2)如图，点C，D在线段上，，． 所以，，， 因为点M为中点，点N为中点， 所以，， 因为， 所以； (3)解:点C，D在线段上，由（2）可知； 如图，当在的左边，在的右边， ，， 因为点M为中点，点N为中点， 所以，， 所以， 如图，当在的右边，在的右边， 所以， 因为点M为中点，点N为中点， 所以，， 所以 ， 如图，当在的左边，在的右边时， ， 因为点M为中点，点N为中点， 所以，， 所以 ， 如图，当都在的左边时， ， 因为点M为中点，点N为中点， 所以，， 所以 ， 综上：. 【解析】 本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义； 根据表格信息分别求解当，，当，时的长度即可； 解：如图，点，在线段上，，． 所以，，， 因为点为中点，点为中点， 所以，， 因为， 所以， 当，时． ，，， 所以， 当，时． ，，， 所以， 所以，；   ，，，结合点为中点，点为中点，可得，，再进一步求解即可；  分五种情况讨论：当点，在线段上，当在的左边，在的右边，如图，当在的右边，在的右边，如图，当在的左边，在的右边时，如图，当都在的左边时，再结合的方法进一步求解即可． 模型2.角的双角平分线模型 例1已知，，平分，平分，则的度数是（） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查角平分线的定义和角的计算，分情况分析是解题的关键． 先由角平分线定义求出和的度数，再分与在同侧、异侧两种情况，通过角的和差计算得的结果即可． 【详解】∵，平分， ∴， ∵，平分， ∴， 情况1：与在同侧， ， 情况2：与在异侧， ， ∴为或． 故选：D． 例2如图，，在内作两条射线和，且平分平分，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角的计算，角平分线定义，掌握角的计算，角平分线定义是解题的关键． 根据题意，可设，由，即可得出，求出x的值，即可得出的度数，进而得出的度数，再根据平分平分，由角平分线定义可得出：，，最后由进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴可设， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， 又∵平分平分， ∴，， ∴． 故选：A． 例3如图，是的平分线，射线在内部，平分，已知，那么的大小等于 ． 【答案】41 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查角的计算，正确发现角与角之间的关系是解题的关键． 根据题意易得，和，进而通过角与角之间的关系得到，从而得到的大小． 【详解】解：平分， ， ， 是的平分线， ， ， 即， ， ， 故答案为：41． 例4如图，O为直线上一点，将一个三角板的直角顶点与点O重合，三角板的一边与重合，现在将三角板绕着点O逆时针旋转一周，在旋转过程中的平分线记为，的平分线记为，则 度． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键；由题意可分四种情况，然后分类进行求解即可． 【详解】解：由题意可分： ①如图， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； ②如图， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； ③如图， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； ④如图， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 综上所述：或； 故答案为或． 例5如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角，时，求的度数是多少？ (2)如图2，当，时，尝试发现与的数量关系． (3)如图3，当，时，猜想：与、有数量关系吗？直接写出结论即可． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，与的大小无关 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查角平分线、角之间的计算，熟练掌握角平分线是解题的关键． （1）根据题意求出度数，根据角平分线求出和的度数，由求出即可； （2）与（1）同理，求出、和的关系，用表示； （3）与（1）同理，求出、和的关系，用、表示． 【详解】（1）解：是直角，， ， 是的平分线，是的平分线， ， , ； （2）解：，理由如下： ，， ， 是的平分线，是的平分线， ， , , 即； （3）解：，与的大小无关，理由如下： ，， ， 是的平分线，是的平分线， ， , ， 即． 例6如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图1，分别是、的角平分线，已知，，求的度数； (2)如图2，若，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，角的和与差，弄清角与角间的数量关系，利用方程思想解答是解题的关键． （1）根据、分别是、的角平分线，而，可求，再由即可求解； （2），可得，从而得到，再由，根据角的和差列方程求解，即可求解的度数． 【详解】（1）解：∵、分别是、的角平分线， ∴， ∵，， ∴ ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴． 例7（1）如图1，、是内的两条射线，平分，，，求的度数． （2）如图2，已知、、是内的三条射线，平分，，且在的左侧，现要在内画一条射线，使得，求的度数． （3）如图3，数学老师在黑板上画出，并在内部画出（射线在的左侧）和射线、，其中平分，平分，若，请你猜想α、β和γ之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）或；（3），理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义和角的关系，解题的关键是正确找出角度关系． （1）根据角平分线的定义，结合已知角的关系，得出的度数； （2）先根据已知条件求出、的度数，再分情况讨论射线的位置，进而求出的度数； （3）可根据角平分线的定义，结合已知角的关系，推导出、和之间的数量关系． 【详解】解：（1）， ． ， ． ， 平分， ． ； （2）， ． 平分， ． ，． ． 当在的左侧时， ， ，即． 在内． ． 当在的右侧时， ； （3），理由如下： 平分，平分， ，． ． ， ． ，即． 例8已知：，是内的射线． (1)如图，若平分，平分．当绕点在内旋转时，求的大小； (2)如图，若，平分，平分．当绕点在内旋转时，求的大小； (3)在（）的条件下，若以为起始位置，当在内绕着点以/秒的速度逆时针旋转秒时，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)秒 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差关系，正确识图是解题的关键． （）由角平分线的定义得，，进而根据角的和差关系解答即可求解； （）由角平分线的定义得，，进而根据角的和差关系解答即可求解； （）由题意得，即得，又可得，即得，进而得到，解方程即可求解； 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， 又∵， ∴； （2）解:∵平分，平分， ∴，， ∴ ； （3）解：∵射线以为起始位置，以每秒的速度逆时针旋转秒，， ∴． ∵射线平分， ∴， ∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， 又∵， ∴， 解得． 1.有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点，将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】C  【解析】本题主要考查线段两点间的距离，理解题意、分类作出相应图形是解题的关键． 分两种情况讨论：当、或、重合且剩余两端点在重合点同侧时；当、或、重合，且剩余两端点在重合点两侧时；让分别作出相应图形，并结合图形求解即可． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： 当、或、重合，且剩余两端点在重合点同侧时， 由图可得：； 当、或、重合，且剩余两端点在重合点两侧时， 由图可得：； 两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故选：． 2.如图，是的平分线，是的平分线，如果，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】利用角平分线的定义和角的和差关系计算即可． 【详解】是的平分线，是的平分线， ，， 又，， ，， ， 故选C． 3.如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点．以下说法正确的是(    ) 运动后，；             的值随着运动时间的改变而改变； 的值不变；                 当时，运动时间为． A. B. C. D. 【答案】D  【解析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，，，  为的中点， ， ，故错误； 设运动秒，则，，  为的中点，为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故正确； ，， ， 的值不变，故正确； ，， ， 解得：，故正确； 故选： 4.如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：；；；其中正确的个数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【解析】本题考查了角平分线定义，角的和差计算，准确识图是解题的关键． 根据角平分线的定义可设，，利用平角等于得出，再得出，则，，然后分别判断即可． 【详解】解：平分，平分， 可设，， 为直线上一点， ， ， ，即． ， ， ． 平分， ． ，， ，故本选项结论正确，符合题意； ，， ，故本选项结论正确，符合题意； ，， ，故本选项结论正确，符合题意； ， 当时，，但是题目没有的条件，故本选项结论错误，不符合题意． 综上所述，正确的有：共个．故选：． 5.如图，，是线段上两点点在点右侧，，分别是线段，的中点．下列结论： ； 若，则； ； ． 其中正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】设，，， 因为，分别是线段，的中点， 所以，，，， 所以，． 因为， 所以． 因为， 所以，故不正确； 因为，，， 所以，所以，故正确； 因为，，所以． 因为  所以， 所以，故正确； 因为，，所以． 因为，，所以， 所以，故不正确． 综上所述，正确的结论是． 6.某初中数学名师工作室积极开展“名师送教”活动．其中，成员卢老师在一次送教课上，利用多媒体展示如下内容：为直线上一点如图，为直角，平分，平分，平分，各个小组经过讨论后得到以下结论：与互余；与互补；与互补；，聪明的你认为哪些组的结论是正确的，正确的有个 A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查的是角平分线的定义，角的计算，补角的有关知识，由题意对给出的各个选项进行逐一分析即可． 【解答】 解：因为平分，平分，平分， 所以，，． 因为，， 所以，， 所以，，，故正确． 因为，，所以． 因为，所以与不互补，故错误． 因为，故正确． 则正确的有共个． 故选C． 7.如图，点是线段上的两点点在的左侧，点分别是线段和的中点，若，则线段的长为          ． 【答案】  【解析】本题主要考查了线段中点的有关计算，解题的关键是根据题意得出，根据求出结果即可． 【详解】解：是线段的中点， ， ，， ， 是线段的中点， ， ． 故答案为：． 8.如图，有公共端点的两条线段组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成两部分，其中一部分是和，另一部分是，若这两部分的长度相等，即，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”已知是折线的“折中点”，为线段的中点，，则线段的长为          ． 【答案】或  【解析】本题考查了线段的和差计算，中点的定义．根据题意分两种情况画图解答即可得出答案． 【详解】解：如图，， 是折线的“折中点”， ， 为线段的中点， ， ， ， ， ； 如图， 是折线的“折中点”， ， 为线段的中点， ， ， ， ； 综上可知，线段的长为或， 故答案为：或． 9.如图，一副直角三角板摆放在一起，射线平分，平分，则的度数为          ，的度数为          ． 【答案】  度 度   【解析】根据三角板的度数求出的度数，再根据角平分线的定义求出与的度数，然后根据，代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可知， ， 射线平分，平分， ，， ． 故答案为：，． 10.如图，射线是的平分线，射线是的平分线，若，则的度数为          ． 【答案】  【解析】本题主要考查了角的计算，以及角的平分线定义，关键是注意分析角之间的和差关系．首先设，，再根据角平分线性质可得，再根据角的和差关系可得，进而得到，再解方程即可得到，进而得到答案 【详解】解：设，． 则． 是的平分线， ， ， ， ， 解得，， 是的平分线， ， ， 故答案为：． 11.如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点． 运动后，；      的值随着运动时间的改变而改变； 的值不变；        当时，运动时间为  以上说法正确的是      ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查两点间的距离，线段的中点及线段的中点结合线段的和差，中点，以及两点间的距离计算判断即可． 【解答】 解：当时，，， ， ，故错误； ， ， 由于的长度变化，故的值随着运动时间的改变而改变，故正确； ，即的值不变，故正确； 当时，设运动时间为，则，解得：，故正确． 12.已知，，平分，平分本题中的角均为大于且小于等于的角当从如图所示位置绕点顺时针旋转时，满足，则          ． 【答案】或或  【解析】本题考查角分线的应用、旋转的应用．分为四种情况进行讨论：，，，，先求出和，再代入即可求出． 【详解】解：由题图可知． 当时，和在直线的右侧，如图： ， ， ； 当时，如图所示，在直线的左侧，在直线的右侧， 此时， 本题中的角均为大于且小于等于的角， 故， ， ， ， 解得； 当时，如图所示， ， ， ， 解得； 当时，如图： ， ， ， ， ， ， ， ，解得舍去． 故答案为：或或． 13.如图，是线段上一点，是的中点，是的中点 若，，求的长度． 若，求的长度． 【答案】解：是的中点，是的中点，，， ，， ； 是的中点，是的中点， ．  【解析】此题主要考查线段的中点、线段的和差． 由已知可求得、的长，从而不难求得的长度； 由已知可得的长是的倍，已知的长则不难求得的长度． 14. 【课本原型】 如图，点、、在同一条直线上，射线和射线分别平分和则______ 【拓展与延伸】 如图，点、、不在同一条直线上，射线和射线分别平分和． 若，求的度数； 若，则的度数为______． 【答案】  ；  【解析】解：射线和射线分别平分和， ，， ， ， 故答案为：． 射线和射线分别平分和， ，， ， ， 若，则； 若，则， 故答案为：． 根据角平分线的定义及角的和差即可得出答案； 根据角平分线的定义及角的和差得到与的数量关系，即可得出答案． 本题考查了角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 15. 如图，已知点在线段上，且，，，分别是，的中点，求线段的长． 在中，如果，，其他条件不变，你能猜出的长吗？请你用一句简洁的话表述你发现的规律． 对于，如果我们这样叙述：“已知线段，，点在直线上，，分别是，的中点，求线段的长”结果会有变化吗？如果有，求出结果． 【答案】(1)5 cm  (2).直线上相邻两线段中点间的距离为两线段长度和的一半  (3)有变化.5 cm或1 cm  16. 已知，是内部的一条射线，且． 如图所示，若，平分，平分，求的度数； 如图所示，是直角，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 如图所示，若，射线，射线分别从，出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为秒当，求的值． 【答案】    当时，  【解析】解：，， ， 平分，平分， ，， ，， ； ，， ， ， ， ， 平分， ， ； 若，射线，射线分别从，出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点逆时针旋转， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， 当时，． 根据图示，运用角平分线的定义可得，，由即可求解； 根据题意可得，，由即可求解； 根据题意可得，，则，由此列式得，解方程即可求解． 本题主要考查几何图形中角平分线的定义的计算，一元一次方程解几何问题，理解图示，掌握一元一次方程解几何问题是解题的关键． 17.七班的小丽同学在学习了直线、射线、线段后，对线段中点问题进行了如下探究： 已知：如图，点在线段上，点分别是的中点． 若线段，求线段的长度； 在第题的条件下，小丽同学将题目中的“点在线段上”改为“点在线段的延长线上”，请你帮助小丽同学画出图形，求出线段的长度； 小丽同学发现，若，则第题中的          ；第题中的          用含的式子表示，线段和线段的数量关系是          ． 【答案】(1)解：∵，点分别是的中点， ∴， ∴；   (2)由题意，画图如下： ∵，点分别是的中点， ∴， ∴；   (3)​​​​​​​;​​​​​​​;​​​​​​​  【解析】  本题考查与线段中点有关的计算，找准线段之间的关系是解题的关键： 根据线段中点的定义和线段的和差关系进行求解即可；   根据题意画出图形，根据线段中点的定义和线段的和差关系进行求解即可；   根据线段中点的定义和线段的和差关系进行求解即可． 点在线段上，点分别是的中点， ， ； 当点在线段的延长线上时，点分别是的中点， ， ； 综上线段和线段的数量关系是：， 故答案为：，，． 18. 已知，是内部的一条射线，且． 如图所示，若，平分，平分，求的度数； 如图所示，，射线，射线分别从，出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为秒． 直接写出和的数量关系； 若，当，求的值． 【答案】解：，， ， 平分，平分， ，， ，， ； ；理由如下： ，， ， ， 由题意得：，， ，， ； 由知，， ，， ，， ，， ， 把代入得：， 解得， 若， 当时，．  【解析】先求出，再根据角平分线的定义得到，，由此即可得到答案； 先求出，，根据题意可得，，由此求出，，则； 求出，，再由，，得到，把代入方程求出的值即可． 本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，根据图形得出角之间的等量关系是解题的关键． 19.综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． 【知识探究】若，则          ； 当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和． 若，，则______． 请你猜想、和三个角有怎样的数量关系请说明理由． 【答案】(1)12  (2)解：不变化， ，， ． ，分别是，的中点， ， ， ；   (3)，， ． ，分别平分和， ，， ， ． 故答案为：； ，理由如下： ，分别平分和， ，， ． ， ． ， ， ， ， 即．   【解析】  本题主要考查了线段的和差，中点的定义，角的和差，角平分线的定义， 先求出，再根据中点的定义得，，然后根据 得出答案； 【详解】解：，，， ． ，分别是，的中点， ，， ． 故答案为：；   先求出，再根据中点的定义得，即可得出，然后根据得出答案；   先求出，再根据角平分线的定义得，，即可得，然后根据得出答案； 根据角平分线的定义得，即可得，然后根据可得答案． 20.如图，已知． ，是以为顶点的两条射线，，分别平分，． 如图，当，时，的度数为_______； 如图，当时，请写出、与之间的数量关系，并说明理由； 如图，当时，以度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，同时，也以度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，当刚好旋转一周时，两个角都停止旋转，求旋转过程中与有重叠部分的总时长． 【答案】(1)解：①∵， ∴ ∵ ∴， ∵，分别平分，． ∴， ∴ 故答案为：． ②∵，分别平分，． ∴， ∴ ∴   (2)解：∵以2度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，当刚好旋转一周时， ∴所用时间为秒， ∴第秒时，两个角都停止旋转， ∵以4.5度/秒的速度整体绕点顺时针旋转， ∴旋转过程中，同向旋转，且的速度大于的速度， 当第一次追上时， 射线与射线重合时，所用时间为：秒，即第秒时，两角开始有重叠部分 射线与射线重合时，所用时间为：秒，即第秒后，两角没有重叠部分； ∴与有重叠部分的时间为：秒 当第二次追上时，则射线旋转了 射线第二次与射线重合时，从开始起所用时间为：秒 同理射线第二次与射线重合时，与有重叠部分的时间为秒，即秒 又∵总用时间为秒， ∴第二次重叠时间为秒 ∴旋转过程中与有重叠部分的总时长为秒．   【解析】  本题考查了角度的和差计算，角平分线的定义； 根据题意得出，进而根据角平分线的定义可得，，进而根据，即可求解； 根据角平分线的定义可得，，进而根据，即可求解；   根据题意得出第秒时，两个角都停止旋转，然后根据追及问题分析两角开始重合到分离的过程，转化为射线的旋转，分析与有重叠部分的时间，即可求解． 32 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $